Đang tải... (xem toàn văn)
Rút gọn biểu thức.[r]
(1)BÀI TẬP CHƯƠNG 4
BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Bài 1/186 Xét biểu thức:
3
2 1
1
1
a a a
B a
a a a
a
a) Rút gọn B
b) Xét dấu biểu thức B 1 a
Giải:
a) ĐK: a0, a1
Cách 1:
3
2 1
1
1
a a a
B a
a a a
a
1 1
2
1
1
1
a a a a a
a
a a
a a a
a 3
1 a a a a a a a 1 a a a
a a a
a Cách 2: 3
2 1
1
1
a a a
B a
a a a
a 3
2 1
1
1
1
a a
a a a a
a
a a a
a
1
2
1
a a a
a a a
a a
1
a a
a a
a a a
a
b) Ta có:
1
B a a a
(2)Mà 1 a0 a1
Kết hợp với ĐK câu a ta được: 0 a
Vì 1 a 0 a 0,1
Suy B a 1 a 0,1 Bài 2/186 Xét biểu thức:
22 4 8 32 2
:
2
x x x
P
x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P, biết x 4 3.
c) Tính giá trị x để P9.
Giải:
a) ĐK:
2
4
0
0
x
x x
x x x
x
22 4 8 32 2
:
2
x x x
P
x x x x x x
2
2 4 8 32
:
8
2 2
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
2 2 16 8 32 2
2 2
x x x x x
x
x x x x x x
2 2 16 8 32 2
2
x x x x x
x
x x x
2
2 16
x x x x x
x x x
8 2 2 2
x x x x x
x x x x
b) Ta có:
4 3
(3) 12 x
3
x
Thay x 1 vào P ta được:
12 1 2 1
3
3
P
c) Để P9
22
9
x x
Ta có:
22
9
x x
x 2 9 x
5
x x
1
16
x x
x x
Bài 3/186 Xét biểu thức:
1
1 1
x x Q
x x x x x
a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q0.
c) Tính giá trị Q
53
x
.
Giải:
a)
1 0
1
1
1
x x
x x x
x x
x
3
1
1 1
x x Q
x x x x x
1
1 x
x x x x
1
1
1
x x x x
x x x
x x x x
(4)2 1
x x
2
x x
x 12
b)
2
0 1
Q x
1 1
x x
2
x x
Vậy với x2 x1 Q0 c)
53 53
9 81 28
9
x
12
Q
12
2
7 1
12
7
Bài 4/186 Xét biểu thức:
1
1 :
1 1
a ab a a ab a
M
ab ab ab ab
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị M a 2 3
3
1
b
.
c) Tìm giá trị nhỏ M a b1.
Giải:
a) ĐK:
0
ab ab
1
1 :
1 1
a ab a a ab a
M
ab ab ab ab
(5) 1 1 1 1 1 1 1 1
:
1
a ab ab a ab ab a ab ab a ab ab
ab ab
2
1 2 2
ab a b ab
ab a
2
1
ab a b
a
1
ab a
a
ab
b) Với a 2 3
3
1
b
, ta có:
31
23
31
M
2
3 14 3
7 3 2
3
c) Ta có
2
1 1
a b a b a b ab
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a b, 0 ta có:
2
1 2
4
1
a b ab
ab ab
ab ab
Vậy
1
Min M
1
4
1
4
a ab
b
a b
Bài 5/187 Tính giá trị biểu thức:
2
2
1
b x A
x x
1
a b
x
b a
trường hợp:
a) a0, b0
b) a0, b0.
