Không gian Lp (Ω)

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ĐÀO TH± HÀ KHƠNG GIAN Lp(Ω) KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chuyên ngành: Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2012 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Trong khn kho có han cỳa mđt bi khoỏ luắn, ieu kiắn thũi gian, trình đ® có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay cô ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Th% Hà LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket cúa bán thân em trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cúa thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hoàn thành bán khoỏ luắn ny em ó tham khỏo mđt so ti li¾u ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Không gian Lp(Ω)” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Th% Hà Mnc lnc Mé đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Tích phân Lebesgue .5 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Các tính chat sơ cap 1.2.3 Chuyen qua giói han dưói dau tích phân Chương Khơng gian L p (Ω) 10 2.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán cúa khơng gian Lp(Ω) 10 2.2 Tính phán xa.Tính tách đưoc Không gian đoi ngau cúa L p (Ω) 15 2.3 Tích ch¾p phép hóa 27 2.4 Tính compac manh Lp(Ω) 36 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo .43 Me ĐAU Lý chon đe tài Sn phát trien cúa Tốn hoc có nhung thăng tram ó tùng thòi điem l%ch sú song ket mà đat đưoc rnc rõ nhat vào the kí XX, sn phát trien cúa ngành Giái tích tốn hoc Vói sn đòi cúa ngành Giái tích tốn hoc, đ¾c bi¾t Giái tích hàm, nhieu tốn thnc te cuđc song, vắt lý, khoa hoc ky thu¾t đưoc giái quyet nhanh gon, xác Nhung phương pháp ket rat mau mnc cúa Giái tích hàm xâm nh¾p vào tat cá ngành tốn hoc cú liờn quan Sn xõm nhắp ay mđt mắt mó nhung chân tròi r®ng lón cho ngành Giái tích hàm nhi¾m phái đúc ket nhung ket cúa nhung ngành Toán hoc riêng re đe chùng mnc đe nhung mau tốn hoc tong qt trùu tưong Giái tích hàm m®t mơn hoc chương trình Tuy nhiên thòi gian lóp có han nên khó có the sâu nghiên cúu.Qua khóa lu¾n này, em khơng dám có tham vong tìm hieu sâu ve mơn Giái tích hàm mà chí mong muon đưoc nghiên cúu tìm hieu sâu ve m®t van đe hay m®t khơng gian cúa Giái tích hàm Chính v¾y mà em chon đe tài "Khơng gian Lp(Ω) " đe có h®i tìm hieu sâu ve m®t khơng gian có nhieu úng dnng N®i dung cúa đe tài gom chương: Chương 1: M®t so kien thúc chuan b% Chương 2: Khơng gian L p (Ω) Do thòi gian trình đ cú han, mắc dự em ó rat co gang van khơng the tránh đưoc nhung thieu sót nên em rat mong thay chí báo, ban sinh viên quan tâm góp ý Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve khơng gian Lp(Ω) Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve khơng gian Lp(Ω) bao gom khái ni¾m tính chat cúa Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khố lu¾n gom chương: Chương M®t so kien thúc chuan b% Chương Khơng gian L p (Ω) Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng P (P = R ho¾c P = C) cựng vúi mđt ỏnh xa tự X vo so thnc R, kí hi¾u "." đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: i) (∀x ∈ X ) "x" ≥ 0; "x" = ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú khơng θ ); ii)(∀x ∈ X )(∀α ∈ P) "αx" = |α| "x"; iii)(∀x, y ∈ X ) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cúa véctơ x Ta kí hi¾u khơng gian đ%nh chuan X Các tiên đe i), ii), iii) goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (xn) cúa khơng gian đ%nh chuan X goi h®i tn tói điem x ∈ X , neu lim "xn − x" = Kí hi¾u n→ ∞ lim "xn" = x hay xn → x(n → ∞) n→ ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy điem (xn) không gian đ%nh chuan X goi dãy bán neu lim "xn − xm " = m,n→∞ Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach, neu moi dãy bán X đeu h®i tn Đ%nh nghĩa 1.5 Cho không gian đ%nh chuan X R Ta goi khơng gian L(X, R) phiem hàm tuyen tính liên tnc X không gian liên hop (không gian đoi ngau) cúa X kí hi¾u X ∗ Đ%nh nghĩa 1.6 Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đưoc goi không gian liên hop thú hai cúa X kí hi¾u X ∗∗ Đ%nh lý 1.1 Ton tai m®t phép cn tuyen tính tù khơng gian đ%nh chuan X vào không gian liên hop thú hai X ∗∗ cúa không gian X Đ%nh nghĩa 1.7 Không gian đ%nh chuan X goi không gian phán xa neu X = X ∗∗ Đ%nh lý 1.2 Khơng gian đóng cúa khơng gian phán xa khơng gian phán xa M¾nh đe 1.1 Giá sú X m®t khơng gian Banach phán xa M ⊂ X m®t khơng gian đóng tuyen tính cúa X Khi M phỏn xa Hắ quỏ 1.1 Mđt khụng gian Banach X phán xa chí khơng gian đoi X ∗ cúa phán xa Đ%nh lý 1.3 (Milman-Pettis) Moi không gian Banach loi đeu, đeu phán xa Đ%nh lý 1.4 (Hahn-Banach) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc f xác đ %nh không gian tuyen tính Xo cúa khơng gian đ%nh chuan X (Xo ƒ= X ) đeu có the thác trien lên tồn khơng gian X vói chuan khơng tăng, nghĩa có the xây dnng đưoc phiem hàm tuyen tính liên tnc F xác đ%nh tồn khơng gian X cho: 1) F(x) = f (x)(∀x ∈ Xo); 2) "F"X = " f "Xo M¾nh đe 1.2 Cho E không gian metric tách đưoc F ⊂ E t¾p bat kì Khi F tách đưoc Đ%nh lý 1.5 Giá sú X m®t khơng gian Banach phán xa (xn) dãy b % ch¾n X Khi ton tai dãy (xnk ) h®i tn theo tơpơ yeu σ (X, X ∗ ) Đieu ngưoc lai Đ%nh lý 1.6 (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Cho E m®t khơng gian Banach Hình cau đơn v% đóng BX∗ = { f ∈ X ∗ ; " f " ≤ 1} compac theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ) Đ%nh lý 1.7 Cho X m®t khơng gian Banach cho X ∗ tách đưoc Khi BX metric theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ) Ngưoc lai, neu BX metric theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ) X ∗ tách đưoc H¾ q 1.2 Cho X m®t khơng gian Banach tách oc, ( fn) l mđt dóy b% chắn X ∗ Khi đó, ton tai m®t dãy ( fnk ) h®i tn theo tơpơ yeu* σ (X ∗ , X ) 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Đ%nh nghĩa a) Tích phân cúa hàm đơn gián Đ%nh nghĩa 1.8 Trong m®t khơng gian X , vói m®t σ - so F v mđt đ o trờn F , cho mđt hop A o oc (tỳc A hàm đơn n F ) m®t | f (x +h−y)− f (x−y)−h.