Dàn và đại số Boole

iv Nếu n A và n x, với mọi x  A hay mỗi phần tử của A đều là một trội của n thì n là một phần tử nhỏ nhất của A.v Các phần tử tối đại hay tối tiểu của A đợc gọi chung là phần tử cực t

lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán trờng ĐHSPHN 2 đợc

sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếpthu đợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phơng pháphọc tập mới, bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoahọc Trớc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen vớicông tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận đợc sự giúp đỡ,

động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa Qua đây,

em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy, cô và các bạntrong khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô,thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, ngời đã hớng dẫn tận tình đểgiúp em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm

2010 Sinh viên

Vũ Thị Lịch

lời cam đoan

Khóa luận của em đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của cô,thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bảnthân.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em

có tham khảo tài liệu của một số tác giả (có nêu trong mụctài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan những kết quảtrong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, khôngtrùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toànchịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm

2010 Sinh viên

Vũ Thị Lịch

mục lục

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Ph ơng pháp nghiên cứu 6

5 Cấu trúc khóa luận 6

phần 2 nội dung 7

2.1 §Þnh nghÜa dµn vµ quan hÖ thø tù trªn dµn 17

phần 1 mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

Đại số học là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong KHToán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán họchiện đại Ngày nay nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán,các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều ngời khác quan tâm đếnToán học nói chung và môn Đại Số nói riêng, ngày càng giatăng nhằm nâng cao hiểu biết của mình.Với mong muốntìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dới góc độ một sinh viên

s phạm Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệpcùng với sự giúp đỡ của cô giáo, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, emxin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đềtài : “Dàn và Đại số Boole’’

George Boole (1815-1864) và De Morgan (1806-1871) đãsáng lập ngành Logic Toán độc lập với Triết học Sau đóBoole đã dành nhiều công sức cho tác phẩm chủ yếu củamình “ Các định luật của t duy ’’ xuất bản năm 1854,

đó chính là nguồn gốc của đại số Boole ngày nay

Trong đề tài này, em chỉ tập trung vào trình bày nhữngvấn đề cơ bản về: Quan hệ thứ tự, Dàn (một tiền cấu trúccủa đại số Boole), và đại số Boole

2.Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bớc đầu làmquen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về

đại số học, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về Dàn và đại

số Boole

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này đợc nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làmnổi bật các đặc trng của Dàn và đại số Boole

4.Phơng pháp nghiên cứu

Đề tài đợc hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phơng pháp :

- Nghiên cứu lý luận

- Phân tích

-Tổng hợp

- Đánh giá

5.Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu thamkhảo, khóa luận gồm 5 chơng:

Hà Nội, tháng 05 năm

2010 Sinh viên

Vò ThÞ LÞch

phần 2 nội dung

Chơng 1 Quan hệ thứ tự1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1 Cho tập A, một quan hệ hai ngôi trong A

đợc gọi là một quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản xạ, phản

Kí hiệu quan hệ thứ tự bởi

dấu  hay A.TậpA nếu muốn nhấn mạnh tập

A với quan hệ thứ tự  thì ngời ta viết là (A,  ) hay (A, A )

Ví dụ:

i) Với n N * , gọi U là tập các ớc nguyên dơng của n Quan hệ  trên U

n n

đợc cho bởi a  b nếu a là ớc của b thì (U n ,  ) là một quan hệ thứ tự.

ii) E là một tập cho trớc, P(E) là tập luỹ thừa bao tất cả cáctập con của E với quan hệ , , , tức là A,BP(E) thì A B nếu

A B Khi đó (P(E),  ) là một quan hệ thứ tự

1.2 Trội và trội trực tiếp

Định nghĩa 2 (A,  ) là một quan hệ thứ tự cho trớc

i) Nếu x y thì ta nói rằng y là một trội của x còn x đợc trội bởi y

ii) Nếu y x và y là một trội của x, đồng thời không tồn tại một phần tử z khác x và y nào để x z  y thì y đợc gọi là một trội của x

