HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

http://www.facebook.com/ThayTungToan HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT PHẦN CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ( Trang – 11 ) ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m  1) a  2) a  n  n 3) a n  n a m 4)  a   a a   a a  a 5) a a   a   6)   a   7)  ab   a b 8)     b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 1) A =  2) B = (0, 04) 4) D = 43 21 2 3 5) E = 1,5  (0,125)  4 3) C =  0,5  625 81 5 12 6) F =   18 27 0,25  1 2   4 847 847  6 27 27 6 Giải: 3 1) A =    2    23   23  22  12 2) B = (0, 04) 1,5  (0,125)        25  4  1 3) C =  0,5   6250,25     4 1  1   8  3 2  5   4 3  19  3   21      3    53  2  121  11  2         4    19 3 (3)3 19  3   19  5    11      10 27  2   27 4) D = 43 2.21 2.23  262 2.22 5) E = 81 5 12   18 27 6) F = 6  F3     24  16 35.3 2.3 35 3 1  101  2   3.2 3    10 3    3 847 847  6 Ta áp dụng đẳng thức :  a  b   a  b3  3ab  a  b  27 27 847 847 847 847  847 847   6  6  33  6  6 27 27 27 27  27 27    Trang 1  19  3 3 GV: THANH TÙNG 0947141139  F3  12  3 36  http://www.facebook.com/ThayTungToan 847 F  12  5F  F3  5F  12    F  3  F2  3F  4  27  F = F2  3F   (vô nghiệm) Vậy F = Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): 35 1) A = a 24  a b 4 2) B =    b a   a   a a   12 4) D = 1   : a  b      b b    1   1  a b a  b   14 a  3) C =  : a  b   1 1   b   a  a 2b4 a  b4       5) E =  a  b     b b2  :  b  2b   a a    13  a b   :2 a  b  6) F =    b a  ab   32   12 a b a  b2 8) H =    ab       a  b 2  a  b        ab  ab  b  7) G =  ab  : a b a  ab  b  ab  Giải: 1) A = a2 4 3 1  b 3 9) I =   a    a  a  ab  4b  a  8a b 1    3 a   a a    a   a  a     35  a b 2) B =    b a   35  7 4 1 1       b   b   a b5 b                  a   b a   a   a          1 1     1 1 1 2 2   a b a b   a  ab a  b   14 b  3) C =  :a b   1  :a  b4  1 1    b  2 a   a  a 2b4 a  b      a  a  b4  a4  b4         1 a  b  a  a 2b2  1   a2  a4  b4    1   a b2  a2  b2  a b a   1 1   b a b   b  2  a  a b  a b    2    a a   12 a 4) D = 1    :  a  b   1   : b b  b       5) E =  a  b      a b  b b2  :  b  2b   a a   a a a b  b b a b     a b     b a b Trang  a b b   : b    a     a b   b :  a    b  a b    GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 1  13   13  3 a  b a  b     ab   :2 a  b     : 6) F =    b a ab ab  2  a  a   3 ab a3b ab   ab a b  1 ab  ab  b a ab  ab  ab ab  7) G =  ab   : a b a  ab  b  ab a  ab ab  b b  ab   a ab a b a ab  a  ab ab  b a a b  3 2   a b a b  8) H =   ab    1    a  b  a  b    a b       b   a b a b  a 1   12     1  a  b   a  a 2b2  b   1 a2  b2       2  a b 1 1        a2  b2    a2  b2   a2  b2          2  12  a b  a  2a b  b   1 =  1 1     2 a b  a b      3 1  a  a  8b  a  8a b b 3 9) I =   a    1  a  a  ab  4b  a  a b  4b 3  a  3  a    b   3 3 a  ab  4b 3 a a a  23 b 1  a  23 b    a  a   2  a   a  b   a   ab   b    a  a  b   a   ab   b   3 3 3 3 3 2 3  a a 0 B BÀI LUYỆN Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:  3 1) A =  32     2) B = 7 4  2  4) D =    (0, 2)0,75    5) E =        1    3) C =    :  :  :  3.2 4.3             23 2 (18)7 24.(50)3 (225)4 (4)5 (108) 6) F = Bài 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): a 1) A = a a a 2) B = 3 a 3) C = a4  a4 a4  a4  b    b2 b2  b  4) D = Trang 10 3 :10 2  (0, 25)0  10 2 (0, 01)3 ( 1) a 2 1 23.2 1  53.54  (0, 01)2 10 2 a3b a6b 2 1 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan   a  1 LÔGARIT: Giả sử biểu thức có nghĩa  log a b có nghĩa   b   1) log a  5) a 2) log a a  3) log a b  loga c  log a (bc) 4) log a b  log a c  log a b c log a b    log a b   6) log a b  log a b   b  log a b  log a b    log a b.log b a   log a b  log a  b 7) log