Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khoá luận Xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ giải tích-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Văn Mừng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn ThS Nguyễn Văn Tuyên khóa luận tốt nghiệp “Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu” hoàn thành không trùng với khóa luận khác Trong trình hoàn thành khóa luận, thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Văn Mừng ii Mục lục Mở đầu 1 Bất đẳng thức biến phân affine 1.1 Bất đẳng thức biến phân 1.2 Bài toán bù 10 1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 11 1.4 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân affine 19 1.4.1 Sự tồn nghiệm giả thiết đơn điệu 19 1.4.2 Sự tồn nghiệm giả thiết đồng dương 26 Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu 34 2.1 Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu 34 2.2 Tính ổn định tập nghiệm 39 2.3 Tính liên thông tập nghiệm 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) đời vào năm 1960, gắn liền với công trình G Stampacchia, J L Lions [6] Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà toán học mô hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực khác toán học trường hợp riêng, ví dụ: tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân Nash, cân mạng giao thông Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality) (viết tắt VVI) đưa F Giannessi báo [4] Có nhiều báo nghiên cứu vấn đề tìm thấy sách chuyên khảo GS F Giannessi [5] Ta ý VVI coi công cụ thích hợp để nghiên cứu toán tối ưu vector VVI công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân vector Các tác giả có đóng góp cho phát triển toán kể đến: F Giannessi [4, 5, 6], T N Hoa, T D Phuong N D Yen [8, 9], G M Lee, N N Tam N D Yen [13, 14, 15], N D Yen J.-C Yao [26], Tính ổn định, độ nhạy nghiệm tính chất tôpô tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu nghiên cứu [12, 13, 26] Trong luận văn hệ thống lại số kết điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ tập nghiệm bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu có tham số trình bày [26] Ngoài ra, luận văn trình bày số tính chất tôpô tập nghiệm cho lớp toán Luận văn chia thành hai phần Chương trình bày kiến thức toán bất đẳng thức biến phân affine, toán liên quan số điều kiện tồn nghiệm Chương trình bày tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu, tính ổn định ánh xạ tập nghiệm tính liên thông tập nghiệm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu tính chất ánh xạ tập nghiệm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định ánh xạ tập nghiệm tính tính chất tôpô tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Cấu trúc khoá luận Chương trình bày kiến thức toán bất đẳng thức biến phân affine, toán liên quan số điều kiện tồn nghiệm Chương trình bày tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu, tính ổn định ánh xạ tập nghiệm tính liên thông tập nghiệm Chương Bất đẳng thức biến phân affine 1.1 Bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân nảy sinh cách tự nhiên từ toán tối ưu Cho f : Rn → R với f thuộc lớp C ⊂ Rn tập lồi, đóng khác rỗng Mệnh đề 1.1 Nếu x¯ nghiệm địa phương toán {f (x) : x ∈ } (1.1) ∇f (¯ x), y − x¯ ≥ ∀ y ∈ Chứng minh Lấy x¯ ∈ (1.2) nghiệm địa phương (1.1) Chọn µ > cho f (y) ≥ f (¯ x), ∀y ∈ Với y ∈ ∩ B(¯ x, µ) \ {¯ x}, ∃δ > cho x¯ + t(y − x¯) ∈ ¯ x, µ) với ∩ B(¯ t ∈ (0, δ) Khi f (¯ x + t(y − x¯)) − f (¯ x) = f (¯ x, y − x¯) t→0 t = ∇f (¯ x), y − x¯ ≤ lim Do ta có điều phải chứng minh Đặt    φ(x) = ∇f (x) =     ∂f (x) ∂x1   n   ∀x ∈ R , ∂f (x)  ∂xn (1.3) (1.2) viết lại sau φ(¯ x), y − x¯ ≥ ∀ y ∈ (1.4) ⊂ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng φ : Định nghĩa 1.1 Nếu → Rn toán tử toán tìm x¯ ∈ thỏa mãn (1.4) gọi toán bất đẳng thức biến phân, hay đơn giản bất đẳng thức biến phân, kí hiệu VI(φ, tập tất x¯ ∈ ) Tập nghiệm Sol(VI(φ, )) VI(φ, ) thỏa mãn (1.4) Định nghĩa 1.2 Nón pháp tuyến N (¯ x) tập lồi điểm x¯ ∈ Rn định nghĩa công thức   x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x∗ ≤ với x ∈ N (¯ x) =  ∅ x¯ ∈ / Dễ dàng kiểm tra x¯ ∈ Sol(VI(φ, ⊂ Rn x¯ ∈ )) ∈ φ(¯ x) + N (¯ x) Mệnh đề (1.1) cho thấy từ toán tối ưu hóa dẫn đến bất đẳng thức biến phân Một câu hỏi tự nhiên đặt ra: Cho bất đẳng thức biến phân VI(φ, ) với toán tử liên tục φ : Rn → Rn tìm hàm thuộc lớp C f : Rn → R cho VI(φ, ) thu từ toán tối ưu hóa (1.1) phương pháp hay không ? Nếu có hàm f tồn phải có φ(x) = ∇f (x) ∀x ∈ (1.5) Có thể thấy f thuộc lớp C2 toán tử φ : Rn → Rn định nghĩa (1.3) ma trận Jacobian đối xứng Nhớ lại hàm vector φ : Rn → Rn có thành phần trơn φ1 , , φn ma trận Jacobian φ x định nghĩa công thức   ∂φ1 (x) ∂φ1 (x) ∂φ1 (x)  ∂x1 ∂x ∂xn    Jφ(x) =      ∂φn (x) ∂φn (x) ∂φn (x)  ∂x1 ∂x2 ∂xn Từ giả thiết f thuộc lớp C2 từ (1.3) ta có ∂ f (x) ∂φj (x) ∂φi (x) ∂ f (x) = = = ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∀i, j Điều Jφ(x) ma trận đối xứng Mệnh đề 1.2 Cho ⊂ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng Nếu φ : Rn → Rn hàm vector với thành phần trơn mà ∂φi (x) ∂φj (x) = ∀i, j (một toán tử đối xứng trơn), tồn ∂xj ∂xi hàm thuộc lớp C2 , f : Rn → R cho (1.5) thỏa mãn Điều có nghĩa toán bất đẳng thức biến phân VI(φ, ) coi điều kiện cần bậc toán tối ưu (1.1) Như vậy, ta thấy toán tối ưu hóa trơn lớp C2 tương ứng với bất đẳng thức biến phân với toán tử đối xứng trơn Mệnh đề đơn giản sau cho thấy, khác với nghiệm toán quy hoạch toán học, nghiệm toán VI có đặc trưng địa phương Mệnh đề 1.3 Cho x¯ ∈ Nếu tồn ε > cho ∇f (¯ x), y − x¯ ≥ ∀ y ∈ x¯ ∈ Sol(VI(φ, )) ¯ x, ε), ∩ B(¯ (1.6) Chứng minh Giả sử ε > thỏa mãn (1.6) Hiển nhiên với y ∈ , ∃t = t(y) ∈ (0, 1) cho y(t) := x¯ + t(y − x¯) ∈ ¯ x, ε) ∩ B(¯ Từ (1.6), ≤ φ(¯ x), y(t) − x¯ = t φ(¯ x), y − x¯ Điều có nghĩa φ(¯ x), y − x¯ ≥ ∀y ∈ Bài toán VI(φ, Do x¯ ∈ Sol(VI(φ, )) ) phụ thuộc vào hai kiện: tập Cấu trúc tập nghiệm Sol(VI(φ, toán tử φ )) định tính chất tập hợp toán tử Trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân có vấn đề sau: tồn nghiệm, tính ổn định độ nhạy tập nghiệm tương ứng với toán nhiễu kiện, thuật toán để tìm tập nghiệm hay phần tập nghiệm Định lý Hartman-Stampacchia sau định lý tồn nghiệm toán VI Nó chứng minh việc sử dụng định lý điểm bất động Brouwer Định lý 1.1 (Định lý Hartman-Stampacchia) Nếu tập lồi, compact, khác rỗng φ : VI(φ, ⊂ Rn → Rn liên tục toán ) có nghiệm Dưới điều kiện thích hợp, ta thu định lý tồn nghiệm toán VI tập lồi không compact Chẳng hạn, ta có kết