Bai tap chuong 4 Dai so so cap va thuc hanh giaitoan

Rút gọn biểu thức.[r]

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Bài 1/186 Xét biểu thức:

3

2 1

1

1

a a a

B a

a a a

a                      

a) Rút gọn B

b) Xét dấu biểu thức B 1 a

Giải:

a) ĐK: a0, a1

Cách 1:

3

2 1

1

1

a a a

B a

a a a

a                                

1 1

2

1

1

1

a a a a a

a

a a

a a a

a                                  3

1 a a a a a a a                       1 a a a

a a a

       a   Cách 2: 3

2 1

1

1

a a a

B a

a a a

a                             3

2 1

1

1

1

a a

a a a a

a

a a a

a                              

1

2

1

a a a

a a a

a a                            

1

a a

a a

a a a

        a  

b) Ta có:

   

1

B  a  a  a

Mà 1 a0  a1

Kết hợp với ĐK câu a ta được: 0 a

Vì 1 a 0  a 0,1

Suy B a 1   a 0,1 Bài 2/186 Xét biểu thức:

 22 4 8 32 2

:

2

x x x

P

x x x x x x

  

  

 

     

      

 

 

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P, biết x 4 3.

c) Tính giá trị x để P9.

Giải:

a) ĐK:

2

4

0

0

x

x x

x x x

x

  



 

 





 

 

 

 

 

 22 4 8 32 2

:

2

x x x

P

x x x x x x

  

  

 

     

        

 

 

   

   

 

   

2

2 4 8 32

:

8

2 2

x x x x x x x

x x x

x x x x x x

     

 



 

    

 

         

   

 

       

2 2 16 8 32 2

2 2

x x x x x

x

x x x x x x

   

   

 

   

 

         

 

   

2 2 16 8 32 2

2

x x x x x

x

x x x

   

    

 

  

 

      

 

2

2 16

x x x x x

x x x

       

    



   

 8  2 2  2

x x x x x

x x x x

      



 

  

    

 

b) Ta có:

4 3

 12 x

  

3

x

    

Thay x  1 vào P ta được:

 12  1 2 1

3

3

P      



c) Để P9

 22

9

x x

 

Ta có:

 22

9

x x

 

 x 2 9 x

  

5

x x

   

1

16

x x

x x

   

   



 



Bài 3/186 Xét biểu thức:

1

1 1

x x Q

x x x x x



  

    

a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q0.

c) Tính giá trị Q

53

x

 .

Giải:

a)

1 0

1

1

1

x x

x x x

x x

x

   

  

    

 

  



  



3

1

1 1

x x Q

x x x x x



  

    

1

1 x

x x x x

  

   

     

1

1

1

x x x x

x x x

x x x x

    

   

2 1

x  x

 

2

x x

  

 x 12

  

b)  

2

0 1

Q  x  

1 1

x x

   

  

  

2

x x

   

 

Vậy với x2 x1 Q0 c)

 

53 53

9 81 28

9

x    

 

 12

Q   

 12

  

 

2

7 1

 

   

 

 12

  

7



Bài 4/186 Xét biểu thức:

1

1 :

1 1

a ab a a ab a

M

ab ab ab ab

       

        

   

   

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M a 2 3

3

1

b 

 .

c) Tìm giá trị nhỏ M a b1.

Giải:

a) ĐK:

0

ab ab

  

 

1

1 :

1 1

a ab a a ab a

M

ab ab ab ab

       

        

   

 1  1    1  1  1  1    1  1

:

1

a ab ab a ab ab a ab ab a ab ab

ab ab

                 

   



     

   

 

2

1 2 2

ab a b ab

ab a

 



   2

1

ab a b

a

 

 

 

 

1

ab a

a

 

 

ab



b) Với a 2 3

3

1

b 

 , ta có:



31

23

31

M







 

 2

3 14 3

7 3 2

3

 

       



c) Ta có  

2

1 1

a b   a b   a b   ab

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a b, 0 ta có:

2

1 2

4

1

a b ab

ab ab

ab ab

 

  

 

  

Vậy

1

Min M 

1

4

1

4

a ab

b

a b



  



 



 

    

 

Bài 5/187 Tính giá trị biểu thức:

2

2

1

b x A

x x

 

 

1

a b

x

b a

 

   

 

  trường hợp:

a) a0, b0

b) a0, b0.

