Hệ thống hóa kiến thức toán 9

Cung cấp những kiến thức cần thiết về chương trình toán 9 và một số phần nâng cao mà sách giáo khoa chưa phản ánh hoặc phản ánh chưa đầy đủ, giúp hiểu rộng và nâng cao kiến thức. Tài liệu gồm 8 chương: căn bậc hai, căn bậc ba; hàm số bậc nhất; hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn...

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

TOÁN 9

Mục lục

1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA 7

1.1 Căn bậc hai 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Căn bậc hai số học 8

1.1.3 Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự 8

1.1.4 Số chính phương 8

1.2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A2 = |A| 8

1.2.1 Căn thức bậc hai 8

1.2.2 Hằng đẳng thức √ A2 = |A| 8

1.3 Khai phương một tích, một thương Nhân, chia các căn thức bậc hai 9

1.3.1 Khai phương một tích Nhân các căn thức bậc hai 9

1.3.2 Khai phương một thương Chia hai căn thức bậc hai 9 1.4 Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai 9

1.4.1 Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn 9

1.4.2 Đưa nhân tử vào trong dấu căn bậc hai 9

1.4.3 Khử mẫu trong biểu thức lấy căn 10

1.4.4 Trục (khử) căn thức ở mẫu 10

1.5 Bảng căn bậc hai 10

1.6 Căn bậc ba 10

1.6.1 Định nghĩa 10

1.6.2 Tính chất 11

1.7 Căn bậc n 11

1.7.1 Định nghĩa 11

1.7.2 Tính chất 12

1.8 Quy đồng chỉ số các căn thức 12

1.9 Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số 12

2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 13

2.1 Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số 13

2.1.1 Khái niệm hàm số 13

2.1.2 Đồ thị của hàm số 14

2.1.3 Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến 14

2.2 Hàm số bậc nhất 14

2.2.1 Định nghĩa 14

2.2.2 Tính chất 14

2.3 Hàm sốy = ax Hệ số gốc của đường thẳng y = ax 14

2.3.1 Đồ thị của hàm số y = ax 14

2.3.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax 15

2.3.3 Góc hợp bởi đường thẳng y = ax và tia Ox 15

2.3.4 Hệ số góc của đường thẳng y = ax 16

2.4 Đồ thị hàm số y = ax + b 16

2.4.1 Đồ thị hàm số y = ax + b 16

2.4.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b 16

2.5 Hệ số góc của đường thẳng Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau 17

2.5.1 Hệ số góc của đường thẳng 17

2.5.2 Điều kiện song song, điều kiện cắt nhau 17

2.5.3 Điều kiện vuông góc 17

3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 18 3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn 18

3.1.1 Khái niệm 18

3.1.2 Tập nghiệm và biểu diễn hình học của tập nghiệm 18

3.2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 19

3.2.1 Định nghĩa 19

3.2.2 Minh họa hình học 19

3.3 Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 20

3.3.1 Phương pháp cộng 20

3.3.2 Phương pháp thế 20

3.3.3 Phương pháp đồ thị 21

3.4 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình 21

4 HÀM SỐ y = ax2(a 6= 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 22 4.1 Hàm số y = ax2(a 6= 0) 22

4.1.1 Tính chất 22

4.1.2 Đồ thị 23

4.2 Phương trình bậc hai một ẩn 23

4.2.1 Định nghĩa 23

4.2.2 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 23

4.2.3 Công thức nghiệm thu gọn 24

4.3 Hệ thức Viét và ứng dụng 24

4.3.1 Hệ thức Viét 24

4.3.2 Ứng dụng hệ thức Viét 24

4.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai 25

4.4.1 Phương trình trùng phương 25

4.4.2 Phương trình tích 25

4.4.3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 25

4.5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 25

II HÌNH HỌC 26 5 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 27 5.1 Các hệ thức 27

5.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn 29

5.2.1 Các định nghĩa 29

5.2.2 Một vài liên hệ cơ bản 30

5.2.3 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau 30

5.2.4 Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt 30

5.3 Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông 30 6 ĐƯỜNG TRÒN 32 6.1 Định nghĩa và sự xác định đường tròn 32