sau: Định lý 1.2 Cho ⊂ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng φ : toán tử liên tục Nếu tồn x0 ∈ φ(y) − φ(x0 ), y − x0 → Rn cho y − x0 → +∞ y → +∞, y ∈ , (1.7) toán VI(φ, ) có nghiệm Ý nghĩa xác (1.7) là: cho γ > ta tìm ρ > φ(y) − φ(x0 ), y − x0 cho ≥ γ với y ∈ thỏa mãn ||y|| > ρ ||y − x0 || 42 kính δ, ta có m ||M (ξ ) − M (ξ)|| = || (ξi − ξi )Mi || i=1 m ≤ |ξi − ξi |||Mi || i=1 ≤ √ m||ξ − ξ|| √ ≤δ m max ||Mi || {i=1, ,m} max ||Mi || < ε(ξ) {i=1, ,m} ˜ , q˜) := (M (ξ ), q(ξ )) thỏa Tương tự, ||q(ξ ) − q(ξ)|| < ε(ξ) Do cặp (M mãn (2.14) Do Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), )) = ∅ Ta vừa B(ξ, δ) ∩ Σ ⊂ Ω Để Ω đóng, ta chọn dãy ξ (j) ⊂ Ω với lim ξ (j) = ξ¯ ∈ Σ j→∞ Ta ξ¯ ∈ Ω Với j ∈ N, chọn nghiệm x(j) ∈ Sol(VI)ξ (j) Do Sol(VI)ξ (j) ⊂ Solw (AVVI(ω, )) với j tập bên vế phải bị chặn, ta phải giả sử lim x(j) = x¯ ∈ Theo cách chọn j→∞ x(j) , M (ξ (j) )x(j) + q(ξ (j) ), y − x(j) ≥ ∀y ∈ , ∀j ∈ N Qua giới hạn bất đẳng thức j → ∞, ta ¯ x + q(ξ), ¯ y − x¯ ≥ ∀y ∈ M (ξ)¯ Điều có nghĩa x¯ ∈ Sol(VI)ξ¯, ξ¯ ∈ Ω Bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh Định lý 2.4 Chứng minh Giả sử (i) Với ξ ∈ Σ, ta định nghĩa M (ξ) q(ξ) (2.13) Do M (ξ) nửa xác định dương, tập 43 Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), )) = Sol(VI)ξ khác rỗng theo (2.11) bị chặn theo (2.12) Theo Định lý 2.2 tồn số ε(ξ) > cho ˜ , q˜, )) = ∅ Chọn ε ∈ (0, ε(ξ)) Với (2.14) thỏa mãn Sol(AVI(M ˜ , , M˜m ∈ Rn×n q˜1 , , q˜m ∈ Rn thỏa mãn (2.8), ta đặt M m ˜ (ξ) = M m ˜ i q˜(ξ) = ξi M i=1 ξi q˜i (∀ξ ∈ Σ) (2.16) i=1 Rõ ràng m ˜ (ξ) − M (ξ)|| = || ||M ˜ i − Mi )|| ξi (M i=1 m m ˜ i − Mi || ≤ ε ξi ||M ≤ i=1 ξi = ε < ε(ξ) i=1 ˜ , q˜) := (M ˜ (ξ), q˜(ξ)) thỏa mãn Tương tự, ||˜ q (ξ) − q(ξ)|| < ε(ξ) Do đó, (M (2.14) Từ suy ˜ (ξ), q˜(ξ), Sol(AVI(M )) = ∅ Do đó, theo Định lý 2.1, tập nghiệm Solw (AVVI(˜ ω, Nếu )) khác rỗng ˜ i = Mi compact (ii) đúng, cách chọn M q˜i = qi với i = 1, , m ta có Sol(AVVI(ω, )) khác rỗng bị chặn, tức (i) Nếu m = 1, ta có (ii) ⇒ (i) theo Định lý 2.2 Bây giờ, giả sử không tập compact m ≥ Lấy M1 ∈ Rn×n ma trận xác định dương (tức M1 υ, υ > với υ = 0), q1 ∈ Rn chọn tùy ý Cho Mi = [0] qi = với i = 1, , m Đặt ξ (1) = (1, 0, , 0) ∈ Σ ta ý (VI)ξ (1) bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, toán có nghiệm Để thấy tính không bị chặn (i), ta chọn ξ (2) = (0, 1, , 0) ∈ Σ để ý Sol(VI)ξ (2) = Để chứng minh khẳng định cuối định lý, giả sử (i) thỏa mãn Với ξ ∈ Σ, cho M (ξ) q(ξ) định nghĩa 44 (2.13) Do Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), )) khác rỗng bị chặn theo giả thiết theo Bổ đề 2.1, áp dụng Định lý 2.2 ta tìm ε(ξ) > 0, ρ(ξ) > ˜ , q˜) =∈ Rn×n × Rn , M ˜ nửa xác định dương, l(ξ) > cho (M ˜ , q˜, (2.14) thỏa mãn, Sol(AVI(M ˜ , q˜, Sol(AVI(M )) = ∅, ¯ ρ(ξ)), )) ⊂ B(0, (2.17) ˜ , q˜, Sol(AVI(M )) ⊂ Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), )) ˜ − M (ξ)|| + ||˜ ¯ 1) + l(ξ)(||M q − q(ξ)||)B(0, (2.18) Từ ε(ξ) > 0, cần, ta giả sử 2ε(ξ)l(ξ) < α Chọn γ(ξ) > đủ nhỏ √ 2γ(ξ) m max ||Mi || √ < ε(ξ) 2γ(ξ) m i∈{1, ,m} max ||qi || < ε(ξ) i∈{1, ,m} (2.19) Do Σ compact, ∃ξ , , ξ k ∈ Σ cho Σ ⊂ B(ξ , γ(ξ )) ∪ ∪ B(ξ k , γ(ξ k )) Đặt ε = 2−1 ε(ξ j ), ρ = max ρ(ξ j ) j∈{1, ,k} j∈{1, ,k} ˜ , , M˜m ∈ Rn×n vector Chọn ma trận nửa xác