a b.logb c  log a c   log c  log a c  b log a b +) Lôgarit thập phân : log10 b  log b  lg b +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b  ln b ( e  2, 71828 ) loga b  Chú ý: A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau:  1) A = log3 log 4) D =    2  3 2log5 log5 7) G = lg 25 5) E=  49 1 2log2 10) J =  log7  36 27 3) C = log 5.log 25 2) B = log 3.log3 36 e log6 ln3 1  log 27  log125 81 25 8) H = log6 4 log8 6) F = log3 2  27 log9 2 log8 27 log log 36 2log 71  10log99 9) I = lg  81  27     0,25 0,5log9 11) K = log (log 8)  81 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64) 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 ) Giải:  1) A = log log 2) B = log 3) C = log 5.log 25 4) D = 5) E   9   1 2  log  log   log    log  log 32  2 6 3  22   3.log3 36  log 2log5 36  log 62 62  15  3  log 1 5.log 33  (5)    log3 5.log5  27  2  2   33    3log3 1  log 27  log125 81 25 log3 3 5 1  log 1 33  log 34 5   52   1 log5 3 log5 3 5 Trang 1 2log5 5 log5 32  5.5  5.9  45 GV: THANH TÙNG 6) F = log 3 2  log 32  7) G = lg 25  27 0947141139 log9 2 log8 27   log 3 2  log 32   3  2log   log  3    log5  49 log7 e ln  3    http://www.facebook.com/ThayTungToan log 2 2  23 log3 log       log 33    log 3   23     log 1  2  1   3 2      lg  52    log5    72 log7     lg  5log5 62  7log7 82           lg 62  82   lg102     1 8) H = log6 log8 4    10log99  32 log3    22  log log 36 2log 71 9) I = lg  81  27    lg       log 54 log 63 log 71   lg  3  3  3   lg   1 2log 10) J   36 log6 0,250,5log9  81  log  34  log3 62  99  log3    33 log 62 log 82  99   82  99  2log 71  3    54  63  71  lg  29  71  lg100  1 2log   22   2 22 4log 2 6    62 log6 log6  log3 0,25  log    34     3 7 11) K = log (log 8)  log  log 23   log 3    12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64)   log 2013 log (log 28 )  log 0,25 log9 (log 43 )   1 3 1  log 2013  log  log 0,25  log9 3   log 2013  log 22 23  log   log 2013     log 2013    2   2   2   13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log  log  14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 )  lg(tan10 )  lg(tan 89 )   lg(tan 20 )  lg(tan 880 )    lg(tan 44 )  lg(tan 460 )   lg(tan 450 )  lg  tan10.tan 890   lg  tan 20.tan 880    lg  tan 44 0.tan 46   lg  tan 450   lg  tan10.cot10   lg  tan 20.cot 20    lg  tan 440.cot 440   lg  tan 450   lg1  lg1   lg1  lg1       Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa):  1) A = log a a a a 3) C = lg log a3 a a  2) B =  log a b  log b a   log a b  log ab b  log b a  4) D = log  2a    log a  a log a  log2 a 1 log a  3log a  1  Trang  log 22 a GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Giải:  1) A = log a a 24 a 35  16  14      14   log a  a  a    log a  a a   log a a              a  log a  a a a      2) B   log a b  logb a   log a b  log ab b  log b a    log a b     log a b.log b a  log ab b.log b a   log a b   log 2a b  log a b   log a b  1  1  log ab a    log a b log a b  log a b  1  log a b   1   1  log a ab     log a b  1 log a b   log b    log b 1   1  a a log a b  log a b   log a b  3) C = lg log a a  lg log a3 4) D = a.a  5 1  lg log  a   lg log 3 a 10  lg   lg  1 a 10 10  a3  a3 log  2a    log a  a    log a log a log a 1   2log a  log a  log a  1  8log 22 a 3log a  3log a  1   log 22 a  3log a  1 log 22 a  3log a  log a  3log a  1  Ví dụ 3: Cho log a b  ; log a c  2 Tính log a x biết: 1) x  a 3b c 2) x  a4 b c3 3) x  log a a bc Giải: Cho log a b  ; log a c  2 1) Với x  a 3b c 1  log a x  log a a 3b c  log a a  log a b  log a c   2log a b  log a c   2.3   2   2  2) Với x   a4 b c3  log a x  log a 3) Với x  log a a4 b 1  log a  log b  log a c   log a b  3log a c     2   1 a a c 3 a bc a c b3  log a x  log a a bc a cb  