Định lý Aharonov - Casher

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ PHẠM THỊ GẤM ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội - 2012 Phạm Thị Gấm K34C - Toán LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tạ Ngọc Trí, người Thầy ln quan tâm, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Trong khn khổ có hạn khố luận, điều kiện thời gian trình độ có hạn; lần nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Gấm LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu, bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS.Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu hồn thành khố luận này, em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài “ Định lý Aharonov - Casher” cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Gấm Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU .5 CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN .7 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Tốn tử tuyến tính 11 1.3.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 11 1.3.2 Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn 20  CHƢƠNG ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER 23 TRONG 2.1 Zero mode toán tử Weyl - Dirac 23 2.2 Bài toán zero mode 26 2.3 Zero mode không gian hai chiều .28 KẾT LUẬN .32 TÀI LIỆU THAM KHẢO .33 BẢNG KÍ HIỆU □n Khơng gian thực n chiều □ Tập số phức, đơn vị ảo kí hiệu i Tập hàm trơn có giá compact ∞ 0 L (R ) Khơng gian hàm bình phương khả tích R S x I I2 Hình cầu đơn vị R3 Chuẩn vectơ x Toán tử đồng Ma trận 10  1  Ker A Hạt nhân toán tử A dim X Số chiều không gian vectơ X x↓ x0 x → x0 , x ≥ x0 □ Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Khi vấn đề đời thuật ngữ xung quanh nhanh chóng biết đến định nghĩa cách cụ thể Vấn đề zero mode khơng nằm ngồi quy luật Vấn đề zero mode xuất lần vật lý Việc nghiên cứu đề tài khía cạnh khác theo quan điểm toán học nhiều nhà toán học quan tâm J M Loss, H T Yau, D M Elton,C Adam, B Muratori, C Nash … Thực tế năm 1979, Aharonov - Casher xây dựng chứng minh cơng thức tính số zero mode toán tử Weyl – Dirac σ R2 (−i∇ − A) Dưới gợi ý thầy Tạ Ngọc Trí thân em có hứng thú tìm hiểu đề tài Em mạnh dạn định vào tìm hiểu nghiên cứu đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Với mong muốn hiểu biết sâu định lý Aharonov - Casher kết liên quan với hướng dẫn tận tình TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher R2 chứng minh định lý Phạm Thị Gấm K34C - Toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher R2 - Nghiên cứu phát triển toán năm gần Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher R2 chứng minh định lý - Phạm vi nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher kết có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu: - Sử dụng kiến thức, phương pháp giải tích hàm - Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu có liên quan Cấu trúc khóa luận: Ngồi phần mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo,bài khóa luận em gồm có chương là: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Định lý Aharonov - Casher R2 CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương đưa số khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn tốn tử tuyến tính khơng bị chặn 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 ( Không gian định chuẩn ) Một không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn ) khơng gian tuyến tính X trường K ( K trường số thực R trường số phức  ) với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu đọc chuẩn, thoả mãn tiên đề sau: 1) ( ∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0⇔ x = 0; X )(∀λ ∈K ) λx = 2) (∀x∈ 3) (∀x, y∈ X ) x + λ x; y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Định nghĩa 1.1.2 ( Sự hội tụ không gian định chuẩn ) Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm n x∈ X lim → ∞ xn − x = Kí hiệu lim xn = x n→∞ hay xn n → ∞ → x Định nghĩa 1.1.3 ( Dãy ) Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim x − x = m n m,n →∞ Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach ) Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định lý 1.1.1 (Một số tính chất) Giả sử ( xn ) , ( yn ) dãy không gian định chuẩn X (λn ) dãy số K Khi : 1) Nếu xn → a xn → a 2) Nếu x xn + yn → a + b → n → b a, yn Nếu λn λn → λ.a → xn λ 3) Nếu ( xn ) , ( yn ) dãy X; (λn ) dãy ( xn + yn ) , ( λn x n ) dãy X 1.2 Không gian Hilbert K đo ( gauge transformation) Ta có (P − A ) = ' − A)e Do D A' −i ϕ eiϕ D e−iϕ = A e iϕ (P (2.6) (2.7) Vì tốn tử Weyl - Dirac D D ' unita tương đương Do A A phổ toán tử Weyl - Dirac đặc biệt số zero mode tương ứng hoàn toàn xác định từ trường B 2.2 Bài tốn zero mode Năm 1986, nhóm nhà vật lý lý thuyết đứng đầu Frohlich xét ổn định nguyên tử hydro môi trường từ tính Còn theo quan điểm tốn học vấn đề trở thành: trạng thái lượng hữu hạn nghĩa có hữu hạn giá trị riêng cho tốn tử tương ứng Cụ thể là: Các nhà nghiên cứu xét toán tử Hamiltonnian: p − A )2 z − σ B − x H= Trong đó: + σ = ( σ , σ2 , σ ),σ j ( j = 1, 2,3) ( ma trận Pauli i đơn vị ảo, i (2.8) = −1 + p = −i∇ toán tử động lượng + p2 = −∆, ∆ toán tử Laplace + z điện tích hạt nhân + A vector + B = curlA H tác động lên hai thành phần spinor ψ Trạng thái ban đầu (2.8) ký hiệu E0 ( B, z ) E B, z H hữu hạn ) 0( Trạng thái lượng ban đầu phụ thuộc vào tương tác spinor electron với từ trường B, E0 (B, z ) → −∞ B →∞ Nhìn chung, nhà nghiên cứu có số tới hạn z > c cho E(z) = inf (E0(B,z)+ ε ∫B ) (2.9) B hữu hạn z < zc E (z) = −∞ z > zc với ε = (8πα ) c số − cấu trúc □ (137.04)1 Khi bắt đầu cơng việc, nhóm nghiên cứu Frohlich khơng biết zc có hữu hạn hay khơng Tuy nhiên họ chứng tỏ điều kiện cần đủ để có hữu hạn zc phương trình σ ⋅( p− (2.10) A) ψ = Có nghiệm với ∈ L ψ (  ), divA = (  ) ( a ) ;ψ A, A ∈ L ,∇ψ ∈ L 0, B = curlA thoả mãn: ( ) (b) Ta có (2.10) phương trình đo bất biến, (a),(b) áp đặt hai bất biến đo lường đánh giá hạn chế phụ thuộc Các điều kiện đánh giá bất biến bao gồm ψ ∈ L , B ∈ L , điều kiện đánh 2 ∇ψ ∈ L , A∈ L , divA = giá ràng buộc (không bất biến đo lường ) Giả sử (2.10) có nghiệm ( chi tiết xem [8] ), B biểu diễn hồn tồn điều kiện trường vectơ U= ψ ,σψ (2.11) Và đạo hàm ( U hai lần mật độ spinor 〈.,.〉 tích vơ hướng  ) Vấn đề đặt là: Nếu trường vector U thoả mãn U ∈ L ,U trơn divU = tacó thể tìm ψ A thoả mãn (2.10), (2.11),(a),(b)? Việc tìm câu trả lời cho vấn đề trở thành nghiên cứu tồn zero mode toán tử Weyl – Dirac DA = σ ⋅ ( p − A) 2.3 Zero mode không gian hai chiều Trong không gian hai chiều cho vectơ A ( A1 , = với A1 , A2 A2 ) hàm nhận giá trị thực phụ thuộc vào x2 ( x1 , ) ∈ Khi từ trường B tương ứng hàm vô hướng đơn xác định B = ∂1 A2 − ∂2 A1 Trong không gian hai chiều, cho từ trường với giá compact ta tính xác số zero mode toán tử Weyl - Dirac − A1 ) + σ σ ( p − A) := σ1 ( p1 ( p2 − A ) (2.12) định lý Aharonov- Casher Định lý 2.3.1 (Định lý Aharonov - Casher) Trong không gian hai chiều, giả sử từ trường B bị chặn có giá compact, A vectơ liên kết với B Kí hiệu F tổng thông lượng B; tức F := 2π ∫ B ( x )dx   x  số nguyên lớn nhỏ x với x > 0, 0 = Khi tốn tử Dirac σ ( p có số zero mode − A) Chứng minh:  F  Xét hàm ο/ ( x) = ∫ ln x − 2π với ∇φ(x) =B(x) có từ hàm yB ( y )dy  Green toán tử Laplac R ln x − y π Ta có = φ(x) − F ln x ln x − ∫ 2π y B( y)dy − F ln x R2 y (ln x + ln − B( y)dy − F ln x ∫ 2πR x 1 y = ln B( y)dy + ln B( y)dy − F ln x ∫ ∫ − x x 2π 2π = R R   = ln x 1 B( y)dy  ∫ +  y B( y)dy − F ln x R x R2 = F ln x + ∫ 2πR ∫−ln  2π 2 π y ln −B( y)dy − F ln x x y B( y)dy = − ∫2lnπ1 x R Do đólnφx(x) − F  x → ∞ = Ο  x    Giả sử hai vectơ nghĩa A = ( A1 , A2 ) A′ = ( A1′ có từ trường B, , A2′ ) ∂1 A2 − ∂2 A1 Khi tồn hàm giá trị vơ hướng trơn = ∂1 A2′ − ∂2 A1′ λ cho −iλ iλ e ( p − A)e = p − A′ nên A′ − A = ∇λ iλ e (σ ( p −iλ iλ − A))e = σ.