định dương M q˜1 , , q˜m ∈ Rn thỏa mãn (2.8), ta muốn kiểm tra (2.9) (2.10) Theo Định lý 2.1, Solw (AVVI(˜ ω, ˜ (ξ), q˜(ξ), Sol(AVI(M )) = ), (2.20) ξ∈Σ ˜ (ξ) q˜(ξ) định nghĩa (2.16) Với ξ ∈ Σ, tồn M 45 số j ∈ {1, , k} cho ξ ∈ B(ξ j , γ(ξ j )) Theo (2.19), ta có m ˜ (ξ) − M (ξ )|| = || ||M m (ξi − ξij )Mi || ˜ i − Mi ) + ξi (M j i=1 m i=1 m |ξi − ξij | ||Mi || ˜ i − Mi || + ξi ||M ≤ i=1 m ≤ε i=1 √ ξi + ||ξ − ξ j || m i=1 √ ≤ ε + γ(ξ j ) m max ||Mi || i∈{1, ,m} max ||Mi || i∈{1, ,m} < ε + 2−1 ε(ξ j ) ≤ ε(ξ j ) ˜ (ξ), q˜(ξ), và, tương tự, ||˜ q (ξ)−q(ξ j )|| < ε(ξ j ) Do Sol(AVI(M ˜ (ξ), q˜(ξ), Sol(AVI(M )) = ∅, ¯ ρ(ξ j )) ⊂ B(0, ¯ ρ), )) ⊂ B(0, ˜ (ξ), q˜(ξ), Sol(AVI(M )) ⊂ Sol(AVI(M (ξ j ), q(ξ j ), )) ˜ (ξ) − M (ξ j )|| + l(ξ j )(||M ¯ 1) + ||˜ q (ξ) − q(ξ j )||)B(0, ⊂ Solw (AVVI(ω, ¯ 1) )) + 2l(ξ j )ε(ξ j )B(0, ⊂ Solw (AVVI(ω, )) + αB(0, 1) Khẳng định cuối với ξ ∈ Σ Kết hợp điều với (2.20), ta thu (2.9) (2.10) Do tính compact Solw (AVVI(ω, tập mở V ⊂ Rn chứa Solw (AVVI(ω, )), với )), ∃α > cho Solw (AVVI(ω, )) + αB(0, 1) ⊂ V Do đó, áp dụng kết vừa thu ta tìm lân cận U ω ˜ , , M˜m , q˜1 , , q˜m ) ∈ U với M ˜i Rn×(n×m) × Rn×m cho với ω ˜ = (M 46 nửa xác định dương với i = 1, , m, bao hàm thức Solw (AVVI(˜ ω, )) ⊂ V thỏa mãn Định lý chứng minh Định lý 2.5 Cho , Mi , qi ω định lý 2.4 Xét tính chất : (i’) Tập nghiệm Sol(AVVI(ω, )) khác rỗng bị chặn ˜ , , M˜m ∈ Rn×n q˜1 , , q˜m ∈ Rn (ii’) Tồn ε > cho với M ˜ , , M˜m , q˜1 , , q˜m ), thỏa mãn (2.8) tập Sol(AVVI(˜ ω , )), ω ˜ := (M khác rỗng Ta có (i’)⇒(ii’) Chiều ngược lại compact m = trường hợp tổng quát không không tập compact m ≥ Nếu tập nghiệm Pareto yếu Solw (AVVI(ω, )) khác rỗng bị ˜ i , q˜i ) ∈ chặn, với α > 0, tồn ε > 0, ρ > cho (M ˜ i nửa xác định dương với i = 1, , m (2.8) Rn×n × Rn , M đúng, tập Sol(AVVI(˜ ω, )) = ∅, ¯ ρ), )) ⊂ B(0, Sol(AVVI(˜ ω, (2.21) )) ⊂ Solw (AVVI(ω, Sol(AVVI(˜ ω, )) + αB(0, 1) (2.22) Bổ đề 2.2 Dưới giả thiết Định lý 2.5, (i’) ξ ∈ riΣ : Sol(VI)ξ = ∅ = riΣ, (2.23) công thức toán (VI)ξ ta đặt m m ξi Fi (x) = i=1 ξi (Mi x + qi ) i=1 Bên cạnh đó, đẳng thức (2.11) Chứng minh Kí hiệu vế trái (2.23) Ω Sử dụng Định lý 2.1, 2.2 lý luận dùng chứng minh Bổ đề 2.1, ta thấy 47 Ω tập khác rỗng riΣ vừa đóng vừa mở tôpô cảm sinh riΣ Thì (2.23) đúng, riΣ lồi (do liên thông) Để thu (2.11), với ξ¯ ∈ Σ \ riΣ cố định, ta chọn dãy ξ j ⊂ riΣ thỏa mãn ξ j → ξ¯ j → ∞ Từ (2.23) tính liên thông Sol(AVVI(ω, )), ta tìm dãy bị chặn xj ⊂ xj ∈ Sol(VI)ξ j với j ∈ N Ta giả sử xj → x¯ ∈ cho j → ∞ Ta có M (ξ (j) )x(j) + qξ (j) , y − x(j) ≥ ∀y ∈ Cho j → ∞, từ điều ta thu x¯ ∈ Sol(VI)ξ¯, điều Σ ⊂ Ω, Ω vế trái (2.11) Bây ta chứng minh Định lý 2.5 Chứng minh Giả sử (i’) Lấy ξ ∈ riΣ tùy ý Tập Sol(VI)ξ = ∅ theo Bổ đề 2.2 Do Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), )) = Sol(VI)ξ ⊂ Sol(AVVI(ω, )), )) = ∅ bị chặn Áp dụng Định lý 2.2 ta ˜ , q˜, )) = chọn ε(ξ) > cho (2.14) thỏa mãn Sol(AVI(M Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), ˜ , , M˜m ∈ Rn×n q˜1 , , q˜m ∈ Rn ∅ Chọn ε ∈ (0, ε(ξ)) tùy ý Với M thỏa mãn (2.8), lý luận để chứng minh khẳng định Định lý 2.4 cho thấy ˜ (ξ), q˜(ξ), Sol(AVI(M )) = ∅ Kết hợp điều với Định lý 2.1 ta thấy Sol(AVVI(˜ ω , )) = ∅ ˜ i = Mi q˜i = qi ∀i = Nếu compact (ii’) đúng, cho M 