log a a 2b c 1 a b 3c  log a a3c 8  log a a  log a b  log a c b3  5  log a b  log a c     2   8 3 3 Trang a cb3 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( b c) biểu thức sau: 1) A = log 20 0,16 biết log  a 2) B = log 25 15 biết log15  a   3) C = log 40 biết log    a  5 5) E = log 35 28 biết log14  a log14  b 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b 49 7) G = log125 30 biết lg  a lg  b 8) H = log biết log 25  a log  b 9) I = log140 63 biết log  a ; log3  b ; log  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log8  b ; log  c Giải: 1) A = log 20 0,16 biết log  a log   3log   3a Ta có: A = log 20 0, 04  log 20  log (2 2.5)  log  a 2) B = log 25 15 biết log15  a Ta có: a  log15  log3  3.5  1 1 a  log3     log3 a a 1 a 1 log 15 log (3.5)  log a   B = log 25 15      a 1  a  log 25 log 52 2log a   3) C = log 40 biết log    a  5  3a   Ta có: a  log    log   log  log    5 22 3a 3 log 40 log (23.5)  log   3a  C = log 40     log 10 log (2.5)  log  3a  3a 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b 2.33 log  21,    3log  log   3a  b Ta có: D = log (21, 6)   log log  2.3  log 1 a log 5) E = log35 28 biết log14  a log14  b Ta có: a  log14  b  log14  log7  2.7   1 1 a  log     log a a log log  1 a  b   log  b(1  log 2)  b 1   log  7.2   log a  a   E = log 35 28  log 28 log (7.2 )  log    log 35 log (7.5)  log Trang 1 a a  2a b ab 1 a  GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b log 18 log  2.3   2log (2) b  log12 18    log 12 log  22.3  log log 15 log  log Ta có: a  log 15  (1)  log  log  2b b2  2b 2b  a  ab  Từ (1)  log  a 1  log 3  log   a  1 log  a   a  1 a b2 b2  b 3 log 24 log    log b 5 b2  F = log 25 24      2 b  a  ab  log 25 log 2log 4b  2a  2ab  b2 Từ (2)  b (2  log 3)   log  (b  2) log   2b  log  7) G = log125 30 biết lg  a lg  b lg 30 lg  3.10   lg 1 a  10  Ta có: b  lg  lg     lg  lg   b  G = log125 30     lg125 3lg 1  b  lg    5 49 biết log 25  a log  b log log log Ta có: a  log 25     log  ab log 25 log 2b 8) H = log 49 72 log 49   log   2.2 ab   12ab   H = log  1 log b log b log 3 9) I = log140 63 biết log  a ; log  b ; log  c log Ta có : log  log 3.log  ab  I = log140 63  log  32.7  log 63 log  log 2a  c    log 140 log  5.7   log  log  ab  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log  b ; log  c log log log   a  log 27  log 27  3log  3c  log  3ac log 35 log  log 3ac  3b  2  J = log 35     log  log 1 c b  log  log  log  log  3b  log Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: 1) A = log b a b biết log a b  a 2) B = a4  a4 a a Trang  b  2  b2 b b  biết a  2013  ; b   2012 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Giải: 1) A = log A = log  b biết log a b  a b  log a b a b a 1  3    log a b  2) B = a4  a4 a a B=  b  4 a a a a   b a a2  3log b b a  log a b a  1    log b a  2   1   log a b  1 2  log a b log a b  1 3      log a b   log a b   log a b   log a b   3    b b a  b2 b b b  log  2  biết a  2013  ; b   2012 b b b   a 1  a    b 1  b   a 1  a  b  2 1  a   1  b   a  b  2013    2012  1  b  Ví dụ 6: Chứng minh (với giả thiết biểu thức có nghĩa): log a b  log a c 2a  3b lg a  lg b log c log a 1) log ac (bc)  2) a b  c b 3) Nếu 4a  9b  4ab lg   log a c 4) Nếu a  4b  12ab log 2015 ( a  2b )  2log 2015  (log 2015 a  log 2015 b) 1 5) Nếu a  101lg b ; b  101lg c c  101lg a 6) Nếu a  log12 18 ; b  log 24 54 thì: ab  5(a  b)  b c c a b 7) log 2a  log 2a 8) Trong số: log 2a ; log 2b log 2c ln có số lớn c b b c a b c a Giải: 1) log ac (bc)  2) a logb c  log a b  log a c  log a c log a c b Đặt a Ta có: log 3) Nếu 4a  9b  ab lg bc log a  bc  log a b  log a c log a bc    log ac (bc) (đpcm)  log a c log a a  log a c log a  ac  a logb c  a t log c log a t   a b  c b (đpcm) t log a log a log a c  bt  c b  bt b  b b  a t 2a  3b lg a  lg b  2 2 2 Ta có: 4a  9b  ab  a  12ab  9b  16ab   2a  3b  2  2a  3b   16ab     ab   2a  3b a  3b lg a  lg b  a  3b  (đpcm)  lg   lg a  lg b  lg    lg  ab   lg 4   Trang 10 GV: THANH TÙNG 0947141139 1  10) f ( x)  x ln x đoạn  ;e  e   1  x  0 e ;e      1  x  e   ;e  e   11) f ( x)  ln x  f   Mà :  f  f   http://www.facebook.com/ThayTungToan x  Ta có : f '( x)  x ln x  x  x  ln x  1    ln x   ln e    1   e e e e   2  e   2e    max f ( x)  2e4 x  e2  x 1e ;e2      1  f ( x)  x  e e  x 1e ;e2     đoạn [e; e2 ]  x Ta có : f '( x)  ln x    với x   e; e2   hàm số nghịch biến với x   e; e2  ln x x ln x ln x 1   (Có thể tính f '( x) cách : f ( x)   ln x   f '( x)    ln x    ) x x ln x ln x  max f ( x)  x  e  xe;e2   Cách : Với e  x  e2  f (e )  f ( x )  f (e )   f ( x )   2  f ( x)  x  e2    xe;e   max f ( x)  x  e  f ( e)   xe;e2    Cách : Ta có :  2 2  f (e )   f ( x)  x  e2  2    xe;e  12) f ( x)  27 x  x  8.3x  đoạn [0;1] Đặt t  x với x   0;1  t  1;3  f ( x)  t  t  8t   g (t ) với t  1;3 t   1;3 Ta có : g '(t )  3t  2t     t   (loai)   g (1)  9  max f ( x)  7 x    x0;1 Mà :  g (2)  13   f ( x)  13 x  log  g (3)  7  xmin  0;1  13) f ( x)  log x  log x  [10;1000] Đặt t  log x với x  10;1000  t  1;3  f ( x)  t  4t   g (t ) với t  1;3 Ta có : g '(t )  2t    t   1;3  g (1)   Mà :  g (2)  1   g (3)    f ( x)   xmax 10;1000    f ( x)   x10;1000   x  10  x  1000  x  100 Trang 29 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 14) y  x   x ln x đoạn [1; 2] (TN – 2013) Ta có: y '  x x2  x  (ln x  1)  x2  x  x2    ln x   ln x x2   x  x2  2 0 x  x   x  x  x  x   Mà   y '  với x  [1; 2] x2     ln x  x  [1; 2]  max y  y (1)  x   x1;2 Suy hàm số nghịch biến đoạn [1; 2]   y  y (2)   ln x   xmin  1;2 Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) 3x    3x  m 2) x  m.2 x  m   Giải: 1) 3x    3x  m (*) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log  (*) có nghiệm : 3x ln Ta có : f '( x)  x 3  53 Ta có : lim f ( x)  lim x    x ;log3 5 3x ln 3x ln x   x   3  3x  x  x    x   0  x ;log3 5  3x  3x   x   x   3x    3x    bảng biến thiên : f ( x)  2 Vậy bất phương trình có nghiệm : m  2 2) x  m.2 x  m    x   m  x  1 (2*) TH1 : x  bất phương trình có dạng :  (vơ lí) 4x   m (2*1) 2x 1 4x  TH3: x   x   Khi bất phương trình có dạng: x m (2*2) 1 4x  t2  Xét hàm số: f ( x )  x Đặt t  x  f ( x)   t 1  g (t ) 1 t 1 t 1 t     t  1     g '(t )    t  1  t  1 TH2 : x   x   Khi bất phương trình có dạng: Trang 30 f ( x)  m GV: THANH TÙNG 0947141139 +) Với x   t  lim g (t )  lim t 1 t 1 http://www.facebook.com/ThayTungToan t2    ta có bảng biến thiên: t 1 (2*1)  m  f ( x)  g (t )  Vậy (2*1)  m  x 0;  t1;  +) Với x    t  lim g (t )  lim t 1 t 1 (1) t2    ta có bảng biến thiên: t 1 Từ bảng biến thiên ta có: (2*2)  m  3 (2)  m  3 Từ (1) (2), suy bất phương trình (2*) có nghiệm khi:  m  Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình: 3x    3x  m có nghiệm với x  (; log3 5] 1) 2) ( m  1).4 x  x 1  m   có nghiệm với x   3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  có nghiệm với x  [0;1] Giải: 1) 3x    3x  m với x  (; log3 5] (*) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log3  (*) với x  (; log3 5] : Ta có : f '( x)  3x ln x  3 53 Ta có : lim f ( x)  lim x   m  m ax x ;log3 5 3x ln 3x ln x   x   3  3x  x  x    x   0  m ax x ;log3 5  3x  3x   x   x   3x    3x    bảng biến thiên : f ( x)  Vậy bất phương trình với x  (; log3 5] : m  Trang 31 f ( x)  m GV: THANH TÙNG 0947141139 2) ( m  1).4 x  x 1  m   với x   http://www.facebook.com/ThayTungToan (2*) Đặt t  x với t  Khi (2*) có dạng:  m  1 t  2t  m   với t   m  t  1  t  2t  với t   m  g '(t )  2t  4t  t  1 t  2t   g (t ) với t  (2**) t2 1 t  