∇ f (x−y)| ≤ |h|ε(|h|)χK (y) ∀y ∈ RN, ∀h ∈ B(0, 1) Tù suy vói h ∈ B(0, 1), ¸ |( f ∗ g)(x + h) − ( f ∗ g)(x) − h.(∇ f ∗ g)(x)| ≤ |h| ε(|h|) |g(y)|dy K V¾y f ∗g vi tai x ∇( f ∗ g)(x) = (∇ f ) ∗ g(x) DÃY CHINH HĨA Đ%nh nghĩa 2.5 M®t dãy hóa (ρn)n≥1 dãy hàm vi vô han RN cho: ¸ ρn ∈ Cc ∞ (RN ), suppρn ⊂ B(0, ρn = 1, ρn ≥ RN 1/n), Sau õy ta se kớ hiắu n l mđt dóy hóa Ta de dàng đ%nh m®t dãy hóa tù m®t hàm ρ c∈ C∞(RN ) có tính chat ρ ⊂ B(0, 1), ρ ≥ RN ρ ƒ≡ O, chang han hàm:  e 1/(|x| 2−1) ρ(x) =  0 neu |x| < 1, neu |x| > Bang cách đ¾t ρn(x) = C nN (nx) vúi C = 1/ Mắnh e 2.6 Giá sú f ∈ C(RN ) Khi (ρn ∗ f ) → f (n → ∞) đeu t¾p compac cúa RN Chúng minh Lay K ⊂ RN l mđt compac co %nh Vúi > 0, ton tai δ > (phn thu®c vào K ε) cho: | f (x − y) − f (x)| < ε ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ ) Ta có, vói x ∈ RN : (ρn ∗ f )(x) − f (x) = ¸ ¸ = [ f (x − y) − f (x)]ρn(y)dy [ f (x − y) − f (x)]ρn(y)dy B(0,1/n) Vói n > 1/δ x ∈ K ta thu đưoc: ¸ ρn = ε |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| ≤ ε Đ%nh lý 2.11 Giá sú f ∈ Lp(RN ) vói ≤ p < ∞ Khi (ρn ∗ f ) → f (n → ∞)trong Lp(RN ) Chúng minh Vói ε > 0, ta co đ%nh m®t hàm f1 ∈ Cc(RN ) cho " f − f1" < ε (xem đ%nh lý 2.7) Theo M¾nh đe 2.6, (ρn ∗ f1) → f1 đeu moi t¾p compac RN M¾t khác, ta có (theo M¾nh đe 2.3): supp(ρn ∗ f1) ⊂ B(0, 1/n) + supp f1 B(0, 1) + supp f1 ú l mđt compac co đ%nh Do v¾y: "(ρn ∗ f1 ) − f1 " p → 0(n → ∞) Cuoi ta viet: (ρn ∗ f ) − f = [ρn ∗ ( f − f1)] + [(ρn ∗ f1) − f1] + [ f1 − f ] v¾y "(ρn ∗ f ) − f "p ≤ " f − f 1" p + "(ρn ∗ f 1) − f 1"p (do đ%nh lý 2.10) Ta ket lu¾n lim sup "(ρn ∗ f ) − f "p ≤ 2ε ∀ε > là: n →∞ lim "(ρn ∗ f ) − f "p = n→ ∞ H¾ 2.1 Cho Ω ⊂ RN mđt mú Khi ú Cc () l trự mắt Lp(Ω) vói moi ≤ p < ∞ Chúng minh Vói f ∈ Lp(Ω), đ¾t:   f (x) neu x ∈ Ω, f¯(x) = neu x ∈ RN \Ω f¯ ∈ L p (RN ) Giá sú (Kn) dãy t¾p compac RN cho: ∞ [ Kn = Ω dist(Kn, Ωc) ≥ 2/n ∀n n=1 [chang han, Kn = {x ∈ RN ; |x| ≤ n dist(x, Ωc) ≥ 2/n}] Đ¾t: gn = χKn f¯ fn = ρn ∗ gn thì: supp fn ⊂ B(0, 1/n) + Kn ⊂ Ω Do fn ∈ C∞(Ω) M¾t khác, ta có: c " fn − f "Lp(Ω) = fn − f ¯ Lp (R N ) ≤ (ρn ∗ gn ) − (ρn ∗ f¯) L p (RN ) + (ρn ∗ f¯L)p(R −Nf¯ ≤ gn − ¯ p N + (ρn ∗ f¯) − f¯ Lp (RN L (R ) Cuoi ta chúf ý gn − f → Đ%nh lý h®i tn tr®i ¯ Lp(RN ) (ρn ∗ f¯) − Lf¯ p (R N → theo Đ%nh lý 2.11 nên " fn − f "Lp (Ω) → H¾ 2.2 Cho Ω ⊂ RN l mđt mú v giỏ sỳ u Llo1 (Ω) hàm cho : ¸ Khi u = h.k.n Ω c ∞ uf=0∀f∈C c (Ω) Chúng minh Giá sú g ∈ L∞(RN ) l mđt hm cho suppg l mđt com- pac chúa Ω Đ¾t gn = ρn ∗ g, gn ∈ C∞(Ω) vói n đú lón Do ta c có: ¸ ugn = ∀n (2.19) Do gn → g L1(RN ) (theo Đ%nh lý 2.11) nờn cú mđt dóy van kớ hiắu l gn - cho gn → g h.k.n RN (xem Đ%nh lý 2.4) Hơn nua ta có "gn"L∞(RN ) ≤ "g"L∞(RN ) Chuyen qua giói han (2.19) (do %nh lý hđi tn trđi ) ta thu oc: ug = (2.20) Giỏ sỳ K l mđt compac Ω Chon m®t hàm g xác đ%nh