CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP BIẾN HÌNH A LÝ THUYẾT Định nghĩa: M M′ Phép biến hình quy tắc để điểm mặt phẳng xác định điểm thuộc mặt phẳng Kí hiệu thuật ngữ: P F Gọi tập hợp điểm mặt phẳng phép biến hình : F :P→P M → M′= F ( M ) M′ M F M M′ - Điểm gọi ảnh điểm qua phép biến hình , điểm tạo ảnh điểm ′ ′ Η H M M ∈Η Η - Nếu hình ( gồm điểm ảnh ) gọi anh qua F phép biến hình - Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Tích hai phép biến hình G F M M′ M F Cho hai phép biến hình Gọi điểm mặt phẳng ảnh qua , G M ′′ M′ ảnh qua G G.F M ′′ M F Ta nói, ảnh tích hai phép biến hình Ký hiệu M ′′ = G ( F ( M ) ) PHÉP TỊNH TIẾN A Lý thuyết Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ r v Phép biến hình biến điểm gọi phép tịnh tiến theo vectơ • • • r v r v Tvr M thành điểm M′ cho uuuuur r MM ′ = v r v Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , gọi vectơ tịnh tiến uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v Ta có: Phép tịnh tiến theo vecto – khơng phép đồng ur v Tính chất: ur v ur v Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M ′N ′ = MN từ suy M,N thành hai điểm M ′, N ′ uuuuur uuuu r M ′N ′ = MN , ur v Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, đường trịn thành đường trịn có bán kính STUDY TIP Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Biểu thức tọa độ: r v = ( a; b ) , M ( x; y ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ Khi phép tịnh tiến theo vectơ x ' = x + a r  v : Tvr ( M ) = M' ( x '; y ') y' = y + b có biểu thức tọa độ: B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN DẠNG CÁC BÀI TỐN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất phép tịnh tiến Xác định ảnh điểm, hình qua phép tịnh tiến Tìm quĩ tích điểm thơng qua phép tịnh tiến Ứng dụng phép tịnh tiến vào tốn hình học khác Ví dụ 1: Kết luận sauuu ur làr sai? uur (A) = B TuAB Tur ( A) = B ⇔ AB = u A B uuu r uuuu r uur ( M ) = N ⇔ AB = MN T2 uAB T0r ( B) = B C C Lời giải: Đáp án D uuuu r uuur uur ( M ) = N ⇔ MN = AB T2 uAB Ta có Vậy D sai STUDY TIP uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v Định nghĩa phép tịnh tiến: r r Tv ( M ) = M '; Tv ( N ) = N ' Ví dụ 2: Giảusử Mệnh đề sau uuuuur uuuu r uuuusai? ur uuuur M ' N ' = MN MM ' = NN ' A B MM ' = NN ' MNM ' N ' C D hình bình hành Lời giải: Đáp án D Theo tính chất phép tịnh tiến đáp án A, B, C MNM ' N ' khơng theo thứ tự đỉnh hình bình hành nên D sai d1 d2 d1 d2 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng cắt Có phép tịnh tiến biến thành A Không B Một C Hai D Vô số Đáp án A Lời giải: Do phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nên d1 d2 khơng có phép tịnh tiến biến thành M,N AD, DC ABCD I Ví dụ 4: Cho hình vng tâm Gọi trung điểm Phép tịnh tiến theo INC AMI vectơ sau biến tam giác thành A uuuu r AM B uur IN uuur AC C Lời giải: Đáp ánuuu Du r uur uur uuur ( ∆AMI ) = ∆INC MN = AI = IC ⇒ TuMN Ta có ABCD I Ví dụ 5: Cho hình bình hành tâm Kết luận sau sai? uur ( D ) = C uuur ( B ) = A TuAB TCD TuAIur ( I ) = C A B C Lời giải: Đáp án D D D uuuu r MN TuIDur ( I ) = B uur uur TuIDur ( I ) = I ' ⇔ II ' = ID ⇔ I ' ≡ D Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến theo hướng xác định ( C) ( C) O AB ∆ A Ví dụ 7: Cho đường trịn có tâm đường kính Gọi tiếp tuyến điểm uuu r AB ∆ Phép tịnh tiến theo vectơ biến thành: ( C) ∆ A Đường kính đường trịn song song với ( C) B B Tiếp tuyến điểm ( C) AB C Tiếp tuyến song song với O ∆ D Đường thẳng song song với qua Lời giải: Đáp án B uur ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′ //∆, ∆′ TuAB Theo tính chất phép tịnh tiến nên tiếp tuyến đường tròn ( C) B điểm ( O, R ) B, C A BD Ví dụ 8: Cho hai điểm cố định