Giải:

      2 2 1 2 4 4

a b a b

x

b a ab

a b a b ab

x x ab ab a b x ab                        Do đó:       2 2 2 2 a b a b a

b b a b

ab ab

A

a b a b a b

a b a b a b ab ab ab ab               

a) Khi a0, b0 thì

Nếu a b

     

2b a b A

a b a b



 

    a b

Nếu a b

     

2b b a b b a( )

A

a b b a a

 

  

  

b) Khi a0, b0 thì

Nếu

2 ( ) ( )

( ) ( )

b b a b b a

a b A

a b b a a

   

   

  

Nếu a b  A a b 

Bài 6/187 Rút gọn biểu thức:

3 2

3 2

3 ( 1)

3 ( 1)

n n n n

C

n n n n

    



    

Giải:

ĐK: n2

3 2 2

3 2 2

2

2 2

2 2 2

3 ( 1) ( 2) ( 1)

3 ( 1) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2)( 1) ( 1)

( 1) ( 2) ( 1)

( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)

( 1) 2

n n n n n n n n

C

n n n n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n n n n n

n n n n

                                                                      

1

( 1) 2 1

1

1

n n

n n n n n n

Bài 7/187 Tìm phần nguyên số:

3 4 1

2

2 n

n

n S

n  

    

Giải:

Ta thấy số hạng tổng quát Sn có dạng: 1 11

k k k

k k

    

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho k + số:

1

1 1 (k 1) 1k

k  k

       

Với

1

1 1 2

2

k       

3

1 3

2 1

2

k         

1

1

1 1 ( 1)n n

k n n

n  n



        

1

1

1 ( 1)

1 1

1

n

n

n

n n

n n

n n

n n n







    



   



Cộng hai vế ta có:

1

1

1

n n

S n n S n

n

      



Vậy:  Sn n Bài 8/187

a)  p ,q,0q< p CMR

2

p q

p q

p q p q

p q



   



Ta có:

1 1

1

p q

q

p q p q p q



      

  

    

 p q 2q p q  p qp q  p q2q

      p q  p q  p q p q  p q 2q

Chia vế cho p q ta

   2

2

1 1

1 p q p q q

p q

q

p q p q

p q p q p q

 



         

  

    

            

     

2

p q q p

p q p q

q

p q p q p q p q

p q



 

       



 p

p q p q p q q

p q



    



Vì hai vế không âm lấy bậc p hai vế ta được:

2

p q p q p p q q

p q

    



b) Chứng minh bất đẳng thức:20102010 20092009 20082008

<

20072004 20072005 20072006

2010 2009 2008

    

Áp dụng bất đẳng thức (a) cho p = 2007, q = ta được:

20102010

<  

2007 2007 2.3 20072004

2010 2010

   

(1) Tương tự:

20092009

<  

2007 2007 2.2 20072005

2009 2009

   

(2)

20082008

<  

2007 2007 2.1 20072006

2008 2008

   

20102010

+20092009+20082008 <

20072004

2010



+

20072005

2009



+

20072006

2008



Bài 9/187 Với a b c, , R, chứng minh rằng:

a c2 b2 a c2 b2 2 a2 b2

      

Giải: Đặt

 ,   2

u a c b  u  a c b

 ,   2

v a c b  v  a c b

 

2 , 2  2 2

z a b  z  a b

 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

u v  u v z

(đpcm)

Vậy:    

2 2 2

2

a c b  a c b  a b

Bài 10/187

Trục thức mẫu biểu thức: 3

1

a  b  c

Ta có: x3  y3  z3  3xyzx y z x   y2  z2  xy yz xz 

 2  2  2 3

3 3

3

1

3

a b c ab bc ac

x y z a b c abc

    

 

 

       

 

2

2 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

27

a ac a b c a b c abc abc

abc abc

 

       

 

 





Bài 11/188 Tìm nhân tử liên hợp biểu thức:

1

S  

Ta có:

3

3 3 3

1 1.2.4

1 16

S   

    

3 3

7

1 2 2

S  

   

Bài 12/188 Tìm a để hàm số y2x 2 a x2 4x5đạt cực đại

Giải:

Hàm số cho xác định R có:

 

 

2

2

2

2

'

4

"

4

y x a x x

a x y

x x

a y

x x

    



