MOT SO CONG THUC CHUONG 1 GIẢI NHANH TOÁN 12 VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

GIẢI NHANH TOÁN 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho      u u x v v x C ; ; : là hằng số . Tổng, hiệu:       u v u v . Tích:             uv u v v u C u C u . . . . . . Thương:                        u u v v u C C u v vu vu 22 . . . ,0 Đạo hàm hàm hợp: Nếu           x u x y f u u u x y y u ,. . Bảng công thức tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp    C 0 (C là hằng số).       xx 1.       xx 1.      x x x2 11 ( 0)       xx x 1 0 2   1.. u u u              u u u u2 1 0        u uu u 0 2   xx sin cos     u u u sin .cos    xx cos sin     u u u cos .sin   x x2 1 tan cos      uu u2 tan cos    x x2 1 cot sin      uu u2 cot sin    xx ee     uu e u e .    xx a a a .ln     uu a u a a . .ln    x x 1 ln      uu u ln   1 log lna x xa       a u u ua log .ln Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:          ax b ad bc cx d cx d 2 . ;   c b c f e f a b a xx d e dax bx c dx ex f dx ex f 2 2 22 2                       2 .           TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Trang 2 Đạo hàm cấp 2 : + Định nghĩa:     f x f x     + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động    s f t tại thời điểm t0 là:      a t f t 00 . Một số chú ý:  Nếu hàm số   fx và   gx cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số      f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu      f x g x .  Nếu hàm số   fx và   gx là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số     f x g x . cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số     f x g x , không là các hàm số dương trên K.  Cho hàm số    u u x , xác định với    x a b ; và      u x c d ; . Hàm số   f u x   cũng xác định với    x a b ; . 2. Một số dạng thường gặp. 2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số   y f x  . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số . Bước 2: Tính đạo hàm y giải phương trình 0 y tìm nghiệm và tìm các điểm mà y không xác định. Bước 3: Vẽ bảng biến thiên xét dấu đạo hàm y và kết luận. ( Dựa vào 3 định lí ở mục 1.1) Chú ý: Quy tắc xét dấu + Hàm bậc nhất   0y ax b, a    : các em nhớ qui tắc xét dấu“ Phải cùng, trái khác” + Hàm bậc 2:   2 0 y ax bx c, a     Nếu 0  thì dấu của y cùng dấu hệ số a. Nếu 0  thì các em nhớ quy tắc xét dấu “ trong trái ngoài cùng”. a) Hàm bậc ba Hàm bậc ba có dạng 32 y ax bx cx d     ( 0 a ). Ta có 232 y ax bx c    là tam thức bậc hai có 2 3 b ac    . Ta có bảng sau: a  Sự biến thiên của y    Đồng biến trên các khoảng   1; x và   2;x  ;  Nghịch biến trên khoảng   12 ; xx .  0   Đồng biến trên .    Nghịch biến trên các khoảng   1; x và   2;x  ;  Đồng biến trên khoảng   12 ; xx .  0   Nghịch biến trên . MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM GIẢI NHANH TOÁN 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Quy tắc cơng thức tính đạo hàm     Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : số   u   v    Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v  u  u .v  v .u  C  C u   , v       2 v u v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux  Thương:       Bảng công thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm sơ cấp C   (C số) x   .x  x   .x   1 u    u  1        (x  0) x x   x  x 0 x   Đạo hàm hàm hợp   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  cos x    sin x  sin u   u .cos u  cos u   u .sin u  tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e   e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x x x u a  u u u u u x  u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d    ax  bx  c      dx  ex  f  a    b a    c b    c x 2 x d    e d    f e    f  dx  ex  f Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số  -Trang - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Đạo hàm cấp :     + Định nghĩa: f  x   f  x   + Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s  f t thời điểm t là:     a t  f  t * Một số ý:          Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghịch biến) K hàm số f x  g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất không hiệu     f x g x     hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) K Tính chất không hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương K  Cho hàm số u  u  x  , xác định với x  a ;b  u  x   c; d  Hàm số f u  x   xác định với x  a ;b   Nếu hàm số f x g x hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K Một số dạng thường gặp 2.1 Xét tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y  f  x  Tìm khoảng đơn điệu hàm số Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Bước 2: Tính đạo hàm y  giải phương trình y  tìm nghiệm tìm điểm mà y  khơng xác định Bước 3: Vẽ bảng biến thiên xét dấu đạo hàm y  kết luận ( Dựa vào định lí mục 1.1) Chú ý: Quy tắc xét dấu +/ Hàm bậc y  ax  b,  a   : em nhớ qui tắc xét dấu“ Phải cùng, trái khác” +/ Hàm bậc 2: y  ax  bx  c,  a   Nếu   dấu y dấu hệ số a Nếu   em nhớ quy tắc xét dấu “ trái cùng” a) Hàm bậc ba Hàm bậc ba có dạng y  ax3  bx  cx  d ( a  ) Ta có y  3ax  2bx  c tam thức bậc hai có   b2  3ac Ta có bảng sau: a     0    0 Sự biến thiên y  Đồng biến khoảng  ; x1   x2 ;   ;  Nghịch biến khoảng  x1 ; x2   Đồng biến  Nghịch biến khoảng  ; x1   x2 ;   ;  Đồng biến khoảng  x1 ; x2   Nghịch biến Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM Trong đó, x1  x2 nghiệm y trường hợp y có hai nghiệm phân biệt b) Hàm bậc bốn trùng phương Hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c ( a  )   b   2a  Ta có y  4ax3  2bx  4ax  x  a  b 0   Sự biến thiên y  y nghịch biến  ;0  , đồng biến  ;0  ;    0;    Đồng biến khoảng    ;    ;    Đồng biến khoảng  ;     0;    Nghịch biến khoảng    ;    ;    Nghịch biến khoảng ;   2ba b 2a   b 2a b 2a b 2a  0 b 2a b 2a b 2a  Đồng biến  ;0  , nghịch biến  ;0  c) Hàm phân thức hữu tỉ có dạng y  Ta có y    ax  b ( a , c , ad  bc  ) cx  d ad  bc  cx  d  không đổi dấu tập xác định Do đó: ad  bc   y đồng biến khoảng xác định; ad  bc   y nghịch biến khoảng xác định 2.2 Định điều kiện tham số để hàm số y  ax3  bx  cx  d đồng biến ( nghịch biến ) R a) Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d Tìm tham số ( m ) để hàm số đồng biến    Bước 1: Tập xác định: D  Bước 2: Tính y '  f '( x)  3ax  2bx  c Bước 3: Hàm số đồng biến  y '  0, x   3ax  2bx  c  0, x  (1)  Trường hợp: a = ( a chứa tham số)  Trường hợp: a  a  (1)     b) Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d Tìm tham số ( m ) để hàm số nghịch biến    Bước 1: Tập xác định: D  Bước 2: Tính y '  f '( x)  3ax  2bx  c Bước 3: Hàm số nghịch biến  y '  0, x   3ax  2bx  c  0, x  (1) Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Trường hợp: a = ( a chứa tham số) Khi 2bx  c  0, x   b  suy hàm suy biến hàm  c  a   Trường hợp: a  (1)     Định điều kiện tham số để hàm số y  2.3 b   c  ax  b đồng biến ( nghịch biến ) cx  d khoảng xác định Bước 1: Tìm tập xác định D  R \ d / c hàm số Bước 2: Tính đạo hàm y  f ( x)  ad  bc  cx  d  Bước 3: Lập luận cho trường hợp Hàm số đồng biến khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  bc  Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  bc  Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng 2.4 (a;b) Ví dụ: Cho hàm số y  x3  1  2m  x2    m  x  m  Tìm m để hàm đồng biến khoảng  0;   HƯỚNG DẪN CÁCH 1: Tập xác định: D = R Ta có y '  3x2  1  2m  x    m  Hàm đồng biến khoảng (0; )  y  với x  (0; ) 3x 2(1 2m)x 3x 2x m 4x 2x m 4x 1, x 2x 4x m, x (0; 3x 3x (2 m) 0, x 0, x (0; ) (0; (0; ) 4x ) ) 0, x 3x2  x   0;   ta có: 4x  1 g '  x    x  1  x  Lập BBT hàm g  x   0;   Xét g  x   1 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ycbt  g    m  m Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước   Bài toán tổng quát: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D   Đạo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt A  3a  a     m  D1 2   B  4AC  4b  12ac  b  3ac   y    Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y    B 2b x  x     A 3a Khi đó:  