Giải:
(6) 2 2 1 2 4 4
a b a b
x
b a ab
a b a b ab
x x ab ab a b x ab Do đó: 2 2 2 2 a b a b a
b b a b
ab ab
A
a b a b a b
a b a b a b ab ab ab ab
a) Khi a0, b0 thì
Nếu a b
2b a b A
a b a b
a b
Nếu a b
2b b a b b a( )
A
a b b a a
b) Khi a0, b0 thì
Nếu
2 ( ) ( )
( ) ( )
b b a b b a
a b A
a b b a a
Nếu a b A a b
Bài 6/187 Rút gọn biểu thức:
3 2
3 2
3 ( 1)
3 ( 1)
n n n n
C
n n n n
Giải:
ĐK: n2
3 2 2
3 2 2
2
2 2
2 2 2
3 ( 1) ( 2) ( 1)
3 ( 1) ( 2) ( 1)
( 1) ( 2)( 1) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1)
( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)
( 1) 2
n n n n n n n n
C
n n n n n n n n
n n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
n n n n
1
( 1) 2 1
1
1
n n
n n n n n n
(7)Bài 7/187 Tìm phần nguyên số:
3 4 1
2
2 n
n
n S
n
Giải:
Ta thấy số hạng tổng quát Sn có dạng: 1 11
k k k
k k
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho k + số:
1
1 1 (k 1) 1k
k k
Với
1
1 1 2
2
k
3
1 3
2 1
2
k
1
1
1 1 ( 1)n n
k n n
n n
1
1
1 ( 1)
1 1
1
n
n
n
n n
n n
n n
n n n
Cộng hai vế ta có:
1
1
1
n n
S n n S n
n
Vậy: Sn n Bài 8/187
a) p ,q,0q< p CMR
2
p q
p q
p q p q
p q
Ta có:
1 1
1
p q
q
p q p q p q
(8) p q 2q p q p qp q p q2q
p q p q p q p q p q 2q
Chia vế cho p q ta
2
2
1 1
1 p q p q q
p q
q
p q p q
p q p q p q
2
p q q p
p q p q
q
p q p q p q p q
p q
p
p q p q p q q
p q
Vì hai vế không âm lấy bậc p hai vế ta được:
2
p q p q p p q q
p q
b) Chứng minh bất đẳng thức:20102010 20092009 20082008
<
20072004 20072005 20072006
2010 2009 2008
Áp dụng bất đẳng thức (a) cho p = 2007, q = ta được:
20102010
<
2007 2007 2.3 20072004
2010 2010
(1) Tương tự:
20092009
<
2007 2007 2.2 20072005
2009 2009
(2)
20082008
<
2007 2007 2.1 20072006
2008 2008
(9)20102010
+20092009+20082008 <
20072004
2010
+
20072005
2009
+
20072006
2008
Bài 9/187 Với a b c, , R, chứng minh rằng:
a c2 b2 a c2 b2 2 a2 b2
Giải: Đặt
, 2
u a c b u a c b
, 2
v a c b v a c b
2 , 2 2 2
z a b z a b
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
u v u v z
(đpcm)
Vậy:
2 2 2
2
a c b a c b a b
Bài 10/187
Trục thức mẫu biểu thức: 3
1
a b c
Ta có: x3 y3 z3 3xyzx y z x y2 z2 xy yz xz
2 2 2 3
3 3
3
1
3
a b c ab bc ac
x y z a b c abc
(10)
2
2 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
27
a ac a b c a b c abc abc
abc abc
Bài 11/188 Tìm nhân tử liên hợp biểu thức:
1
S
Ta có:
3
3 3 3
1 1.2.4
1 16
S
3 3
7
1 2 2
S
Bài 12/188 Tìm a để hàm số y2x 2 a x2 4x5đạt cực đại
Giải:
Hàm số cho xác định R có:
2
2
2
2
'
4
"
4
y x a x x
a x y
x x
a y
x x
Hàm số đạt cực đại
2
0 0 0
0 2
0 0
0
2 4x 5
2
' 1
4x 2
"
0
a x x a
y x
x x x x
y x
a a
Với a<0 1 x0 2
Xét hàm số:
2
0
0
0
4
,
2
x x
f x x
x
2
0
0 0
2
0
4
lim lim
2
4
lim lim
2
x x
x x
x x
f x
x
x x
f x
x
(11)Ta có:
0 2
0 0
2
' 0, ,
2
f x x
x x x
Bảng biến thiên:
x
f’(x) -1
f”(x)
Phương trình (1) 2
a
x a
Bài 13/188 Tìm giá trị nhỏ hàm số
y f x x x
x
Giải:
Gọi y0 giá trị tùy ý hám số với x0 Tức hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm:
2
1
y x x
x
Hay hệ phương trình sau có nghiệm
2
2
0
0
2
0
1
1
0
0
2 1
0
y x x
y x x y x x
x
x x
x y
x x
y x y x
x y
Hệ có nghiệm (1) có nghiệm:
0 y04 8y0 0
3 0
0
8
2
y y
y y
Đặt
2
0
0
1
0
2
1
0
y
S y S
y
P y P
1,
x x
(12)Vậy GTNN hàm số là:
1
2
f x x
Bài 14/188
Đặt
1
u x
v x
ta 2
u v
u v
(u,v>0)
5 y
5 x x
1,4
Min y
1
x x
1
x x
6 5
x x x
