Bài giảng Các cổng Logic và đại số Boole - CĐ Công nghệ Thủ Đức

Bài giảng trình bày nội dung về các loại cổng Logic, miêu tả đại số cổng Logic, bài tập ứng dụng cổng Logic, đại số Boole và các định lý cơ bản trong đại số Boole. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

Chương Các cổng Logic đại số Boole Các loại cổng Logic Miêu tả đại số cổng Logic Bài tập ứng dụng cổng Logic Đại số Boole Các định lý đại số Boole Giới thiệu: Năm 1854 Georges Boole, triết gia đồng thời nhà toán học người Anh cho xuất tác phẩm lý luận logic, nội dung tác phẩm đặt mệnh đề mà để trả lời người ta phải dùng hai từ (có, yes) sai (khơng, no) Tập hợp thuật toán dùng cho mệnh đề hình thành mơn Đại số Boole Đây mơn toán học dùng hệ thống số nhị phân mà ứng dụng kỹ thuật mạch logic, tảng kỹ thuật số Một số định nghĩa - Trạng thái logic: trạng thái thực thể Xét mặt logic thực thể tồn hai trạng thái Thí dụ, bóng đèn ta quan tâm trạng thái nào: tắt hay cháy Vậy tắt / cháy trạng thái logic - Biến logic: dùng đặc trưng cho trạng thái logic thực thể Người ta biểu diễn biến logic ký hiệu (chữ hay dấu) nhận giá trị : Thí dụ trạng thái logic cơng tắc đóng mở, mà ta đặc trưng trị Một số định nghĩa - Hàm logic diễn tả nhóm biến logic liên hệ phép toán logic Cũng biến logic, hàm logic nhận giá trị: tùy theo điều kiện liên quan đến biến Thí dụ, mạch gồm nguồn hiệu cấp cho bóng đèn qua hai cơng tắc mắc nối tiếp, bóng đèn sáng cơng tắc đóng Trạng thái bóng đèn hàm theo biến trạng thái công tắc Gọi A B tên biến cơng tắc, cơng tắc đóng ứng với trị hở ứng với trị Y hàm trạng thái bóng đèn, đèn sáng đèn tắt Quan hệ hàm Y biến A, B diễn tả nhờ bảng sau: (sáng) Các phương pháp biểu diễn biến hàm logic 3.1 Giản đồ Venn Còn gọi giản đồ Euler, đặc biệt dùng lãnh vực tập hợp Mỗi biến logic chia không gian vùng khơng gian con, vùng giá trị biến (hay=1), vùng lại vùng phụ giá trị biến sai (hay=0) Thí dụ: Phần giao hai tập hợp A B (gạch chéo) biểu diễn tập hợp A B (A AND B) Các phương pháp biểu diễn biến hàm logic Bảng thật Nếu hàm có n biến, bảng thật có n+1 cột 2n + hàng Hàng tên biến hàm, hàng lại trình bày tổ hợp n biến 2n tổ hợp có Các cột đầu ghi giá trị biến, cột cuối ghi giá trị hàm tương ứng với tổ hợp biến hàng (gọi trị riêng hàm) Thí dụ: Hàm OR biến A, B: f(A,B) = (A OR B) có bảng thật tương ứng Các phương pháp biểu diễn biến hàm logic Bảng Karnaugh Đây cách biểu diễn khác bảng thật hàng bảng thật thay ô mà tọa độ (gồm hàng cột) xác định tổ hợp cho biến Bảng Karnaugh n biến gồm 2n ô Giá trị hàm ghi ô bảng Bảng Karnaugh thuận tiện để đơn giản hàm logic cách nhóm ô lại với Thí dụ: Hàm OR diễn tả bảng Karnaugh sau Các phương pháp biểu diễn biến hàm logic Giản đồ thời gian Dùng để diễn tả quan hệ hàm biến theo thời gian, đồng