đường tròn thay đổi đường trịn đó, ∆ABC H đường kính Khi quỹ tích trực tâm là: BC ∆ABC A A Đoạn thẳng nối từ tới chân đường cao thuộc BC B Cung tròn đường tròn đường kính uur TuHA ( O, R ) O′ R C Đường trịn tâm bán kính ảnh qua uuu r TuDC ( O, R ) O' R D Đường trịn tâm , bán kính ảnh qua Lời giải: Đáp án D AD //CH AH //DC BD ⇒ ADCH Kẻ đường kính hình bình hành(Vì vng góc với umột uur đường uuur thẳng) uuu r ( A) = H ⇒ AH = DC ⇒ TuDC uuu r TuDC ( O, R ) O' H R Vậy thuộc đường tròn tâm , bán kính ảnh qua ( C) A, B ABCD I Ví dụ 9: Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động đường trịn Khi DC M quỹ tích trung điểm cạnh : TuKIuur , K ( C′) ( C) BC A đường tròn ảnh qua trung điểm TuKIuur , K ( C′) ( C) AB B đường tròn ảnh qua trung điểm BD C đường thẳng I ID D đường tròn tâm bán kính Lời giải: Đáp án B AB ⇒ K trung điểm cố định TuKIuur ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = TuKIuur ( ( C ) ) Ta có Gọi K DẠNG XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp Xác định ảnh điểm qua phép tịnh tiến - Sử dụng biểu thức tọa độ r v ∆′ ∆ Xác định ảnh đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ A, B A′, B′ ∆ ∆′ Cách Chọn hai điểm phân biệt , xác định ảnh tương ứng Đường thẳng cần tìm A′, B′ đường thẳng qua hai ảnh Cách Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng phương với Cách Sử dụng quỹ tích M ( x; y ) ∈ ∆, Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) M ′ ∈ ∆′ Với  x′ = x + a  x = x′ − a   x, y  y′ = y + b  y = y′ − b ∆ ∆′ Từ biểu thức tọa độ ta phương trình ta phương trình Xác định ảnh hình (đường trịn, elip, parabol…) M ( x; y ) Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) M′ - Sử dụng quỹ tích: Với điểm thuộc hình , thuộc ảnh ’ hình - Với đường trịn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có bán kính sử dụng quỹ tích Oxy A ( 3; −3) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Tìm tọa độ diểm r v = ( −1;3) tịnh tiến theo véctơ A′ ( 2; −6 ) A′ ( 2;0 ) A′ ( 4;0 ) A B C Lời giải: Đáp án B A′ ảnh D A A′ ( −2;0 ) qua phép Tvr ( A) = A′ ( x A′ y A′ ) Ta có STUDY TIP  x = x A + xvr x ′ = uuur r ⇔  A′ ⇔ A ⇒ A′ ( 2;0 ) ⇔ AA′ = v  y A′ =  y A′ = y A + yvr Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: Oxy  x′ = x + a   y′ = y + b M ′ ( −4; ) M′ M Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , biết ảnh qua phép tịnh tiến r v = ( 1; −5 ) M theo véctơ Tìm tọa độ điểm M ( −3;5 ) M ( 3;7 ) M ( −5; ) M ( −5; −3) A B C D Lời giải: Đáp án C uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v Ta có:  xvr = xM ′ − xM  xM = xM ′ − xvr  x M = −5 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ M ( −5;7 ) r = y r y − y y = y − y y = ′ ′ v M M M M v  M   M ( −5; ) M ′ ( −3; ) Oxy M Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm điểm ảnh cảu qua phép r r v v tịnh tiến theo véctơ Tìm tọa độ véctơ r r r r v = ( −2; ) v = ( 0; ) v = ( −1; ) v = ( 2;0 ) A B C D Lời giải: Đáp án D  x r = x M ′ − xM  xvr = r uuuuur r ⇔  v ⇔ ⇒ v = ( 2;0 ) Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v  yvr =  yvr = yM ′ − yM Ta có: r M ( 0; ) , N ( −2;1) v = ( 1; ) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm véctơ Ơ Phép tịnh r ′ ′ M , N M , N v M ′N ′ tiến theo véctơ biến thành hai điểm tương ứng Tính độ dài M ′N ′ = M ′N ′ = M ′N ′ = M ′N ′ = A B C D Lời giải: Đáp án A Tvr ( M ) = M ′ 2 ⇒ MN = M ′N ′ = ( −2 − ) + ( − ) =  Tvr ( N ) = N ′ Ta có STUDY TIP Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm A ( 2; ) B ( 5;1) C ( −1; −2 ) Oxy ∆ABC Ví dụ Trong u mặt phẳng tọa độ , cho biết , , Phép tịnh tiến theo uur ∆ABC ∆A′B′C ′ G′ ∆A′B′C ′ BC véctơ biến thành tương ứng điểm Tọa độ trọng tâm là: A G ′ ( −4; −2 ) B G′ ( 4; ) C G′ ( 4; −2 ) D G′ ( −4; ) Lời giải: Đáp án A uuur G ( 2;1) BC = ( −6; −3) Ta có tọa độ trọng tâm ; u u u r  xG′ = xG + xBC  xG ′ = −4 uuuu r uuur ⇔  ⇔ ⇒ G′ ( −4; −2 ) uuur uur ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC y = y + y y = − TuBC ′ ′  G G G  G′ G′ BC  ∆ABC STUDY TIP Phép tịnh tiến biến trọng tâm G ∆ABC thành trọng tâm G′ ∆A′B′C ′ Oxy ∆′ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đườn thẳng ảnh đường thẳng r v = ( 1; −1) ∆ : x + y −1 = qua phép tịnh tiến theo véctơ ∆′ : x + y = ∆′ : x + y − = ∆′ : x + y + = ∆′ : x + y + = A B C D Lời giải: Đáp án A Cách 1: A ( 1; ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( B ) = B′ ( 0;0 ) ∈ ∆′ Chọn ⇒ ′ ∆ A′B′ đường thẳng đường thẳng r A′ ( 2; −1) n = ( 1; ) ∆′ Đường thẳng qua có véctơ pháp tuyến có phương trình là: ∆′ :1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y = STUDY TIP Hai đường thẳng phương có hai véctơ pháp tuyến phương Cách Tvr ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆ x + 2y + m = ∆′ hai đường thẳng phương nên có dạng A ( 1; ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒ m = Chọn ′ ∆ : x + 2y = Vậy phương trình Cách 3: Sử dụng quỹ tích M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + yM − = ( 1) Lấy  x′ = x M +  xM = x ′ − Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ∈ ∆′ ⇔  ⇔  y′ = yM −  yM = y ′ + Ta có ( 1) ( x′ − 1) + ( y′ + 1) − = ⇔ x′ + y′ = Thay vào ta ∆′ : x + y = Vậy Nhận xét: Độc giả sử dụng cách tỏ có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác ( C′) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường trịn ảnh cảu đường tròn r 2 v = ( 1; ) Tvr ( C ) : x + y − 2x + y − = qua với 2 ( x + 2) + y = ( x − 2) + y2 = A B 2 2 x + y − 2x − = 2x + y − 8x + = C D Lời giải: Đáp án B Cách 1: Theo tính chất phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có bán kính I ( 1; −2 ) ( C) R= Ta có: đường trịn có tâm , bán kính Tvr ( I ) = I ′ ( 2;0 ) Suy ra: I ′ ( 2;0 ) ( C′) R′ = R = Vậy đường trịn có tâm , bán kính có phương trình: 2 ( x − 2) + y = Cách 2: Sử dụng quỹ tích: M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) Gọi  x′ = x +  x = x′ − ⇒ ⇔  y′ = y +  y = y′ − ( C) x, y Thế vào phương trình đường trịn , ta có: 2 2 ( x′ − 1) + ( y ′ − ) − ( x′ − 1) + ( y ′ − ) − = ⇔ ( x′ ) + ( y′ ) − x′ − = ( C′) : ( x − 2) + y2 = Vậy Study Tip ( x − a) + ( y − b) = R2 I ( a; b ) R có tâm bán kính I ( a; b ) x + y − 2ax − 2by + c = R = a + b2 − c Phương trình có tâm bán kính r đường trịn r y = f ( x ) = x + 3x + v = ( a; b ) v Ví dụ Cho vectơ cho tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận y = g ( x ) = x − 3x + x − P = a +b đồ thị hàm số Tính P=3 P = −3 P = −1 P=2 A B C D Lời giải: Đáp án A g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x − x + x − = ( x − a ) + ( x − a ) + 1 + b   Từ giả thiết ta có: Phương trình đường trịn ⇔ x − x + x − = x3 − 3ax + ( a + 1) x − a − 3a + + b Đồng thức ta được: Study Tip a = ⇒ P = a+b =3  b = ⇔ Đồng thức đa thức hệ số đa thức tương ứng A ( −5; ) C ( −1;0 ) B = Tur ( A ) , C = Tvr ( B ) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , Biết r r Tur +vr u +v C A Tìm tọa độ vectơ để thực phép tịnh tiến biến điểm thành điểm ( −6; ) ( 2; −4 ) ( 4; −2 ) ( 4; ) A B C D Lời giải: Đáp án C uuu r r Tur ( A ) = B ⇔ AB = u Ta có: uuur r Tvr ( B ) = C ⇔ BC = v uuur uuu r uuur r r AC = AB + BC = u + v Mà uuur r r Tur +vr ( A) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 ) Do đó: Study Tip Ta có sơ đồ tổng qt: Oxy OABC Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành ∆ : 2x − y − = C đường thẳng Tìm quỹ tích đỉnh ? x − y − 10 = A Là đường thẳng có phương trình x + 2y − = B Là đường thẳng