  

 

 

 

Hàm số đạt cực đại

   

 

   

2

0 0 0

0 2

0 0

0

2 4x 5

2

' 1

4x 2

"

0

a x x a

y x

x x x x

y x

a a



   

 

   



         



  



 

 

Với a<0  1  x0 2

Xét hàm số:

 

2

0

0

0

4

,

2

x x

f x x

x

 

 



 

 

2

0

0 0

2

0

4

lim lim

2

4

lim lim

2

x x

x x

x x

f x

x

x x

f x

x

 

     

 

 

 



 

  

Ta có:

 

   

0 2

0 0

2

' 0, ,

2

f x x

x x x



     

  

Bảng biến thiên:

x  

f’(x) -1

f”(x)  

Phương trình (1) 2

a

x      a 

Bài 13/188 Tìm giá trị nhỏ hàm số

 

y f x x x

x

   

Giải:

Gọi y0 giá trị tùy ý hám số với x0 Tức hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm:

2

1

y x x

x

  

Hay hệ phương trình sau có nghiệm

 

 

2

2

0

0

2

0

1

1

0

0

2 1

0

y x x

y x x y x x

x

x x

x y

x x

y x y x

x y

  

  

     

  

 

  

      



 

   

  

 

 

Hệ có nghiệm (1) có nghiệm:

  0 y04  8y0 0

 

 

3 0

0

8

2

y y

y y

  

  

Đặt

2

0

0

1

0

2

1

0

y

S y S

y

P y P



   

  

   

 

1,

x x

Vậy GTNN hàm số là:  

1

2

f x   x

Bài 14/188

Đặt

1

u x

v x

 

  ta 2

u v

u v

   



 

 (u,v>0)

5 y

   

5 x x

      

 1,4

Min y

 

1

x x

    

1

x x

    

6 5

x x x

     

2x 2 5x

   

1

1

x

x x

 

   

 

Vậy Min1,4 y 5 x1  1,4

Max y x

BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG 4 Bài 1/188 Giải phương trình

1 1

2 4

x x  x 

Giải:

*) Phân tích:

Ta nhận thấy biểu thức dấu bình phương tổng Do đó, ta biến đổi để xử lý tầng sau giải phương trình

Chú ý: Biểu thức đưới dấu

1

x 

để kết hợp nghiệm *) Lời giải:

1 1

2 4

x x  x 

2

1 1

4

x  x 

      

 

1 1

4

x x

    

1 1

4 4

x x

     

2

1 1

4

x

 

     

 

 

1 1

( )

4 2

1 1

( )

4 2

x I

x II



  

  



  

 

Với (I) ta có:

1 1 1

0

4 2 4

x    x   x

Với (II) thì loại

Vậy phương trình có nghiệm

1

x

*) Khai thác tốn:

Có thể xử lý tầng cách tách biểu thức dấu thành bình phương tổng bình phương hiệu để làm gọn biểu thức vô tỉ

2 2 2 2

A x  x  x  x

Giải: ĐK

1

x

 2  2

2 2 2 2

2 1 1

2 1 1

2 ( 0)

1

2 ( 0)

2

A x x x x

x x

x x

x

x x

       

     

     

 

 

   

 

Bài 2/188 Rút gọn biểu thức

2

4x 12x 9 16 16 x4x Giải:

*) Phân tích:

Biến đổi biểu thức dấu thành bình phương tổng bình phương hiệu để đưa

*) Lời giải:

4x212x 9 16 16 x4x2

2x 32 4 2x2

   

2x 2x

   

Nếu

3

3 (4 )

2

x  A  x  x

hay A1

Nếu

3

; 2 (4 )

2

x   A x   x

  hay A4x

Nếu x2  A2x (2 x 4) hay A1

*) Khai thác:

Giải toán tương tự: Rút gọn biểu thức

2 2 1 4 4

M  x  x  x  x

x 12 x 22

   

1

x x

   

Nếu x1  M  1 x (2 x) hay M 1

Nếu x1 ; 2  M   x (2 x) hay M 3

2

2

1

2

N x x

x x

     

với x0

Ta có:

2

2

2

2

1

2

1

1

1

N x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

     

   

       

   

   

  



2

N x

 

1

x x

 

 



2

2x N

x

 

1

0

x x

  

 

 