bói:  signu trênK, g= trênRN \K Theo (2.20), ¸ K |u| = u = h.k.n K Vì đieu vói moi t¾p compac K ⊂ Ω nên u = h.k.n Ω 2.4 Tính compac manh Lp(Ω) Có m®t van e rat quan oc l mđt ho hàm the Lp(Ω) có bao đóng Lp(Ω) (đoi vói tơpơ manh) Ta nhó lai, Đ%nh lý Ascoli-Arzela trá lòi câu hói tương tn C(K)không gian hàm liên tnc không gian metric compac K vói giá tr % RN Đ%nh lý 2.12 (Ascoli-Arzela) Cho K m®t khơng gian metric compac v H l mđt b% chắn cỳa C(K) Giá sú H đong liên tnc đeu, nghĩa là: ∀ε > ∃δ > cho d(x1, x2) < δ ⇒ | f (x1) − f (x2)| < ε ∀ f ∈ H (2.21) Khi bao đóng cúa H C(K) compac Kí hi¾u(phép d%ch chuyen hàm) Ta đ¾t (τh f )(x) = f (x + h), x ∈ RN , h ∈ RN Đ%nh lý sau h¾ cúa “Lp−mơ hình” cúa Đ%nh lý AscoliArzela Đ%nh lý 2.13 (Kolmogorov-M.Riesz-Frechet) Cho F l mđt b% chắn Lp(RN ) vói ≤ p < ∞ Giá sú: lim "τ f − f " = đeu theo f ∈ F, h p (2.22) |h|→0 Túc ∀ε > ∃δ > cho "τh f − f "p < ε ∀ f ∈ F, ∀h ∈ RN, vói |h| < δ p Khi bao đóng cúa F|Ω L (Ω) compac vói moi t¾p đo đưoc Ω ⊂ RN có đ® đo huu han (ó F|Ω han che cúa Ω F ) Chúng minh (gom bưóc) Bưóc 1: Ta khang đ%nh (2.23) "(ρn ∗ f ) − f "Lp(RN ) ≤ ε ∀ f ∈ F, ∀n > 1/δ Th¾t v¾y, ta có: |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| ¸ | f (x − y) − f (x)|ρ (y)dy n ≤ 1/p ¸ ≤ p | f (x − y) − f (x)| ρn(y)dy ¸ bat thúc Holder Do ta thu đưoc: ¸ |(ρn ∗ f )(x) − f (x)| pdx ≤ ¸ ¸¸ = 1/n < δ B(0,1/ n) ρn(y)d | f (x − y) − f (x)|pρn(y)dxdy | f (x − y) − f (x)|pdx ≤ ε p, y Bưóc 2: Ta khang đ%nh: "ρn ∗ f "L∞(RN ) ≤ Cn " f "Lp(RN ) ∀ f ∈ F, (2.24) |(ρn ∗ f )(x1) − (ρn ∗ f )(x2)| ≤ Cn " f "p |x1 − x2 | ∀ f ∈ F, ∀x1, x2 ∈ RN (2.25) ó Cn chí phn thu®c vào n Bat thúc (2.24) suy tù bat thúc Holder vói Cn = "ρn"pr M¾t khác, ta có ∇(ρn ∗ f ) = (∇ρn) ∗ f đó: "∇(ρn ∗ f )"L∞(RN ) ≤ "∇ρn"Lpr (RN ) " f "Lp(RN ) Vì v¾y ta thu đưoc (2.25) vói Cn = "∇ρn"Lpr (RN ) Bưóc 3: Vói ε > Ω ⊂ RN cú đ o huu han, ton tai mđt đo đưoc b% ch¾n ω cúa Ω cho: (2.26) " f "Lp(Ω\ω) < ε ∀ f ∈ F Th¾t v¾y, ta viet: " f "Lp(Ω\ω) ≤ " f − (ρn ∗ f )"Lp(RN ) + "ρn ∗ f "Lp(Ω\ω) Theo (2.24) ta chí can chon ω cho |Ω\ω| đú nhó Bưóc 4: Ket lu¾n Vì Lp(Ω) đú nên ta chí can chúng minh rang F hồn tồn b% ch¾n, |Ω túc vói moi ε > có m®t phú huu han cúa F|Ω gom hình cau bán kính ε Vói moi ε > ta co %nh mđt o oc b% ch¾n ω cho (2.26) thóa mãn Đong thòi ta co đ%nh n > 1/δ Ho H = (ρn ∗ thóa mãn moi giá thiet F )|ω¯ cúa đ%nh lý Ascoli – Arzela (do bưóc 2) Do H có bao đóng compac C(ω¯ ), kéo theo H có bao đóng compac L p (ω) V¾y ta có the phú H bói m®t so huu han hình cau có bán kính ε Lp(ω), túc là: H⊂ [ i B(gi, ε) vói gi ∈ L p (ω) Xét hàm g¯i : Ω → R xác đ%nh bói:  gi ω, g¯i =  0 Ω\ω hình cau B(g¯i , 3ε) L p (Ω) Ta khang đ%nh chúng phú F|Ω Thắt vắy, vúi f F , cú mđt so i cho: "(ρn ∗ f ) − gi "L p (ω ) < ε Vì "f− p g¯Lip"(Ω) = ¸ p ¸ |f| + Ω\ω ω | f − gi | p nên theo (2.26) ta có: " f − g¯i "L p (Ω) ≤ ε + " f − gi "L p (ω) ≤ ε + " f − (ρn ∗ f )"Lp(R) + "(ρn ∗ f ) − gi "L p (ω) < 3ε p V¾y F|Ω