Phân loại và phương pháp giải bài tập phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHÉP BIẾN HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Đặt vấn đề: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d điểm M Dựng hình chiếu vng góc M’ điểm M lên đường thẳng d Ta biết với điểm M có điểm M’ hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d cho trước (hình 1.1) Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Nếu kí hiệu phép biến hình F ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) gọi điểm M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H ’ = F(H) tập điểm M’  F  M  , với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ ảnh hình H qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Biểu thức tọa độ Gọi M  x; y  điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: Mʹ  f  M   xʹ  g  x; y   yʹ  h  x; y  Với Mʹ  xʹ; yʹ  cho:   1 Hệ (1) gọi biểu thức tọa độ phép biến hình f Điểm bất động phép biến hình  Một điểm M   P  gọi điểm bất động phép biến hình f f  M   M Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 457  Nếu f  M   M với điểm M   P  f gọi phép đồng B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép biến hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  1; 2  , M’ ảnh M qua phép biến hình f có xʹ  2x  y  biểu thức tọa độ:   yʹ  x  y  Tìm tọa độ  xʹ; yʹ  M’ Giải  xʹ  2.1   2    1  yʹ    2    Thay tọa độ điểm M vào biểu thức tọa độ M’, ta được:  Vậy Mʹ  1;  Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x  y   Tìm ảnh xʹ  2x  y đường thẳng d qua phép biến hình có biểu thức tọa độ là:   yʹ  3x  2y Giải xʹ  2x  y x  2xʹ yʹ   yʹ  3x  2y  y  3xʹ 2yʹ *  Ta có:  Thay (*) vào phương trình d, ta được: 2xʹ y ʹ 3xʹ 2yʹ   xʹ yʹ  Do đó, phương trình d’, ảnh đường thẳng d là: x  y   Dạng Tìm điểm bất động phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép biến hình xʹ  2x  y  Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f có biểu thức tọa độ là:   yʹ  x  2y  Tìm điểm bất động phép biến hình f Giải xʹ  x M  x; y  điểm bất động Mʹ  f  M   M Do đó, Mʹ  xʹ; yʹ    yʹ  y x  2x  y  Thay vào biểu thức tọa độ, ta được:   y  x  2y  hay x  y   Vậy điểm bất động f nằm đường thẳng có phương trình x  y   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 458 C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN   Câu Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ xác định bởi: OMʹ  OM với O điểm cố định Hỏi f có điểm cho M  f  M  A Duy điểm B Ít C Ít hai D điểm Hướng dẫn giải Đáp án A     M  f  M   OM  OM  OM   O  M Vậy có điểm có ảnh nó, gốc tọa độ O    Câu Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ xác định MMʹ  v ( v  vectơ cho sẵn khác ) Hỏi điểm nằm đoạn thẳng AB có ảnh qua f A A B B C trung điểm AB D khơng có điểm Hướng dẫn giải Đáp án D      Gọi M thuộc đoạn thẳng AB có ảnh qua f nó, ta có M  f  M   MMʹ  v   khơng có điểm M Câu Cho đường thẳng  cố định Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MMʹ   tai H  Giả sử Aʹ  f  A  , Bʹ  f  B  Khẳng định sau   MH  MʹH A AB  Aʹ Bʹ B AB  Aʹ Bʹ C AB  Aʹ Bʹ D Chỉ A Hướng dẫn giải Đáp án C Vì Aʹ  f  A  Bʹ  f  B  nên  đường trụng trực AAʹ BB’ Trong hình thang ABB’A’, ta có A ʹBʹ  AB  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, a   1;  ; M  x, y  ; Mʹ  xʹ, yʹ  Biểu thức tọa độ phép biến hình   f biến M thành M’ cho MMʹ  a có cơng thức sau đây: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 459 xʹ  x  xʹ  x  B  A   yʹ  y   yʹ  y  xʹ  x  xʹ  y  D  C   yʹ  y   yʹ  x  Hướng dẫn giải Đáp án A   xʹ  x  Vì MMʹ  a nên   yʹ  y  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành Mʹ  xʹ,yʹ  xác định xʹ  x Điểm sau có ảnh qua f   yʹ  2y A  0;0  B  1;  C  0;1 D  x   ,0  Hướng dẫn giải Đáp án D x  x M ảnh qua f M  M  f  M     y  2y x    y  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành Mʹ  xʹ,yʹ  xác định xʹ  x Ảnh  : x  y  qua f có phương trình là:   yʹ   y A y  x B  1;  C  0;1 D  x   ,0  Hướng dẫn giải Đáp án C xʹ  x Từ   yʹ   y  x  xʹ thay vào x  y    y   yʹ Ta có: xʹ yʹ   x  y  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành Mʹ  xʹ,yʹ  xác định xʹ  x  y Gọi A  1;  B  1;  Tính độ dài Aʹ Bʹ ta được:   yʹ  x  y Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 460 B A 10 C D 10 Hướng dẫn giải Đáp án D xʹ  x  y Vì   yʹ  x  y x Aʹ    1  y Aʹ    nên A’ có tọa độ  Tương tự ta tìm B  4;  Do đó: Aʹ Bʹ  10 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành Mʹ  xʹ,yʹ  xác định xʹ  x x2  y  qua f (E’) có phương trình Ảnh elip  E  :   yʹ  2y A x2 y  1 B x2 y  1 C x2  2y  D x  y2 1 Hướng dẫn giải Đáp án A xʹ  x Vì  nên  yʹ  2y x  xʹ   yʹ thay vào y    E : x2 x2 y  y  ta  1 2 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x, y  thành Mʹ  xʹ, yʹ  xác định xʹ  x Ảnh đường tròn  C  : x  y   qua f có phương trình  yʹ   2y  A x2 y  1 B C x  2y  x2 y  1 D x  y2 4 Hướng dẫn giải Đáp án D xʹ  x Vì   yʹ  2y x  xʹ  yʹ thay vào y    nên   C  : x2  y2   ta x2  y2 4 Câu 10 Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x, y  thành Mʹ  xʹ, yʹ  xác định  xʹ  2x   yʹ  y Gọi Mʹʹ  xʹʹ, yʹʹ  ảnh M’ qua f Tọa độ M’’ tính theo  x, y  M là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 461 xʹʹ  4x xʹʹ  2x xʹʹ  x B  A   yʹʹ  y C   yʹʹ  y  yʹʹ  y xʹʹ  3x D   yʹʹ  y Hướng dẫn giải Đáp án A  xʹ  2x Vì   yʹ  y xʹʹ  2xʹ nên   yʹʹ  yʹ xʹʹ   2x   4zx  yʹʹ  y Suy ra:  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 462 BÀI PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khi đẩy cánh cửa trượt cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy điểm cánh cửa dịch chuyển đoạn AB theo hướng từ A đến B (h.1.2) Khi  ta nói cánh cửa tịnh tiến theo vectơ AB I Định nghĩa    Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MMʹ  v  gọi phép tịnh tiến theo vectơ v   Phép tịnh tiến theo vectơ v thường ký hiệu Tv , v gọi vectơ tịnh tiến   Như vậy: Tv  M   Mʹ  MMʹ  v Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng phép đồng Ví dụ: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 463 II Tính chất   Tính chất Nếu Tv  M   Mʹ, Tv  N   Nʹ Mʹ Nʹ  MN từ suy M ʹ Nʹ  MN Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 464 Nói cách khác, phép tính tiến bảo tồn khoảng cách hai điểm Từ tính chất ta chứng minh tính chất sau Tính chất Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính (h.1.7) III Biểu thức tọa độ  Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y  vectơ v   a; b  Gọi Mʹ  xʹ; yʹ   Tv  M  Ta có:  xʹ  x  a   yʹ  y  b  Đây biểu thức tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ v B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến  Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho v   2; 1 đường thẳng d có phương trình 5x  3y   Tìm phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Giải Cách Vì dʹ  Tv  d  nên dʹ∥d Do dʹ : 5x  3y  c  Lấy M  1;   d Khi Mʹ  Tv  M    1  2;  1   1;1 Mà Mʹ  dʹ nên: 5.1  3.1  c   c  8 Vậy dʹ : 5x  3y   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 465 xʹ  x  x  xʹ   yʹ  y   y  yʹ Cách Ta có:  Thế x, y vào phương trình d’, ta được:  xʹ    yʹ 1    5xʹ 3yʹ  Vậy phương trình đường thẳng dʹ : 5x  3y   Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2  y  4x  2y    Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3;  Giải xʹ  x  x  xʹ   yʹ  y   y  yʹ Cách Biểu thức tọa độ Tv là:  Thay vào phương trình (C) ta được:  xʹ    yʹ  2   xʹ    yʹ     xʹ2  yʹ2  10xʹ 2yʹ 17  Vậy ảnh (C) qua Tv là:  Cʹ  : x  y  10x  2y  17  Cách Đường trịn có tâm I  2; 1 bán kính r  Ảnh Iʹ  Tv  I  có tọa độ  xʹ   3; yʹ  1   5;1 Đường tròn ảnh (C’) có tâm Iʹ  5;1 bán kính rʹ  r  nên có phương trình:  x     y  1   x2  y  10x  2y  17  2 Dạng Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động Phương pháp giải: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm ảnh hình biết qua phép tịnh tiến Ví dụ: Cho đường trịn (C) qua điểm A cố định có bán kính R khơng đổi Một đường thẳng d có phương khơng đổi qua tâm I (C) Đường thẳng d cắt (C) hai điểm M M’ Tìm tập hợp điểm M M’ Giải Tập hợp điểm I đường trịn (I), tâm A, bán kính R I' Vì IM có phương khơng đổi (phương d) IM  R   (không đổi) nên IM  v (vectơ hằng) Do đó: M  Tv  I  Vậy, tập hợp điểm M đường tròn (I’), ảnh (I) qua Tv  M A v I M'  Tương tự, IMʹ  v nên Mʹ  T v  I  Vậy tập hợp I'' (C) điểm M’ đường tròn (I’’) ảnh (I) qua Tv Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 466 ...  f gọi phép đồng B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép biến hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa... B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến  Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy,... tiến biến hình vng thành hình vng B Có phép tịnh tiến biến hình vng thành hình vng C Có nhiều hai phép tịnh tiến biến hình vng thành hình vng D Có vơ số phép tịnh tiến biến hình vng thành hình vng