thời với quan hệ logic Thí dụ: Giản đồ thời gian hàm OR biến A B, thời điểm có (hoặc 2) biến có giá trị hàm có trị hàm có trị thời điểm mà biến Các phương pháp biểu diễn biến hàm logic Qui ước : Khi nghiên cứu hệ thống logic, cần xác định qui ước logic Qui ước không thay đổi suốt trình nghiên cứu Người ta dùng mức điện thấp cao để gán cho trạng thái logic Qui ước logic dương gán điện thấp cho logic điện cao cho logic Qui ước logic âm ngược lại 2.1 Các loại cổng Logic Cổng logic thiết bị điện tử thực phép toán boole với ngõ vào tín hiệu nhị phân Hai mức điện áp khác dùng để đại diện cho giá trị bool Ví dụ, volt (cao) dùng để đại diện cho logic 1, volt (thấp) dùng để đại diện cho logic Như tín hiệu vào A biến bool ◦ Khi A mức volt, ta nói A có giá trị logic ◦ Khi A mức volt, ta nói A có giá trị logic Sự cho phép (Enabling), không cho phép (Disabling) cổng AND, OR Cổng AND hình 4.13 khơng cho phép ngõ vào B mức logic ngõ X mức bất chấp thay đổi ngõ vào A 1 1 A 0 0 X B Figure 3-16 Sự cho phép (Enabling), không cho phép (Disabling) cổng AND, OR Sử dụng cho phép hay khơng cho phép, tín hiệu bị điều khiển đến đường dẫn khác mạch điện hình 4.14 Nếu Enable = 1, cổng cho phép, cổng khơng cho phép, tín hiệu chuyển đến X Nếu Enable = 0, cổng cho phép, cổng khơng cho phép, tín hiệu chuyển đến Y Sự cho phép (Enabling), không cho phép (Disabling) cổng AND, OR Tương tự, cổng OR ngõ vào cho phép mức logic ngõ vào enable không cho phép logic ngõ vào enable, 1 1 A 0 0 X B F igure 3-18a 1 1 A X is stuck at 1 X B F igure 3-18b Sự cho phép (Enabling), không cho phép (Disabling) cổng AND, OR Trường hợp cổng NAND ngõ vào, cổng cho phép mức logic ngõ vào enable B tín hiệu vào thay đổi chạy qua cổng ngõ bị đảo so với tín hiệu ngõ vào (hình 4.17, 4.18 Cổng NAND không cho phép mức logic ngõ vào enable ngõ X ln mức logic 1) Tương tự, cổng NOR cho phép mức logic không cho phép mức logic ngõ vào enable 1 1 Note that output X and signal A are out of phase when the NAND gate is enabled A 0 X B Figure 3-19a 1 1 1 A 0 X B Figure 3-19b Note that output X stays at logic when the NAND gate is disabled Lưu ý rằng, hình 4.17 ngõ X tín hiệu A ngược pha cổng NAND cho phép Hình 4.18, ngõ X mức cổng NAND không cho phép 2.4 Đại số Boole định lý De Morgan 2.4.1.Các qui tắc đại số boole Đại số bool đại số mạch logic Dấu “+” đại diện cho phép toán OR, cổng OR kết hợp ngõ vào để đưa đến ngõ Dấu “.” đại diện cho hoạt động cổng AND Với ý nghĩa đại số bool, biểu thức cho biến điểm mạch logic phức hợp viết dạng biến ngõ vào ♦ Có phần tử trung tính cho toán tử (+) (.): A + = A ; phần tử trung tính hàm OR A = A ; phần tử trung tính hàm AND ♦ Tính giao hốn: A+B =B +A A B = B A A  A 1 A A  A A 1 1 2.4.1.Các qui tắc đại số bool Tính phối hợp: (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (A B) C = A (B C) = A B C Tính phân bố:  Phân bố phép nhân: A (B + C) = A B + A C Phân bố phép cộng: A + (B C) = (A + B) (A + C)  Phân bố phép cộng tính chất đặc biệt phép tốn logic Khơng có phép tính lũy thừa thừa số: A+A+ +A=A A.A A=A 2.4.1.Các qui tắc đại số bool Tất biểu thức logic [thay phép toán (+) phép (.) 