C c x x    A 3a Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m  D2 Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện b  3ac  b  3ac  Kết luận Hàm số khơng có cực trị Hàm số có hai điểm cực trị   Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu  ac   Hàm số có hai cực trị dấu  y     phương trình y   có hai nghiệm phân biệt dấu   C 0 P  x 1.x   A  Hàm số có hai cực trị dấu dương   y    B  phương trình y   có hai nghiệm dương phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018  SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Hàm số có hai cực trị dấu âm   y '   B  phương trình y   có hai nghiệm âm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn:  x1    x x1  x     x1  x Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x    x        x   x     x 1.x   x  x      Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x  x              x   x2    x x   x1  x      x1  x  2 x1  x  2    Hai cực trị x 1, x thỏa mãn   x  x    x   x2      x  x       x1.x   x1  x     x1  x  2  Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x  d b , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm x   3a a Tìm giá trị tham số để hàm số y  f  x  đạt cực trị điểm x0  Tìm tập xác định D  Tính y'  f '(x)  Hàm số đạt cực đại ( hay cực tiểu ) x0 y'  x0    m  ? Thử lại:  Cách 1: Thay m vào y’ Lập BBT Kiểm tra thỏa u cầu tốn nhận giá trị m tìm  Cách 2: Tính y’’= f’’(x), thay m tìm vào y’’ Thay x0 vào y’’ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng:     đường thẳng  : ax  by  c   c ax  by  c   hai điểm A, B nằm hai phía so với đường Cho điểm A x A ; yA , B x B ; yB  Nếu ax A  byA thẳng   B  B  Nếu ax A  byA  c ax B  byB  c  hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng  Một số trường hợp đặc biệt: Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y   có hai nghiệm trái dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (áp dụng không nhẩm nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt    phương trình hồnh độ giao điểm f x  có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm nghiệm) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  2c 2b  y.y bc y .y  g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3    Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc AB  4e  16e b  3ac với e  9a a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c   MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ Hàm số có cực trị  ab  Hàm số có ba cực trị  ab   Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu      a   a  b  a  Hàm số có cực trị cực trị cực đại   b  a  Hàm số có hai cực tiểu cực đại   b  a  Hàm số có cực tiểu hai cực đại   b  Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP  Giả sử hàm số y  ax  bx  c có cực trị: A(0;c), B      b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC Công thức thỏa mãn ab  b  8a b  24a 32a (S0 )2  b  Tam giác ABC có diện tích S ABC  S Tam giác ABC có diện tích max (S ) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rABC  r0 C S0  r  Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp  b5 32a b2  b3   a 1    8a    b  8a 8ab RABC  R R Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m am02  2b  Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n Tam giác ABC có cực trị B,C  Ox Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác ABC có trọng tâm O Tam giác ABC có trực tâm O Tam giác ABC điểm O tạo thành hình thoi Tam giác ABC có O tâm đường tròn nội tiếp Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục hồnh chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 16a 2n02  b  8ab  b  4ac b(8a  b )  b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b 3.k  8a(k  4)  b  ac b  8ac -Trang - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM   Đồ thị hàm số C : y  ax  bx  c cắt trục Ox b2  100 ac b2  36 ac điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C  : y  ax  bx  c trục hồnh có diện tích phần phần 2   2     c y  c   0  b 4a   b 4a  Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x  