Hệ thống kiến thức Toán 8

Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 8 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó. Series Tự học Toán 8 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 8 hiện hành

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

TOÁN 8 Kiến thức cơ bản

JHSMATH.COM

Lời nói đầu

Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơbản Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 8

Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức vàrèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn

Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao chongắn gọn và rõ ràng

Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướngsuy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bàitoán

Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu k để chỉ song song và kí hiệu ∼ đểchỉ đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiệnhành

Mục lục

1 Phép nhân và phép chia đa thức 6

1.1 Nhân đơn thức với đa thức 6

1.2 Nhân đa thức với đa thức 6

1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ 6

1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung 7

1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 8 1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 8

1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 8 1.8 Chia đơn thức cho đơn thức 8

1.9 Chia đa thức cho đơn thức 9

1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp 9

2 Phân thức đại số 10 2.1 Phân thức đại số 10

2.2 Tính chất cơ bản của phân thức 10

2.3 Rút gọn phân thức 10

2.3.1 Rút gọn phân thức 10

2.3.2 Kiến thức cần ôn 11

2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức 11

2.5 Phép cộng các phân thức đại số 11

2.6 Phép trừ các phân thức đại số 11

2.7 Phép nhân các phân thức đại số 12

2.8 Phép chia các phân thức đại số 12

2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức 12

3 Phương trình bậc nhất một ẩn 13 3.1 Mở đầu về phương trình 13

3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải 13

3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 14

3.4 Phương trình tích 14

3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 14

3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 14

3.6.1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình 14

3.6.2 Các bài toán bao gồm các dạng 14

3.6.3 Cần nhớ các công thức 15

4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 16 4.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 16

4.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân 16

4.3 Bất phương trình một ẩn 16

4.3.1 Tập nghiệm của bất phương trình 16

4.3.2 Bất phương trình tương đương 17

4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 17

4.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 17

5 Tứ giác 19 5.1 Tứ giác 19

5.2 Hình thang 19

5.3 Hình thang cân 20

5.3.1 Định nghĩa 20

5.3.2 Tính chất 20

5.3.3 Dấu hiệu nhận biết 20

5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang 21

5.4.1 Đường trung bình của tam giác 21

5.4.2 Đường trung bình của hình thang 21

5.5 Dựng hình bằng thước và compa Dựng hình thang 22

5.6 Đối xứng trục 22

5.7 Hình bình hành 23

5.7.1 Định nghĩa 23

5.7.2 Tính chất 23

5.7.3 Dấu hiệu nhận biết 23

5.8 Đối xứng tâm 23

5.9 Hình chữ nhật 24

5.9.1 Định nghĩa 24

5.9.2 Tính chất 24

5.9.3 Dấu hiệu nhận biết 25

5.9.4 Áp dụng vào tam giác 25

5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 25

5.11 Hình thoi 26

5.11.1 Định nghĩa 26

5.11.2 Tính chất 26

5.11.3 Dấu hiệu nhận biết 26

5.12 Hình vuông 26

5.12.1 Định nghĩa 26

5.12.2 Tính chất 27

5.12.3 Dấu hiệu nhận biết 27

6 Đa giác Diện tích đa giác 28 6.1 Đa giác Đa giác đều 28

6.2 Diện tích hình chữ nhật 28

6.3 Diện tích tam giác 30

6.4 Diện tích hình thang 31

6.5 Diện tích hình thoi 32

6.6 Diện tích đa giác 32

7 Tam giác đồng dạng 34 7.1 Định lí Ta-lét trong tam giác 34

7.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 34

7.1.2 Định lí Ta-lét trong tam giác 34

7.2 Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét 35

7.2.1 Hệ quả của định lí Ta-lét 35

7.2.2 Định lí đảo 35

7.3 Tính chất đường phân giác của tam giác 35

7.4 Khái niệm hai tam giác đồng dạng 36

7.4.1 Định nghĩa 36

7.4.2 Định lí về tạo ra hai tam giác đồng dạng 36

7.5 Trường hợp đồng dạng thứ nhất 36

7.6 Trường hợp đồng dạng thứ hai 37

7.7 Trường hợp đồng dạng thứ ba 37

7.8 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông 37

7.9 Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng 38

8 Hình lăng trụ đứng Hình chóp đều 39 8.1 Hình hộp chữ nhật 39

8.2 Thể tích của hình hộp chữ nhật 40

8.2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 40

8.2.2 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 41

8.3 Hình lăng trụ đứng 41

8.4 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng 42

8.5 Thể tích của hình lăng trụ đứng 42

8.6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 42

8.7 Diện tích xung quanh của hình chóp đều 44

8.8 Thể tích của hình chóp đều 44

Chương 1

Phép nhân và phép chia đa thức

1.1 Nhân đơn thức với đa thức 6

1.2 Nhân đa thức với đa thức 6

1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ 6

1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung 7

1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 8

1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 8

1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 8

1.8 Chia đơn thức cho đơn thức 8

1.9 Chia đa thức cho đơn thức 9

1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp 9

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau

A(B + C + D) = AB + AC + AD

Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D

• Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất cộng hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

• Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhấttrừ hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai

• Lập phương của một hiệu hai biểu thức

(A − B)3 = A3− 3A2B + 3AB2− B3Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A − B)3 = A3− B3− 3AB(A − B)

• Tổng các lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bìnhphương thiếu của hiệu hay biểu thức ấy

A3+ B3 = (A + B)(A2− AB + B2)Lưu ý

* A2− 2AB + B2 gọi là bình phương của hiệu A và B

* A2− AB + B2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B

• Hiệu các lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bìnhphương thiếu của tổng hai biểu thức ấy

A3− B3 = (A − B)(A2+ AB + B2)Lưu ý

* A2+ 2AB + B2 gọi là bình phương của hiệu A và B

* A2+ AB + B2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B

1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương

Khi phân tích một đa thức thành nhân tử nhiều khi ta cần phối hợp nhiều phương pháp

• Phương pháp ưu tiên số một là đặt nhân tử chung

• Phương pháp ưu tiên số hai là dùng hằng đẳng thức

• Cuối cùng là nhóm hạng tử Mục đích của việc nhóm các hạng tử là nhằm làm choquá trình phân tích đa thức thành nhân tử được tiếp tục bằng cách đặt nhân tửchung hoặc dùng hằng đẳng thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết)

• Ta chia hệ số của A cho hệ số của B

• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B

• Nhân các kết quả tìm được với nhau

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu

• Mỗi biến của B điều là biến của A

• Số mũ của biến đó trong B không lớn hơn số mũ của biến đó trong A

1.9 Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức cho đơn thức (trường hợp các hạng tử của đa thức đều chia hết chođơn thức)

• Ta chia mỗi hạng tử của đa thức cho đơn thức

• Cộng các kết quả tìm được với nhau

(A + B − C) : D = A : D + B : D − C : D

Để chia đa thức A(x) cho đa thức B(x) sau khi đã sắp xếp hai đa thức theo lũy thừagiảm của x ta lần lượt

• Tìm hạng tử bậc cao nhất của thương

Chương 2

Phân thức đại số

2.1 Phân thức đại số 10

2.2 Tính chất cơ bản của phân thức 10

2.3 Rút gọn phân thức 10

2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức 11

2.5 Phép cộng các phân thức đại số 11

2.6 Phép trừ các phân thức đại số 11

2.7 Phép nhân các phân thức đại số 12

2.8 Phép chia các phân thức đại số 12

2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức 12

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng A

B trong đó A, B là những đa thức và B khác

đa thức 0

Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1

Hai phân thức A

B và

C

D gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho A

B =

−A

−B

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

b là phân số tối giản nếu U CLN (|a|, |b|) = 1

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi những phân thức đã cho thành nhữngphân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

• Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

• Nhân cả tử và mẫu của mỗi mẫu thức với nhân tử phụ tương ứng

Hai phân thức đối nhau là hai phân thức có tổng bằng 0 Phân thức đối của A

B là

−ABhoặc A

−B

Muốn trừ đi một phân thức ta cộng với phân thức đối của phân thức đó

Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu phân thức đồng thời đổi dấu tử hoặc mẫu thì được mộtphân thức bằng phân thức đã cho

Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau các mẫu thức với nhau

1.12.3 =

16

Hai phân thức nghịch đảo của nhau là hai phân thức có tích bằng 1 Nếu A

B là một phânthức khác 0 thì phân thức nghịch đảo của nó là B

AMuốn chia cho một phân thức khác 0 ta nhân với phân thức nghịch đảo của phân thứcđó

54

Chương 3

Phương trình bậc nhất một ẩn

3.1 Mở đầu về phương trình 13

3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải 13

3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 14

3.4 Phương trình tích 14

3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 14

3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 14

• Đẳng thức A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của cùng một biến

x gọi là phương trình ẩn x Giá trị x0của ẩn x để A(x0) = B(x0) được gọi là nghiệm

• Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm cũng có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó

• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình

• Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương

• Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là hai số đã cho và a 6= 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

• Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

• Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình ta có thể

– Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

– Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0

• Phương trình ax + b = 0 với a 6= 0 luôn có một nghiệm duy nhất là x = −b

a

3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Cách giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0

