Tài liệu hình học giải tích nhằm giúp cho các bạn học sinh khá giỏi toán, các bạn sinh viên năm nhất chuyên ngành sư phạm toán học một tài liệu tham khảo.Tài liệu này chủ yếu tóm tắt những kiến thức cơ bản về hình học giải tích, gồm sáu chương: vecto các phép toán vecto, hệ tọa độ afin, hệ tọa độ trực chuẩn, phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ afin...
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN TIN NGUYỄN MINH NHỰT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỒNG THÁP - 06/2017 Mục lục CHƯƠNG VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1.1 Khái niệm vectơ Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc 1.1.1 Vectơ 1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với số thực 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 1.2 Tích vơ hướng hai vectơ 1.2.1 Góc hai vectơ 1.2.2 Định nghĩa tích vơ hướng 1.2.3 Các tính chất tích vơ hướng tuyến tính 4 8 CHƯƠNG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 2.1 Hệ tọa độ afin mặt phẳng 2.1.1 Mục tiêu afin mặt phẳng 2.1.2 Đổi tọa độ afin* 2.1.3 Tâm tỉ cự 2.2 Hệ tọa độ afin không gian 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tọa độ afin vectơ điểm không gian 2.2.3 Đổi tọa độ afin không gian* 10 10 10 11 11 12 12 12 13 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 16 CHƯƠNG HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN 3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hệ tọa độ trực chuẩn 3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* 3.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hệ tọa độ trực chuẩn không gian 3.2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn không gian* 3.2.4 Tích có hướng 3.2.5 Tích hỗn hợp ba vectơ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 4.1 Đường thẳng mặt phẳng 4.1.1 Phương trình tham số đường thẳng 4.1.2 Phương trình tổng quát đường thẳng PHẲNG 18 18 18 19 4.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 Đường 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.2.9 4.2.10 Vị trí tương đối hai đường thẳng Chùm đường thẳng Nửa mặt phẳng thẳng mặt phẳng không gian Phương trình tham số đường thẳng khơng gian Phương trình tổng qt đường thẳng khơng gian Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Mặt phẳng không gian Phương trình tham số mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Chùm mặt phẳng Nửa không gian CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN 5.1 Đường thẳng mặt phẳng 5.1.1 Vectơ pháp tuyến đường thẳng 5.1.2 Hình chiếu vng góc điểm đường thẳng 5.1.3 Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 5.1.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 5.1.5 Góc hai đường thẳng 5.2 Đường thẳng mặt phẳng không gian 5.2.1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng 5.2.2 Hình chiếu trực giao điểm lên mặt phẳng 5.2.3 Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng 5.2.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 5.2.5 Góc đường thẳng mặt phẳng 5.2.6 Góc hai mặt phẳng 5.2.7 Góc hai đường thẳng không gian 5.2.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian 5.2.9 Khoảng cách hai đường thẳng chéo CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 6.1 Đường bậc hai mặt phẳng 6.1.1 Đường bậc hai 6.1.2 Phương trình tắc đường bậc hai 6.1.3 Giao đường bậc hai đường thẳng 6.1.4 Tâm đường bậc hai 6.1.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 6.1.