y   GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Định nghĩa   Cho hàm số y  f x xác định tập D   f (x )  M , x  D x  D, f (x )  M   Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: M  max f ( x) xD   f (x )  m, x  D x  D, f (x )  m   Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: m  f (x ) x D Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp      Bước 1: Tính f  x tìm điểm x 1, x , , x n  D mà f  x  hàm số khơng có đạo hàm + Bước 2: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số * Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn  Bước 1:    Hàm số cho y  f x xác định liên tục đoạn a;b   Tìm điểm x 1, x , , x n khoảng a;b , f  x  f  x không xác định              Bước 2: Tính f a , f x , f x , , f x n , f b  Bước 3: Khi đó:  max f x  max f x1 , f x , , f x n , f a , f b               f x   f x  , f x  , , f x  , f a  , f b  a ,b   a ,b  n * Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f (x )  Bước 2: Tìm tất nghiệm x i  (a;b) phương trình f (x )  tất điểm i  (a;b) làm cho f (x ) không xác định  Bước Tính A  lim f (x ) , B  lim f (x ) , f (x i ) , f (i )  Bước So sánh giá trị tính kết luận M  max f (x ) , m  f (x ) x a x b (a ;b ) Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số (a ;b ) -Trang - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất)     a    b    b  a  min f x  f  a ;b  + Nếu y  f x đồng biến a ;b     f x f max  a ;b  min f (x )  f  a ;b  + Nếu y  f x nghịch biến a ;b     f (x )  f max  a ;b  ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y  f (x ) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng a;   ,  ;b   ;   ) Đường thẳng y  y đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f (x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x )  y0, lim f (x )  y0 x  x  Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x  x gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x )  , lim f (x )  , lim f ( x)   , lim f ( x)   x x 0 x  x0 x x Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y  ngang y  ax  b cx  d x  x0 c  0; ad  bc   ln có tiệm cận a d tiệm cận đứng x   c c a lim f ( x ) nhập f ( x ) CALC x a 10 x Giới hạn hàm số điểm a x a lim f ( x ) nhập f ( x ) CALC x Kỹ bấm máy tính tìm giới hạn x x Giới hạn hàm số vô cực 10 lim f ( x ) nhập f ( x ) CALC x x x a 10 a a 10 lim f ( x ) nhập f ( x ) CALC x 1010 1010 lim f ( x ) nhập f ( x ) CALC x KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Sơ đồ khảo sát hàm số   Cho hàm số y  f x    i ii iii Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên Chiều biến thiên Tính y ' Tìm nghiệm phương trình y '  điểm y ' không xác định Xét dấu y ' suy khoảng biến thiên hàm số Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 10 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM   (đây hàm số chẵn)   C2  : y  f x  Dạng 2: Từ đồ thị  C  : y  f  x   Bước : Ta có:  f  x x  (1)   f   x  x  (2) C2  : y  f  x    Bước : Từ đồ thị  C  vẽ ta suy đồ thị  C  sau: Giữ nguyên phần đồ thị  C  phía bên phải trục Oy (do (1))  Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị  C  nằm phía bên phải Oy (do tính  chất hàm chẵn) Bỏ phần đồ thị  C  nằm phía bên trái trục Oy (nếu có), ta đồ  thị  C  Ví dụ minh họa: vẽ đồ thị hàm số y  x  x    ta biến đổi đồ thị y  f  x  y  f x  Chú ý với dạng: y  f x     Ví dụ: Từ đồ thị C : y  f x  x  3x suy đồ thị y  x     C  : y  3    x Biến đổi C để đồ thị C  : y  x đổi C  : y  x y C  : y  x 3x  x Biến  x ta đồ thị -1 O x x 3x              u x   u x  v x   f x  Ta có: y  u x  v x    u x v x  f x  u x         * Cách vẽ C   từ  C  : + Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị C  : y  f  x  + Bỏ phần đồ thị miền u  x   C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Dạng 3: Từ đồ thị C : y  u x v x suy đồ thị C  : y  u x v x Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 13 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Ví dụ     suy đồ thị C   : y  x   2x a) Từ đồ thị C : y  f x  2x  3x  x 1    f