Bất đẳng thức biến phân Vector Affine đơn điệu

LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot thòi gian thnc hi¾n khố lu¾n Xin chân thành cám ơn thay, cô to giái tích-khoa Tốn, trưòng Đai hoc sư pham Hà Nđi ó tao moi ieu kiắn giỳp em hồn thành khố lu¾n Xin chân thành cám ơn gia đình ban bè tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho em q trình thnc hi¾n khố luắn Em xin chõn thnh cỏm n H Nđi, ngy tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Văn Mùng i LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna ThS Nguyen Văn Tun khóa lu¾n tot nghi¾p “Bat thNc bien phân vector affine đơn đi¾u” đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình hồn thành khóa lu¾n, tơi thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Văn Mùng ii Mnc lnc Má đau 1 Bat thNc bien phân affine 1.1 Bat thúc bien phân 1.2 Bài toán bù .10 1.3 Bat thúc bien phân affine .11 1.4 Sn ton tai nghi¾m cna bat thúc bien phân affine 19 1.4.1 Sn ton tai nghi¾m dưói giá thiet đơn đi¾u 19 1.4.2 Sn ton tai nghi¾m dưói giá thiet đong dương 26 Bat thNc bien phân vector affine đơn đi¾u 34 2.1 Bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u 34 2.2 Tính on đ%nh cna t¾p nghi¾m 39 2.3 Tính liên thơng cna t¾p nghi¾m .48 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham kháo 53 iii Mé ĐAU Lý chon đe tài Bài toán bat thúc bien phân (Variational Inequality Problem) đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói cơng trình cna G Stampacchia, J L Lions [6] Hi¾n nay, toán bat thúc bien phân đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, ví du: bat thúc bien phân vector, tna bat thúc bien phân, giá bat thúc bien phân, bat thúc bien phân an, bat thúc bien phân suy r®ng Bài toán thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc mơ hình cna chúa nhieu tốn quan cna m®t so lĩnh vnc khác tốn hoc trưòng hop riêng, ví du: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông Khái ni¾m bat thúc bien phân vector (Vector Variational Inequality) (viet tat VVI) đưoc đưa bói F Giannessi báo [4] Có rat nhieu báo nghiên cúu ve van đe có the tìm thay cuon sách chuyên kháo cna GS F Giannessi [5] Ta ý rang VVI có the coi m®t cơng cu thích hop đe nghiên cúu tốn toi ưu vector VVI m®t nhung công cu quan nhat đe nghiên cúu tốn cân bang vector Các tác giá có nhung đóng góp cho sn phát trien cna tốn có the ke đen: F Giannessi [4, 5, 6], T N Hoa, T D Phuong N D Yen [8, 9], G M Lee, N N Tam N D Yen [13, 14, 15], N D Yen J.