có phương trình 2x − y + = C Là đường thẳng có phương trình 2 x + y − 2x + y = D Là đường trịn có phương trình Đáp án A Lời giải: u u u r TAO ( B ) = C OABC Vì hình bình hành nên với điểm A ( −2;1) , điểm B thuộc Khi V( O ,1) ( M ) = M ′ ⇔ M ≡ M ′ k =1 : phép vị tự M , N, P AB, BC , CA ∆ABC G Ví dụ 2: Cho có trọng tâm Gọi trung điểm cạnh ∆ABC ∆NPM Phép vị tự sau biến thành ? V  V  V  V( G,−2 )  A, − ÷  M, ÷  G, − ÷ 2 2   2  A B C D Lời giải:: Đáp án D A M B Ta có G N P C uuuu r r uuur uuur uuur uuur uuu GM = − GC , GP = − GB, GN = − GA ⇒ V  ( ∆ABC ) = ∆NPM 2  G, − ÷ 2  Ví dụ 3: Cho hai điểm O, I V I k ≠1 r uur u = ( − k ) IO Xét phép vị tự tâm tỉ số phép tịnh tiến theo M1 = V ( M ) , M = T ( M1 ) M2 M F M Lấy điểm bất kì, Phép biến hình biến thành Chọn mệnh đề đúng: O 1− k O k F F A phép vị tự tâm tỉ số B phép vị tự tâm tỉ số 1 − O O k k F F C phép vị tự tâm tỉ số D phép vị tự tâm tỉ số Lời giải:: Đáp uuuu r án B.uuur IM = K IM ( 1) uuuuuur r uur uuuur uuuu r uur uuuur uuuu r uur M 1M = u = ( − k ) IO ⇒ IM − IM = ( − k ) IO ⇔ IM = IM + ( − k ) IO ( ) Thế ( 1) vào ( 2) : uuuur uuur uur uuuuu r uuuu r IM = k IM + ( − k ) IO ⇒ OM = kOM O k phép vị tự tâm tỉ số 3,5, ∆ABC k =2 ∆ABC ∆A′B′C ′ Ví dụ 4: Cho có cạnh Phép đồng dạng tỉ số biến thành có diện tích là: 15 15 15 15 A B C D Lời giải:: Đáp án B Vậy F S ∆ABC = 15 Ta có: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng S ⇒ ∆A′B′C ′ = ⇔ S∆A′B′C ′ = 15 S∆ABC ( C) ( C′) Ví dụ 5: Có phép vị tự biến đường trịn thành đường tròn ? A B C D không xác định Lời giải:: Đáp án D Khơng xác định thiếu giả thiết phép vị tự O AA′ BB′ M Ví dụ 6: Cho đường trịn tâm hai đường kính vng góc với điểm BB′ M ′ M đường kính , hình chiếu vng góc xuống tiếp tuyến với đường tròn A I AM A′M ′ I M A giao điểm Khi ảnh phép vị tự tâm tỉ số bao nhiêu? 2 1 − − 3 3 A B C D Lời giải:: Đáp án A B′ M′ A I M A′ B AI MM ′ AI 2 = = 2⇒ = = AM AA′ IM + AI + uur uuuu r ⇒ AI = AM 3 I M A Vậy ảnh phép vị tự tâm tỉ số DẠNG TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp: Xác định ảnh điểm qua phép vị tự - Sử dụng biểu thức tọa độ phép vị tự ∆′ ∆ Xác định ảnh đường thẳng qua phép vị tự A, B A′, B′ ∆ ∆′ Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt , xác định ảnh tương ứng Đường thẳng cần A′, B ′ tìm đường thẳng qua hai ảnh V( O ,k ) ∆ ∆′ Cách 2: Áp dụng tính chất phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Cách 3: Sử dụng quỹ tích M ( x; y ) ∈ ∆ : V( O ,k ) ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) M ′ ∈ ∆′ - Với điểm x, y ∆ ∆′ - Từ biểu thức tọa độ rút vào phương trình đường thẳng ta phương trình ảnh H Xác định ảnh hình ( đường tròn, elip, parabol…) V M = M ′ ( x′; y ′ ) M ( x; y ) H ( O ,k ) ( ) M′ - Sử dụng quỹ tích: Với điểm thuộc hình , thuộc ảnh H′ H hình R - Với đường trịn áp dụng tính chất phép vị tự biến đường trịn bán kính thành đường trịn bán k R kính sử dụng quỹ tích A ( 3; ) Oxy O A Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Ảnh qua phép vị tự tâm tỉ số k = −1 là: ( 3; ) ( 2;3) ( −2; −3) ( −3; −2 ) A B C D Lời giải:: Đáp án D  x′ = −3 V( O ,−1) ( A ) = A′ ⇒ A′ :   y ′ = −2 Áp dụng biểu thức tọa độ phép vị tự: Oxy d : 5x + y − = d′ d Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng Tìm ảnh qua O k = −2 phép vị tự tâm tỉ số x + y + 14 = x + y + 28 = 5x − y − = x + y − 14 = A B C D Lời giải:: Đáp án A d′ d M O M′ A, B A′, B′ d Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt , xác định ảnh tương ứng Đường thẳng ′ ′ A , B d′ cần tìm đường thẳng qua hai ảnh (học sinh tự làm) 5x + y + c = d′ d′ Cách 2: Do song song trùng với d Nên có dạng Lấy M ( 1;1) ∈ d uuuur uuuu r V( O ,−2) ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = −2OM ⇒ M ′ ( −2; −2 ) Khi đó: d ′ : x + y + 14 = d ′ ⇒ c = 14 Thay vào Vậy Cách 3: Gọi  x = − x′  ′  x = −2 x  M ( x; y ) ∈ d : V( O ,−2) ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇔ y=  y ′ = −2 y  y = − y′  Thế vào phương trình đường thẳng d ′ : x + y + 14 = Vậy d : − x′ − y '− = ⇔ x′ + y ′ + 14 = ( C ) : ( x − 1) Oxy + ( y − 1) = Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường trịn Tìm ảnh I ( −1; ) ( C) k =3 qua phép vị tự tâm tỉ số ? 