6.1.1 Định nghĩa 32

6.1.2 Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn 33

6.1.3 Liên hệ giữa độ dài dây cung và đường kính 33

6.1.4 Sự xác định đường tròn 33

6.2 Tính chất đối xứng của đường tròn 33

6.2.1 Tính chất đối xứng 33

6.2.2 Liên hệ giữa đường kính và dây cung 34

6.2.3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm 34

6.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 35

6.4 Tiếp tuyến của đường tròn 35

6.5 Tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến một đường tròn 35

6.6 Vị trí tương đối của hai đường tròn 36

6.6.1 Vị trí tương đối 36

6.6.2 Tính chất của đường nối tâm 36

6.7 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn 37

7 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 38 7.1 Góc ở tâm - Số đo cung 38

7.1.1 Định nghĩa góc ở tâm 38

7.1.2 Số đo cung 39

7.1.3 So sánh hai cung 39

7.2 Liên hệ giữa cung và dây 40

7.3 Góc nội tiếp 40

7.3.1 Định nghĩa 40

7.3.2 Định lí 40

7.3.3 Hệ quả 41

7.4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 41

7.5 Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn 41

7.6 Cung chứa góc 42

7.6.1 Cung chứa góc α 42

7.6.2 Cách dựng cung chứa góc 43

7.7 Tứ giác nội tiếp 43

7.7.1 Định nghĩa 43

7.7.2 Định lí 44

7.7.3 Chú ý 44

7.8 Đa giác đều ngoại tiếp - Nội tiếp đường tròn 44

7.8.1 Định lí 44

7.8.2 Một vài liên hệ cần nhớ 44

7.9 Độ dài đường tròn 44

7.9.1 Công thức tính độ dài đường tròn 44

7.9.2 Độ dài cung tròn 45

7.10 Diện tích hình tròn 45

7.10.1 Diện tích hình tròn 45

7.10.2 Diện tích hình quạt tròn 45

7.11 Vấn đề quỹ tích 45

7.11.1 Các quỹ tích cơ bẳn 45

7.11.2 Nội dung bài toán quỹ tích 46

7.11.3 Cách giải bài toán quỹ tích 46

8 CÁC KHỐI TRÒN XOAY 47

Phần I ĐẠI SỐ

Chương 1

CĂN BẬC HAI CĂN BẬC

BA

C ♦ ♦ ♦ B

1.1 Căn bậc hai 7

1.2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A2= |A| 8

1.3 Khai phương một tích, một thương Nhân, chia các căn thức bậc hai 9

1.4 Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai 9

1.5 Bảng căn bậc hai 10

1.6 Căn bậc ba 10

1.7 Căn bậc n 11

1.8 Quy đồng chỉ số các căn thức 12

1.9 Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số 12

1.1 Căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực a là số x thỏa mãn đẳng thức x2 = a

• Mỗi số a > 0 có đúng hai số đối nhau là căn bậc hai của nó Số dương

là căn bậc hai của a, kí hiệu √

a Số âm là căn bậc hai của a, kí hiệu

là −√

a

• Số 0 có căn bậc hai bằng 0

• Số a < 0 không có căn bậc hai (tức √a không có nghĩa với a < 0)

Với số thực a ≥ 0 thì √

a được gọi là căn bậc hai số học của a

Việc tìm căn bậc hai số học của một số không âm gọi là phép khai phương.Dấu √

là dấu phép khai phương

a > b ≥ 0 ⇔√

a >√b

1.3 Khai phương một tích, một thương Nhân,

chia các căn thức bậc hai

Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm ta có thể khai phươngtừng biểu thức rồi nhân các kết quả với nhau Muốn nhân các căn thức bậchai của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu cănrồi khai phương tích đó

hai

Định lí: Nếu A, B là các biểu thức sao cho A ≥ 0, B > 0 thì

rA

B =

√A

√

B (2)Đẳng thức (2) phát biểu thành quy tắc sau:

• Muốn khai phương một thương A

B trong đó A ≥ 0, B > 0 ta có thểkhai phương A rồi khai phương B rối lấy kết quả trước chia cho kếtquả sau

• Muốn chia căn bậc hai của biểu thức A ≥ 0 cho căn bậc hai của biểuthức B > 0 ta có thể chia A cho B rồi khai phương thương đó

1.4 Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai

1.4.3 Khử mẫu trong biểu thức lấy căn

Nếu A, B là các biểu thức sao cho tích A.B ≥ 0, B 6=0 thì

rA

B =

rA.B

B2 =

√AB

|B|

Biểu thức liên hợp

Biểu thức A có chứa căn thức Khi nhân A với biểu thức B ta được tích AB

là biểu thức không chứa dấu căn (hoặc giảm số dấu căn so với A) ta bảo B

là biểu thức liên hợp với A, đảo lại A là biểu thức liên hợp với B hay A và

B là các biểu thức liên hợp với nhau

Quy tắc trục căn thức ở mẫu

Muốn trục căn thức ở mẫu một biểu thức ta nhân tử và mẫu của biểu thức

đó với biểu thức liên hợp của mẫu

Từ định nghĩa ta thấy: Mỗi a ∈ R đều có một x ∈ R mà x = √3

3

√b

Dựa vào định nghĩa và tính chất của căn bậc ba ta có thể so sánh và thựchiện các phép biến đổi trên các căn thức bậc b như với các căn thức bậc hai(so sánh, đưa nhân tử vào dấu √3

, đưa một nhân tử ra ngoài dấu √3

, trục cănthức ở mẫu )

1.7 Căn bậc n

Cho số nguyên dương n ≥ 2 ta gọi x là căn bậc n của số a nếu xn= a.Chú ý:

• Mỗi số nguyên n lẻ được viết dưới dạng n = 2k + 1, k ∈ Z

• Mỗi số nguyên n chẳn được viết dưới dạng n = 2k, k ∈ Z

• Mỗi số a ≥ 0 có hai số đối nhau là căn bậc n chẳn của nó, kí hiệu: 2k√

a chỉ căn bậc n chẳn dương của số a > 0 −2k√

a chỉ căn bậc n chẳn âm của số a > 0

• Căn bậc n của số 0 bằng 0

n

√b

Áp dụng các tính chất trên ta thực hiện các phép biến đổi trên các căn thứcbậc n tương tự như đã làm với căn thức bậc hai bậc ba

1.9 Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số

Ta biết rằng một số có dạng mn, m, n ∈ Z, n 6= 0 là số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉviết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạng tuần hoàn Đảo lạimỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ

Số viết dưới dạng số thập phân vô hạng không tuần hoàn là số vô tỉ

Định lí: Không có số hữu tỉ nào mà bình phương của nó bằng 2 Nói khác đi

Chương 2

HÀM SỐ BẬC NHẤT

C ♦ ♦ ♦ B2.1 Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số 132.2 Hàm số bậc nhất 142.3 Hàm sốy = ax Hệ số gốc của đường thẳng y = ax 142.4 Đồ thị hàm số y = ax + b 162.5 Hệ số góc của đường thẳng Đường thẳng song

song và đường thẳng cắt nhau 17

2.1 Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số

• Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng biến đổi x sao cho mỗi giá trị của

x ta luôn xác định được một giá trị của y, ta bảo y là hàm số của x,đại lượng x là biến số Để chỉ y là hàm số của biến x ta thường viết

y = f (x), hay y = g(x), y = h(x) Một hàm số có thể cho bằng côngthức, bằng bảng, hay bằng đồ thị

• Cho hàm số y = f (x) Cho x giá trị x = x0, ta xác định được giá trịtương ứng của hàm số y Ta bảo y0 là giá trị của hàm số tại x = x0và

kí hiệu y0 = f (x0)

2.1.2 Đồ thị của hàm số

Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp A Mỗi x0 ∈ A xác định được giá trị

y0 tương ứng của hàm số ta có một cặp giá trị tương ứng (x0, y0) được biểudiễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ Hình gồm tất cả các điểm biểudiễn các cặp số (x; y) với mọi x ∈ A được gọi là đồ thị của hàm số y = f (x)

• Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R

• Trên tập hợp số thực R, hàm số y = ax+b đồng biến nếu a > 0, nghịchbiến nếu a < 0

2.3 Hàm sốy = ax Hệ số gốc của đường thẳng

y = ax

Đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng qua gốc tọa độ O Đường thẳng

là đồ thị hàm số y = ax được nói gọn là đường thẳng y = ax Đường thẳng

y = ax nằm trong các góc (I) và (III) của mặt phẳng tọa độ nếu a > 0 vànằm trong các góc (II) và (IV ) nếu a < 0

2.3.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax

• Cho biến số x giá trị x0tùy ý tính giá trị tương ứng của hàm số y0 = ax0

• Vẽ trên mặt phẳng tọa độ điểm A(x0, y0)

• Kẻ đường thẳng qua O, A Nói khác đi đường thẳng OA là đồ thị cầnvẽ

Thông thường hàm số y = ax có hệ số a không quá nhỏ hoặc không qua lớnthì đường thẳng y = ax là đường thẳng OA với A(1, a)

Góc α hợp bởi đường thẳng y = ax và tia Ox là góc hợp bởi nửa đườngthẳng y = ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ x0x có chứa tia Oy

A, B là đồ thị hàm số y = ax + b.

