Hệ thống kiến thức Toán 9

Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 9 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó. Series Tự học Toán 9 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 9 hiện hành

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN KIẾN THỨC CƠ BẢN JHSMATH.COM Lời nói đầu Các em học sinh lớp thân mến! Mong muốn nắm vững kiến thức Toán để học học giỏi mơn Tốn nguyện vọng nhiều học sinh Series Tự học Toán giúp em thực mong muốn Series Tự học Toán viết theo tương ứng với chương trình Sách giáo khoa Tốn hành Mỗi gồm mục • Kiến thức hệ thống kiến thức cần thiết mà em phải nắm vững • Sai lầm cần tránh lưu ý em lỗi phổ biến thường mắc phải học làm tốn • Câu hỏi trắc nghiệm giúp em vận dụng lí thuyết tự kiểm tra mức độ nắm kiến thức • Ví dụ minh họa chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức kĩ Tất em cần nắm vững kiến thức móng kĩ thiết yếu ví dụ Tuy nhiên thời gian có hạn nên tài liệu trình bày phần Kiến thức Ba phần lại em xem trực tuyến Series Tự học Toán Ngồi có ví dụ minh họa mức nâng cao giúp em đào sâu kiến thức rèn luyện kĩ mức độ cao Trong series ví dụ giải mẫu giúp em biết cách trình bày tốn cho ngắn gọn rõ ràng Ở số ví dụ có lưu ý phương pháp giải toán giúp em định hướng suy luận, trau dồi phương pháp kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết toán Trong phạm vi series sử dụng kí hiệu để song song kí hiệu ∼ để đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống sách giáo khoa Toán THCS hành Mục lục Chương Căn bậc hai Căn bậc ba 1.1 1.2 Căn bậc hai √ Căn bậc hai đẳng thức A2 = |A| 1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương 1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương 1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai 1.6 Rút gọn biểu thức chứa bậc hai 1.7 Căn bậc ba 1.1 Căn bậc hai 1.1.1 Căn bậc hai • Số x gọi bậc hai số a x2 = a • Số có hai bậc hai −3 Số có bậc hai 1.1.2 Căn bậc hai số học • Cho số a khơng âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a x= √ • Với a b không âm để so sánh 1.2 a (a ≥ 0) ⇔ √ √ a b ta so sánh a b √ √ a sau |x| ≤ a ⇔ −a ≤ a ≤ a 1.3 1.5.1 Đưa thừa số dấu √ √ a2 b = |a| b = √ a2 b a ≥ √ − a2 b a < Với b ≥ a b = Với 1.5.4 √ a √ b a ≥ −a b a < Đưa thừa số vào dấu √ 1.5.3 √ a a = √ a b Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai Với b ≥ 1.5.2 √ √ √ a.b = a b Liên hệ phép chia phép khai phương Với a ≥ b > ta có 1.5 x≥a x ≤ −a Liên hệ phép nhân phép khai phương Với a ≥ b ≥ ta có 1.4 |x| ≥ a ⇔ Khử mẫu biểu thức lấy a xác định ta có b a = b √ ab ab = b2 |b| Trục thức mẫu Ta thường nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu Chú ý ba dạng sau Biểu thức cho Nhân tử mẫu với √ a √ b b √ √ √ a− b √ a+ b √ √ √ a+ b √ a− b Có trường hợp sau phân tích tử mẫu thành nhân tử Nhân tử chứa thức mẫu nhân tử tử Khi ta trục thức mẫu cách chia tử mẫu cho nhân tử chung 1.6 Rút gọn biểu thức chứa bậc hai Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta cần ý đến • Rút gọn biểu thức cách phân tích tử mẫu thành nhân tử • Sử dụng phép biến đổi đơn giản thức bậc hai để làm xuất thức đồng dạng √ √ √ √ • Cộng trừ thức đồng dạng m a + n a − p a = (m + n − p) a 1.7 Căn bậc ba • Căn bậc ba số a số x cho x3 = a √ √ √ • a = x ⇔ x3 = a Chẳng hạn = 2, −27 = −3 • Tính chất √ √ – a f (x2 ) hàm số y = f (x) nghịch biến R 2.2 Hàm số bậc Đồ thị hàm số y = ax + b với a = • Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b a, b số cho trước a = • Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b với a = xác định với giá trị x thuộc R Đồng biến R a > nghịch biến R a < • Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b với a = 0, b = – Vẽ điểm A(0, b) thuộc trục tung b – Vẽ điểm B − ; a thuộc trục hoành – Vẽ đường thẳng AB 2.3 Đường thẳng đường thẳng cắt Cho hai đường thẳng (d) y = ax + b với a = (d ) y = a x + b với a = • (d) (d ) ⇔ a = a vb = b • (d) trùng (d ) ⇔ a = a vb = b • (d) cắt (d ) ⇔ a = a 2.4 Hệ số góc đường thẳng y = ax + b với a = • Đường thẳng y = ax + b với a = có hệ số góc a • Hai đường thẳng phân biệt song song với có hệ số góc ngược lại • Đường thẳng y = ax + b với a = tạo với tia Ox góc α – Nếu a > α < 90 a = tan α – Nếu α < α > 90o −a = tan α α = 180o − α Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 3.1 3.1 Phương trình bậc hai ẩn 11 3.2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 11 3.3 Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn 12 3.4 Giải toán cách lập hệ phương trình 12 Phương trình bậc hai ẩn • Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức dạng ax + by = c Trong a, b, c số biết a = b = tức a b khơng đồng thời • Nghiệm phương trình bậc hai ẩn cặp giá trị (x, y) hai ẩn thỏa mãn phương trình • Tập nghiệm phương trình ax + by = c biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường thẳng a c – Nếu a = 0, b = đường thẳng đồ thị hàm số bậc y = − x+ b b c – Nếu a = 0, b = đường thẳng đồ thị hàm số bậc y = b đường thẳng vng góc với trục tung c – Nếu a = 0, b = đường thẳng đồ thị hàm số bậc y = a c đường thẳng vng góc với trục hồnh Chú ý x = a hàm số 3.2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn • Hệ hai phương trình bậc hai ẩn gồm hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ax+by =c (I) Nghiệm hệ phương trình cặp số (x0 , y0 ) nghiệm hai phương trình hệ • Số nghiệm hệ (I) số điểm chung hai đường thẳng ax + by = c ax+by =c (d) (d ) Hệ phương trình (I) có nghiệm có vơ số nghiệm vơ nghiệm • Trong hệ (I) hệ số a , b , c khác ta có a b = a b a b c – Hệ có vơ số nghiệm ⇔ (d) trùng (d ) ⇔ = = a b c a b c – Hệ vô nghiệm ⇔ (d) song song (d ) ⇔ = = a b c – Hệ có nghiệm ⇔ (d) cắt (d ) ⇔ b a = thay Trong trường hợp hệ số a , b điều kiện a b a b ab = a b Điều kiện = thay ab = a b a b • Hệ hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm 3.3 3.3.1 Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình phương pháp • Biểu thị ẩn chẳng hạn x theo ẩn từ phương trình • Thế biểu thức x vào phương trình tìm giá trị y • Thay giá trị tìm y vào biểu thức x để tìm giá trị x Nghiệm hệ phương trình cặp số (x, y) vừa tìm 3.3.2 Giải hệ phương trình phương cộng đại số • Biến đổi để hệ số ẩn chẳng hạn x có giá trị tuyệt đối • Cộng trừ vế hai phương trình để khử ẩn x • Giải phương trình để tìm giá trị y • Thay giá trị y vào phương trình để tìm giá trị x Nghiệm hệ phương trình cặp số (x, y) vừa tìm 3.4 Giải tốn cách lập hệ phương trình Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Lập hệ phương trình • Chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn Ghi rõ đơn vị điều kiện ẩn 10 – Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh O điểm cao đồ thị • Lưu ý ba nội dung đồ thị hàm số y = ax2 với a = – Vị trí đồ thị với góc tọa độ – Vị trí đồ thị với trục tung – Vị trí đồ thị với trục hồnh 4.2 4.2.1 Phương trình bậc hai ẩn Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = x ẩn a, b, c4 số cho trước với a = 4.2.2 Giải phương trình bậc hai khuyết Đưa phương trình dạng ax2 = m phương trình tích 4.2.3 Giải phương trình bậc hai Cách Đưa phương trình dạng a(x + m)2 = n Cách Đưa phương trình tích a(x + m)(x + n) = Cách Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai 4.3 4.3.1 Hệ thức Vi-ét ứng dụng Hệ thức Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1 , x2 (phân biệt trùng b c nhau) tổng nghiệm − tích nghiệm a a   x + x2 = − b a ax + bx + c = 0, a = 0, ∆ ≥ ⇒  x1 x2 = c a 13 4.3.2 Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình ax2 + bx + c = với a = • Nếu a + b + c = x1 = x2 = c a • Nếu a − b + c = x1 = −1 x2 = − 4.3.3 c a Áp dụng hệ thức Vi-ét để xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai b c Cho phương trình ax2 + bx + c = với a = Đặt S = − , P = Ta có a a 4.3.4 Tìm hai số biết tổng tích chúng • Nếu có hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình x2 − Sx + P = • Điều kiện để có hai số S − 4P > • Áp dụng tính nhẩm nghiệm √ √ √ • Cho phương trình x2 − (2 + 2)x + 2 = √ √0 Hai số nghiệm phương trình tổng chúng S (bằng + 2) tích chúng P (bằng 2) 4.4 4.4.1 Phương trình quy phương trình bậc hai Phương trình đa thức bậc cao • Đưa phương trình tích • Nhiều trường hợp dùng ẩn phụ • Trường hợp đặc biệt phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = với a = Dùng ẩn phụ y = x2 với y > 4.4.2 Lưu ý • Ở hệ thức Vi-ét ứng dụng ta biết cho phương trình ax2 + bx + c = a + b + c = nghiệm phương trình a + c = b −1 nghiêm phương trình • Tổng qt cho phương trình f (x) = f (x) đa thức với biến x 14 – Nếu tổng hệ số f (x) nghiệm phương trình f (x) = – Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn f (x) tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f (x) −1 nghiệm phương trình f (x) = 4.4.3 Phương trình chứa ấn mẫu Khử mẫu với điều kiện mẫu khác 4.4.4 Phương trình chứa ẩn dấu bậc hai • Dùng ẩn phụ đặt thức chứa ẩn y • Bình phương hai vế phương trình có điều kiện kèm theo 4.5 Giải tốn cách lập phương trình Các bước giải tốn cách lập phương trình bậc hai ẩn Bước Lập phương trình • Chọn đại lượng chưa biết làm ẩn Ghi rõ đơn vị điều kiện ẩn • Biểu thị đại lượng chưa biết khác theo ẩn • Lập phương trình bậc hai diễn đạt tương quan đại lượng Bước Giải phương trình Bước Nhận định kết trả lời 15 Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 5.1 5.1 Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 18 5.2 Tỉ số lượng giác góc nhọn 18 5.3 Bảng lượng giác máy tính bỏ túi 19 5.4 Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông 19 5.5 Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn 20 Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Ngồi định lí Py-ta-go hệ thức bc = ah biết Cần nhớ thêm hệ thức sau b2 = ab h2 = b c 1 = 2+ 2 h b c c2 = ac 5.2 Tỉ số lượng giác góc nhọn • Với tam giác vng có góc nhọn α tỉ số bên không đổi cạnh đối ÷ cạnh huyền cạnh đối ÷ cạnh kề cạnh kề ÷ cạnh huyền cạnh kề ÷ cạnh đối 16 Ta gọi tỉ số theo thứ tự sin α, cos α, tan α, cot α • Quan hệ tỉ số lượng giác tan α = sin α cos α cot α = ˙ =1 tan αcotα cos α sin α sin2 α + cos2 α = • Tỉ số lượng giác hai góc phụ Nếu B + C = 90o sin B = cos C, tan B = cot C • Tỉ số lượng giác góc đặc biệt 5.3 Bảng lượng giác máy tính bỏ túi • Khi α tăng sin α tan α tăng, cos α cot α giảm • Biết dùng bảng lượng giác máy tính bỏ túi giải hai tốn – Cho số đo α Tìm sin α, cos α, tan α, cot α – Cho sin α cos α tan α cot α Tìm số đo α 5.4 Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Trong tam giác vng • Cạnh góc vng = Cạnh huyền × sin góc đối = Cnh huyn ì cos gúc k Cnh gúc vuụng = Cạnh góc vng × tan góc đối = Cạnh góc vng × cot góc kề 17 5.5 Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn Trong thực tế sống tỉ số lượng giác góc nhọn có nhiều ứng dụng kể vài ứng dụng thường gặp tính chiều cao, tính khoảng cách, 18 Chương Đường tròn 6.1 6.1 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng đường tròn 21 6.2 Đường kính dây đường tròn 22 6.