x y  x  2x  x    f x      x  x  Đồ thị (C’): + Giữ nguyên (C) với x  + Bỏ (C) với x  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y (C')     b) Từ đồ thị C : y  f x    đồ thị C  : y  x suy x 1 x x 1  x x  y  x  x   x  x  Đồ thị (C’):   x   ;1 x  1;    với x  , giữ + Bỏ phần đồ thị C   với nguyên C x  + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y 1 O x O x (C) Nhận xét: Trong trình thực phép suy đồ thị nên lấy đối xứng điểm đặc biệt (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… Cho hàm số y  f  x  , có đồ thị (C) Nhận xét: Đối với hàm phân thức nên lấy đối xứng đường tiệm cận để thực phép suy đồ thị cách tương đối xác TIẾP TUYẾN Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M  x0 ; y0   (C ) có dạng: y  y0  f   x0  x  x0  Trong đó:  Điểm M  x0 ; y0   (C ) gọi tiếp điểm ( với y0  f  x0  )  k  f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến  Lưu ý:  Tiếp tuyến (C) hoàn toàn xác định biết hệ số góc tiếp tuyến hồnh độ tiếp điểm  Đường thẳng qua M  x0 ; y0  có hệ số góc k , có phương trình y  y0  k  x  x0   Cho hai đường thẳng 1 : y  k1 x  m1  : y  k2 x  m2 Lúc đó: 1   k1  k2 m1  m2 ; 1    k1.k2  1 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y  f  x  , (C ) y  g  x  , (C ')  C   C   tiếp xúc khi hệ phương trình Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 14 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM  f  x   g  x  có nghiệm  / /  f  x   g  x  Đặc biệt: Đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến với (C ) : y  f  x  khi hệ  f ( x)  kx  m có nghiệm  /  f ( x)  k KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y  f  x  , gọi đồ thị hàm số  C  Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  M  xo ; yo   Phương pháp o Bước Tính y  f   x  suy hệ số góc phương trình tiếp tuyến k  y  x0  o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M  x0 ; y0  có dạng y  y0  f /  x0  x  x0   Chú ý: o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0  f  x0  Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị  C  : y  f  x  đường thẳng d : y  ax  b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d  C   Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y  ax  b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  Nhập SHIFT  d  f  x  x  x0 dx cách nhấn sau nhấn  ta a o Bước 2: Sau nhân với  X tiếp tục nhấn phím  f  x CALC X  xo nhấn phím  ta b  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số  C  : y  x  3x Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M 1;  A y  9 x  B y  x  C y  9 x  D y  x  Hướng dẫn giải Ta có y '  3x  x  k  y 1  Phương trình tiếp tuyến M 1;  d : y  y  x0  x  x0   y0   x  1   x  Chọn đáp án D  Sử dụng máy tính: o Nhập d  X  3X  x  dx nhấn dấu  ta Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 15 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 o Sau nhân với SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP   X  nhấn dấu  X  X CALC X   ta 5 Vậy phương trình tiếp tuyến M y  x  Ví dụ Cho hàm số y  2 x3  x  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M thuộc  C  có hồnh độ A y  18x  49 B y  18 x  49 C y  18x  49 D y  18x  49 Hướng dẫn giải Ta có y  6 x  12 x Với x0   y0  5  M  3; 5  hệ số góc k  y  3  18 Vậy phương trình tiếp tuyến M y  18  x  3   18 x  49 Chọn đáp án A  Sử dụng máy tính: o Nhập d 2 X  X  5  x 3 dx o Sau nhân với nhấn dấu  ta 18   X  nhấn dấu  2 X  X  CALC X  nhấn dấu  ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M y  18x  49 x  x Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hồnh độ x0  0, biết y  x0   1 Ví dụ Cho hàm số  C  : y  A y  3x  B y  3x  C y  3 x  Hướng dẫn giải D y  3 x  Ta có y  x3  x , y  3x  Mà y  x0   1  3x02   1  x02   x0  (vì x0  ) Vậy y0   , suy k  y 1  3 Vậy phương trình tiếp tuyến M d : y  3  x  1   y  3 x   Chọn đáp án C 4  Sử dụng máy tính: o Nhập d 1 2 nhấn dấu  ta 3  X  2X  dx  x 1  X  nhấn dấu  X  2X Vậy phương trình tiếp tuyến d : y  3x   o Sau nhân với CALC X   ta Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có