2x 2 5x
1
1
x
x x
Vậy Min1,4 y 5 x1 1,4
Max y x
(13)BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG 4 Bài 1/188 Giải phương trình
1 1
2 4
x x x
Giải:
*) Phân tích:
Ta nhận thấy biểu thức dấu bình phương tổng Do đó, ta biến đổi để xử lý tầng sau giải phương trình
Chú ý: Biểu thức đưới dấu
1
x
để kết hợp nghiệm *) Lời giải:
1 1
2 4
x x x
2
1 1
4
x x
1 1
4
x x
1 1
4 4
x x
2
1 1
4
x
1 1
( )
4 2
1 1
( )
4 2
x I
x II
Với (I) ta có:
1 1 1
0
4 2 4
x x x
Với (II) thì loại
Vậy phương trình có nghiệm
1
x
*) Khai thác tốn:
Có thể xử lý tầng cách tách biểu thức dấu thành bình phương tổng bình phương hiệu để làm gọn biểu thức vô tỉ
(14)2 2 2 2
A x x x x
Giải: ĐK
1
x
2 2
2 2 2 2
2 1 1
2 1 1
2 ( 0)
1
2 ( 0)
2
A x x x x
x x
x x
x
x x
Bài 2/188 Rút gọn biểu thức
2
4x 12x 9 16 16 x4x Giải:
*) Phân tích:
Biến đổi biểu thức dấu thành bình phương tổng bình phương hiệu để đưa
*) Lời giải:
4x212x 9 16 16 x4x2
2x 32 4 2x2
2x 2x
Nếu
3
3 (4 )
2
x A x x
hay A1
Nếu
3
; 2 (4 )
2
x A x x
hay A4x
Nếu x2 A2x (2 x 4) hay A1
*) Khai thác:
Giải toán tương tự: Rút gọn biểu thức
2 2 1 4 4
M x x x x
x 12 x 22
1
x x
Nếu x1 M 1 x (2 x) hay M 1
Nếu x1 ; 2 M x (2 x) hay M 3
(15)2
2
1
2
N x x
x x
với x0
Ta có:
2
2
2
2
1
2
1
1
1
N x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
2
N x
1
x x
2
2x N
x
1
0
x x
Bài 3/188 Cho
4 2
1 :
1 4
x x x x
C
x x x
a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị x để C C
c) Tìm giá trị x để
1
C
Giải:
a) ĐK:
1 0,
4
x x
4 2
1 :
1 4
x x x x
C
x x x
1 2
1 4
:
1 4
x x x x
x x x
x x
1
2
x
x x
1
2
x
x x
1
2 x
(16)b) Để C C 2
1
4
2 x x, ta có:
1
4
4
4
2
x x
x x
x x
x x
1 ,
2
x
hay
1 ,
4
x
c) Ta có:
1 1
4
2
2
C
x x x x
*) Khai thác toán:
22 4 8 32 2
:
2
x x x
P
x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P, biết x 4 3.
c) Tính giá trị x để P9.
Giải:
a) ĐK:
2
4
0
0
x
x x
x x x
x
22 4 8 32 2
:
2
x x x
P
x x x x x x
2
2 4 8 32
:
8
2 2
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
2 2 16 8 32 2
2 2
x x x x x
x
x x x x x x
(17)
2 2 16 8 32 2
2
x x x x x
x
x x x
2 2 8 16 2
x x x x x
x x x
8 2 2 2
x x x x x
x x x x
b) Ta có:
4 3
x
12 x
3
x
Thay x 1 vào P ta được:
12 1 2 1
3
3
P
c) Để P9
22
9
x x
Ta có:
22
9
x x
x 2 9 x
5
x x
1
16
x x
x x
Bài 4/189 Tìm giá trị lớn (bé nhất) có của:
1
D
x
;
2 2003 2004
E x x
Giải:
1
D
x
Miền xác định: x , 2 nên ta có:
4 x (2 x)(2x)
2 x x
(18)Với 2 x0, 2 x
Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:
2
2 2
2
x x
x x
Suy ra:
1
2
4 x hay Min
1
D
Dấu “ = ” xảy 2 x 2 x x0
Vậy Min
1
D
x0
2 2003 2004
E x x
Điều kiện:
2003
x
Ta đặt
2
2 2003
2 2003 2003
2
t x t x t x
Khi đó:
2 2
2
2003
2004
2 6011
2
2 6012
1 6010 6010
2
t
E t
t t
t t
t
Dấu “ = ” xảy t1 0 t1 hay 2x 2003 1 x1002
Vậy Emin = 3005 x = 1002
Bài 5/189
a) Tính A 5 3 29 12 5 b) Tính B 3 1 21 12 Phân tích:
Ta thấy biểu thức chứa nhiều dấu Ta khỏi dấu từ cách tách biểu thức dấu thành dạng bình phương tổng (hoặc hiệu)
Lời giải:
(19)
5 20
A
A 5 3 20 3
A 5 6 20
2
5
A
A 5 1
A1
b) B 3 1 21 12
2
3 12
B
3 12
B
3
B
2
3
B
B 3 1
B1
Khai thác toán:
Bằng phương pháp tương tự ta giải tốn sau: 1) Tính: P 2 2 9 32
Ta có: P 2 2 8
2
2
P
P 2 2 1
P 2 2 1
2
2
P
P 2 1
P1
2) Tính:
13
3 3
2
(20)Ta thấy:
2
13 13 14 13 13
3
2 4
nên ta có:
2
13
3
2
S
13
3
2
S
2
13
2
S
13
2
S
2
13
S
13
S
3) Tính: P n2 n1 n n1 n1 .