1, , m, ta kết luận Sol(AVVI(ω, )) = ∅ bị chặn.Nếu m = 1, ta có (ii’) ⇒ (i’) từ định lý 2.2 Bây ta xét trường hợp không compact m ≥ Chọn n = 1, = R+ , M1 = [1], M2 = = 48 Mm = [0], q1 = 0, q2 = = qm = −1 Lấy ξ¯ = ( m1 , , m1 ) ∈ riΣ ta khẳng định (VI)ξ¯ AVI đơn điệu mạnh có nghiệm x¯ = Dễ dàng thấy (ii’) Để thấy Sol(AVVI(ω, )) 1−α 1−α không bị chặn, ta đặt ξ α = (α, m−1 , , m−1 ) ∈ riΣ ý rằng, với 1−α α α ∈ (0, 1), Sol(VI)ξ α = ⊂ Sol(AVVI(ω, )) Khẳng định cuối định lý suy từ Định lý 2.1, Định lý 2.4 Bổ đề 2.1 Thật vậy, Solw (AVVI(ω, )) khác rỗng bị chặn thì, theo Định lý 2.4, chọn α > tìm số ˜ i , q˜i ) ∈ Rn×n × Rn với M ˜i ε > 0, ρ > cho (2.8) với (M ω, nửa xác định dương với i = 1, , m, tập Solw (AVVI(˜ )) = ∅, (2.9) (2.10) Rõ ràng, bao hàm thức sau kéo theo (2.21) (2.22) Do Solw (AVVI(˜ ω, )) = ∅ bị chặn, áp dụng Bổ đề 2.1 Định lý 2.1 ta khẳng định Sol(AVVI(˜ ω, 2.3 )) = ∅ Tính liên thông tập nghiệm Ta bắt đầu với kết tính liên thông tập nghiệm Pareto yếu AVVI đơn điệu Định lý 2.6 Giả sử ∈ Rn tập lồi đa diện khác rỗng, M1 , , Mm ∈ Rn×n ma trận nửa xác định dương, q1 , , qm ∈ Rn Đặt ω = (M1 , , Mm , q1 , , qm ) Các khẳng định sau đúng: (i) Nếu Solw (AVVI(ω, (ii) Nếu Solw (AVVI(ω, )) bị chặn liên thông )) không liên thông thành phần liên thông tập nghiệm không bị chặn Chứng minh Rõ ràng, khẳng định thứ hai suy khẳng định thứ 49 Để chứng minh (ii), giả sử ngược lại Solw (AVVI(ω, )) không liên thông, có thành phần liên thông bị chặn A Do A = Solw (AVVI(ω, )), theo (2.1) ta có ξ ∈ Σ : Sol(VI)ξ = ∅, Sol(VI)ξ ⊂ A = Σ Kí hiệu vế trái bất đẳng thức cuối Σ0 Do Sol(VI)ξ tập lồi A thành phần liên thông Solw (AVVI(ω, )), Sol(VI)ξ ⊂ A Sol(VI)ξ ∩ A = ∅ Do ξ ∈ Σ : Sol(VI)ξ ∩ A = ∅ Nó có nghĩa Σ0 = ∅ Nếu ta Σ0 vừa mở, vừa đóng tôpô cảm sinh Σ thì, tính liên thông tập sau cùng, Σ0 = Σ Điều mâu thuẫn với Σ0 = Σ định lý chứng minh Để thấy Σ0 mở, ta cố định điểm ξ ∈ Σ0 Cho M (ξ) q(ξ) (2.13) Sử dụng Định lý 2.2 cho ba {M (ξ), q(ξ), } ˜ , q˜) ∈ ta tìm số ε(ξ) > 0, ρ(ξ) > 0, l(ξ) > cho (M ˜ nửa xác định dương, (2.14) thỏa mãn, Rn×n × Rn , M ˜ , q˜, Sol(AVI(M )) = ∅ (2.17), (2.18) Chọn δ > thỏa mãn ˜ , q˜) (2.15) Như chứng minh bổ đề 2.2, với ξ ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ, (M := (M (ξ ), q(ξ )) thỏa mãn điều kiện (2.14) Do Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), )) = ∅ Hơn nữa, từ (2.17), (2.18) ta có Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), ¯ ρ(ξ)), )) ⊂ B(0, Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), )) ⊂ Sol(AVI(M (ξ), q(ξ), + l(ξ)(||M (ξ ) − M (ξ)|| ¯ 1) + ||q(ξ ) − q(ξ)||)B(0, )) 50 Điều có nghĩa hàm đa trị )) : B(ξ, δ) ∩ Σ ⇒ Rn Sol(AVI(M (.), q(.), bị chặn B(ξ, δ) ∩ Σ Lipschitz-trên ξ Đặc biệt, hàm đa trị nửa liên tục ξ Không khó để thấy Sol(AVI(M (.), q(.), )) nửa liên tục điểm B(ξ, δ) ∩ Σ Do Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), )) tập lồi khác rỗng với ξ ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ, tính nửa liên tục Sol(AVI(M (.), q(.), {Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), W := )) suy tập ảnh )) : ξ ∈ B(ξ, δ) ∩ Σ} liên thông Do Sol(VI)ξ Sol(AVI(M (ξ ), q(ξ ), )) có giao khác rỗng với A theo cách chọn ξ, A thành phần liên thông Solw (AVVI(ω, )), ta khẳng định W ⊂ A Do