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận 6.1.7 Đường kính liên hợp 6.2 Mặt bậc hai không gian 6.2.1 Phương trình bậc hai mặt bậc hai 6.2.2 Phương trình tắc mặt bậc hai 6.2.3 Giao mặt bậc hai đường thẳng 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22 23 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 30 30 30 30 31 31 32 32 32 33 33 33 34 HAI, MẶT BẬC 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 Tâm mặt bậc hai Phương tiệm cận mặt bậc hai (S) Giao mặt bậc hai mặt phẳng Mặt kính liên hợp 34 35 35 35 Chương VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ♦ 1.1 1.2 1.1 1.1.1 Khái niệm vectơ Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.1.1 Vectơ 1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với số thực 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính Tích vơ hướng hai vectơ 1.2.1 Góc hai vectơ 1.2.2 Định nghĩa tích vơ hướng 1.2.3 Các tính chất tích vô hướng Khái niệm vectơ Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Vectơ −→ • Đoạn thẳng AB thứ tự hai điểm mút gọi vectơ, ký hiệu: AB −→ −→ • Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài hay môđun vectơ AB , ký hiệu: |AB| −→ −−→ • Hai vectơ AB CD gọi hai vectơ phương hay hai vectơ cộng tuyến đường thẳng AB CD song song trùng −→ −−→ • Hai vectơ phương AB CD gọi hướng xẩy hai trường hợp sau: – AB song song CD hai điểm B D nằm phía đường thẳng AC B D A C – AB CD trùng hai tia AB (gốc A) tia CD (gốc C) chứa tia C D A B • Hai vectơ phương khơng hướng gọi hai vectơ ngược hướng • a = b hướng môđun, dễ thấy quan hệ tương đương (i) a = a (ii) a = b b = a (iii) a = b b = c a = c • Đặc biệt vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ không, ký hiệu 1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với số thực Phép cộng vectơ Cho a, b hai vectơ bất kì, tồn vectơ c gọi tổng hai vectơ cho −→ −−→ ký hiệu c = a+ b xác định sau: lấy điểm A, B, C cho AB = a, BC = b, −→ ta có AC = c B b a A C c=a+b Phép nhân vectơ với số thực • Phương: Vectơ ka phương với vectơ a • Hướng: – Vectơ ka hướng với vectơ a k ≥ – Vectơ ka ngược hướng với vectơ a k < • |ka| = |k|.|a| Đối với a, b, c với số thực k, l, m phép toán cộng hai vectơ nhân số với số thực có tính chất sau: • a + (b + c) = (a + b) + c • a+b=b+a • a+0=a • a + (−a) = • k(a + b) = ka + k b k∈R • (k + l)a = ka + la • (kl)a = k(la) • 1.a = a Một số hệ • 0a = • k0 = • (−k)a = −(ka) ⇒ (−1).a = −a • k(a − b) = ka − k b Chú ý • |a + b| ≤ |a| + |b| Dấu = xảy a b hướng • |a − b| ≥ |a| − |b| Dấu = xảy a b hướng |a| ≥ |b| Đặt vectơ mặt phẳng (hoặc không gian) −−→ Cho a điểm O bất kì, tồn điểm M cho: OM = a M a O Các quy tắc thường dùng −→ −−→ −→ • Với A, B, C : AB + BC = AC −→ −−→ −→ • Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC B C A D −−→ −−→ −−→ • Cho hai điểm M, N với điểm O bất kì: M N = ON − OM 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Hệ n vectơ a1 , a2 , , an gọi hệ phụ thuộc tuyến tính tìm số k1 , k2 , , kn không đồng thời cho: k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an = (k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an gọi tổ hợp tuyến tính vectơ a1 , a2 , , an ) Hệ vectơ độc lập tuyến tính Định nghĩa Hệ n vectơ a1 , a2 , , an độc lập tuyến tính k1 a1 +k2 a2 +· · ·+kn an = k1 = k2 = · · · = kn = Điều kiện để hai vectơ PTTT hay ĐLTT Định lí Hai vectơ a, b PTTT chúng phương (cộng tuyến) Hệ Hệ hai vectơ a, b ĐLTT chúng không phương (không cộng tuyến) Điều kiện để ba vectơ PTTT hay ĐLTT Định lí Ba vectơ PTTT chúng đồng phẳng Sự PTTT bốn vectơ không gian Định lí Bốn vectơ khơng gian điều phụ thuộc tuyến tính Phân tích vectơ theo hai ba vectơ ĐLTT Định lí Cho hai vectơ ĐLTT a b Nếu c vectơ cho a, b, c PTTT c viết cách dạng: c = ka + lb Định lí Nếu ba vectơ a, b, c ĐLTT với d viết cách dạng d = ka + lb + mc nói d phân tích cách theo ba vectơ a, b, c 1.2 1.2.1 Tích vơ hướng hai vectơ Góc hai vectơ −→ −−→ Cho hai vectơ a b khác Từ O ta vẽ OA = a OB = b Khi AOB gọi góc hợp hai vectơ a b, ký hiệu: (a; b) B b O 1.2.2 a A Định nghĩa tích vơ hướng Cho hai vectơ a, b Số thực |a|.