Đại số sơ cấp và Thực hành giải toán THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG III

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG III Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. Bài 1.1: Biết rằng đa thức f(x) chia cho x – 2 dư 1, f(x) chia x + 1 dư 2, tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – x – 2 . Phân tích : Áp dụng định lý Bơdu về phép chia có dư trên vành đa thức Rx khi chia f(x) cho (x – 2) ; ( x + 1) và x2– x – 2 ta có lời giải sau. Lời giải : f(x) chia cho (x 2) dư 2 nên f(x)=(x 2).g(x) + 1 (1) f(x) chia cho (x + 1) dư 1 nên f(x)=(x + 1).h(x) + 1 (2) Giả sử f(x) chia cho x2 – x – 2 được thương r(x) và dư a.x + b ta có

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG III Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

f(x) chia cho (x - 2) dư 2 nên f(x)=(x - 2).g(x) + 1 (1)

f(x) chia cho (x + 1) dư 1 nên f(x)=(x + 1).h(x) + 1 (2)

Giả sử f(x) chia cho x2 – x – 2 được thương r(x) và dư a.x + b ta có

Do 5 là số vô tỉ nên từ 5 a + b =0 ta có a=b=0 Vậy r(x)= 0

Vậy f(x) chia hết cho (x2 - 5)

Khi đó g(1) = 0.h(x) + a

0 = 0.h(x) + a

Suy ra a = 0 vậy g(x) chia hết cho x – 1

f(x) = ( x – 1 ) n + g (x) Vậy f(x) chia hết cho x – 1

Khai thác :

Chứng minh f(x) = (x – a)n - 2x + 2a chia hết cho x – a

Bài 3.1:

Cho đa thức với hệ số nguyên f(x) CMR nếu f(a) và f(a+1) là các số nguyên

lẻ (a  )thì f(x) không thể có nghiệm nguyên

a) Phân tích:

Xuất phát từ nhân xét một số nguyên lẻ chỉ có thể là tích của các số nguyên

lẻ và hai số nguyên liên tiếp không thể cùng tính chẵn lẻ Nên ta có lời giải sau.b) Lời giải:

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên c

Theo định lý Bơdu ta có f(x)=(x-c).g(x) trong đó g(x) là đa thức với hệ sốnguyên Ta có f(a)= (a-c).g(x) Vì f(a) là số lẻ nên (a-c) là số lẻ

Mặt khác: f(a+1) = (a+1-c).g(a+1) lẻ nên (a+1-c) lẻ Vậy nếu f(x) có nghiệmnguyên c thì cả a-c và a+1-c đều lẻ (vô lý)

Vì a-c và a+1-c là hai số nguyên liên tiếp mà cùng lẻ nên dẫn đến điều vô lý

Do đó f(x) không thể có nghiệm nguyên

c) Khai thác bài toán:

Từ sự phân tích tương tự ta có thể giải được bài toán sau:

Cho đa thức với hệ số nguyên f(x) CMR.f(2x) và f(2x+1) là các số lẻ (x  )thì f(x) không thể có nghiệm nguyên

c) Khai thác bài toán:

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải bài toán tương tựsau:

1 phân tích đa thức sau: N = xy+ yz + xz +y2 – xz – yz

2 phân tíc đa thức sau: M = a(b+c)2 + b(c +a)2 + c(a+b)2 – 4abc

Bài 4.2 Phân tích đa thức sau:

Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x3(y2 – z2) + y3(z2 – x2) + z3(x2 – y2)

= (x – y)(y – z)[x2y + x2z – z2x – yz2] = (x – y)(y – z)[y(x2 – z2) – xz(x + z)]

= (x – y)(y – z)(x – z)(xy + yz + zx)

Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 4

c Khai thác

Ta có bài toán tương tự như sau:

1 phân tích đa thức thành nhân tử: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

2 phân tích đa thức thành nhân tử: xy + yz + zx + y2 – xz – yz

Nếu tách được vế trái thành tổng hai biểu thức không âm là được Mà ta

đã có hạng tử x y2 , 2 luôn dương Ta thấy 2

y o y

Ta tách biểu thức đã cho thành tổng hai biểu thức không âm

b,Lời giải

Ta có

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng 3/4 khi

Vì

Suy ra giá trị nhỏ nhất là a – 1 khi

c,Khai thác bài toán

Bài 2.1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a,Phân tích

Ta tách biểu thức thành tổng2 biểu thức không âm

Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 8

2 2

x

x y y

- Giả sử số chính phương có hai chữ số là :ab x 2

- Cộng thêm 1 vào các chữ số của nó ta cũng được một số chính phương nên

3 Khai thác bài toán:

Bằng cách giải tương tự ta có thể đề xuất bài toán sau:

Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng thêm 1 vào tất cả các chữ số của số đó, ta cũng được 1 số chính phương

Chủ điểm 3: PHÂN THỨC HỮU TỈ.

Bài 1.1 Cho

22 22 22 22 22 22 22 22

d

t c

z b

y a

x d c b a

t z y x

z b

y a

x d c b a

t z y x

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

t c

z d c b a

z b

y d c b a

y a

x d c b a

x

0 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

t

c d c b a

z b d c b a

y a d c b a x

Nhận thấy x2  0 ,a2 b2 c2 d2 a2(a, b, c ≠ 0)

1 1

a d c b

a     < 0

Nên:

0 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2 2

2

2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

b

a

t

c d c b a

z b d c b a

y a d c

1

0 1

1

0 1

1

0 1

1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

d d

c b

a t

c d

c b

a z

b d

c b

a y

a d

c b

a x

0 0

2 2

Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 14

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG IV

CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ.

Chủ điểm 1: CĂN SỐ - CĂN SỐ SỐ HỌC

Bài 1.1

7x  28x 32  5x  20x 29 5 

1 Phân tích:

nhận thấy trong mỗi dấu căn,các biểu thức đều có dạng kA2 B (k,B là hằng

số ) Vì vậy ta sẽ nhóm để đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc một tổng tta có lời giải sau :

x x

3 Khai thác bài toán :

ta có bài toán tương tự sau : giải phương trình :

5x2  10x  6 4x2  8x 13 4 

4

x x

Vậy x = y, hay mọi người trên trái đất đều cao băng nhau.

Chủ điểm 2: BIẾN ĐỔI VÔ TỈ- NHÂN LIÊN HỢP.

Bài toán 1.2 : Tính các biểu thức

Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 18

- các mẫu số là tổng các căn mà biểu thức dưới căn hơn kém nhau 4 đơn vị

vì vậy ta có thể nghĩ đến khử căn ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

- các mẫu số là tổng các căn mà biểu thức dưới căn hơn kém nhau 4 đơn vị

vì vậy ta có thể nghĩ đến việc khử căn ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

   x x 2007  44

 x x 2007  44

Điều kiện : 0

2007 0 x x        Ta có : VT 0 VP 0    phương trình vô nghiệm Bài 4.1: Rút gọn biểu thức: N= - + ( - )( + ) (*) Phân tích: Tách N= N + N Với N = -

N = ( - )( + ) Ta quy đồng mẫu số rồi rút gọn các biểu thức Ta có lời giải: (*) Lời giải: N = =

=

=

= 2

N = ( - )( + ) = (a- )( ) = ( )( )

= ( )( )

= ( )( )

=

Vậy N= N + N = 2 +

(*) Khai thác bài toán:

Rút gọn biểu thức:

Q = ( + ) : ( - + 1)

Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 22