2 x + y − 14 x + y − = x2 + y + x − y − = A B 2 2 ( x − 5) + ( y + 1) = 36 ( x − 7) + ( y − 2) = C D Lời giải:: Đáp án C ( C) ( C′) J ( 1;1) R=2 có tâm , bán kính  x′ = −1 + ( + 1) = V( I,3) ( J ) = J ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇒ J ′ ( 5; −1) ′ y = + − = − ( )  Đường tròn R′ = 3R = ⇒ ( C ′ ) : ( x − ) + ( y + 1) = 36 Oxy O k= ( S ′) Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép vị tự tâm tỉ số Tìm ảnh đường cong 2x + ( S) : y = 1− x qua phép vị tự 4x +1 4x +1 2x +1 2x −1 y= y= y= y= − 4x − 4x − 2x 1− 4x A B C D Lời giải:: Đáp án A V 1  O, ÷  2 : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y ′ ) ∀M ( x; y ) ∈ ( S ) ⇒ M ′ ( x′; y ′ ) ∈ ( S ′ )  ′  x = x  x = x′ ⇒ ⇔ y=  y = y′  y′ = y  ( S ′) : y = Vậy 4x +1 − 4x vào x′ + 2.2 x′ + ( S ) ⇒ y′ = − x′ ⇔ y′ = − x′ C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ Câu 1: Mệnh đề sau sai phép vị tự: A Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm B Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với C Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc D Biến đường trịn thành đường trịn bán kính d d′ k = 20 Câu 2: Cho hai đường thẳng song song Có phép vị tự tỉ số biến d d′ đường thẳng thành ? A Không có phép B Có phép C Chỉ có phép D Có vơ số phép d d′ d d′ Câu 3: Cho hai đường thẳng cắt Có phép vị tự biến đường thẳng thành ? A Khơng có phép B Có phép C Chỉ có phép D Có vơ số phép d d′ O Câu 4: Cho hai đường thẳng song song , điểm khơng nằm chúng Có O d d′ phép vị tự tâm biến đường thẳng thành ? A B C D Vô số ′ ( O; R ) ( O ; R) O O′ Câu 5: Cho hai đường tròn với tâm tâm phân biệt Có bao ( O; R ) ( O′; R ) nhiêu phép vị tự biến thành ? A B C D Vô số V( O ,k ) V( O′,k′) O O′ k k ′ = Câu 6: Cho hai phép vị tự với hai điểm phân biệt Hợp hai phép vị tự phép sau đây? A Phép tịnh tiến B Phép đối xứng trục C Phép đối xứng tâm D Phép quay AB = 6, AC = ∆ABC C A A B B′ Câu 7: Cho vuông , Phép vị tự tâm tỉ số biến thành , biến C′ thành Mệnh đề sau sai? B′C ′ = 12 hình thang B ∆ABC = S A′B′C ′ = ∆A′B′C ′ C D Chu vi chu vi ABCD ( AB / / CD ) AB = CD = I Cho hình thang Đáy lớn , đáy nhỏ Gọi ugiao uur điểm uuu r J CD AB hai đường chéo giao điểm hai cạnh bên Phép biến hình thành phép vị tự nào? V  V  V  V  A Câu 8: A Câu 9: BB′C ′C  I, ÷  2 ( O; R ) B  J, ÷  2 C  I, − ÷  2 D  J, − ÷ 2  BC A điểm cố định đường tròn dây cung di động BC 2a ( a < R ) BC M có độ dài không đổi Gọi trung điểm Khi tập hợp trọng G ∆ABC tâm là: G = V  ( M ) Cho đường trịn A  A, ÷  3 G = V B 1  O, ÷  2 G = V C 1  A, ÷  3 G = V D 2  B, ÷  3 (M) (M) (M) , tập hợp đường tròn , tập hợp đường thẳng , tập hợp đường tròn , tập hợp đường thẳng ( O; R ) ( O′ ) ( O) AB Câu 10: Cho đường trịn đường kính Một đường trịn tiếp xúc với đường tròn ( O; R ) I C CD AB D AI đoạn Đường thẳng cắt Tính độ dài đoạn 2R R R 2R A B C D ( O; R ) ( O′; R′) A ( R > R′ ) A Câu 11: Cho hai đường tròn tiếp xúc Đường kính qua cắt ′ ′ ( O; R ) ( O ;R ) ( O; R ) C B A M cắt Một đường thẳng di động qua cắt cắt ( O′; R′ ) N BN CM I Gọi giao điểm Mệnh đề sau đúng? ( O′′) = V C , R′  ( ( O, R ) )  ÷  R + R′  I A Tập hợp điểm đường tròn: ( O′′) = V C , R  ( ( O, R ) )  ÷  R + R′  I B Tập hợp điểm đường tròn: ( O′′) = V