Chuyên đề phương trình quy về phương trình bậc hai nhằm giúp cho các học sinh khá giỏi toán, các thầy cô dạy toán một tài liệu tham khảo đào sâu môn toán. Chuyên đề gồm ba phần: phương trình đại số bậc cao, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phương trình vô tỉ.
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO Phương trình đại số bậc n phương trình đưa dạng an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 = n nguyên dương, x ẩn, a1 , a2 , an số thực cho trước, an = Phương trình đại số bậc n thường giải cách quy phương trình bậc bậc hai Sau số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao hai 1.1 Đưa phương trình tích Giải phương trình √ √ x3 + 2x2 + 2x + 2 = Giải √ √ x3 + 2x(x + 2) + 23 = √ √ √ √ ⇔ (x + 2)(x2 − x + 2) + 2x(x + 2) = √ √ ↔ (x + 2)[x2 + (2 − 2)x + 2] = √ √ Phương trình x + = √ có nghiệm x = − Phương trình x2 + (2 − 2)x + = vơ nghiệm √ (∆ < 0) Phương trình cho có nghiệm x = − 1.2 Đặt ẩn phụ a) Giải phương trình √ 2x3 + 3x2 − = Giải √ √ Viết phương trình cho dạng 2x3 + 3.2x2 − = Đặt y = x phương trình trở thành y + 3y − = ⇔ (y − 1)(y + 2)2 = ⇔ y=1 y = −2 √ x = ⇔ 2√ x=− √ √ ,− 2 b) Giải phương trình (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Phương trình có hai nghiệm Giải Khai triển rút gọn ta x4 − 4x3 − 6x2 − 4x + = (1) Chia hai vế cho x2 (hiển nhiên x = 0) x = khơng nghiệm (1)) x2 − 4x − − 1 + = ⇔ x2 + − x + x x x x Đặt x+ x2 + =y x −6=0 (3) = y − phương trình (2) trở thành x √ y − − 4y − = ⇔ y − 4y − = ⇔ y = ± √ Với y = + thay vào (3) ta x2 − 2(1 + √ 3)x + = ⇔ x = + √ 3± √ 3+2 √ Với y = + thay vào (3) phương trình vơ nghiệm √ √ Phương trình cho có nghiệm x = + ± + Chú ý (2) • Phương trình (1) nói có dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a = 0) gọi phương trình đối xứng bậc bốn để giải phương trình loại ta chia hai vế phương trình cho x2 (vì x = 0) đặt ẩn phụ y = x + x Khi 1 y2 = x + = x2 + + ≥ + = x x , |y| ≥ Chú ý m nghiệm phương trình đối xứng nghiệm phương trình m • Phương trình đối xứng bậc lẻ (chẳng hạng phương trình đối xứng bậc năm ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0) nhận -1 nghiệm Do ta hạ bậc để đưa phương trình đối xứng bậc chẵn • Cách chia hai vế phương trình cho x2 = sử dụng phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = e = a d y =x+ bx d b gọi phương trình hồi quy Ẩn phụ có dạng c) Giải phương trình 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 (1) Giải Cách (1) ⇔ 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 60 60 ⇔ x + 17 + x + 16 + =3 (x = 0) x x Đặt x + 16 + 60 = y (2) trở thành x 4y(y + 1) = ⇔ 4y + 4y − = ⇔ y = ; y = − 2 (2) 15 ta có 2x2 + 31x + 120 = ⇔ x = −8; x = − √ −35 ± 265 Với y = − ta có x2 + 35x + 120 = ⇔ x = Cách 2: Đặt x2 + 16, 5x + 60 = y, từ phương trình cho ta y = x2 Xét hai trường hợp y = x y = −x ta bốn nghiệm phương trình Chú ý Với y = • Phương trình (1) nói có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 