-C Yao [26], Tớnh on %nh, đ nhay nghiắm v cỏc tớnh chat tơpơ cna t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân đơn đi¾u đưoc nghiên cúu [12, 13, 26] Trong lu¾n văn chúng tụi hắ thong lai mđt so ket quỏ ve ieu ki¾n đn cho tính núa liên tuc cna ánh xa t¾p nghi¾m cna bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u có tham so đưoc trình bày [26] Ngồi ra, lu¾n văn trình bày mđt so tớnh chat tụpụ cna nghiắm cho lúp tốn Lu¾n văn đưoc chia thành hai phan Chương trình bày kien thúc bán ve toán bat thúc bien phân affine, toỏn liờn quan v mđt so ieu kiắn ton tai nghi¾m Chương trình bày tính chat bán cna t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u, tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m tính liên thơng cna t¾p nghi¾m Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve tốn bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u tính chat cna ánh xa t¾p nghi¾m Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m tính tính chat tơpơ cna t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop Cau trúc khố lu¾n Chương trình bày kien thúc bán ve toán bat thúc bien phân affine, tốn liên quan m®t so đieu ki¾n ton tai nghi¾m Chương trình bày tính chat bán cna t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u, tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m tính liên thơng cna t¾p nghi¾m Chương Bat thNc bien phân affine 1.1 Bat thNc bien phân Bài tốn bat thúc bien phân đưoc náy sinh m®t cách tn nhiên tù toán toi ưu Cho f : Rn → R vói f thu®c lóp C v Rn l mđt loi, úng v khỏc rong Mắnh e 1.1 Neu x l mđt nghi¾m đ%a phương cúa tốn {f (x) : x ∈ 6} (∇f (x¯), y − x¯) ≥ ∈ (1.2) th ì (1.1) ∀y Chúng minh Lay x¯ ∈ nghi¾m đ%a phương cna (1.1) Chon µ > cho f (y) ≥ f (x¯), Vói moi y ∈ \ {x¯}, ∃δ > cho ∀y ∈ ∩ B(x¯, µ) x¯ + t(y − x¯) ∈ ∩ B¯ (x¯, µ) vói t ∈ (0, δ) Khi r lim f (x¯ + t(y − x¯)) = f (x¯, y − x¯) ≤ t→0 = (∇f (x¯), y − x¯) − f (x¯) t Do ta có đieu phái chúng minh Đ¾t    φ(x) = ∇f (x) =     ∂f (x) ∂x   ∀x ∈ Rn,   ∂ f (x ) ∂xn (1.3) (1.2) đưoc viet lai sau (φ(x¯), y − x¯) ≥ ∀ y ∈ (1.4) Đ%nh nghĩa 1.1 Neu ⊂ Rn t¾p loi, đóng, khác rong φ : → Rn m®t tốn tú tốn tìm x¯ ∈ thóa mãn (1.4) đưoc goi toán bat thúc bien phân, hay đơn gián bat thúc bien phân, kí hi¾u VI(φ, 6) T¾p nghi¾m Sol(VI(φ, 6)) cna VI(φ, 6) t¾p tat cá x¯ ∈ thóa mãn (1.4) Đ%nh nghĩa 1.2 Nún phỏp tuyen N 6(x) cna mđt loi ⊂ n tai R m®t điem x¯ ∈ Rn đưoc đ%nh nghĩa bói cơng thúc  : ,x−  x∗ ∈ Rn ∗ ∗ ) ≤ vói moi x ∈ neu x¯ ∈ (x x N 6(x¯) =  ∅ neu x¯ ∈/ De dàng kiem tra đưoc rang x¯ ∈ φ(x¯) + N 6(x¯) ∈ Sol(VI(φ, 6)) chí M¾nh đe (1.1) cho thay tù tốn toi ưu hóa có the dan đen bat thúc bien phân Mđt cõu húi tn nhiờn ra: Cho mđt bat thúc bien phân VI(φ, 6) vói m®t tốn tú liên tnc φ : Rn → Rn có the tìm m®t hàm thu®c lóp C1 f : Rn → R cho VI(φ, 6) có the thu đưoc tù tốn toi ưu hóa (1.1) bang phương pháp hay khơng ? Neu có hàm f ton tai phái có φ(x) = ∇f (x) ∀x ∈ (1.5) Có the thay rang neu f thu®c lóp C2 tốn tú φ : Rn → Rn đưoc đ%nh nghĩa ó (1.3) l mđt ma trắn Jacobian oi xỳng Nhú lai rang neu m®t hàm vector φ : Rn → Rn có thành phan trơn φ1, , φn ma tr¾n Jacobian cna φ tai x đưoc đ%nh nghĩa bói công thúc   ∂φ1(x) ∂φ1 (x) ∂φ1(x )    ∂xn ∂x ∂x  Jφ(x) =       ∂φn(x) ∂φn(x ∂φ n (x) ) ∂xn ∂x1 ∂x2 Tù giá thiet f