B(ξ, δ) ∩ Σ ⊂ Σ0 ξ (j) Để chứng minh Σ0 đóng tôpô cảm sinh Σ Chọn dãy ⊂ Σ0 với lim ξ (j) = ξ¯ ∈ Σ Ta ξ¯ ∈ Σ0 Với j→∞ j ∈ N, chọn nghiệm x(j) ∈ Sol(VI)ξ (j) ⊂ A Không giảm tính tổng quát, giả sử lim x(j) = x¯ ∈ j→∞ Do M (ξ (j) )x(j) + q(ξ (j) ), y − x(j) ≥ ∀y ∈ , ∀j ∈ N, ta ¯ x + q(ξ), ¯ y − x¯ ≥ ∀y ∈ M (ξ)¯ Điều có nghĩa x¯ ∈ Sol(VI)ξ¯ ⊂ Solw (AVVI(ω, N A tập đóng Solw (AVVI(ω, )) Vì x(j) ∈ A ∀j ∈ )), ta có x¯ ∈ A; ξ¯ ∈ Σ Định lý chứng minh Định lý 2.7 Dưới giả thiết Định lý 2.6, khẳng định sau đúng: (i’) Nếu Sol(AVVI(ω, )) bị chặn liên thông 51 (ii’) Nếu Sol(AVVI(ω, )) không liên thông, thành phần liên thông tập nghiệm không bị chặn Chứng minh Ta chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.6 Ta thay ξ ∈ Σ ξ ∈ riΣ 52 KẾT LUẬN Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn góp ý nhận xét để khoá luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khoá luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Văn Mừng Tài liệu tham khảo [1] G.Y Chen and X.Q Yang, The complementarity problems and their equivalence with the weak minimal element in ordered spaces, J Math Anal Appl 153 (1990), pp 136-158 [2] E.U Choo and D.R Atkins, Bicriteria linear fractional programming, J Optim Theory Appl 36 (1982), pp 203-220 [3] E.U Choo and D.R Atkins, Connectedness in multiple linear fractional programming, Management Science 29 (1983), pp.250-255 [4] F Giannessi, Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in Variational Inequality and Complementarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.-L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 151-186 [5] F Giannessi (ed.), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000 [6] F Giannessi, On the Theory of Vecotr Optimization and Variational Inequalities Image Space Analysis and Separation, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Dordrecht, 153-216, 2000 54 [7] T.N Hoa, N.Q Huy, T.D Phuong, and N.D Yen, Unbounded components in the solution sets of strictly quasiconcave vector maximisation problems, J Global Optim 37 (2007), pp.1-10 [8] T.N Hoa, T.D Phuong, and N.D Yen, On the parametric affine variational inequality approach to linear fractional vector optimisation problems, Vietnam J Math 33 (2005), pp 477-489 [9] T.N Hoa, T.D Phuong, and N.D Yen, Linear fractional vector optimisation problems with many components in the solution sets, J Industr Manag Optim (2005), pp 477-486 [10] N.Q Huy and N.D Yen, Remarks on a conjecture of J Benoist, Nonlinear Anal Forum (2004), pp 109-117 [11] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press, New York, London, 1980 [12] G.M Lee, D.S Kim, B.S Lee, and N.D Yen, Vector variational inequalities as a tool for studying vector optimisation problems, Nonlinear Anal 34 (1998), pp 745-765 (Printed in a re-edited form in [5, pp 277-305]) [13] G.M Lee, N.N Tam, and N.D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: Nonconvex Optimisation and its Applications, Vol 78, Springer Verlag, New York, 2005 [14] G.M Lee, N.N Tam, and N.D Yen, Continuity of the solution map in parametric affine variational inequalities, Set-Valued Anal 15 (2007), pp 105-123 55 [15] G.M Lee and N.D Yen, A result on vector variational inequalities with