M, R′  ( ( O, R ) )  ÷  R + R′  I C Tập hợp điểm đường tròn: D Tập hợp điểm I ( O′′) = V M, đường tròn:   R  ÷ R + R′  ( ( O, R ) ) DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A ( 1; −3) Oxy O A′ −2 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ , tìm ảnh điểm qua phép vị tự tâm tỉ số A′ ( 2;6 ) A′ ( 1;3) A′ ( −2;6 ) A′ ( −2; −6 ) A B C D A ( 1; ) I ( 3; −1) Oxy , A′ A Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho Tìm ảnh qua phép vị tự tâm tỉ k = số A′ ( 3; ) A′ ( 1;5 ) A′ ( −5; −1) A′ ( −1;5) A B C D P ( −3; ) , Q ( 1;1) , R ( 2; −4 ) Oxy , P′, Q′, R′ Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho Gọi ảnh k=− P, Q, R P′Q′R′ O qua phép vị tự tâm tỉ số Khi tọa độ trọng tâm tam giác là: 1 1  1 2 1 2   ; ÷  0; ÷  ;− ÷  ;0÷ 9 3  9  3 9  A B C D A ( 0;3) , B ( 2; −1) , C ( −1;5 ) Oxy , A Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Phép vị tự tâm tỉ số k C k B biến thành Khi giá trị là: 1 k =− k= k = −1 k =2 2 A B C D A ( 0;3) , B ( 2; −1) , C ( −1;5 ) Oxy , A Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Phép vị tự tâm tỉ số k C k B biến thành Khi giá trị là: k =2 k = −1 k =1 k ∈∅ A B C D d : x + y − = 0, I ( −1; ) Oxy, d′ d Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh k = −2 I qua phép vị tự tâm tỉ số x+ y+2=0 2x − y + = −2 x + y + = 2x + y + = A B C D Oxy, d : x − y − = d′ d Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh qua phép k=− O vị tự tâm tỉ số −3x + y − = 3x − y − 10 = x − y + 15 = x − y + !0 = A B C D Câu 8: Oxy, d: x y − =1 d ′ : 2x − y − = Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng Phép vị V( O ,k ) ( d ) = d ′ k tự Tìm 1 k= k =− k= k =− 3 A B C D 2 ( C′) ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = Oxy , Câu 9: Trong mặt phẳng tìm ảnh đường trịn đường tròn qua k = −2 phép vị tự tâm tỉ số 2 2 ( C ′) : ( x + ) + ( y + ) = 10 ( C ′) : ( x − ) + ( y − ) = 10 A B 2 2 ( C ′) : ( x + ) + ( y − ) = 20 ( C ′) : ( x − ) + ( y + ) = 20 C D 2 ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = Oxy , Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn Tìm ảnh đường tròn ′ I ( 1; ) (C ) ( C) k = −2 đường tròn qua phép vị tự tâm tỉ số x + y + x − 16 y + = x + y − x + !6 y − = A B 2 2 ( x + 3) + ( y − 8) = 20 ( x − 3) + ( y + ) = 20 C D 2 ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 3) = Oxy, Câu 11: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ; 2 ( C2 ) : ( x − ) + ( y − 3) = Tìm tâm vị tự ngồi hai đường trịn ( −2;3) ( 2;3) ( 3; −2 ) ( 1; −3) A B C D 2 ( C1 ) : ( x − 3) + ( y − 3) = Oxy, Câu 12: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn đường tròn 2 ( C) ( C′) ( C2 ) : ( x − 10 ) + ( y − ) = Tìm tâm vị tự biến thành 36 27 13 32 24        13   ; ÷  ;5 ÷  ; ÷  5; ÷  5  2   5   2 A B C D D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất ứng dụng phép vị tự Câu 1: Đáp án D Câu 2: Đáp án D Câu 3: Đáp án A Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng nhay, d d′ khơng có trường hợp cắt Câu 4: Đáp án B Câu 5: Đáp án B Câu 6: Đáp án A Lấy điểm Câu 7: bất kỳ: F ( M ) = M uuuur uuuu r V( O′;k ′) ( M ) = M ⇒ OM = kOM 3  A; ÷  2 ( B ) = ( B′) ⇒ AB′ = uuur uuuu r V( O′;k ) ⇒ O′I = kO′O 3 AB = 9;V  ( C ) = ( C ′ ) ⇒ AC ′ = AC = 12 ⇒ B′C ′ = + 12 = 15 2  A; ÷  2 Đáp án C Ta có uur r uur AB 1 uu uur = ;V  ( A ) = C ⇔ IC = − IA;V  ( B ) = D ⇔ ID = − IB CD  I , ÷ 2 I, ÷  2 uur uur r uur uuur uu uuur ⇒ IC − ID = − IA − IB ⇔ CD = − AB 2 ( Câu 9: uuuuur uuuuur O′M = k ′O′M O I Khi phép hợp thành Gọi ảnh uuuuur uur uuuu r uuqua ur phép hợp uuuu r uuuur uuuur uuuur MM = OI = OO′ + O′I = ( − k ′ ) OO′ IM = k ′OM = k k ′OM Khi nên:r uuuu r ′ ′ u = − k OO ( ) F Vậy phép tịnh tiến theo vectơ Đáp