thu®c lóp C2 tù (1.3) ta có ∂φi(x) ∂xj = ∂ 2f (x) ∂xj∂xi = ∂ 2f (x) ∂xi∂xj = ∂φj (x) ∂xi i, j ∀ Đieu chí rang Jφ(x) ma tr¾n đoi xúng M¾nh đe 1.2 Cho ⊂ Rn l mđt loi, úng, khỏc rong Neu : Rn → Rn m®t hàm vector vói thành phan trơn mà ∂φi(x = ∂φj (x) ∀ i, j (m®t tốn tú đoi xúng trơn), ó ton tai ) ∂xi ∂xj m®t hàm thu®c lóp C2, f : Rn → R cho (1.5) đưoc thóa mãn Đieu có nghĩa tốn bat thúc bien phân VI(φ, 6) có the đưoc coi đieu ki¾n can b¾c nhat cúa tốn toi ưu (1.1) Như v¾y, ta thay rang tốn toi ưu hóa trơn lóp C2 tương úng vói bat thúc bien phân vói tốn tú đoi xúng trơn M¾nh đe đơn gián sau cho thay, khác vói nghi¾m cna tốn quy hoach tốn hoc, nghi¾m cna bi toỏn VI cú mđt ắc trng %a phng Mắnh đe 1.3 Cho x¯ ∈ Neu ton tai ε > cho (∇f (x¯), y − x¯) ≥ ∀ y ∈ ∩ B¯ (x¯, ε), th ì x¯ ∈ Sol(VI(φ, 6)) (1.6) Chúng minh Kí hi¾u ve trái cna (2.23) Ωr Sú dung Đ%nh lý 2.1, 2.2 lý lu¾n đưoc dùng chúng minh Bo đe 2.1, ta có the thay rang Ωr l mđt khỏc rong cna ri nú vựa đóng vùa mó tơpơ cám sinh cna riΣ Thì (2.23) đúng, riΣ loi (do liên thơng) Đe thu đưoc (2.11), vói moi ¯ ξ ∈ Σ \ riΣ co đ%nh, ta chon m®t dãy ξj ⊂ riΣ thóa mãn ξj ξ¯ j → ∞ Tù (2.23) tính liên → thơng cna Sol(AVVI(, 6)), ta tỡm mđt dóy b% chắn xj ⊂ cho xj ∈ Sol(VI)ξ j vói j ∈ N Ta có the giá sú rang xj → x¯ ∈ j → ∞ Ta có M (ξ(j))x(j) + qξ(j), y − x(j) ≥ ∀y ∈ Cho j → ∞, tù đieu ta thu đưoc x¯ ∈ Sol(VI)ξ¯, đieu chí rang Σ ⊂ Ω, ó Ω ve trái cna (2.11) Bây giò ta se chúng minh Đ%nh lý 2.5 Chúng minh Giá sú (i’) Lay ξ ∈ riΣ tùy ý T¾p Sol(VI)ξ ƒ= ∅ theo Bo đe 2.2 Do Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), 6)) = Sol(VI)ξ ⊂ Sol(AVVI(ω, 6)), Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), 6)) ƒ= ∅ b% ch¾n Áp dung Đ%nh lý 2.2 ta có the chon ε(ξ) > cho neu (2.14) đưoc thóa mãn Sol(AVI(M˜ , q˜, 6)) ƒ= ∅ Chon ε ∈ (0, ε(ξ)) tùy ý Vói moi M˜1 , , M˜m ∈ Rn×n q˜1 , , q˜m ∈ Rn thóa mãn (2.8), nhung lý lu¾n đe chúng minh khang đ%nh đau tiên cna Đ%nh lý 2.4 cho thay Sol(AVI(M˜ (ξ), q˜(ξ), 6)) ƒ= ∅ Ket hop đieu vói Đ%nh lý 2.1 ta thay rang Sol(AVVI(ω˜, 6)) ƒ= ∅ Neu compact (ii’) đúng, M˜ i = Mi q˜i = qi ∀i cho = 1, , m, ta có the ket lu¾n rang Sol(AVVI(ω, 6)) ƒ= ∅ b% ch¾n.Neu m = 1, ta có (ii’) ⇒ (i’) tù đ%nh lý 2.2 Bây giò ta xét trưòng hop khơng compact m ≥ Chon n = 1, = R+, M1 = [1], M2 = = Mm = [0], q1 = 0, q2 = = qm = −1 Lay khang đ%nh rang (VI)ξ¯ ξ¯ = ( riΣ ta m , , ) ∈ m AVI đơn đi¾u manh có nghi¾m nhat x¯ = De dàng thay rang (ii’) Đe thay rang Sol(AVVI(ω, 6)) khơng b% ch¾n, ta đ¾t ξα = (α, 1−α , , 1−α ) ∈ riΣ ý rang, vói moi m−1 m−1 1−α α ∈ (0, 1), Sol(VI)ξ α = ⊂ Sol(AVVI(ω, 6)) α Khang đ%nh cuoi cna đ%nh lý đưoc suy tù Đ%nh lý 2.1, Đ%nh lý 2.4 Bo đe 2.1 Th¾t v¾y, neu Solw (AVVI(ω, 6)) khác rong b% ch¾n thì, theo Đ%nh lý 2.4, chon α > có the tìm hang so ε > 0, ρ > cho neu (2.8) vói (M˜ i , q˜i) ∈ Rn×n × M ˜ i Rn vói núa xác đ%nh dương vói moi i = 1, , m, t¾p Solw (AVVI(ω˜, 6)) ƒ= ∅, (2.9) (2.10) Rõ ràng, bao hàm thúc sau kéo theo (2.21) (2.22) Do Solw (AVVI(ω˜, 6)) ƒ= ∅ b% ch¾n, áp dung Bo đe 2.1 Đ%nh lý 2.1 ta khang đ%nh rang Sol(AVVI(ω˜, 6)) ƒ= ∅ 2.3 Tính liên thơng cúa t¾p nghiắm Ta bat au vúi mđt ket quỏ ve tớnh liên thơng cna t¾p nghi¾m Pareto yeu cna AVVI đơn đi¾u Đ%nh lý 2.6 Giá sú rang ∈ Rn t¾p loi đa di¾n khác rong, M1, , Mm Rnìn l cỏc ma trắn nỳa xỏc %nh dng, q1, , qm ∈ Rn Đ¾t ω = (M1, , Mm, q1, , qm) Các khang đ%nh sau đúng: (i) Neu Solw (AVVI(ω, 6)) b% ch¾n liên thông (ii) Neu Solw (AVVI(ω, 6)) không liên thông moi thành phan liên thơng cúa t¾p nghi¾m khơng b% ch¾n Chúng minh Rõ ràng, khang đ%nh thú hai suy khang đ%nh thú nhat Đe chúng minh (ii), giá sú ngưoc lai rang Solw (AVVI(ω, 6)) khơng liên thơng, có m®t thành phan liên thơng b% ch¾n A Do A ƒ= Solw (AVVI(ω, 6)), theo (2.1) ta có , ƒ= ∅, ,ξ ∈ Σ : ⊂ A ƒ= ξ Sol(VI) ξ Sol(VI) Σ Kí hi¾u ve trái cna bat thúc cuoi Do Sol(VI) l mđt loi v A l m®t thành phan liên thơng cna Solw (AVVI(ω, 6)), Sol(VI)ξ ⊂ A Sol(VI)ξ ∩ A ƒ= ∅ Do , ,ξ ∈ Σ : ξ ∩ A ƒ= ∅ Sol(VI) Nó có nghĩa Σ0 ƒ= ∅ Neu ta có the chí rang Σ0 vùa mó, vùa đóng tơpơ cám sinh cna Σ thì, tính liên thơng cna t¾p sau cùng, Σ0 = Σ Đieu mâu thuan vói Σ0 ƒ= Σ đ%nh lý đưoc chúng minh Đe thay Σ0 mó, ta co đ%nh m®t điem ξ ∈ Σ0 Cho M (ξ) q(ξ) (2.13) Sú dung Đ%nh lý 2.2 cho b® ba {M (ξ), q(ξ), 6} ta tìm hang so ε(ξ) > 0, ρ(ξ) > 0, l(ξ) > cho neu (M˜ , q˜) ∈ Rn×n × Rn , núa xác đ%nh dương, (2.14) đưoc thóa mãn, M˜ Sol(AVI(M˜ , q˜, 6)) ƒ= ∅ (2.17), (2.18) Chon δ > thóa mãn (2.15) Như chúng minh bo đe 2.2, vói moi ξ r ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ, (M˜ , q˜) := (M (ξr), q(ξr)) thóa mãn đieu ki¾n (2.14) Do Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) ƒ= ∅ Hơn nua, tù (2.17), (2.18) ta có Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) ⊂ B¯ (0, ρ(ξ)), Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) ⊂ Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), 6)) + l(ξ)(||M (ξr) − M (ξ)|| + ||q(ξ r ) − q(ξ)||)B¯ (0, 1) Đieu có nghĩa hàm đa tr% Sol(AVI(M (.), q(.), 6)) : B(ξ, δ) ∩ Σ ⇒ Rn b% ch¾n đeu B(ξ, δ) ∩ Σ Lipschitz-trên tai ξ Đ¾c bi¾t, hàm đa tr% núa liên tuc tai ξ Khơng khó đe thay rang Sol(AVI(M (.), q(.), 6)) núa liên tuc tai moi điem cna B(ξ, δ) ∩ Σ Do Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) t¾p loi khác rong vói moi ξ r ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ, tính núa liên tuc cna Sol(AVI(M (.), q(.), 6)) suy rang t¾p ánh W := [ {Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) : ξ r ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ} liên thông Do Sol(VI)ξ Sol(AVI(M (ξ r ), q(ξ r ), 6)) có giao khác rong vói A theo cách chon cna ξ, A m®t thành phan liên thơng cna Solw (AVVI(ω, 6)), ta có the khang đ%nh rang W ⊂ A Do B(ξ, δ) ∩ Σ ⊂ Σ0 (j) ξ = Đe chúng minh Σ0 đóng tôpô cám sinh cna Σ Chon dãy ⊂ Σ0 vói lim ξ(j) ξ¯ ∈ Σ Ta se chí ξ¯ ∈ Σ0 Vói rang moi j ∈ N, chon mđt nghiắm x(j) Sol(VI)(j) A Khụng giỏm tớnh tong quát, giá sú rang lim x(j) = x¯ ∈ Do j→∞ j→∞ M ta đưoc (ξ(j))x(j) + q(ξ(j)), y − x(j) ≥ ∀y ∈ 6, ∀j ∈ N, ¯ ¯ M (ξ )x¯ + q(ξ ), y − x¯ ≥ ∀y ∈ Đieu có nghĩa x¯ ∈ Sol(VI)ξ¯ ⊂ Solw (AVVI(ω, 6)) Vì x(j) ∈ A ∀j ∈ N A t¾p đóng cna Solw (AVVI(ω, 6)), ta có x¯ ∈ A; ξ¯ ∈ Σ Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 2.7 Dưói giá thiet cúa Đ%nh lý 2.6, khang đ%nh sau đúng: (i’) Neu Sol(AVVI(ω, 6)) b% ch¾n liên thơng (ii’) Neu Sol(AVVI(ω, 6)) khơng liên thơng, moi thành phan liên thơng cúa t¾p nghi¾m khơng b% ch¾n Chúng minh Ta chúng minh tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 2.6 Ta chí thay ξ ∈ Σ bang ξ ∈ riΣ KET LU¾N Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nên đe tài mói chí đat đưoc m®t so ket q nhat đ%nh Em rat mong thay cơ, ban góp ý nh¾n xét đe khố lu¾n đưoc đay đn hồn thi¾n Trưóc ket thúc khố luắn ny, mđt lan nua em xin by tú lũng biet ơn sâu sac đoi vói thay giáo trưòng, đ¾c bi¾t thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em hồn thành khố lu¾n Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Văn Mùng Tài li¾u tham kháo [1] G.Y Chen and X.Q Yang, The complementarity problems and their equivalence with the weak minimal element in ordered spaces, J Math Anal Appl 153 (1990), pp 136-158 [2] E.U Choo and D.R Atkins, Bicriteria linear fractional programming, J Optim Theory Appl 36 (1982), pp 203-220 [3] E.U Choo and D.R Atkins, Connectedness in multiple linear fractional programming, Management Science 29 (1983), pp.250-255 [4] F Giannessi, Theorems of alternative, quadratic programs and com- plementarity problems, in Variational Inequality and Complemen- tarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 151-186 [5] F Giannessi (ed.), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000 [6] F Giannessi, On the Theory of Vecotr Optimization and Variational Inequalities Image Space Analysis and Separation, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Dordrecht, 153-216, 2000 54 [7] T.N Hoa, N.Q Huy, T.D Phuong, and N.D Yen, Unbounded components in the solution sets of strictly quasiconcave vector maximisation problems, J Global Optim 37 (2007), pp.1-10 [8] T.N Hoa, T.D Phuong, and N.D Yen, On the parametric affine variational inequality approach to linear fractional vector optimisation problems, Vietnam J Math 33 (2005), pp 477-489 [9] T.N Hoa, T.D Phuong, and N.D Yen, Linear fractional vector optimisation problems with many components in the solution sets, J Industr Manag Optim (2005), pp 477-486 [10] N.Q Huy and N.D Yen, Remarks on a conjecture of J Benoist, Nonlinear Anal Forum (2004), pp 109-117 [11] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press, New York, Lon- don, 1980 [12] G.M Lee, D.S Kim, B.S Lee, and N.D