THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG III Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. Bài 1.1: Biết rằng đa thức f(x) chia cho x – 2 dư 1, f(x) chia x + 1 dư 2, tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – x – 2 . Phân tích : Áp dụng định lý Bơdu về phép chia có dư trên vành đa thức Rx khi chia f(x) cho (x – 2) ; ( x + 1) và x2– x – 2 ta có lời giải sau. Lời giải : f(x) chia cho (x 2) dư 2 nên f(x)=(x 2).g(x) + 1 (1) f(x) chia cho (x + 1) dư 1 nên f(x)=(x + 1).h(x) + 1 (2) Giả sử f(x) chia cho x2 – x – 2 được thương r(x) và dư a.x + b ta có
Đại số sơ cấp Thực hành giải toán THỰC HÀNH GIẢI TỐN CHƯƠNG III Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC NGHIỆM CỦA ĐA THỨC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1.1: Biết đa thức f(x) chia cho x – dư 1, f(x) chia x + dư 2, tìm dư phép chia f(x) cho x2 – x – Phân tích : Áp dụng định lý Bơdu phép chia có dư vành đa thức R[x] chia f(x) cho (x – 2) ; ( x + 1) x2– x – ta có lời giải sau Lời giải : f(x) chia cho (x - 2) dư nên f(x)=(x - 2).g(x) + (1) f(x) chia cho (x + 1) dư nên f(x)=(x + 1).h(x) + (2) Giả sử f(x) chia cho x2 – x – thương r(x) dư a.x + b ta có f(x)=(x2 – x – 2).r(x) + a.x + b (3) Từ (1) ta có f(2) =1 Từ (3) ta có f(2)=2a +b Suy 2a + b =1 Từ (2) ta có f(-1) =2 Từ (3) ta cò(-1) =-a +b Suy –a +b =2 Vậy ta có hệ pt a 1/ �2a b � �� � �a b �b / Do ta có dư phép chia f(x) cho x2 – x – -1/3 x + 5/3 Khai thác : Tìm dư phép chia f(x) cho x2 – 5x + 6.Biết f(x) chia (x -3) dư chia (x – 2) dư Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Bài 2.1: CMR f(x) trường Q[x] f( )=0 f(x) chia hết cho x2 – Phân tích : Q la trường nên tổng, hiệu , tích số hữu tỉ số hữu tỉ mặt khác tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ , ta có lời giải Lời giải : Vì f( )=0 nên nghiệm f(x) Giả sử f(x)=(x2 - 5) h(x) + r(x) Vì x2 – phương trình bậc hai nên r(x) =a.x +b Ta có f( )=(( )2-5) h(x) + a + b = a + b (a,b � Q) Do số vô tỉ nên từ a + b =0 ta có a=b=0 Vậy r(x)= Vậy f(x) chia hết cho (x2 - 5) Khai thác : CMR Q(x) ,mọi đa thức nhận 13 nghiệm chia hết cho (x2 – 13) Bài 2.2: Cho đa thức : f(x) =( x - ) n + 2x + x2n - Chứng minh f(x) chia hết cho x – Phân tích : Áp dụng định lí Bơdu định lí phép chia có dư vành đa thức R[x] chia f(x) cho x – ta có lời giải sau: Lời giải: Ta có (x – 1)n chia hết cho x – ta cần chứng minh 2x + x 2n – chia hết cho x – Giả sử g(x) = 2x + x2n – = (x – 1) h(x) + r (x) Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải tốn Khi g(1) = 0.h(x) + a = 0.h(x) + a Suy a = g(x) chia hết cho x – f(x) = ( x – ) n + g (x) Vậy f(x) chia hết cho x – Khai thác : Chứng minh f(x) = (x – a)n - 2x + 2a chia