1] hay ngược lại Điều chứng minh dễ dàng cho tất biểu thức 2.4.1.Các qui tắc đại số bool 2.8.2.Định lý Demorgan A1.A2 An  A1  A2   An Áp dụng: AB  A  B A  B  A.B A1  A2   An  A1.A2 An Định lý De Morgan cho thấy hàm logic khơng độc lập với nhau, chúng biến đổi qua lại, biến đổi cần có tham gia hàm NOT Kết ta dùng hàm (AND NOT) (OR NOT) để diễn tả tất hàm Thí dụ: Chỉ dùng hàm AND NOT để diễn tả hàm sau: Chỉ cần đảo hàm Y hai lần, ta kết quả: Nếu dùng hàm OR NOT để diễn tả hàm làm sau: 2.8.2.Định lý Demorgan 2.8.3.Rút gọn hàm bool Để việc thi công mạch kinh tế hơn, sau thiết kế xong hàm bool thường chuyển dạng mạch chứa loại cổng rút gọn trở nên đơn giản Ta dùng qui tắc đại số bool định lý Demorgan để rút gọn hàm bool Ví dụ 1: Đơn giản hàm: Y  AB  AB  BC Y  B( A  A)  BC  B  BC  B (1  C )  Ví dụ 2: Đơn giản hàm: Y= ( A  B  C )( A  B  C ) Y= A  B  C  ( A  B  C ) = A(B+C)+A+B+C = A+B+C 2.8.3.Rút gọn hàm bool Ví dụ 3: Đơn giản hàm: Y= ( A  C  B)( AB  C D)  ACD  ( AC B)( A B  C D)  ACD  ABC D  ( A  C  D )  ( A  C  D )  ACD 2.9.Ứng dụng cổng logic Cổng logic diện nhiều mạch điều khiển khác Sau ví dụ mạch cộng nhị phân 2.9.1.Mạch cộng bán phần Mạch cộng bán phần cộng bít, A B, cho kết bít tổng S1/2 bít nhớ Co Qui tắc cộng bít là: 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=10 (là hệ thập phân) Điều tổng kết bảng 4.11 Sơ đồ mạch hình A 0 1 - B 1 S 1 Quan hệ vào-ra: S  A B Co  A.B Co 0 Hình 4.24 2.9.Ứng dụng cổng logic 2.9.2.Mạch cộng tồn phần Mạch cộng tồn phần có ngõ vào, A, B, Co(bít nhớ từ vị trí trước đó) ngõ ra: S(tổng) Ci(nhớ sang vị trí tiếp theo) Điều tổng kết bảng 4.12 Sơ đồ mạch hình 4.25 • Quan hệ vào-ra: S  Co  ( A  B) Ci  CO ( A  B)  AB  Co( A  B) AB A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Co 1 1 S 1 0 Ci 0 1 1 THE END ... vào theo sau phép tốn NOT Cổng XNOR có hay nhiều ngõ vào Nói cách khác, ngõ cổng XNOR luôn hàm XOR-NOT ngõ vào Y  A  B  AB  A B Mô tả đại số mạch logic tổ hợp Ta biết hàm logic cho cổng logic, ... có hay nhiều ngõ vào Ngõ cổng NOR luôn hàm OR-NOT ngõ vào A Y B Cổng XOR Cổng exclusive OR (EX-OR gọi tắt XOR) khác với cổng OR Ngõ mức logic ngõ vào giống Ngõ mức logic ngõ vào khác Y  A ... 2.1.1 Cổng NOT Cổng NOT thiết bị đảo tín hiệu vào Cụ thể, ngõ vào mức logic 0, ngõ mức logic Nếu ngõ vào mức logic 1, ngõ mức logic Ký hiệu cổng NOT mạch điện công tắc đơn giản mô cho cổng NOT A