1    t  2t     t  1  t  2t    bảng biến thiên: t  t2 1 lim g (t )  lim t  Dựa vào bảng biến thiên: (2**)  m  Vậy bất phương trình với x   khi: m  3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  với x  [0;1] x (3*) x 9 3 (3*)  m     2m  1    m  với x  [0;1]  4 2 x  3  3 Đặt t    với x   0;1  t  1;   2  2  3 Khi (3*) trở thành: mt   2m  1 t  m  với t  1;   2  3  m  t  2t  1  t với t  1;   2  3  m  t  1  t với t  1;  (3*1)  2 +) Với t  bất phương trình có dạng:  1 (ln đúng) t  3 +) Với t  1: (3*1)  m   g (t ) với t  1;  (3*2)  2  t  1 Ta có: g '(t )  t  3  với t  1;  lim g (t )  lim   t 1 t 1  t  1  2  t  1 t 1 Ta có: (3*2) m  m ax g (t )  6 Vậy với m  6 bất phương trình có nghiệm với x  [0;1]  3 t1;   2 Trang 32 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 13: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 xn 1) e x   x với x  2) e x   x    với x  ; n   3) e x  x  với x   n! n  x ln a     x ln a  với x  ; a  ; n   4) a x   x ln a  5) ln(1  x)  x với x  2! n!  x2 x2 xn  6) ln 1  x      x với x  7) e x  cos x   x  x   n!   ln x  với x  0; x  x 1 x 2x 11) ln( x  1)  với x  x2 8)  9) ln( x  1)  x  với x   13) x ln x   x    x với x   b x  ln 1  x   x với x  1 x 12) ln   x   ln x với x  x 10)  x 1  14) x x      x 1 với x  a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     ac 18)   bc b c   y 19) a ab bc c  abc a b c với a, b, c  2y  x y 21) ln  với x, y    x  2x  y 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   22) x 17)  x  3x    y  y  với x  y  b a    với a, b, c  a  b b 15) a b  b a với  a  b  ba b ba với  a  b  ln  b a a Giải: 1) e x   x với x  (1*) (1*)  e x   x  với x  Cách Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x    x  Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  hay e x   x  với x  (đpcm) Cách (thực chất cách trình bày khác Cách 1) Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x   với x  f '( x)   x   f ( x) đồng biến với x  nên với x   f ( x)  f (0)  hay e x   x  với x  (đpcm) Trang 33 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan x2 xn với x  ; n     n! x2 xn Xét hàm số: f n ( x)  e x   x    n! Ta chứng minh: f n ( x)  (*) với x  ; n   2) e x   x  +) Với n  : f1 ( x)  e x   x  f1 '( x)  e x   với x  f '( x)  x   hàm số f1 ( x) đồng biến với x   f1 ( x)  f1 (0)  Vậy (*) với n  +) Giả sử (*) với n  k hay f k ( x)  +) Ta cần chứng minh (*) với n  k  hay f k 1 ( x)  e x   x  x2 xk x k 1     Thật vậy: k !  k  1 ! x2 xk    f k ( x)  (theo giả thiết quy nạp) f k'1 ( x)  x  k!  hàm số f k 1 ( x) đồng biến với x   f k 1 ( x)  f k 1 (0)  Vậy (*) với n  k  f k'1 ( x)  e x   x  Theo phương pháp quy nạp  e x   x  x2 xn   với x  ; n  N n! (đpcm) 3) e x  x  với x   (3*) x (3*)  e  x   với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  x  với x   Ta có: f '( x)  e x    x  lim f ( x)  lim  e x  x  1   ; lim f ( x)  lim  e x  x  1   x  x  x  x  Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  x   với x   (đpcm)  x ln a    x ln a   x ln a    n với x  ; a  ; n   2! n! Đặt t  x ln a  a x  e x ln a  et với t  4) a x Khi tốn phát biểu lại là: Chứng minh et   t  t2 tn   với t  ; n   (quay ý 2)) n! 5) ln(1  x)  x với x  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  với x  (đpcm) Trang 34 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan  x2 xn  6) ln 1  x      x với x  n!    x2 xn  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x      x với x  n!   x n 1 xn   n  1! n! Ta có: f '( x)  1   với x  x xn x2 xn  x     x    n! n!  x    x2 xn   f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x      x với x  (đpcm) n!   7) e x  cos x   x  x2 với x   x2 với x   Ta có: f '( x)  e x  sin x   x f ''( x)  e x  cos x   với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  