Thông thường ta xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ Cho

x = 0 ta được y = b suy ra giao điểm với truc tung P (0; b) Cho y = 0, tínhđược x = −ab ta có giao điểm với trục hoành Q(−ba; 0) Vẽ đường thẳng qua

P, Q ta có đồ thị hàm số

2.5 Hệ số góc của đường thẳng Đường thẳng

song song và đường thẳng cắt nhau

• Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a 6= 0) là đường thẳng d Ta gọi d làđường thẳng y = ax + b Ta cũng nói y = ax + b là phương trình củađường thẳng d

• Đường thẳng y = ax + b(a 6= 0) cắt trục hoành x0x tại điểm A −ba; 0

• Góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b với tia Ox, là góc tạo bởi tia

Ax và phần đường thẳng y = ax + b nằm trong mặt phẳng bờ x0x cóchứa tia Oy

– Nếu a > 0 thì 00 < α < 900, a càng lớn thì α càng lớn, tan α = α– Nếu a < 0 thì 900 < α < 1800, a càng lớn thì α càng lớn tan(1800−α) = |α|

Hai đường thẳng (d) và (d0) có phương trình theo thứ tự là y = ax + b, y =

a0x + b0 Ta có

• d//d0 ⇔ a = a0, b 6= b0

• d cắt d0 ⇔ a 6= a0

• d trùng d0 ⇔ a = a0, b = b0

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 vuông góc với nhau khi va chỉkhi a.a0 = −1

Chương 3

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT HAI ẨN

C ♦ ♦ ♦ B3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn 183.2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 193.3 Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn 203.4 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình 21

3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c (1) trong đó a, b, c là cáchằng số đã biết (với ít nhất một trong hai số a, b 6= 0), x, y là các ẩn số.Nếu thay x = x0, y = y0 ta có ax0+ by0 = c thì cặp số (x0; y0) được gọi làmột nghiệm của phương trình (1)

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệmcủa nó được biểu diễn bằng một đường thẳng (d) gọi là đường thẳng ax+by =

c Ta còn gọi phương trình của đường thẳng (d) là ax + by = c

• Nếu a 6= 0 và b 6= 0, phương trình ax + by = c có công thức tổng quátcủa nghiệm là:

 x ∈ R

y = −abx +cbTập nghiệm của nó được biểu diễn bằng đường thẳng d là đồ thị củahàm số

y = −a

b +

cb

• Nếu a = 0 và b 6= 0 phương trình có dạng 0x + by = c Công thứcnghiệm tổng quát là

 x ∈ R

y = cbTập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng d song song với trục tung:

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

(I)  ax + by = c (1)

Trên cùng một hệ tọa độ vẽ đường thẳng ax + by = c (d1) và đường thẳng

a0x + b0y = c0(d2) Tọa độ giao điểm nếu có là nghiệm hệ phương trình (I)Nếu (d1) song song (d2) hệ (I) vô nghiệm, nếu (d1) trùng (d2) thì hệ (I) vô sốnghiệm Tọa độ của mỗi điểm thuộc đường thẳng là một nghiệm của hệ đó

3.3 Các phương pháp giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa hệ hai phương trình tương đương

Hệ hai phương trình gọi là tương đưng với nhau nếu chúng có cùng một tậpnghiệm, nghĩa là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của

hệ phương trình kia và ngược lại

• Nếu cần thiết nhân các vế của phương trình với số thích hợp để xuất

hệ các hệ số của một ẩn bằng nhau hay đối nhau

• Sử dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình, trong đó

3.3.3 Phương pháp đồ thị

3.4 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Tương tự như cách giải toán bằng cách lập phương trình một ẩn, ở đây tachọn hai ẩn số thay thế cho các đại lượng chưa biết và sử dụng quan hệ giữacác đại lượng đã biết và chưa biết lập hệ phương trình

Chương 4

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

C ♦ ♦ ♦ B

4.1 Hàm số y = ax2(a 6= 0) 224.2 Phương trình bậc hai một ẩn 234.3 Hệ thức Viét và ứng dụng 244.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai 254.5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 25

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2+ bx + c = 0, trong

đó x là ẩn số; a, b, c là những hằng số cho trước gọi là các hệ số và a 6= 0

Số γ là một nghiệm của phương trình nếu giá trị của biểu thức vế trái củaphương trình tại x = γ bằng 0

Xét phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a 6= 0)

Ta gọi số ∆ = b2− 4ac là biệt thức của phương trình

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b