hết cho x – a Bài 3.1: Cho đa thức với hệ số nguyên f(x) CMR f(a) f(a+1) số nguyên lẻ ( a �)thì f(x) khơng thể có nghiệm ngun a) Phân tích: Xuất phát từ nhân xét số nguyên lẻ tích số nguyên lẻ hai số ngun liên tiếp khơng thể tính chẵn lẻ Nên ta có lời giải sau b) Lời giải: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên c Theo định lý Bơdu ta có f(x)=(x-c).g(x) g(x) đa thức với hệ số ngun Ta có f(a)= (a-c).g(x) Vì f(a) số lẻ nên (a-c) số lẻ Mặt khác: f(a+1) = (a+1-c).g(a+1) lẻ nên (a+1-c) lẻ Vậy f(x) có nghiệm nguyên c a-c a+1-c lẻ (vơ lý) Vì a-c a+1-c hai số ngun liên tiếp mà lẻ nên dẫn đến điều vô lý Do f(x) khơng thể có nghiệm ngun c) Khai thác tốn: Từ phân tích tương tự ta giải tốn sau: Cho đa thức với hệ số nguyên f(x) CMR.f(2x) f(2x+1) số lẻ ( x ��) f(x) khơng thể có nghiệm nguyên Bài 4.1: 2 2 2 Phân thích đa thức Q x( y z ) y z x z x y a) Phân tích: Khơng thể rút nhân tử chung trực tiếp ta nhóm hạng tử theo nhóm nhân tử chung x, y z Từ ta có lời giải sau: Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải toán b) Lời giải: Q x y2 z y z x2 z x2 y 2 � xy xz yz yx � � � z x y 2 � xy ( y x) z ( y x) � � � z x y y x xy z z y x y x y x � xy z z y x � � � y x � xy z zy zx � � � y x � y x z z x z � � � y x x z y z c) Khai thác toán: Nếu ý tới phương pháp nhóm hạng tử ta giải tốn tương tự sau: phân tích đa thức sau: N = xy+ yz + xz +y2 – xz – yz phân tíc đa thức sau: M = a(b+c)2 + b(c +a)2 + c(a+b)2 – 4abc Bài 4.2 Phân tích đa thức sau: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x3(y2 – z2) + y3(z2 – x2) + z3(x2 – y2) a Phân tích: Khơng thể rút nhân tử cách trực tiếp ta nhóm hạng tử theo nhóm nhân tử chung x, y z Từ ta có lời giải sau: b Lời giải: A = x3(y2 – z2) + y3(z2 – x2) + z3(x2 – y2) = [ x3y2 – x3z2 + y3z2 – y3x2] + z3(x2 – y2) = [x2y2(x – y) + z2(y3 – x3)] + z3(x2 – y2) = [x2y2(x – y) – z2(x – y)(x2 + xy + y2)] + z3(x – y)(x + y) = (x – y)[x2(y2 – z2) – xz2(y – z) + yz2(z – y)] = (x – y)(y – z)[x2y + x2z – z2x – yz2] = (x – y)(y – z)[y(x2 – z2) – xz(x + z)] = (x – y)(y – z)(x – z)(xy + yz + zx) Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải tốn c Khai thác Ta có tốn tương tự sau: phân tích đa thức thành nhân tử: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) phân tích đa thức thành nhân tử: xy + yz + zx + y2 – xz – yz Bài 4.3 Cho z y t tính P xy xz xt yt Giải P xz xz y xt yt = x y z t y yt với z y t = y y t với y t z = yz Bài 5.1: Phân tích đa thức thành nhân tử R x 140 x H x 15 x 17 N x 21x 38 M x 12 x 28 Giải R x 140 x = x x 3 x 3 = 3x 1 x 3 H x 15 x 17 = x x 17 x 17 = x x 1 17 x 1 = x 1 x 17 N x 21x 38 = x x 19 x 38 = x x 19 x = x 14 x M x 12 x 28 Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải toán 2 = x x 14 x 28 2 = x x 14 x 2 = x 14 x = x 14 x x Bài 6.1: Tính x2 y x y B 1 y x y x biết x y 1 y x Giải: B x2 y x y 1 y x2 y x �x =� �y x y� x y � x� y x y Với y x B 12 Chủ điểm 2: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài tập 1.1 : x, y �� CMR : x y > x xy y > A, phân tích Nếu tách vế trái thành tổng hai biểu thức không âm Mà ta có hạng tử x , y dương Ta thấy x y x y nên ta có lời giải sau B, lời giải y Thật vậy, ta có : x xy y x x y > � x2 x y y2 y2 y2 > 4 � y� � �x � y x, y �� � 2� Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải toán � � y� � �x � � � � � �x �� � �y o �3 y � �4 Vậy x y ta áp dụng bất đẳng thức x xy y C, khai thác 2 CMR : x xy y �0 x, y �� Bài toán 1.2 CMR : a) x x x �� b) x x x �� A, phân tích Nếu tách vế trái thành tổng hai biểu thức không âm Mặt khác vế trái có sẵn hạng tử x B,Lời giải 4 a) x x x x � 1� � �x � � 2� 1� � � �x � ( ) � 2� � x x x �� b) tương tự câu a ta có : Ta chứng minh : x x 1 x2 x x2 x 4 � 1� � �x � � 2� � � 1� x � � � � � 2� Do � ( x �� ) �3 � �4 � x x x �� Bài tập khai thác phần thực hành giải toán Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Vậy x x x �� Bài 1.3 Tìm giá trị nhỏ a, x x b, x x a ( a dãy số) a,Phân tích Ta tách biểu thức cho thành tổng hai biểu thức không âm b,Lời giải 1 a, x x x x 4 1 x 2 Ta có 1 x 0, x R 2 1 3 x 2 4 Suy giá trị nhỏ 3/4 x b, x x a 4 x x a x 1 a 1 x 1 0, x R Vì x 1 a 1 a 1 Suy giá trị nhỏ a – x 0 x c,Khai thác toán a, x x 0, x R b, x x 0, x R Bài 2.1:Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 4 x y x y a,Phân tích y 2x y 1 Ta tách biểu thức thành tổng2 biểu thức không âm B 2 x Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 1 0 x 2 Đại số sơ cấp Thực hành giải toán b,Lời giải A 4 x y x y 4 x x y y 2 x 1 y 1 0, x, y R 2 Mặt khác có x 1 y 1 y 1 2 x 1 y 1 x 1 x x 0 Biểu thức có giá trị nhỏ y 0 y y x y 1 2 x x y y B 2 x 2 2 2 2 y y 2 2 2 2 x y 0, x, y R 2 2x 2x Mặt khác có Biểu thức có giả trị nhỏ x 0 y 0 2 c,Khai thác CMR x y x y 0, x, y R Bài 2.2 Tìm giá trị nhỏ Bài tập khai thác phần thực hành giải toán x y 1 2 2 2 y y 2 2 2 2 2 y 2x 2 Đại số sơ cấp Thực hành giải toán x x 2005 C x2 a, Phân tích Ta tách biểu thức thành tổng hai số không âm b, Lời giải Ta nhân tử mẫu C với 2005 ta 2005 x x.2005 20052 2005 x 2004 x x.2005 20052 2005 2005 2005 x C 2004 x 2005 2005 2005 x 2004 x 2005 2004 2005 2005 x 2005 Mặt khác Suy giá trị nhỏ x 2005 0 x 2005 c, Khai thác tốn Tìm giá trị nhỏ A 4 x y x y B x y x y Bài 3.1 CMR Thì x y z 0 x y z 3xyz 0 a,Phân tích 3 Do biểu thức chứa x y mà lại chứa Nên ta nghĩ đến sử dụng đẳng thức 3xyz x y b,Lời giải x y z 3xyz x3 y 3xy x y z 3xyz