cos x   x   x   f '( x)  f '(0)   f '( x ) đồng biến với x   Do đó:   x   f '( x)  f '(0)   x2  ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x   x     x  x    Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  cos x   x  x2 với x   (đpcm) ln x  với x  0; x  x 1 x x 1 Xét hàm số: f ( x)  ln x  với x  x  x x   x  1  x  1 x   x 1  Ta có: f '( x)    với x  0; x  x x x 2x x 2x x  f ( x ) nghịch biến với x  0; x  Do đó: 8)  x 1  x 1 ln x  (vì x   ) x 1 x x x x 1 x 1 ln x +) Với x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x    (vì x   ) x 1 x x x ln x  Từ (1) (2)  với x  0; x  (đpcm) x 1 x +) Với  x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x  Trang 35  (1) (2) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 9) ln( x  1)  x  với x  Xét hàm số f ( x )  ln( x  1)  x  với x  Ta có: f '( x)  1  x 1     x 1   x  x 1 x   x  1 lim f ( x)  lim ln( x  1)  x     ; lim f ( x)  lim  ln( x  1)  x      x  x   x 1 x 1 Từ bảng biên thiên ta có: f ( x)  ln   hay ln( x  1)  x  với x  (đpcm) 10) x  ln 1  x   x với x  1 x +) Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  với x  +) Xét hàm số: g ( x)  ln 1  x   Ta có: g '( x)  1   x 1  x 2 (1) x với x  1 x x   với x  1  x   hàm số g ( x ) đồng biến với x   g ( x)  g (0)  hay ln 1  x   Từ (1) (2)  11) ln( x  1)  x  với x  1 x x  ln 1  x   x với x  (đpcm) 1 x 2x với x  x2 Xét hàm số: f ( x)  ln( x  1)  Ta có: f '( x)  2x với x  x2 x2    với x   x  x   1  x  x  2  f ( x ) đồng biến với x   f ( x)  f (0)  hay ln( x  1)  2x với x  (đpcm) x2 Trang 36 (2) GV: THANH TÙNG   12) ln   x  0947141139  ln x với x  x x Ta có: f '( x)    x2   x2   http://www.facebook.com/ThayTungToan   Xét hàm số: f ( x )  ln   x    2 1 x  x x  1  x   x   x  2    x x x  x2   x2  x2   x2 x2   x2   x2  x  x2  x    hàm số đồng biến  0;        x2  x   x2   x2   x2 x2    x2   x2 x2  x2  x x2  x2    với x  (1)   1  x2   Mặt khác: lim f ( x)  lim ln   x   ln x   lim  ln  x  x   x x  x       Từ (1) (2)  f ( x)  với x  hay ln   x    ln x với x  x  1     x   (2)  ln x với x  (đpcm) x    13) x ln x   x    x với x   Xét hàm số: f ( x)  x ln x   x    x với x    Ta có: f '( x)  ln x   x    x x 1   x2   x   x2    x 1 x   ln x   x 2   Khi đó: f '( x)   ln x   x   x   x    x   x 1  x  x     x  lim f ( x)  lim  x ln x   x    x    2  x  x    x  1  x   x  x     Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  R hay x ln x   x    x với x  R (đpcm)  x 1  14) x      x x 1 với x   x 1  Ta có: x      x 1 x 1 x 1 x 1  x 1   ln x  ln   x ln x   x  1 ln 0   x ln x   x  1 ln 2   x 1 Xét hàm số: f ( x )  x ln x   x  1 ln với x  x 1 x 1 2x Ta có: f '( x )  ln x   ln (1)   ln x  ln  ln 2 x 1 2x 2x Mà: x   x  x      ln  (2) x 1 x 1 Từ (1) (2)  f '( x)  với x  f '( x)  x   hàm số f ( x ) đồng biến với x  x x  f ( x)  f (1)  hay x ln x   x  1 ln x 1  (đpcm) Trang 37 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 15) a b  b a với  a  b  Ta có BĐT cần chứng minh: a b  b a  ln a b  ln b a  b ln a  a ln b  ln a ln b với  a  b   a b ln x  ln x với x   0;1 Ta có: f '( x)   với x   0;1 x x2 ln a ln b (đpcm)  f ( x ) đồng biến với x   0;1 Vậy với  a  b   f ( a )  f (b) hay  a b Xét hàm số: f ( x)  b a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     b a b a 4a  1 4b  1 b a b a    a   b 1 Ta có:   a     b      4a  1   4b  1  ln  4a  1  ln  4b  1 ab ab    2   b ln  a  1  a ln  4b  1  Xét hàm số: f (t )  ln  4t  1 t ln  a  1 a  ln  4b  1 b với a  b  với t  4t ln  ln  4t  1 4t ln   4t  1 ln  4t  1 t  Ta có: f '(t )    với t  t2  4t  1 t  hàm số nghịch biến với t  Với a  b   f (a )  f (b)  y ln  a  1 a  ln  4b  1 b (đpcm) x 17)  x  3x    y  y  với x  y  y Ta có:   x x y   2 y 3 y x  y x y x y   x    y               2 x 1        y 