ad = bc ta nhóm [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = mx2 ad (hoặc sai khác số x cách 1) y = (x + a)(x + d) (như cách 2) ẩn phụ đặt y = x + • Đối với phương trình có dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx a+b+c d= , m = (d − a)(d − b)(d − c) ta đặt ẩn phụ y = x + d nghiệm phương trình y = • Đối với phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m a + d = b + c ta nhóm [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = m từ đến cách đặt ẩn phụ • Đối với phương trình có dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thường đặt ẩn a+b phụ y = x + 1.3 Đưa hai vế lũy thừa bậc a) Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải Thêm 4x2 + vào hai vế ta x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 x2 + = 2x + x2 + = −2x − ⇔ (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 ⇔ (1) (2) √ Phương trình (1) có nghiệm x = ± Phương trình (2) vơ nghiệm b) Giải phương trình x3 + 3x2 − 3x + = Giải x3 = −3x3 + 3x − ⇔ 2x3 = x3 − 3x2 + 3x − √ √ 3 √ ⇔ (x 2)3 = (x − 1)3 ⇔ x = x − ⇔ x = 1− 32 Vậy phương trình có nghiệm x = 1.4 1.4.1 √ 1− 32 Dùng bất đẳng thức Dùng tính đồng biến hay nghịch biến hàm số khoảng Giải phương trình |x − 8|5 + |x − 9|6 = (1) Giải Viết phương trình dạng |x − 8|5 + |9 − x|6 = Dễ thấy x = 8, x = nghiệm (1) Xét giá trị lại x • Với x < |9 − x| > 1, |9 − x|6 > 1, |x − 8|5 > nên vế trái (1) > (1) vơ nghiệm • Với x > |x − 8| > 1, |x − 8|5 > 1, |9 − x|6 > nên vế trái (1) > (1) vơ nghiệm • < x < < x − < ⇒ |x − 8|5 < |x − 8| = x − < − x < ⇒ |9 − x|6 < |9 − x| = − x Vế trái (1) < x − + − x = , (1) vô nghiệm Vậy (1) có hai nghiệm x = 8, x = 1.4.2 Dùng điều kiện xảy dấu bất đẳng thức khơng chặt Giải phương trình |x2 − x + 1| + |x2 − x − 2| = (1) Giải Ta có x2 − x + = x− 2 + > nên (1) ⇔ x2 − x + + |2 − x2 + x| = ⇔ |2 − x2 + x| = − x2 + x Áp dụng bất đẳng thức |A| ≥ A, xảy đẳng thức với A ≥ ta có − x2 + x ≥ ⇔ (x + 1)(x − 2) ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn −1 ≤ x ≤ 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Phương pháp đặt ẩn phụ đặc biệt có hiệu giải nhiều phương trình có chứa ẩn mẫu thức Nếu không đặt ẩn phụ sau đưa phương trình dạng nguyên, nhiều ta phải giải phương trình bậc cao phức tạp Sau số cách biến đổi thường dùng 2.1 Chia tử mẩu phân thức cho x Giải phương trình 7x 2x − =1 3x2 − x + 3x2 + 5x + Giải Ta thấy x = không nghiệm phương trình, chia tử mẫu phân thức cho x = ta Điều kiện x = 1, x = − 2 3x − + x − 3x + + x =1 2 = y phương trình trở thành − =1 x y−3 y+3 Điều kiện y = ±3 bạn đọc tự giải tiếp Đặt 3x + + √ −11 ± 97 Đáp số x = Chú ý Ta thường dùng phương pháp phương trình có dạng sau Dạng ax2 nx mx + =p + bx + d ax + cx + d Dạng ax2 + mx + c ax2 + bx + c + =0 ax2 + nx + c ax + qx + c Dạng ax2 + mx + c px + =0 ax + nx + c ax + qx + c 2.2 Thêm biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phương Giải phương trình x2 + 4x2 = 12 (x + 2)2 Giải Điều