Yen, Vector variational inequalities as a tool for studying vector optimisation problems, Nonlinear Anal 34 (1998), pp 745-765 (Printed in a re-edited form in [5, pp 277-305]) [13] G.M Lee, N.N Tam, and N.D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: Nonconvex Optimisation and its Applications, Vol 78, Springer Verlag, New York, 2005 [14] G.M Lee, N.N Tam, and N.D Yen, Continuity of the solution map in parametric affine variational inequalities, Set-Valued Anal 15 (2007), pp 105-123 [15] G.M Lee and N.D Yen, A result on vector variational inequalities with polyhedral costraint sets, J Optim Theory Appl 109 (2001), pp 193-197 [16] S Lu and S.M Robinson, Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Math Oper Res 33 (2008), pp 689-711 [17] C Malivert, Multicriteria Fractional Programming, in Proceedings of the 2nd Catalan Days on Applied Mathematics, M Sofonea and J.N Corvellec, eds., Presses Universitaires de Perpinan, 1995, pp 189-198 [18] S.M Robinson, Generalised equations and their solutions, part I: Basic theory, Math Program Study 10 (1979), pp 128-141 [19] S.M Robinson, Solution continuity in monotone affine variational inequalities, SIAM J Optim 18 (2007), pp 1046-1060 [20] S.M Robinson and S Lu, Solution continuity in variational conditions, J Global Optim 40 (2008), pp 405-415 [21] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [22] R.E Steuer, Multiple Criteria Optimisation: Theory, Computation and Application, John Wiley and Sons, New York, 1986 [23] A.R Warburton, Quasiconcave vector maximization: Connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives, J Optim Theory Appl 40 (1983), pp 537-557 [24] N.D Yen and G.M Lee, On monotone and strongly monotone vector variational inequalities, in Variational Inequality and Complemen- tarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.-L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 467-478 [25] N.D Yen and T.D Phuong, Connectedness and stability of the solution set in linear fractional vector optimisation problems, in Variational Inequality and Complementarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.-L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 479489 [26] N.D Yen and J.-C Yao, Monotone affine vector variational inequal- ities , Optimization, vol 60, pp 53-68 ... nghi¾m dưói giá thiet đơn đi¾u 19 1.4.2 Sn ton tai nghi¾m dưói giá thiet đong dương 26 Bat thNc bien phân vector affine đơn đi¾u 34 2.1 Bat thúc bien phân vector affine đơn đi¾u 34 2.2... thúc bien phân vector affine đơn đi¾u, tính on đ%nh cna ánh xa t¾p nghi¾m tính liên thơng cna t¾p nghi¾m Chương Bat thNc bien phân affine 1.1 Bat thNc bien phân Bài toán bat thúc bien phân đưoc... Bat thNc bien phân affine 1.1 Bat thúc bien phân 1.2 Bài toán bù .10 1.3 Bat thúc bien phân affine .11 1.4 Sn ton tai nghi¾m cna bat thúc bien phân affine 19 1.4.1