P n 1 n1 1 n 1 n1 1
2
1 1
P n n
P n1 1 n1 1 n1 n > 2
P
2 1n< 2.
Equation Chapter Section 1Bài 6/189
Tính A
2
2
4
n x
x x
n m
x
m n
với m>n> 0 * Phân tích:
(21)2
2 4 n m 4 n 2 n. m m 4 n 2 m n m
x
m n m m n n m n m n
Thay vào biểu thức A, ta tính giá trị A * Lời giải:
Ta có:
2
2 4 n m 4
x
m n
m n m m
n m n n
2
n m
m n
2
2
m n m m
n m n n
2
n m
m n
Thay vào A, ta có:
A
2 n n m
m n
n m n m
m n m n
* TH 1: Nếu
n m >
m
n , ta có:
2
2 . .
( 1)
2
n m n m n m
n n n n
m n m n m n n n
A n n
m m
m m m
n m n m
n n n
m n m n
* TH 2: Nếu
n m <
m
n , ta có:
2 . .
2
m n m n m n
n n n n
n m n m n m
A m n
n n n
n m m n
m m m
m n n m
(22)a)
1 1
1 2 2004 2005
b)
2 3
2 3
* Phân tích:
a) Ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu, ta tổng mà số hạng liền triệt tiêu cho
b) Nhân tử mẫu hai số hạng với 2, biến đỏi thành đẳng thức, tính
* Lời giải a)
1 1
1 2 2004 2005
1 2 2004 2005
1 2 2004 2005
1 2 2004 2005
1 1
2 2005 2004
1 2005
b)
2 3
2 3
2 3 2 3
2
2
3
4
4 3 1 5 1
3 5
3
3 3 5
1 2 12 2 1 2 12
2 4
1
2
(23)* Khai thác tốn: Thực phép tính:
1
1
5
A
:
1 1
5 5
5
:
1 1
2 3 1 4 2 3
3
1
3
Bài 8/189
Tính
2
2
2
2
x ax a T
x ax a
với x a21 * Phân tích:
Phân tích tư mẫu T thành nhân tử, rút gọn T thành biểu thức gọn hơn, thay x vào để tính giá trị T.
* Lời giải:
2
2
3
2
3
2
2
a x a x
x a x ax a
T
a
x ax a x a x x a
với
3
a x
Với
2
2
2
2
1
1
1
a a
a a
x a T a a
a a
Bài 9/189
Tính
x y2 xy x y y x
x y xy
* Phân tích:
(24) x y2 xy x xy y xy x y xy
x y x y x y
xy x y
x y y x
x y
xy xy
* Lời giải:
Ta có:
x y2 xy x xy y xy x y xy
x y x y x y
xy x y
x y y x
x y
xy xy
x y2 xy x y y x
x y xy
2
x y xy x y
x y xy
x y
x y x y
2
x y xy x xy y xy
x y x y
* Khai thác toán:
CMR với x y dương biểu thức sau khơng phu thuộc vào giá trị x
x y2 xy x y y x A
x y xy
Giải:
x y2 xy x y y x A
x y xy
2 xy x y
x xy y xy
A
x y xy
2
x y xy
A x y
x y
(25)
2
2
x y
A x y x y x y y
x y
Vậy, với x>0,y>0, biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị x Bài 10/189
Rút gọn
30
424 80
6
P
* Phân tích:
Ta nhân tử mẫu
30
6 1 với biểu thức liên hợp mẫu.
Ta nhân tử mẫu
2
6 2 với biểu thức liên hợp mẫu.
Phân tích 424 80 6 thành
2
4 10 2 10
* Lời giải:
30
424 80
6
P
2
30 6
10
6
P
6 6 10
P
2 10
P
2 70 42 40 66 33
P