Ví dụ :

i) (Q,) một quan hệ thứ tự thì mọi số hữu tỉ đều không

có trội trực tiếp

Tính chất này gọi là tính trù mật của Q

ii) (U n , u) thì trội trực tiếp của 1 là toàn bộ các ớc nguyên tố của n

iii) ( Z, ) là một quan hệ thứ tự thì trội trực tiếp của n là n+1.iv)(P(E),  ) thì trội trực tiếp của  là tất cả các tập con của E chỉ có 1 phần

tử Còn trội trực tiếp của tập AP(E) là các tập con của E có dạng A b, b  A

1.3 Biểu đồ Hasse

Định nghĩa 3 Cho A là một tập hữu hạn phần tử còn (A,  )

là một quan hệ thứ tự trên A Một biểu đồ Hasse của (A,  ) làmột đồ thị hữu hạn định hớng trong mặt phẳng (V,C) đợcxác định nh sau:

i) Tập các đỉnh V có tơng ứng 1-1 với các phần tử của A

ii) x,yA tơng ứng với a,bV thì a và b đợc nối bởi một cung

đi khỏi a và đi tới b nếu y là một trội trực tiếp của x

iv) Nếu n A và n x, với mọi x  A hay mỗi phần tử của A

đều là một trội của n thì n là một phần tử nhỏ nhất của A.v) Các phần tử tối đại hay tối tiểu của A đợc gọi chung là phần tử cực

trị

Ví dụ:

i) ( R, ) không có phần tử cực trị nào

ii) (U 9 , u) có phần tử tối tiểu và là phần tử nhỏ nhất chính

là số 1, có phần tử tối đại đồng thời là phần tử lớn nhất đó là

ii) Phần tử nhỏ nhất nếu tồn tại, thì đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất Chứng minh:

i) Giả sử m là phần tử lớn nhất của (A,  ) Khi đó theo định nghĩa ta có x m, x  A

Nếu m x thì từ trên ta có: m=x  i)

ii) Giả sử n là phần tử nhỏ nhất

của (A,  ) Theo định nghĩa ta có

n x, x  A

Nếu x n thì theo trên ta có : n=x  ii)

Định lý 2 (A,  ) là một quan hệ thứ tự với tập A hữu hạn thì ta có:

i) (A,  ) luôn có phần tử tối đại và phần tử tối tiểu, và mọi phần

tử của A đều là trội của một phần tử tối tiểu và đợc trội bởi một phần tử tối đại

ii) Nếu A chỉ có duy nhất một phần tử tối đại, thì đó cũng

+ Nếu a1 không tối đại khi đó tồn tại a 2 là một trội thực

sự của a1 …

+ Lặp lại lập luận này, ta sẽ đợc một dãy tăng: a a1  a2   a n



mà phần tử sau là một trội thực sự của phần tử trớc

+ Vì A hữu hạn cho nên sau hữu hạn bớc sẽ phải kết thúc Ta gọi b là phần tử cuối cùng của quá trình này thì b làmột trội của a và b tối đại

+ Tơng tự nh vậy ta cũng chỉ ra sự tồn tại phần tử tối tiểu

đợc trội bởi

ii) Giả sử m là phần tử tối đại duy nhất của A Với x A bất kỳtheo i) thì tồn tại một y tối đại là trội của x Bởi tính duynhất của phần tử tối đại trong A, nên y=m Do đó m là mộttrội của x với mọi x A Vậy m là phần tử lớn nhất

iii) Chứng minh tơng tự ii)

1.5 Chặn trên và chặn dới

Định nghĩa 5 B là 1 tập con của một tập A và  là mộtquan hệ thứ tự trên A Khi đó, ta nói rằng:

i) c A gọi là một chặn trên của B nếu b c với mọi b B

ii) d A gọi là một chặn dới của B nếu d b với mọi b B

iii) Phần tử c A đợc gọi là phần tử lớn nhất của B và kí hiệu

là maxB nếu cB và c là một chặn trên của B

iv) Phần tử d A đợc gọi là phần tử nhỏ nhất của B và kí hiệu

là d=minB nếu dB và d là một chặn dới của B

v) Phần tử bé nhất của tập {cA | c là một chặn trên của B}

đợc gọi là một chặn trên đúng của B và kí hiệu là supB.vi) Phần tử lớn nhất của tập {dA | d là một chặn dới của B}

đợc gọi là chặn dới đúng của B và kí hiệu là infB

Ví dụ:

i) Tập số thực R với quan hệ  thông thờng và B=(0,2) thì

maxB và minB không tồn tại nhng supB=2, infB=0

ii) ( Z, ) và B={2,3,4,5} thì infB=minB=2; supB=maxB=5.1.6 Quan hệ thứ tự toàn phần

Định nghĩa 6 Một quan hệ thứ tự trên A, (A,  ) là mộtquan hệ thứ tự toàn phần nếu nh hai phần tử bất kỳ của Aluôn so sánh đợc với nhau Tức là nếu x,yA thì hoặc x yhoặc y x

Nhận xét: A là một tập hữu hạn và (A,  ) là một quan hệ thứ

tự thì (A,  ) là một quan hệ thứ tự toàn phần nếu và chỉnếu biểu đồ Hasse của nó là một đồ thị liên thông