• Quy đồng mẫu hai vế

• Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

• Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hằng số sang vế kia

• Thu gọn và giải phương trình nhận được

Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 ta giải phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 rồilấy tất cả các nghiệm thu được

• Điều kiện xác định của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trongphương trình đều khác 0

• Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

– Tìm điều kiện xác định của phương trình

– Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

– Giải phương trình vừa nhận được

– Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định rồi viết tập nghiệm

• Bước 1 Lập phương trình

– Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

• Bước 2 Giải phương trình

• Bước 3 Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận

• Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số

• Toán về số tự nhiên và chữ số

• Toán chuyển động

• Toán nâng suất

• Toán có nội dung hình học – lí – hóa

• Toán về tìm thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc

• Với các bài toán liên quan đến hệ số thập phân cần chú ý rằng abcd = 1000a +100b + 10c + d

• Công thức toán trong chuyển động Vận tốc × Thời gian = Quãng đường

• Công thức tương đương trong toán năng suất Số sản phẩm làm một ngày × Sốngày = Số sản phẩm làm được

• Công thức tính nồng độ dung dịch (chẳng hạng nồng độ muối) Nồng độ muốitrong dung dịch = Khối lượng muối ÷ Khối lượng dung dịch

Chương 4

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

4.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 16

4.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân 16

4.3 Bất phương trình một ẩn 16

4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 17

4.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 17

• Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a > b hoặc a < b hoặc a ≥ b hoặc a ≤ b

• Tính chất cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a > b ⇒ a + c > b + c

• Tính chất nhân cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c > 0 ⇒ ac > bc

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c < 0 ⇒ ac < bc

• Tính chất bắc cầu Nếu a > b và b > c thì a > c

• Bất đẳng thức Cô-si Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng a + b

2 ≥√ab với a ≥ 0, b ≥ 0

• x = a gọi là nghiệm của một bất phương trình nếu ta thay x = a vào bất phương trình thì ta được một bất đẳng thức đúng

• Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bấtphương trình

• Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 3

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 5

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm

• Bất phương trình dạng ax + b > 0 hoặc ax + b < 0 hoặc ax + b ≥ 0 hoặc ax + b ≤ 0trong đó a, b là hai số đã cho và a 6= 0 gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang

vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó

• Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một

số khác 0 ta phải

– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| = B(x) ta khử dấu giátrị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp

– Trường hợp 1

 A(x) ≥ 0A(x) = B(x)

– Trường hợp 2

 A(x) < 0

−A(x) = B(x)

• Với phương trình dạng |A(x)| = m với m > 0 ta có

|A(x)| = m ⇔ A(x) = m hoặc A(x) = −m

• Với phương trình dạng |A(x)| = |B(x)| ta có

|A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = B(x) hoặc A(x) = −B(x)

Chương 5

Tứ giác

5.1 Tứ giác 19

5.2 Hình thang 19

5.3 Hình thang cân 20

5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang 21

5.5 Dựng hình bằng thước và compa Dựng hình thang 22

5.6 Đối xứng trục 22

5.7 Hình bình hành 23

5.8 Đối xứng tâm 23

5.9 Hình chữ nhật 24

5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 25

5.11 Hình thoi 26

5.12 Hình vuông 26

• Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng

• Tứ giác lồi là từ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác

• Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o Từ giác ABCD ⇒ bA + bB + bC + bD = 360o

• Góc kề bù với một góc của tứ giác là góc ngoài của tứ giác

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song Trên hình ta có hình thang ABCD (đáy

AB và CD)

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇔ ABCD là hình thang cân

b

C = bD

Trong hình thang cân

• Hai cạnh bên bằng nhau

• Hai đường chéo bằng nhau

• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác

• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứhai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba

AD = DB và DE k BC ⇒ AE = EC

• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

AD = DB và AE = EC ⇒ DE k BC và DE = 1

2BC

• Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên củahình thang

• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với haiđáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai

AE = ED và EF k AB k CD ⇒ BF = F C

• Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng haiđáy

Các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa gọi là các bài toándựng hình

Chỉ yêu cầu học sinh trình bày hai phần: Cách dựng và chứng minh

• Nội dung của phần cách dựng là nêu thứ tự từng bước dựng hình và thể hiện cácnét dựng trên hình vẽ

• Nội dung của phần chứng minh là dùng lập luận để chứng tỏ với cách dựng trên thìhình đã dựng thỏa mãn đề bài

• Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trựccủa đoạn thẳng nối hai điểm đó

A đối xứng với A0 qua d ⇔ d là đường trung trực của AA0

• Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểmthuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H

• Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng củahình thang cân đó