polyhedral costraint sets, J Optim Theory Appl 109 (2001), pp 193-197 [16] S Lu and S.M Robinson, Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Math Oper Res 33 (2008), pp 689-711 [17] C Malivert, Multicriteria Fractional Programming, in Proceedings of the 2nd Catalan Days on Applied Mathematics, M Sofonea and J.N Corvellec, eds., Presses Universitaires de Perpinan, 1995, pp 189-198 [18] S.M Robinson, Generalised equations and their solutions, part I: Basic theory, Math Program Study 10 (1979), pp 128-141 [19] S.M Robinson, Solution continuity in monotone affine variational inequalities, SIAM J Optim 18 (2007), pp 1046-1060 [20] S.M Robinson and S Lu, Solution continuity in variational conditions, J Global Optim 40 (2008), pp 405-415 [21] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [22] R.E Steuer, Multiple Criteria Optimisation: Theory, Computation and Application, John Wiley and Sons, New York, 1986 [23] A.R Warburton, Quasiconcave vector maximization: Connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives, J Optim Theory Appl 40 (1983), pp 537-557 [24] N.D Yen and G.M Lee, On monotone and strongly monotone vector variational inequalities, in Variational Inequality and Complemen- 56 tarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.-L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 467-478 [25] N.D Yen and T.D Phuong, Connectedness and stability of the solution set in linear fractional vector optimisation problems, in Variational Inequality and Complementarity Problems, R.W Cottle, F Giannessi, and J.-L Lions, eds., Wiley, New York, 1980, pp 479-489 [26] N.D Yen and J.-C Yao, Monotone affine vector variational inequalities , Optimization, vol 60, pp 53-68 [...]... định sau đây là đúng: (i) Tập nghiệm của bất dẳng thức biến phân affine là một tập đóng (có thể rỗng) (ii) Nếu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine không bị chặn 16 thì bài toán có một tia nghiệm (iii) Nếu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine là vô hạn thì bài toán có một khoảng nghiệm Chứng minh Khẳng định (i) được suy ra trực tiếp từ công thức (1.25) vì, với mỗi I0 ⊂ I, tập PrRn... là toán tử affine có ma trận Jacobian M đối xứng Định nghĩa 1.5 Cho M ∈ Rn×n , q ∈ Rn Cho ⊂ Rn là tập lồi đa diện Bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x¯ ∈ sao cho M x¯ + q, y − x¯ ≥ 0 ∀y ∈ (1.15) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân affine được xác định bởi tập dữ liệu {M, q, } và được kí hiệu là AVI(M, q, bài toán được kí hiệu là Sol(AVI(M, q, ) Tập nghiệm của )) Định lý 1.3 Vector x¯ ∈... → Rn , được kí hiệu là NCP(φ, ) và được gọi là bài toán bù (không tuyến tính) được định nghĩa bởi φ và Từ bài toán bù là bài toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt, các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán VI có thể được áp dụng cho nó 1.3 Bất đẳng thức biến phân affine Theo định lý 3.1 [13], nếu x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch toàn phương 1 min f (x) = xT M x + q T x : x ∈... do φ liên tục nên thu được φ(¯ x), y − x¯ ≥ 0 Do bất đẳng thức cuối đúng với y ∈ bất kỳ, nên ta có x¯ ∈ Sol(VI(φ, )) 10 Ta sẽ chứng minh Mệnh đề 1.4 Chứng minh (i) Giả sử phản chứng φ là đơn điệu chặt