( p − A′) Vì σ.( p − A′) e ánh xạ unita nên hai toán tử σ ( p − A) có phổ Do hai tốn tử có số zero mode Vì ta chọn vectơ A = ta cần tìm số (−∂ 2φ ,∂ 1φ ) nghiệm bình phương khả tích độc lập ψ  ψ cho phương trình  =1    ψ σ (p − A)ψ  = Phương trình tương đương với phương trình : [σ1.( p1 − A1 ) + σ ( p2 − A2 )]ψ =  ( p1 − A1 ) − i( p2 − A2 )   ψ ⇔   =  ( p1 − A1 ) + i( p2 − A2 ) [( p1 − A1 ) − i( p2 − A2 ⇔ )]ψ =  [( p1 − A1 ) + i( p2 − A2 )]ψ1 =    ψ  φ − i∂2 )(e ψ ) = Hoặc  (∂  −φ 1ψ ) = (∂1 + i∂2 )(e Theo phương trình Cauchy – Riemann ta có hàm f = e φ ψ hàm giải tích nguyên theo biến z = x z = x1 + ix2 − ix2 f1 −φψ hàm giải tích nguyên theo = biến e Nói chung với z = x1 + ix2 φ e ≈ x ψψ F e −φ ≈ ψ x ta có F ψ Trường hợp 1: F > 0, hàm giải tích ngun (do ψ bình phương khả tích) Do đó, Vì hàm ψ2 = f1 bình phương khả tích f1 = ψ1 = cần phải bình phương khả tích Hàm giải tích nguyên f2 f e− φ phải tăng lên khơng nhanh đa thức z có bậc bé F −1 Vì có  F  đa thức độc lập tuyến tính có (1, z , z , , z   F  −1 ) dạng nên ta thu xác  F  số zero mode toán tử Dirac σ ( p − A) theo yêu cầu toán  Trường hợp 2:  F ≤ Chứng minh tương tự 2.4 Một số ý Với lớp từ trường rộng hơn, nghĩa từ trường B bị chặn cho ∫ B(x) ln x dx < R ∞ Ông rằng, thông lượng F ≠ ngun có  F   F  −1 zero mode ( B có giá compact  F  −1 zero mode) có Erdos Vougalter nhận xét điều kiện bị chặn từ trường B thay điều kiện yếu từ trường B ∈ K (R2 )- lớp Kato, nghĩa B thoả mãn điều kiện sau: limsup r↓0 x ∫ −1 ln x − yB( y) dy = x− y ≤r Hơn nữa, họ đưa ví dụ rõ ràng định lý Aharonov - Casher không chứa từ trường liên tục bị chặn thoả mãn điều kiện ∫ B dx < ∞ Tuy nhiên R2 kết định lý Aharonov -Casher chứa lớp quan trọng từ trường có độ đo với biến hồn tồn bị chặn Gần trường hợp từ trường với thông lượng vô hạn nghiên cứu KẾT LUẬN Trong q trình tìm hiểu nghiên cứu khố luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Trong khố luận trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất liên quan đến tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Bài khố luận nghiên cứu trình bày lại định lý Aharonov - Casher không gian hai chiều R2 , phát triển kết năm gần Để hồn thành khố luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Giải tích, thầy khoa Tốn, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn bảo nhiệt tình thầy giáo TS.Tạ Ngọc Trí Mặc dù em có nhiều cố gắng, đề tài có nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót; mong góp ý, giúp đỡ thầy bạn để khố luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [A ] [1 ] Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm NXB khoa học kỹ thuật Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc [2 ] Gia Hà Nội [ Β ] Tài liệu tiếng Anh [3] C Adam, B Muratori and C Nash (1999), "Zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D, (60), 125001 1-8 [4] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press [5] Ta Ngoc Tri (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University ... đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Với mong muốn hiểu biết sâu định lý Aharonov - Casher kết liên quan với hướng dẫn tận tình TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ”... Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher R2 chứng minh định lý Phạm Thị Gấm K34C - Toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher R2 - Nghiên cứu phát triển toán... vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher R2 chứng minh định lý - Phạm vi nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher kết có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu: - Sử dụng kiến