x y z 3xy x y z xtập y khai z thác x 2phần xy thực y xy yzgiải z toán Bài hành 3xyz x10 y z x y z x y z xy xz yz x y 3xy x y Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Theo gỉa thiết ta có x Mặt khác có x y z 0(1) y z xy xz yz 2 x y y z z x 0(2) Từ (1),(2) suy x3 y z 3xyz 0 C,Khai thác toán Cho bc ab ac 1 0 tính B 0 a c b a b c Bài 3.2: Cho 1 Tính a b c B bc ab ac a c2 b2 Phân tích : Nhận thấy B Do biểu thức chứa bc ab ac abc abc abc 1� �1 abc � � a c b a c b b c � �a 1 nên ta sử dụng đẳng thức : a b 1 �1 � �1 � � � � � ab �a b � b �a b � a Lời giải : � �1 �1 � B abc � � ab �a b � � �b �a � � 1 � � abc abc � �c � � �1 1 � � �1 � B abc � � � � � � abc �a b c � abc � �a b � c � � 1 1 � � �1 1 � �1 B abc � � � � �2 ab ac bc � abc � b c �a b c � �a � � B3 Vì theo giả thiết 1 a b c Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 11 Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Khai thác : Bài toán tương tự : Cho A 1 Tính : a b c 1 1 3 abc a b c Bài 6.1: Tìm số tự nhiên m biết m+25 m-24 số phương Phân tích: Hiệu số phương x y ( x, y �N ) phân tích thành (x-y).(x+y) với x+y > x-y,nên ta có lời giải sau: Lời giải: Vì m+25 số phương nên m 25 a Tương tự, m 24 số phương nên m 24 b ; a, b �N Ta có: a b (m 25) (m 24) 49 � (a b).(a b) 49 7.7 1.49 49.1 a 25 �a b 49 � �� b 24 �a b � Vì (a b) (a b) nên � � �m 25 25 � m 600 Vậy : � �m 24 24 Khai thác Tương tự giả thiết m+25 m-24 số phương ta đề xuất tốn sau: Tìm số tự nhiên a biết a+30 a-11 số phương Bài 6.2: Tìm số phương có chữ số biết cộng thêm vào chữ số ta số phương Phân tích: Số tự nhiên có hai chữ số dạng : ab 10a b Từ giả thiết ta có: (a 1)(b 1) 10a b 11 Sau ta lập hiệu bình phương hai số để tìm a b.Từ ta có lời giải sau: Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 12 Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Lời giải: - Giả sử số phương có hai chữ số : ab x - Cộng thêm vào chữ số ta số phương nên ta có : (a 1)(b 1) y với x, y �N - Ta có : y 10a b 11 - Xét hiệu : y -x =(y-x)(y + x)=10a + b + 11-10a-b � ( y x)( y x) 11 1.11 11.1 Vì x y x y nên: �y x �x �x 25 �� �� � �2 �y x 11 �y �y 36 Vậy số phương 25 Khai thác tốn: Bằng cách giải tương tự ta đề xuất tốn sau: Tìm số phương có chữ số biết cộng thêm vào tất chữ số số đó, ta số phương Chủ điểm 3: PHÂN THỨC HỮU TỈ Bài 1.1 Cho x2 y2 z t x2 y2 z t a b2 c d a b2 c d Tìm x, y, z, t Giải x2 y2 z t x2 y2 z t a b2 c d a b2 c d x2 x2 y2 y2 z2 z2 t2 t2 0 a b2 c2 d a a b2 c2 d b2 a b2 c d c2 a b2 c2 d d 1 1 1 x2 y2 z2 2 2 2 2 a b c a b c d a b c d a b c d 1 t2 0 2 d a b c d Nhận thấy x 0, a b c d a (a, b, c ≠ 0) Bài tập khai thác phần thực hành giải toán 13 Đại số sơ cấp Thực hành giải toán Vậy 1