Bài 3/188 Cho

4 2

1 :

1 4

x x x x

C

x x x

     

       

  

   

a) Rút gọn C

b) Tìm giá trị x để C C

c) Tìm giá trị x để

1

C

Giải:

a) ĐK:

1 0,

4

x x

4 2

1 :

1 4

x x x x

C

x x x

     

      

      

   

 

1 2

1 4

:

1 4

x x x x

x x x

x x

      

      

 

  

 

   

1

2

x

x x

 



 

1

2

x

x x

 



1

2 x

b) Để C C 2

1

4

2 x  x, ta có:

 

1

4

4

4

2

x x

x x

x x

x x



 

  

  

1 ,

2

x  

   

  hay

1 ,

4

x  

 

c) Ta có:

1 1

4

2

2

C

x x x x

  

 

 

 

*) Khai thác toán:

 22 4 8 32 2

:

2

x x x

P

x x x x x x

  

  

 

     

      

 

 

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P, biết x 4 3.

c) Tính giá trị x để P9.

Giải:

a) ĐK:

2

4

0

0

x

x x

x x x

x

  



 

 





 

 

 

 

 

 22 4 8 32 2

:

2

x x x

P

x x x x x x

  

  

 

     

        

 

 

   

   

 

   

2

2 4 8 32

:

8

2 2

x x x x x x x

x x x

x x x x x x

     

 



 

    

 

         

   

 

       

2 2 16 8 32 2

2 2

x x x x x

x

x x x x x x

   

   

 

   

 

         

   

2 2 16 8 32 2

2

x x x x x

x

x x x

   

    

 

  

      

 

2 2 8 16 2

x x x x x

x x x

       

    



   

 8  2 2  2

x x x x x

x x x x

      



 

  

 

    

 

b) Ta có:

4 3

x    

 12 x

  

3

x

    

Thay x  1 vào P ta được:

 12  1 2 1

3

3

P      



c) Để P9

 22

9

x x

 

Ta có:

 22

9

x x

 

 x 2 9 x

  

5

x x

   

1

16

x x

x x

   

   



 



Bài 4/189 Tìm giá trị lớn (bé nhất) có của:

1

D

x



 ;

2 2003 2004

E x  x 

Giải:

1

D

x

 

Miền xác định: x  , 2 nên ta có:

4 x  (2 x)(2x)

2 x x

Với 2 x0, 2 x

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:

2

2 2

2

x x

x x   

    

Suy ra:

1

2

4 x  hay Min

1

D

Dấu “ = ” xảy 2 x  2 x x0

Vậy Min

1

D

x0

2 2003 2004

E x  x 

Điều kiện:

2003

x

Ta đặt  

2

2 2003

2 2003 2003

2

t x  t x t  x 

Khi đó:

 

2 2

2

2003

2004

2 6011

2

2 6012

1 6010 6010

2

t

E t

t t

t t

t



  

 



  



 

 

Dấu “ = ” xảy t1 0  t1 hay 2x 2003 1  x1002

Vậy Emin = 3005 x = 1002

Bài 5/189

a) Tính A 5 3 29 12 5 b) Tính B 3 1 21 12 Phân tích:

Ta thấy biểu thức chứa nhiều dấu Ta khỏi dấu từ cách tách biểu thức dấu thành dạng bình phương tổng (hoặc hiệu)

Lời giải:

 

5 20

A   

A 5 3 20 3

A 5 6 20

 

2

5

A  

A 5 1

A1

b) B 3 1 21 12

 

2

3 12

B   

3 12

B   

3

B  

 

2

3

B  

B 3 1

B1

Khai thác toán:

Bằng phương pháp tương tự ta giải tốn sau: 1) Tính: P 2 2 9 32

Ta có: P 2 2 8

 

2

2

P   

P 2 2 1

P 2 2 1   

2

2

P  

P 2 1

P1

2) Tính:

13

3 3

2

Ta thấy:

2

13 13 14 13 13

3

2 4

 

   

     

 

  nên ta có:

2

13

3

2

S     

 

13

3

2

S   

2

13

2

S    

 

 

13

2

S  

2

13

S   

 

13

S 

3) Tính: P n2 n1 n n1 n1 .

P n 1 n1 1  n 1 n1 1

   

2

1 1

P n   n 

P n1 1  n1 1 n1 n > 2

P

2 1n< 2.