1       xy 1      xy 1                         x y x   x    y    x    y    x    y   1      1      ln 1      ln 1      y ln 1      x ln 1                               x    y  ln 1     ln 1     ln 1  a x  ln 1  a y                với a  (*) x y x y Xét hàm số f (t )  ln 1  a t  t với t  a t ln a t  ln 1  a t  a t ln a t  1  a t  ln 1  a t  t  a Ta có: f '(t )    với t  t2 1  a t  t Vậy f (t ) nghịch biến với t  Nên với x  y   f ( x)  f ( y ) hay (*) (đpcm) Trang 38 x GV: THANH TÙNG ac 18)   bc b c 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan b  xa Xét hàm số: f ( x)     xb  a    với a, b, c  a  b b  xa Từ (*)  ln f ( x)  ln    xb  f '( x)  xa   ln   f ( x)  xb  x b xb (*) với x, a, b   xa   x  b  ln    xb ba  x  b  x  b xa xb   xa ba  xa  ba  ln   f '( x)  ln     f ( x) (1)  xb  xa   x b  x a ba ba b  a   xa ba Đặt g ( x)  ln   g '( x)     với x, a, b   2  x  a  x  b   x  a   xb  xa  x  a  x  b  hàm số g ( x ) nghịch biến với x   0;     xa ba Mà lim g ( x)  lim ln      g ( x)  với x  (2) x  x    xb  x a Từ (1) (2)  f '( x)  với x, a, b   hàm số f ( x ) đồng biến với x   0;   ac Vậy với c   f ( c)  f (0) hay    bc  19) a ab bc c  abc a b  c b c a   b b (đpcm) với a, b, c  a b c    ln  a abbc c   ln  abc    a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c    Xét hàm số: f ( x )  ln x đồng biến với x  a a bb cc  abc a b c Khi với a, b, c  ta ln có:  a  b  ln a  ln b    a ln a  b ln b  a ln b  b ln a    b  c  ln b  ln c    b ln b  c ln c  b ln c  c ln b  c ln c  a ln a  c ln a  a ln c   c  a  ln c  ln a     a ln a  b ln b  c ln c   a  ln b  ln c   b(ln c  ln a )  c(ln a  ln b) (*) Cộng vế (*) với a ln a  b ln b  c ln c ta được:  a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c  (đpcm) 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   Xét hàm số: f ( x)  x đồng biến với x   Khi với a, b, c  R ta ln có:  a  b   a  2b    a.2 a  b.2b  a.2b  b.2 a   b  b c c c b  b  c       b.2  c.2  b.2  c.2  c.2c  a.2 a  c.2 a  a.2c c a   c  a        a.2a  b.2b  c.2c   a  2b  2c   b(2c  2a )  c (2 a  2b ) (*) Cộng vế (*) với a.2a  b.2b  c.2c ta được:  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  (đpcm) Trang 39 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 2y x y 21) ln  với x, y    x  2x  y 2y x(t  1) 2(t  1) x y Đặt t  với t   tx  x  y  y  x(t  1)    x x  y x  x(t  1) t 1 Khi tốn trở thành chứng minh: ln t  Xét hàm số f (t )  ln t   t  1 t 1  t  1 t 1 với t  với t  1 (t  1)2 Ta có: f '(t )     với t   hàm số đồng biến với t  t  t  12 t  t  1 Với t   f (t )  f (1)   ln t   t  1 t 1  hay ln t   t  1 t 1 với t  (đpcm) ba b ba với  a  b  ln  b a a ba b ba ln b  ln a Ta có:  ln     b a a b ba a 22) f ( x ) liên tục  a; b x f (b )  f ( a ) ln b  ln a Áp dụng định lý La – gơ –  c   a; b  : (1)  f '(c )   ba ba c 1 Mặt khác:  a  c  b    (2) b c a ln b  ln a Từ (1) (2)   (đpcm)  b ba a 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne 1 Ta có: x n  x   x n 1  x    2n 1  x  x n  ne e 2ne Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   a; b ta có: f '( x )   2n  2nx  2nx  Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2n 1  x  x n   2n  2nx   x.x x    2n    2n  2n  Ta cần chứng minh:    2n   n 1  2n    ln   e  2n   n 1  ln n 1  2n     2n   n 1 e   2n  1  ln  2n   ln  n  1   1 hay ln  n  1  ln  2n   2n  1 f ( x ) liên tục  2n; 2n  1 x f (2n  1)  f (2n) Áp dụng định lý La – gơ –  c   2n; 2n  1 : (1)  f '(c )  ln  2n  1  ln  2n   2n   2n c 1 Mặt khác: c  2n    (2) c 2n  1 Từ (1) (2)  ln  2n  1  ln  2n   (đpcm) 2n  Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   2n; 2n  1 ta có: f '( x )  Trang 40 GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 14 Chứng minh rằng: 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b