|b| cos(a; b) gọi tích vơ hướng hai vectơ Chú ý: Tích vơ hướng hai vectơ số 10 • Phương trình đường thẳng (d) qua M0 (x0 ; y0 ) nhận vectơ n(a; b) làm vectơ pháp tuyến là: a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = • Một phương trình (d ) vng góc với (d) : Ax+By+C = qua điểm M0 (x0 ; y0 ) là: −B(x − x0 ) + A(y − y0 ) = 5.1.2 Hình chiếu vng góc điểm đường thẳng Cho (d) : Ax + By + C = 0, M0 (x0 ; y0 ), H(x ; y ) hình chiếu vng góc M0 (d) Ax + By + C = H ∈ (d) x − x0 A ⇔ ⇔ −−−→ =0 M0 H ⊥ d y − y0 B Ax + By −Bx + Ay = −C = −Bx0 + Ay0 B x0 − ABy0 − AC A2 + B ⇔ y = −ABx0 + A y0 − BC A2 + B x = 5.1.3 Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Cho (d) Ax + By + C = 0, M0 (x0 ; y0 ), M0 (x0 ; y0 ) điểm đối xứng M0 qua (d) ⇔ x = B x0 − ABy0 − AC A2 + B 2 −ABx0 + A2 y0 − BC A2 + B y0 = 5.1.4 − x0 − y0 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (a) : Ax + By + C = 0, M1 (x1 ; y1 ) d= 5.1.5 |Ax1 + By1 + C| √ A2 + B Góc hai đường thẳng (a) : Ax + By + C = 0, (a ) : A x + B y + C = cos α = √ A2 |AA + BB | √ + B2 A + B Điều kiện hai đường thẳng vng góc (d) ⊥ (d ) ⇔ cos(a, a ) = √ |AA + BB | √ = ⇔ AA + BB = A2 + B A + B 29 5.2 5.2.1 Đường thẳng mặt phẳng không gian Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Trong hệ tọa độ trực chuẩn không gian, (P ) : Ax + By + Cz + D = n(A; B; C) vectơ pháp tuyến • Phương trình mặt phẳng (P ) qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n(a; b; c) làm vectơ pháp tuyến là: a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 5.2.2 Hình chiếu trực giao điểm lên mặt phẳng Cho (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M0 (x0 ; y0 ; z0 ), H(x ; y ; z ) hình chiếu trực giao M0 lên (P ) H ∈ (P ) ⇔ −−−→ M0 H ⊥ P Ax + By + Cz + D = ∃λ ∈ R, (x = x0 + λA, y = y0 + λB, z = z0 + λC) Ax0 + By0 + Cz0 + D x = x0 − A A2 + B + C Ax0 + By0 + Cz0 + D ⇔ B y = y0 − A2 + B + C z = z0 − Ax0 + By0 + Cz0 + D C A2 + B + C 5.2.3 Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Cho (P ) Ax + By + Cz + D qua (P ) x0 = y0 = ⇔ z0 = 5.2.4 = 0, M0 (x0 ; y0 ; z0 ), M0 (x0 ; y0 ; z0 ) điểm đối xứng M0 x0 − Ax0 + By0 + Cz0 + D A − x0 A2 + B + C 2 y0 − Ax0 + By0 + Cz0 + D B A2 + B + C − y0 z0 − Ax0 + By0 + Cz0 + D C A2 + B + C − z0 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M1 (x1 ; y1 ; z1 ) d= 5.2.5 |Ax1 + By1 + Cz1 + D| √ A2 + B + C Góc đường thẳng mặt phẳng x = x0 + at y = y0 + bt (P )Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc (d) : z = z0 + ct sin ϕ = √ |Aa + Bb + Cc| √ , A2 + B + C a2 + b2 + c2 30 ≤ ϕ ≤ 900 Đặc biệt (d) (P ) (d) ⊂ (P ) ⇔ Aa + Bb + Cc = 5.2.6 Góc hai mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, (P ) : A x + B y + C z + D = lần lược có n(A; B; C) n (A ; B ; C ) vectơ pháp tuyến cos(n, n ) = √ A2 |AA + BB + CC | √ + B2 + C A + B + C Đặc biệt (P ) ⊥ (P ) ⇔ AA + BB + CC = 5.2.7 Góc hai đường thẳng khơng gian (d), (d ) có vectơ phương lần lược a(p; q; r) a (p ; q ; r ) cos((d), (d )) = |pp + qq + rr | p2 + q + r p + q + r Đặc biệt (d) ⊥ (d ) ⇔ pp + qq + rr = 5.2.