án B V Câu 8: M V( O ;k ) ( M ) = M Đáp án A ) ( OM ⊥ BC ⇒ OM = R − a ⇒ M ∈ O; R − a Ta có: uuur uuuu r AG = AM ⇒ G = V  ( M )  A, ÷  3 Ta có: Khi ( O; M R2 − a2 di động đường trịn V   A, ÷ ( O)  3 đường tròn qua phép vị tự Câu 10: Đáp án B V Ta có: V R′  C, ÷  R ( 1) ) R′  C, ÷  R ( O ) = O′ ⇔ CO′ = ( I ) = D ⇔ CD = ( 2) ⇒ Từ Câu 11: Đáp án A CI  C; ÷  CM   C; ÷  CM  G chạy đường trịn (M) =I mà ( O) CI CM ( O′ ) ảnh ( 1) ( 2) CD′ CO = ⇒ OI€ O′D ⇒ OI ⊥ AB ⇒ I CD CI V Ta dự đoán ( O1 ) = V CI R′ CI R R′ CO R ) M nắm đường trịn điểm cung ( O) ⇒ I nằm đường tròn R R′ Ta cần chứng minh theo CM CI + IM IM IM IB BM AB R CI R′ = =1+ = = = = ⇒ = CI CI CI CI IN CN AC R′ CM R + R′ Ta có mà AB ⇒ V R′  C, ÷  R + R′  (M) =I DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉ VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Câu 1: Đáp án C uuur uuu r V( O ;−2) ( A ) = A′ ⇔ OA′ = −2OA ⇒ A′ ( −2;6 ) Câu 2: Đáp án D uur uu r  x′ − = V( I ,2) ( A ) = A′ ⇔ IA′ = IA ⇔  ⇒ A ( −1;5 )  y′ + = Câu 3: Đáp án B V  ( P ) = P′;V  ( Q ) = Q′;V  ( R ) = R′ ⇒  O ,− ÷ 3   O ,− ÷ 3   O,− ÷ 3   −2   1  4 P′ 1; ÷; Q′  − ; − ÷; R′  − ; ÷    3  3 Câu 4: tọa Giả sử Đáp án D Giả sử Đáp án C V( I ,−2) ( d ) = d ′ ⇒ d€ d ′ nên d′ không thỏa mãn Chọn điểm d ′ :10 − + c = ⇒ c = d ′ : 2x + y + = Câu 8: Vậy Đáp án D ⇒ d ′ : x − y + 10 = Tương tự câu Đáp án A d : x − y − = ⇒ d€ d ′ Chọn Câu 9:  x ′ = 2k M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( O ,k ) ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) ⇒   y′ = M ′ ∈ d ′ ⇒ 2.2k − − = ⇔ k = Do Đáp án C ⇒ k ∈∅ 2x + y + c = có dạng  x′ = M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( I ;−2) ( M ) = M ′ ( x; y ) ∈ d ′ ⇒   y ' = −2 Câu 7: điểm Đáp án A  uuur uuur 5 = k.4  k = V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  ⇒ ⇒ 1 = −k  k = −1 Câu 6:  1  0; ÷ ∆P′Q′R′  9 Nên tọa độ trọng tâm uuur uuu r  −1 = 2k V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  ⇒k =−  2 = k ( −4 ) Câu 5: độ vào ( C) I ( 1; −2 ) R= bán kính  x′ = −2 ⇒ V( O ,−2) ( I ) = I ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇒ I ′ ( −2; ) R ′ = k R =  y′ = Bán kính 2 ( C ′) : ( x + ) + ( y − ) = 20 ⇒ đường tròn Câu 10: Đáp án C uur uu r  x′ = −3 I ( 8;1) : V( I ,−2) ( J ) = J ′ ( x′; y ′ ) ⇔ IJ ′ = −2 IJ ⇒  ⇒ J ′ ( −3;8 ) ( C)  y′ = Đường trịn có tâm 2 R′ = k R = ⇒ ( C ′) : ( x − 3) + ( y − ) = 20 Bán kính phương trình Câu 11: Đáp án A I1 ( 1;3) ( C1 ) R1 = Đường trịn có tâm bán kính I ( 4;3) ( C2 ) R2 = Đường trịn có tâm bán kính I Gọi tâm vị tự phép vị tự uur uur R2 V( I , k ) ( ( C1 ) ) = ( C2 ) ⇒ V( I ,k ) ( I1 ) = I , k = = ⇔ II = II1 ⇒ I ( −2;3 ) R1 Câu 12: Đáp án A I ( 3;3) ( C) R=3 Đường trịn có tâm bán kính I ′ ( 10;7 ) ( C′) R′ = Đường trịn có tâm bán kính k =− ⇒ I ≠ I ′, R ≠ R′ ⇒ tỉ số vị tự uuuu r uuur V( O1 , k ) ( I ) = I ′ ⇔ O1 I ′ = kO1I O1 ( x; y ) với tâm vị tự 36    x − 10 = − ( x − 3)  x = ⇔ ⇒  x − = − ( y − 3)  y = 27   Đường trịn Vậy có tâm  36 27  O1  ; ÷  5  PHÉP ĐỒNG DẠNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa F Một phép biến hình gọi phép đồng dạng tỉ số M ′, N ′ M ′N ′ = kMN tương ứng ln có Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0) với hai điểm M,N ảnh k =1 k k - Phép vị tự tỉ số phép đồng dạng tỉ số - Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng Tinh chất k Phép đồng dạng tỉ số : a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toán thứ tự chúng b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc k R R d) Biến đường trịn bán kính thành đường trịn bán kính STUDY TIP A′B′C ′ a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác biến trọng tâm, trực tâm, ABC A′B′C ′ tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác thành tương ứng tam giác n n b) Phép đồng dạng biến đa giác cạnh thành đa giác cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh Hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B CÁC DẠNG BÀI TỐN VỀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Ví dụ 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng ln đồng dạng B Hai đường trịn ln đồng dạng C Hai hình vng ln đồng dạng D Hai hình chữ nhật đồng dạng Đáp án D Lời giải: Với hai hình chữ nhật ta chọn cặp cạnh tương ứng tỉ lệ chúng chưa đã Vì khơng phải lúc tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật thành hình chữ nhật H , K , L, J ABCD I Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật có tâm Gọi trung điểm AD, BC , KC , IC IHCD Tứ giác đồng dạng với tứ giác sau đây? JLKI ILJH JLBA ALJH A B C D Đáp án A Lời giải: IHDC IHDC JLKI Tứ giác hình thang vng Ta thấy đồng dạng với theo tỉ số Ví dụ 3: Mệnh đề sau đúng? k =1 A Phép đồng dạng tỉ số phép dời hình k = −1 B Phép đồng dạng tỉ số phép đối xứng tâm k =1 C Phép đồng dạng tỉ số phép tịnh tiến k =1 k =1 D Phép đồng dạng tỉ số phép vị tự tỉ số Đáp án A Lời giải: k =1 Khi phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên phép dời hình AH , H AH = 4, HB = 2, HC = ∆ABC BC Ví dụ 4: Cho có đường cao nằm Biết Phép đồng ∆HAC F F ∆HBA dạng biến thành hình thành hai phép biến hình nào? k= H H A Phép đối xứng tâm uuu phép vị tự tâm tỉ số r k =2 BA H B Phép tịnh tiến theo phép vị tự tâm tỉ số ( HB, HA) k −2 H H C Phép vị tự tâm tỉ số phép quay tâm góc quay góc k =2 H D Phép vị tự tâm tỉ số phép đối xứng trục Đáp án C Lời giải: Ta có V( H ,2 ) Q( H ;ϕ ) với V( H ,2) ϕ = ( HB, HA ) Q( H ;ϕ ) biến B thành A A thành C, F phép đồng ∆HAC ∆HBA dạng hợp thành biến thành M ( 2; ) Oxy, Ví dụ 5: Trong mặt phẳng cho điểm Hỏi phép đồng dạng có cách thực k= O O −90° M liên tiếp phép vị tự tâm tỉ số phép quay tâm góc quay se biến điểm thành điểm sau đây? ( 2; −1) A Đáp án A B ( 2;1) C ( −1; ) D ( 1; ) Lời giải: uuuur uuuu r V  ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = OM ⇒ M ′ ( 2; −1)  O; ÷  2 Ta có  x′′ = y′ = Q( O;−90°) ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒  ⇒ M ′′ ( 2; −1) ′′ ′ y = − x = −  Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y = thỏa mãn phép đồng dạng có Oy O k = −2 cách thực llieen tiếp phép vị tự tâm tỉ số phép đối xứng trục se biến d đường thẳng thành đường thẳng sau đây? −2 x − y = 2x + y = 4x − y = 2x + y − = A B C D Đáp án A Ta có: ⇒ d′ Chọn V( O;−2) ( d ) = d ′ ⇒ d ′ Pd Lời giải: 2x − y + c = có dạng: N ( 1; ) ∈ d : V( O;−2) ( N ) = N ′ ( −2; −4 ) ∈ d ′ ⇒ −4 + + c = ⇒ c = d ′ : 2x − y = + phương trình đường thẳng ′ ′′ Oy oy ( d ) = d Qua phép đối xứng trục :Đ −2 x − y = d ′′ cần tìm là: Suy phương trình ảnh 2 ( C ) : ( x − 2) + ( y − 2) = Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng , cho đường tròn Hỏi phép đồng dạng có k= O O cách thực liên tiếp phép vị tự tâm tỉ số phép quay tâm góc quay ( C) 90 se biến thành đường tròn sau đây? 2 2 ( x − 2) + ( y − 2) = ( x − 1) + ( y − 1) = A B 2 2 ( x + ) + ( y − 1) = ( x + 1) + ( y − 1) = C .D Đáp án D V Gọi 1  O; ÷  2 Lời giải: ( ( C ) ) = ( C′) nên đường trịn ( C′) có tâm I ′ ( 1;1) bán kính R′ = ... 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến theo hướng... Gọi phép đối xứng qua Với điểm bất kì, gọi M1 = S A ( M ) M = SB ( M1 ) M2 F M , Gọi phép biến hình biến thành Chọn mệnh đề đúng: F F A không phép dời hình B phép đối xứng trục C F F D phép. .. Gọi tâm đối xứng hình hình phép đồng nhất? A Khi thực phép quay tâm B C Lời giải: Đáp án C Từ hình C ta có qua phép Q( I ,180°) ta ln hình I góc quay 180° D ABCD Ví dụ 9: Cho hình vng có cạnh