với  a  b  a , b   x x (CĐ – 2009): x  12   15   20  2)          3x  x  x với x   Khi đẳng thức xảy (B – 2005)  5  4   Giải: ln a ln b  2 a 1 b 1 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b  ( a  1) ln b  (b  1) ln a  (t  1)  2t ln t ln t Xét hàm số f (t )  với t  (0;1) Ta có f '(t )  t  với t  (0;1) (t  1)2 t 1 Suy f (t ) đồng biến khoảng (0;1) Khi  a  b   f ( a )  f (b ) ln a ln b hay (đpcm)  a 1 b 1 x x  12   15   12  2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có:          5  4  5 x x  12   15  hay       2.3x  5  4 x x  15     2.3x  4  15  x  20  x x       2.5     (1) Tương tự ta được:  x x  20   12  x       2.4  (2) (3)  12  x  15  x  20  x  Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:            3x  x  x         x x x  12   15   20  hay          3x  x  x (đpcm)  5  4   Dấu “=” xảy dấu “=” (1), (2) (3) xảy  x  Ví dụ 15: Cho f ( x )  4x   Tính tổng: S  f   x 2  2017    f     2017   2016  f   2017  Giải: Nếu a  b  ta có : f (a )  f (b )  4a  4b    4b  a   2.4 a b   a  4b    a  4b  4a 4b    a b   (*) a  4b    4a  4b     a  4b   4a   4b   Áp dụng (*) ta :     2016      S f   f     f    2017     2017    2017       1008 Vậy S  1008   1008   2015   f      f    2017     2017  Trang 41  1009   f   2017   GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 16: Cho a, b, c  thỏa mãn:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  Chứng minh rằng: log a b a  log b c b  log c  a c  Giải: Với hai số x, y  z  ta có: log x y  log x  z  y  z  dấu "  " xảy : z  x  y (*) Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh Ví dụ – ý 3) Áp dụng (*) ta có: log a  a  b   log a c  a  b  c    log a b a  log a b c  a  c  Tương tự ta có: logb c b  log ab c  a  b  log c  a c  log a b c  c  b   log a b a  log b  c b  log c a c  log a b  c  a  b  b  c  c  a    log a b c  a  b  c   Vậy log a b a  log b c b  log c  a c  3 (đpcm) B BÀI LUYỆN Bài 1: Không dùng bảng số máy tính so sánh cặp số sau: 1) 5) log  log 9) 2) 9 30 6) log log 12) log0,1 log 0,2 0,34 3) 20 5 Bài 2: Xác định dấu biểu thức sau: A  log log 1 1 1    1  3) log a  b    log b  c    log c  a    với a, b, c   ;1  4 4 4    4  Trang 42 2) log  log  1    3 log 14 log log 0,7 B  log  Bài 4: Không sử dụng máy tính chứng minh 1) log 29   log 8) log 11) log3 log 13) log9 80 log 2; 3  14) log 16 log16 729 10) 2log6  1 4)   3 7) log log log Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) log b  c a  log c  a b  log a b c  với a, b, c  a a a 2) log 1    log    với a  GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 5: Tìm tập xác định hàm số sau: 1) y  ( x  x  2) e 5) y  log  x2 2) y  (3  x  x ) x 1 x 1 6) y  log  x2   9) y  log 0,3  log3  x5   3) y   x x 1 x5 10) y  log 7) y  log x 1  log x  x  x 1 x 3 x 1 4) y  (2 x  16) 3 8) y  log x 1 2x  11) y  lg   x  x    x  x6 Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau: 1) f ( x)  e x  x đoạn [0;3] 2) f ( x)  ln( x  e) [0; e] 3) f ( x)  log ( x  1) đoạn [1;3] 2 x 4) f ( x)  xe  x đoạn [0; 2] 6) f ( x)  e x ( x  x  2) đoạn [1; 4] 1  8) f ( x)  x  ln x đoạn  ; e  2  5) f ( x)  x e đoạn [  1; 2] 7) f ( x)  ( x  1)e x đoạn [  1;1] x khoảng (0; ) 10) f ( x)  e2 x  4e x  đoạn [0; ln 4] ln x 1  11) f ( x)  log 31 x  log 21 x  log x   ;  4  2 9) f ( x)  Bài : Tìm m để bất phương trình : 1) x  3.2 x 1  m  có nghiệm với x   2) (3m  1).12 x  (2  m).6 x  3x  có nghiệm với x  3) x  x  m  có nghiệm với x  (0;1) Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 1) e x   x  với x  2  x  2) ln   x    x với x  2  3)  a b   ln  ln   với  a  b a  b  a 1 b 1  Mọi ý kiến đóng góp bạn gửi theo email: giaidaptoancap3@yahoo.com CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT (các bạn theo dõi tiếp theo…) Trang 43