Equation Chapter Section 1Bài 6/189

Tính A

2

2

4

n x

x x

 

 

n m

x

m n

 

với m>n> 0 * Phân tích:

2

2 4 n m 4 n 2 n. m m 4 n 2 m n m

x

m n m m n n m n m n

   

              

   

   

Thay vào biểu thức A, ta tính giá trị A * Lời giải:

Ta có:

2

2 4 n m 4

x

m n

 

    

 

 

m n m m

n m n n

   

2

n m

m n

  

2

2

m n m m

n m n n

   

    

   

2

n m

m n

 

  

 

 

Thay vào A, ta có:

A

2 n n m

m n

n m n m

m n m n

 

  

* TH 1: Nếu

n m >

m

n , ta có:

2

2 . .

( 1)

2

n m n m n m

n n n n

m n m n m n n n

A n n

m m

m m m

n m n m

n n n

m n m n

 

   

 

       

  

* TH 2: Nếu

n m <

m

n , ta có:

2 . .

2

m n m n m n

n n n n

n m n m n m

A m n

n n n

n m m n

m m m

m n n m

 

   

 

     

  

a)

1 1

1  2   2004 2005

b)

2 3

2 3

 



 

* Phân tích:

a) Ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu, ta tổng mà số hạng liền triệt tiêu cho

b) Nhân tử mẫu hai số hạng với 2, biến đỏi thành đẳng thức, tính

* Lời giải a)

1 1

1  2   2004 2005

1 2 2004 2005

1 2 2004 2005

  

   

  

1 2 2004 2005

1 1

  

   

  

2 2005 2004

      

1 2005

 

b)

   

   

2 3

2 3

2 3 2 3

 

 

  

   

   

   

2

2

3

4

4 3 1 5 1

 

 

   

   

       

       

3 5

3

3 3 5

   

 

   

     

 1 2 12 2 1 2 12

2 4

    

  

1

2

 

* Khai thác tốn: Thực phép tính:

1

1

5

A   

 

 :

1 1

5 5

5

      

 



 :

1 1

2 3  1 4 2 3

3

1

3

    

 

 

Bài 8/189

Tính

2

2

2

2

x ax a T

x ax a

 



  với x a21 * Phân tích:

Phân tích tư mẫu T thành nhân tử, rút gọn T thành biểu thức gọn hơn, thay x vào để tính giá trị T.

* Lời giải:

   

   

2

2

3

2

3

2

2

a x a x

x a x ax a

T

a

x ax a x a x x a

 

   



   

  

    

   

  với

3

a x

Với

 

 

2

2

2

2

1

1

1

a a

a a

x a T a a

a a

   

       

 

Bài 9/189

Tính

 x y2 xy x y y x

x y xy

  

 

* Phân tích:

 x y2 xy x xy y xy x y xy

x y x y x y

      

 

  

 

xy x y

x y y x

x y

xy xy

 

  

* Lời giải:

Ta có:

 x y2 xy x xy y xy x y xy

x y x y x y

      

 

  

 

xy x y

x y y x

x y

xy xy

 

  

 x y2 xy x y y x

x y xy

  

 



 2

x y xy x y

x y xy

x y

x y x y

   

 

   

 

2

x y xy x xy y xy

x y x y

     

 

 

* Khai thác toán:

CMR với x y dương biểu thức sau khơng phu thuộc vào giá trị x

 x y2 xy x y y x A

x y xy

  

 



Giải:

 x y2 xy x y y x A

x y xy

  

 



 

2 xy x y

x xy y xy

A

x y xy



  

 



 

2

x y xy

A x y

x y

 

  

 

 

2

2

x y

A x y x y x y y

x y



       



Vậy, với x>0,y>0, biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị x Bài 10/189

Rút gọn

30

424 80

6

P   

 

 

* Phân tích:

Ta nhân tử mẫu

30

6 1 với biểu thức liên hợp mẫu.

Ta nhân tử mẫu

2

6 2 với biểu thức liên hợp mẫu.

Phân tích 424 80 6 thành    

2

4 10 2 10

* Lời giải:

30

424 80

6

P   

 

 

   

 2

30 6

10

6

P

   

 

  

   

 

     

6 6 10

P       

   

   

2 10

P  

     

2 70 42 40 66 33

P       