trên bài toán VI(φ, nhưng ) có hai nghiệm khác nhau x¯ và y¯ Khi đó, ta có φ(¯ x), y¯ − x¯ ≥ 0 và φ(¯ y ), x¯ − y¯ ≥ 0 Cộng theo các vế các bất đẳng thức này ta được φ(¯ x) − φ(¯ y ), y¯ − x¯ ≥ 0 Điều... công thức φ(x) = Dx+c, x ∈ , định nghĩa một toán tử đơn điệu 9 Mệnh đề 1.4 Các khẳng định sau đây là đúng (i) Nếu φ là đơn điệu chặt trên thì bài toán VI(φ, ) không thể có nhiều hơn một nghiệm (ii) Nếu φ là liên tục và đơn điệu trên VI(φ, thì tập nghiệm của bài toán ) là lồi và đóng (có thể rỗng) Để chứng minh (ii) ta phải sử dụng bổ đề sau ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và φ : Bổ đề 1.1 Nếu đơn điệu, ... được gọi là đơn điệu mạnh trên Nếu các điều kiện yếu hơn là: φ(y) − φ(x), y − x > 0 ∀x, y ∈ , x = y, (1.10) và φ(y) − φ(x), y − x ≥ 0 ∀x, y ∈ , (1.11) là đúng thì φ được gọi tương ứng là đơn điệu chặt và đơn điệu trên Ví dụ 1.1 Cho ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng Cho D ∈ Rn×n và c ∈ Rn Nếu ma trận D là xác định dương thì toán tử φ : được định nghĩa bởi φ(x) = Dx + c, x ∈ → Rn , là đơn điệu mạnh... l(M ) và {υ ∈ Rn : M υ ∈ δ(A)+ } chỉ gồm một phần tử 0 (γ3 ) Giao của các nón l(M ),{υ ∈ Rn : M υ ∈ δ(A)+ } và δ(A) chỉ gồm một phần tử 0 1.4 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine 1.4.1 Sự tồn tại nghiệm dưới giả thiết đơn điệu Xét bài toán AVI(M, q, Tìm x¯ ∈ ) sao cho M x¯ + q, y − x¯ ≥ 0 ∀y ∈ ở đó M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , và , (1.33) là một tập lồi đa diện khác rỗng trong Rn là tập lồi... y ) − φ(¯ x), y¯ − x¯ > 0 (ii) Giả thiết rằng φ đơn điệu và liên tục trên hiệu Ω(y) là tập tất cả x¯ ∈ Với mỗi y ∈ , ký thỏa mãn bất đẳng thức φ(y), y − x¯ ≥ 0 Rõ ràng Ω(y) là lồi và đóng Từ Bổ đề 1.1 ta có Sol(VI(φ, )) = Ω(y) y∈ Do đó Sol(VI(φ, )) là tập lồi và đóng (có thể rỗng) Từ Định lý 1.2 và Mệnh đề 1.4 (i) ta có: nếu = ∅ và φ : là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục thì bài toán (VI(φ, → Rn ))... (A¯  λ x − b) = 0 (1.22) Không giống với tập nghiệm và tập nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi, tập nghiệm của bài toán AVI có cấu trúc đơn giản hơn Định lý 1.4 Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là hợp của hữu hạn các tập lồi đa diện Chứng minh Xét một bài toán AVI tổng quát dạng (1.15) Do là tập lồi đa diện nên tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm sao cho... là đơn điệu trên tập lồi đóng ⊂ Rn nếu toán tử tuyến tính tương ứng với M đơn điệu trên , có nghĩa là (y − x)T M (y − x) ≥ 0 ∀x ∈ Ma trận M được gọi là đồng dương trên , ∀y ∈ (1.46) nếu υ T M υ ≥ 0 ∀υ ∈ 0+ (1.47) Nếu M là đồng dương trên Rn+ thì ta nói một cách đơn giản M là ma trận đồng dương Ma trận M được gọi là đồng dương chặt trên nếu υ T M υ > 0 ∀υ ∈ 0+ (1.48) \ {0} Nhận xét 1.1 Tính đơn điệu ... nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu... toán bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu, tính ổn định ánh xạ tập nghiệm tính liên thông tập nghiệm Chương Bất đẳng thức biến phân affine 1.1 Bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng. .. bất đẳng thức biến phân affine 19 1.4.1 Sự tồn nghiệm giả thiết đơn điệu 19 1.4.2 Sự tồn nghiệm giả thiết đồng dương 26 Bất đẳng thức biến phân vector affine đơn điệu 34 2.1 Bất đẳng thức