Ví dụ:

i) ( R, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần

ii) Cho n là hợp số lớn hơn 2 thì (U n ,  ) không phải là quan

hệ thứ tự toàn phần, vì nếu gọi p,q là các ớc nguyên tốkhác nhau của n thì p,q không so sánh đợc

iii) (P(E),  ) với E nhiều hơn một phần tử cũng không phải làquan hệ thứ tự toàn phần, vì với a,b là 2 phần tử khácnhau của E, thì A={a}, B={b} không so sánh đợc

1.7 Bài tập

Bài 1 N là tập các số tự nhiên A=N n

với n nguyên dơng,trên A ta xây dựng một quan hệ < nh sau:

b)(A,  ) là một quan hệ thứ tự toàn phần

c) Mọi B A và khác rỗng đều tồn tại minB

d)Mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB

e)Nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn

f) Cho biết các trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất

Giảia) Tính phản xạ: a a, a  A

Thật vậy với a  (x1, x2 , , x n )  A thì tồn tại k n để

x1  x1 , x2  x2 , , x k 1  x k 1, x k  x k  a  a

b)Theo phÇn a) th× (A,  ) lµ mét quan hÖ

d=minB Vậy mọi B A và khác rỗng

đều tồn tại minB

d)B  A, B  , B hữu hạn thì b  B, c  A : b  c  c là một chặn trên

của B(Bhữu hạn ) và do B  A  c  B  c =maxB

Vậy mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB.e) B A, B đạt supB nên theo định nghĩa ta có tồn tại cA là phần tử bé nhất của tập {cA | c là một chặn trên của B}.

B hữu hạn vì nếu B không hữu hạn thì không tồn tại c là chặn trên của B Khi

đó không tồn tại supB

Vậy nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn

f) Các trội trực tiếp của phần tử

Hãy cho biết:

a)Các trội trực tiếp của a ?

b)min{b,c,d}; inf{b,c,d} ?

c)Cho biết các phần tử tối tiểu và các phần tử tối đại ?

d)(A,  ) có phần tử lớn nhất không ?

e)Hãy bổ sung vào đồ thị thêm hai cung để tạo thành một quan hệ mới trên A là một quan hệ thứ tự toàn phần và có phần tử lớn nhất và nhỏ nhất ?

Gi¶ia)C¸c tréi trùc tiÕp cña a lµ b,c,d.

Ch¬ng 2 Dµn2.1 §Þnh nghÜa dµn vµ quan hÖ thø tù trªn dµn.

i) (U n ,(),[]) víi (a,b) lµ íc chung lín nhÊt cßn [a,b] lµ béi

chung nhá nhÊt cña 2 sè a,b còng lËp thµnh mét dµn ph©n phèi

§Þnh nghÜa 2 (A, ,  ) lµ mét dµn cho tríc, ta nãi r»ng a b nÕu

nh a  b=a

Bổ đề (A,  ) là một quan hệ thứ tự trên A Quan hệ thứ tự này đợc gọi là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn.

Chứng minh

Tính phản xạ: Ta có a a  a, a  A  a  a, a  A

Tính phản đối xứng: a, b A

Vậy (A,  ) là một quan hệ thứ tự.

Định lí 1 (A,  ) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn (A, ,

 ) thế thì ta có sup{a,b}=a b và inf{a,b}=a b với mọi

Vậy b  a  c .inf{a,b}=a  b hoàn thành từ luật

đối ngẫu Do đó sup{a,b}=a b; inf{a,b}=a

b, a, b A

Định lí 2 Cho (A,  ) là một tập đợc sắp thứ tự trong đó haiphần tử bất kì a,bA đều tồn tại inf{a,b} và sup{a,b} Khi

đó nếu đặt inf{a,b}=a b, còn sup{a,b}=a b, thì (A, , 

) là một dàn nhận (A,  ) làm quan hệ thứ tự cảm sinh

Chứng minh

Dựa vào định nghĩa của inf{a,b} và sup{a,b} ta thấy ngay 3 luật: lũy đẳng, giao hoán, kết hợp là hiển nhiên thỏa mãn.