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian x − x0 y − y0 z − z0 = = Đường thẳng (d) qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) p q r −−−−→ −−→ có vectơ phương u(p; q; r), vectơ M0 M1 u = M0 I tạo thành hình bình hành có diện tích S M1 (x1 ; y1 ; z1 ), (d) : M1 d M0 H N I u −−−−→ S |[M0 M1 ; u]| h = HM1 = −−→ = |u| |M0 I| 2 y1 − y0 z1 − z0 z − z0 x1 − x0 x − x0 y − y + + q r r p p q = p2 + q + r 31 5.2.9 Khoảng cách hai đường thẳng chéo x = x0 + a1 t1 x = x0 + a1 t1 −−−−→ y = y0 + b1 t1 (d ) : y = y0 + b1 t1 u(a1 ; b1 ; c1 ), u (a1 ; b1 ; c1 ), M0 M0 không (d) : z = z0 + c1 t1 z = z0 + c1 t1 đồng phẳng (d) (d ) chéo d u M0 h M0 d u −−−−→ Gọi V thể tích hình hộp tạo ba vectơ u, u , M0 M0 S diện tích hình bình hành tạo hai vectơ u, u −−−−→ V |(u; u ; M0 M0 )| h= = = S |[u; u ]| a1 b1 c1 c1 b1 a1 x0 − x0 y0 − y0 z0 − z0 2 a b b1 c c a + 1 + 1 a1 b b1 c c a1 32 Chương PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI, MẶT BẬC HAI TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN ♦ 6.1 6.2 Đường bậc hai mặt phẳng 30 6.1.1 Đường bậc hai 30 6.1.2 Phương trình tắc đường bậc hai 30 6.1.3 Giao đường bậc hai đường thẳng 31 6.1.4 Tâm đường bậc hai 31 6.1.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 32 6.1.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận 32 6.1.7 Đường kính liên hợp 32 Mặt bậc hai không gian 33 6.2.1 Phương trình bậc hai mặt bậc hai 33 6.2.2 Phương trình tắc mặt bậc hai 33 6.2.3 Giao mặt bậc hai đường thẳng 34 6.2.4 Tâm mặt bậc hai 34 6.2.5 Phương tiệm cận mặt bậc hai (S) 35 6.2.6 Giao mặt bậc hai mặt phẳng 35 6.2.7 Mặt kính liên hợp 35 33 6.1 Đường bậc hai mặt phẳng 6.1.1 Đường bậc hai Trong mặt phẳng với hệ mục tiêu afin Oxy, tập hợp (S) điểm mà tọa độ chúng thỏa mãn phương trình bậc hai: f (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0, (A2 + B + C = 0) gọi đường bậc hai 6.1.2 Phương trình tắc đường bậc hai X + Y − = đường elíp X + Y + = đường elíp ảo X − Y − = X − Y + = đường hepebol X + Y = cặp đường thẳng ảo cắt X − Y = cặp đường thẳng cắt X − 2Y = đường parabol X − = cặp đường thẳng song song X + = cặp đường thẳng ảo song song X = cặp đường thẳng trùng 6.1.3 Giao đường bậc hai đường thẳng (S) : f (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = (∗) (d) : x = x0 + at (∗∗) y = y0 + bt Giao điểm (S) (d) điểm mà tọa độ nghiệm hệ phương trình (∗) (∗∗) thay (∗∗) vào (∗) thu gọn ta P t2 + 2Qt + R = - P = Aa2 + 2Bab + Cb2 - 2Q = afx (x0 ; y0 ) + bfy (x0 ; y0 ) - R = f (x0 ; y0 ) 34 • P = ⇒ (d), (S) cắt hai điểm • P =0 – Q = ⇒ (d), (S) cắt điểm – Q = 0, R = ⇒ (S), (d) không cắt – Q = R = ⇒ (d) nằm (S) 6.1.4 Tâm đường bậc hai Định nghĩa Điểm I gọi tâm đường bậc hai (S) mục tiêu afin mà I gốc, phương trình (S) có dạng Ax2 + 2Bxy + Cy + F = Cách tìm tâm đường bậc hai Giả sử đố với mục tiêu afin (O; i, j) cho đường bậc hai (S) có phương trình: f (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = Tọa độ tâm I (S) nghiệm hệ phương trình Ax + By + D = ⇔ Bx + Cy + E = fx (x; y) = fy (x; y) = Điều kiện để đường bậc hai có tâm • A B = B C hệ có nghiệm nhất: (S) đường bậc hai có tâm • A B = B C = D E hệ có vơ số nghiệm: (S) có vơ số tâm nằm đường thẳng • A B = B C = D E hệ có vơ nghiệm: (S) khơng có tâm 6.1.5 Tiếp tuyến đường bậc hai Định nghĩa Đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến (S) cắt (S) hai điểm trùng nhau, (d) nằm (S) Khi điểm chung (d) (S) gọi tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến Trong mặt phẳng với mục tiêu afin cho đường bậc hai (S) có phương trình: f (x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = Phương trình tiếp tuyến (d) M (x0 ; y0 ) có dạng: fx (x0 ; y0 )(x − x0 ) + fy (x0 ; y0 )(y − y0 ) = 35 6.1.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận Giả sử đố với mục tiêu afin (O; i, j) cho đường bậc hai (S) có phương trình: f (x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = Định nghĩa Vectơ u(a; b) = (0; 0) gọi vectơ phương tiệm cận hay đơn giản phương tiệm cận (S) P = Aa2 + 2Bab + Cb2 = • A = ⇒ u(C; −2B) • A=0 (i) B −CA A2 > ⇒ u1 (ii) B −CA A2 = ⇒ u(B; −A) (iii) B −CA