có bao đóng compac (Ω) L Chú ý 11: Trong q trình chúng minh m®t ho F có bao đóng compac Lp(Ω), vói Ω b% ch¾n ta thưòng thác trien hàm lên RN , roi áp dnng Đ %nh lý 2.13 xét sn han che Ω Chú ý 12: Dưói giá thiet cúa Đ%nh lý 2.13 nói chung ta khơng the ket lu¾n F có bao đóng compac L p (RN ) Đe có đieu ta can thêm giá thiet: Hắ quỏ 2.3 Cho F l mđt b% ch¾n Lp(RN ) vói ≤ p < ∞ Giá sú có (2.22) ∀ε > ∃Ω ⊂ RN, b% ch¾n, đo đưoc cho " f "LRp( \Ω) < ε ∀ f ∈ F (2.27) N Khi F có bao đóng Lp(RN ) Chúng minh Vói ε > ta co đ%nh t¾p đo đưoc b% ch¾n Ω ⊂ RN cho p (2.27) thóa mãn Theo Đ%nh lý 2.13, F|Ω có bao đóng compac L (Ω) Do ta có the phú F|Ω bói m®t so huu han hình cau bán kính ε L p (Ω), túc là: F|Ω ⊂ [ B(gi, ε) vói gi p (Ω) ∈L Đ¾t i  g¯i (x) = gi(x) 0 Ω, RN \Ω Rõ ràng F đưoc phú bói hình cau B(g¯i , 2ε) L p (RN ) Chú ý 13: Phan đáo cúa H¾ 2.3 Do ta có đ¾c trưng đay đú cúa t¾p compac L p (RN ) Ta ket thúc vói mđt ỳng dnng huu ớch cỳa %nh lý 2.13 Hắ 2.4 Cho G m®t hàm co đ%nh L1(RN ) F = G ∗ B, ó B l mđt b% chắn Lp(RN ) vúi ≤ p < ∞ Khi có bao |Ω F đóng compac Lp(Ω) vói moi t¾p đo đưoc Ω có đ® đo huu han Chúng minh Rõ ràng F b% ch¾n Lp(RN ) M¾t khác neu f = G ∗ u vói u ∈ B thì: "τh f − f "p = "(τh G − G) ∗ u" p ≤ C "τh G − G"1 , Nên ta có đieu phái chúng minh nhò bo đe sau: Bo đe 2.2 Giá sú G ∈ Lq(RN ) vói ≤ q < ∞ Khi đó: lim "τh G − G"q = h→0 Chúng minh Vói ε > 0, ton tai (theo Đ%nh lý 2.7) m®t hàm G1 ∈ Cc(RN ) cho "G − G1 "q ≤ ε Ta viet: "τh G − G"q ≤ "τh G − τh G1 "q + "τhG1 − G1 "q + "G1 − G"q ≤ 2ε + "τhG1 − G1 "q Do lim "τhG1 − G1 "q = nên h→0 lim sup "τh G − G"q ≤ 2ε ∀ε > h→0 KET LU¾N Trên tồn bđ nđi dung khúa luắn tot nghiắp cỳa em Trong khóa lu¾n em t¾p trung nghiên cúu ve Khụng gian Lp() vúi sn hắ thong mđt cỏch chi tiet khái ni¾m, tính chat, tù làm noi b¾t úng dnng huu ích cúa khơng gian Như v¾y có the nói đe tài hồn thành nhi¾m nghiên cúu đ¾t Đe hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay to Giái tích, thay khoa Tốn đ¾c bi¾t thay Tran Văn Bang M¾c dù em có nhieu co gang, song nhieu han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khố lu¾n hồn thi¾n tot Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Xuân Liêm, Giái tích hàm, NXB Giáo Dnc, 1997 [2] Hồng Tny, Hàm thnc giái tích hàm, Vi¾n Tốn Hoc , NXB Đai hoc QGHN, 2005 [3] Nguyen Phn Hy, Giái tích hàm, NXB Khoa Hoc Kĩ Thu¾t, 2005 [B] Tài li¾u tieng Anh [4] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 ... goi khơng gian L(X, R) phiem hàm tuyen tính liên tnc X không gian liên hop (không gian đoi ngau) cúa X kí hi¾u X ∗ Đ%nh nghĩa 1.6 Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đưoc goi không gian liên... khơng gian đ%nh chuan X vào không gian liên hop thú hai X ∗∗ cúa không gian X Đ%nh nghĩa 1.7 Không gian đ%nh chuan X goi không gian phán xa neu X = X ∗∗ Đ%nh lý 1.2 Khơng gian đóng cúa khơng gian. .. b% Chương Khơng gian L p (Ω) Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X