Luật hút đúng vì nếu a b thì inf{a,b}=a và sup{a,b}=b

 Định lý đợc chứng minh

Nhận xét Với một tập A cho trớc, việc cho một cấu trúc dàntrên A cũng tơng đơng với việc thiết lập một quan hệ thứ tựtrên A mà trong quan hệ này inf{a,b}, sup{a,b} luôn tồn tại vớimọi a,bA Vì lí do này ngời ta có thể đa ra một địnhnghĩa khác về dàn nh sau:

Định nghĩa 3 Một tập sắp thứ tự (A,  ) là một dàn nếu vớihai phần tử bất kỳ x,yA thì sup{x,y} và inf{x,y} luôn tồn tại

Định nghĩa 4 Biểu đồ Hasse của một quan hệ thứ tự cảmsinh trên dàn gọi là một biểu đồ Hasse của dàn

2.2 Bài tập về dàn

Bài 1 (A, ,  ) là một dàn chứng minh rằng quan hệ trên A cho bởi a b nếu a b=b cũng là một quan hệ cảm sinh bởi dàn đã cho

Giải Tính phản xạ:

 c  a  c  a  c 

Tính bắc cầu của  đợc thỏa

mãn Vậy (A,  ) là quan hệ thứ

i) Tập các đỉnh của V có tơng ứng 1-1 với các phần tử của A.ii) x,yA tơng ứng với a,bV thì a và b đợc nối bởi một cung đikhỏi a và

đi tới b nếu y là một trội trực tiếp

của x Vậy đồ thị trên là biểu đồ

Hasse

Mặt khác (A,  ) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên dàn

Thật vậy: Tính phản xạ:

f

x  x, x  A

Tính phản đối xứng: x, y A

Vậy (A,  ) là một quan hệ thứ tự cảm sinh

trên dàn Vậy đồ thị trên là biểu đồ Hasse

của dàn

2.3 Dàn con

Định nghĩa 5 (A, ,  ) là một dàn cho trớc, một tập con Bcủa A đợc gọi là một dàn con của dàn A nếu nh B   và Bcùng với hai phép toán trong A thu hẹp trong B cũng lập thànhmột dàn

Định lí 3 Tập con B của một dàn (A, ,  ) là một dàn con của

A nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây đợc thỏa mãn:

định nghĩa của dàn ta có i); ii);iii).

(  ) Giả sử B 

,  thỏa mãn các luật: lũy đẳng, giao hoán, hút, kết hợp vì

nó kế thừa từ A nên B là dàn con của A

Định lí 4 Một dàn (A, ,  ) có tính chất mà mọi tập con khácrỗng đều là một dàn con khi và chỉ khi quan hệ thứ tự cảmsinh (A,  ) là một quan hệ thứ tự toàn phần

Điều này chứng tỏ rằng x,y luôn so sánh đợc với

nhau Vậy (A,  ) là quan hệ thứ tự toàn phần

( )( A, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần và B là tập con khác

là x  y  B, x  y  B Vậy B là dàn con của A.

Định nghĩa 6 Một dàn có tính chất mà mọi tập con khác rỗng của nó đều là một dàn con của nó đợc gọi là một dàn liên thông

HÖ qu¶ Dµn (A, ,  ) lµ mét dµn liªn th«ng khi vµ chØ khi quan hÖ thø tù c¶m sinh (A,  ) lµ mét quan hÖ thø tù toµn phÇn.

; (A, ,  ) là một dàn, dàn con B liên thông của A

đợc gọi là cực đại nếu B không thực sự chứa trong một dàn con liên thông khác của A

Ta có kết quả thú vị sau:

Định lí 5 Mọi dàn đều đợc phân tích thành hợp của các dàn con liên thông cực đại của nó

Chứng minh:

(A, ,  ) là một dàn cho trớc Trớc hết ta chứng minh mỗi phần

tử a A đều nằm trong một dàn con liên thông cực đại của A.Thật vậy: Gọi F là tập tất cả các dàn con liên thông cực đại của A chứa a, thì

F   vì

({a}, ,  A ) là một dàn con liên thông của A NếuI là một họ

lồng nhau các dàn con liên thông chứa {a} thì

cũng là mộtdàn con liên thông chứa {a} Vì vậy theo bổ đề Zorn thì F

có một phần tử cực



1

E có n phần tử nên số dàn con liên thông cực đại của dàn(P(E), ,  ) là n.

Bài 2 Hãy liệt kê tất cả các dàn con liên thông cực đại của dàn(U 24 , u) ?

Giải Các dàn con của dàn (U 24 ,

u) là:

(U1 , u);(U2 , u);(U3 , u);(U4 , u);(U6 , u);(U8 , u);(U12 , u);(U24 , u) và đây đều làcác dàn

liên thông và chỉ có dàn (U 24 , u) không thực sự chứa trong một dàn con liên thông khác của dàn (U 24 , u).

Vậy dàn con liên thông cực đại của dàn đã cho là dàn (U 24 , u).2.5 Đồng cấu

Định nghĩa 7 (L, ,  ) và (M, ,  ) là hai dàn cho trớc và f là một ánh xạ từ L đến M Ta nói rằng:

ii)B là một dàn con của A thì ánh xạ : B A