kiện x = −2 thêm −2x 2x x− x+2 2x vào hai vế ta x+2 4x2 = 12 − ⇔ x+2 x2 x+2 + 4x2 − 12 = x+2 x2 = y ta y + 4y − 12 = ⇔ y = 2; y = −6 x+2 √ Với y = ta x2 = 2x + có nghiệm x = ± Với y = −6 ta x2 = −6x − 12 vô nghiệm Đặt 2.3 Đặt hai ẩn phụ tìm liên hệ chúng Giải phương trình 20 x−2 x+1 −5 x+2 x−1 + 48 Giải x2 − =0 x2 − (1) Điều kiện x = ±1 Đặt x+2 x−2 = y, = z ta x+1 x−1 20y − 5z + 48yz = (2) Cách 1:Nếu z = y = loại Nếu z = chia hai vế (2) cho z ta 20 y z y + 48 − = z (3) y = a ta a = ; a = − từ tìm y, z, x z 10 2 Đáp số x = 3, x = Cách 2: (2) ⇔ (10y − z)(2y + 5z) = từ tìm x Đặt PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ a) Giải phương trình x √ + 4x − √ 4x − =2 x (1) Giải (2) a b Ta có bất đẳng thức + ≥ với a, b > Xảy đẳng thức b a a=b √ √ Với x > (1)⇔ x = 4x − ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = ± thỏa mãn (2) x Chú ý: Cũng đặt √ =y 4x − b) Giải phương trình Điều kiện x > x+ x+ + Giải x+ =2 1 Đặt x + ≥ x = y − y Thay vào phương trình cho ý y ≥ 0, ta Điều kiện x ≥ − y2 − + y2 + 1 + y = ⇔ y2 − + y + = 4 2 √ 1 = ( 2)2 y +y+ =2⇔ y+ √ √ 1 Do y ≥ nên y + = y = − 2 √ √ 1 2− − = − thỏa mãn điều kiện x ≥ − Khi y = 4 √ Nghiệm phương trình x = − c) Giải phương trình 1 +√ =2 x − x2 Giải √ √ (1) Điều√kiện x = 0, − < x < 2 Đặt − x = y > (2) − x2 = y ta có x2 + y = 1 + =2 x y Đặt S = x + y, P = xy điều kiện trở thành S − 2P = S = 2P Dễ dàng tìm P = 1, S = P = − , S = −1 Với P = 1, S = x, y nghiệm phương trình X − 2X + = ta X = x = 1, y = thỏa mãn (1) (2) Với P = − , S = −1 x, y nghiệm 2X + 2X − = ta √2 −1 ± x= √ √ −1 − −1 + Do y > nên x = ,y = 2 √ −1 − Nghiệm phương trình x = 1, x = d) Giải biện luận phương trình a− √ a+x=x với a tham số Giải √ √ Đặt a + x = y phương trình trở thành a − y = x Phương trình cho tương đương với hệ (1) x ≥ 0, y ≥ x2 = a − y (2) y =a+x (3) Khử a từ (2) (3) ta x2 − y = −(x + y) ⇔ (x + y)(x − y + 1) = ⇔ y = x y = x + Trường hợp y = −x x ≥ 0, y ≥ nên x = y = a = Trường hợp y = x + thay vào (3) ta (x + 1)2 = a + x ⇔ x2 + x + − a = √ −1 ± 4a − 3 (4) có nghiệm x = với a ≥ √2 −1 − 4a − Do (1) ta loại x = √ −1 + 4a − ≥ a ≥ Giải điều kiện Kết luận Nếu a = phương trình có nghiệm x = √ −1 + 4a − Nếu a ≥ phương trình có nghiệm x = Nếu = a < phương trình vơ nghiệm 10 (4) ... 2 b) Giải phương trình (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Phương trình có hai nghiệm Giải Khai triển rút gọn ta x4 − 4x3 − 6x2 − 4x + = (1) Chia hai vế cho x2 (hiển nhiên x = 0) x = khơng nghiệm (1)) x2 −... trình đối xứng bậc chẵn • Cách chia hai vế phương trình cho x2 = sử dụng phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = e = a d y =x+ bx d b gọi phương trình hồi quy Ẩn phụ có dạng c) Giải phương... a)4 + (x + b)4 = c ta thường đặt ẩn a+b phụ y = x + 1.3 Đưa hai vế lũy thừa bậc a) Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải Thêm 4x2 + vào hai vế ta x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 x2 + = 2x + x2 + = −2x