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 22 6.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn 22 6.5 Tính chất hai tiếp tuyến cắt 23 6.6 Vị trí tương đối hai đường tròn 23 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng đường tròn • Một đường tròn xác định biết tâm bán kính đường tròn biết đoạn thẳng đường kính đường tròn • Đường tròn tâm O bán kính R với R > hình gồm tất điểm cách điểm O khoảng R • Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đường tròn • Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác – Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền – Nếu tam giác có cạnh đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng • Đường tròn hình có tâm đối xứng có trục đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn 19 6.2 6.2.1 Đường kính dây đường tròn So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường tròn dây lớn đường kính 6.2.2 Quan hệ vng góc đường kính dây • Trong đường tròn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây • Trong đường tròn đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây 6.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây • Trong đường tròn – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm • Trong hai dây đường tròn – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn 6.4 6.4.1 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường tròn không giao 6.4.2 Số điểm chung Hệ thức d R dR Định lí tính chất tiếp tuyến Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm 6.4.3 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn 20 6.5 Tính chất hai tiếp tuyến cắt • Cho hai tiếp tuyến AB AC đường tròn (O) Ta có AB = AC – AO tia phân giác góc BAC – OA tia phân giác góc BOC • Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn • Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác 6.6 Vị trí tương đối hai đường tròn 6.6.1 Ba vị trí tương đối hai đường tròn 6.6.2 Tính chất đường nối tâm • Nếu hai đường tròn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm tức đường nối tâm đường trung trực dây chung • Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm 21 Chương Góc với đường tròn 7.1 7.1 Góc tâm Số đo cung 24 7.2 Liên hệ cung dây 25 7.3 Góc nội tiếp 25 7.4 Góc tạo tia tiếp tuyến dây 25 7.5 Góc có đỉnh bên đường tròn Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn 26 7.6 Cung chứa góc 26 7.7 Tứ giác nội tiếp 26 7.8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp 27 7.9 Độ dài đường tròn, cung tròn 27 7.10 Diện tích hình tròn Hình quạt tròn 27 Góc tâm Số đo cung • Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn • Nếu AOB = α sd AmB= α, sd AnB= 360o − α • Số đo nửa đường tròn 180o • Nếu C điểm nằm cung AB sd AB= sd AC +sd CB 22 7.2 Liên hệ cung dây • Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn – Hai cung căng hai dây ngược lại – Cung lớn căng dây lớn ngược lại • Trong đường tròn hai cung bị chắn hai dây song song • Trong đường tròn – Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Đường kính qua trung điếm dây khơng phải đường kính qua điểm cung căng dây – Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại 7.3 7.3.1 Góc nội tiếp Định nghĩa Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây đường tròn 7.3.2 Định lí Trong đường tròn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 7.3.3 Hệ Trong đường tròn • Các góc nội tiếp cung bị chắn • Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung • Góc nội tiếp nhỏ 90o có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng 7.4 7.4.1 Góc tạo tia tiếp tuyến dây Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây qua tiếp điểm nửa số đo cung bị chắn 7.4.2 Hệ Trong đường tròn góc tạo tia tiếp tuyến dây góc nội tiếp chắn cung 23 7.5 Góc có đỉnh bên đường tròn Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn • Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn • Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 7.6 7.6.1 Cung chứa góc Định nghĩa Cung chứa góc α (0o < α < 180o ) dựng đoạn thẳng AB cung với điểm M thuộc cung ta có AM B = α 7.6.2 Áp dụng công thức vào chứng minh Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α bốn đỉnh tứ giác nằm đường tròn 7.6.3 Áp dụng cơng thức cung chứa góc vào tìm quỹ tích Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc α khơng đổi hai cung chứa góc α dựng đoạn thẳng (0o < α < 180o ) Đặc biệt quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường tròn đường kính AB 7.7 7.7.1 Tứ giác nội tiếp Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn 7.7.2 Định lí Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối 180o 7.7.3 Dấu hiệu nhận biết • Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm 24 • Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại hai góc • Tứ giác có tổng hai góc đối 180o • Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện 7.8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp • Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn • Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn • Bất kì đa giác có đường tròn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng gọi tâm đa giác 7.9 Độ dài đường tròn, cung tròn • Cơng thức tính độ dài đường tròn (chu vi hình tròn) bán kính R đường kính d C = 2πR C = πd với π ≈ 3, 14 • Cơng thức tính độ dài cung no đường tròn bán kính R l = 2πR 7.10 πRn n = 360 180 Diện tích hình tròn Hình quạt tròn • Cơng thức tính diện tích hình tròn bán kính R S = πR2 • Cơng thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no πR2 n lR S= hay S = 360 với l độ dài cung no hình quạt 25 Chương Hình trụ Hình nón Hình cầu 8.1 8.1 Hình trụ 28 8.2 Hình nón 28 8.3 Hình cầu 29 Hình trụ • Khi quay hình chữ nhật ABCD vòng quanh cạnh CD cố định ta hình trụ • Với hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h ta có – Diện tích xung quanh Sxq = 2πrh – Diện tích toàn phần Stp = 2πrh + 2πr2 – Thể tích V = πr2 h 8.2 Hình nón • Khi quay tam giác AOC vng O vòng quanh cạnh OA cố định ta hình nón • Với hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l chiều cao h ta có 26 – Diện tích xung quanh Sxq = πrl – Diện tích tồn phần Stp = πrl + πr2 – Thể tích V = πr2 h • Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt cắt mặt đáy hình nón cụt • Để tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt ta tính hiệu diện tích xung quanh thể tích hai hình nón dùng công thức sau Sxq = π (r1 + r2 ) l; V = πh (r12 + r22 + r1 r2 ) r1 r2 bán kính đáy, l đường sinh h chiều cao hình nón cụt 8.3 Hình cầu • Khi quay nửa hình tròn tâm O bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định ta hình cầu • Cơng thức tính diện tích mặt cầu S = 4πR2 • Cơng thức tính thể tích hình cầu V = πR3 27 ... em cần nắm vững kiến thức móng kĩ thiết yếu ví dụ Tuy nhiên thời gian có hạn nên tài liệu trình bày phần Kiến thức Ba phần lại em xem trực tuyến Series Tự học Tốn Ngồi có ví dụ minh họa mức nâng... thức d R dR Định lí tính chất tiếp tuyến Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm 6.4.3 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn... điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn 20 6.5 Tính chất hai tiếp tuyến cắt • Cho hai tiếp tuyến AB AC đường tròn (O) Ta có AB = AC – AO tia phân giác góc