hệ số góc k cho trước  Phương pháp o Bước Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tính y  f   x  o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k  f '  x0  Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 16 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM d : y  y0  f   x0  x  x0   Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau:  Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  hệ số góc tiếp tuyến k  a  Tiếp tuyến d   : y  ax  b,  a  0  hệ số góc tiếp tuyến k    a  Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc  hệ số góc tiếp tuyến d k   tan   Sử dụng máy tính: Nhập k   X   f  x  CALC X  x0 nhấn dấu  ta b Phương trình tiếp tuyến d : y  kx  b  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số  C  : y  x3  3x  Phương trình tiếp tuyến  C  biết hệ số góc tiếp tuyến là:  y  x  14  y  x  18  y  x  15  y  x  11 A  B   y  9x 1  y  9x  C   y  9x   y  9x  D  Hướng dẫn giải Ta có y  3x  Vậy k  y  x0    3x02    x02   x0   x0  2 + Với x0   y0  ta có tiếp điểm M  2;  Phương trình tiếp tuyến M y   x     y  x  14 + Với x0  2  y0  ta có tiếp điểm N  2;0  Phương trình tiếp tuyến N y   x     y  x  18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y  x  14 y  x  18 Chọn đáp án A  Sử dụng máy tính: + Với x0  ta nhập   X   X  X  CALC X  nhấn dấu  ta 14  y  x  14 + Với x0  2 ta nhập   X   X  X  CALC X  2 nhấn dấu  ta 18  y  x  18 2x 1  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến x2 song song với đường thẳng có phương trình  : 3x  y   A y  3x  B y  3x  14 C y  3x  D y  3x  Hướng dẫn giải Ví dụ Cho hàm số  C  : y  Ta có y '   x  2 ,  : 3x  y    y  3x  Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  x0    x0  1    x0       x    x    x0     2X 1 + Với x0  1 nhập   X   CALC X  1 nhấn dấu  ta 2, suy X 2 d : y  3x  (loại trùng với  )  nên k  + Với x0  3 CALC X  3 nhấn dấu  ta 14  d : y  3x  14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y  3x  14 Chọn đáp án B Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 17 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến qua điểm A  x A ; y A   Phương pháp  Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A  xA ; y A  hệ số góc k có dạng d : y  k  x  xA   y A () o Bước 2: d tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm:  f  x   k  x  x A   y A   f   x   k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình () , ta tiếp tuyến cần tìm  Cách o Bước Gọi M  x0 ; f  x0   tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0   f   x0  theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y  y  x0   x  x0   y0 () Do điểm A  xA ; y A   d nên y A  y  x0   xA  x0   y0 giải phương trình ta tìm x0 o Bước Thế x0 vào () ta tiếp tuyến cần tìm  Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f  x  kết đáp án Vào MODE   nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số  C  : y  4 x3  3x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua điểm A  1;   y  9 x  A  y   y  4x  B   y  x 1 y  x 7 C   y  3x   y  x  D   y  2x  Hướng dẫn giải Ta có y '  12 x  + Tiếp tuyến  C  qua A  1;  với hệ số góc k có phương trình d : y  k  x  1  + d tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm:  1 4 x  3x   k  x  1    2  12 x   k Thay k từ   vào 1 ta 4 x3  3x    12 x  3  x  1   x  1 1   x  12 x     x    x  1    x  2   + Với x  1  k  9 Phương trình tiếp tuyến y  9 x  Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 18 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM + Với x   k  Phương trình tiếp tuyến y  Chọn đáp án A Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số  C2  : y  g  x   C1  : y  f  x   Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung  C1  ,  C2  x0 hoành độ tiếp điểm d  C1  phương trình d có dạng y  f   x0   x  x0   f  x0  *** o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d  C2  , tìm x0 o Bước Thế x0 vào *** ta tiếp tuyến cần tìm  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai hàm số: C1  : y  f  x   x ,  x    C2  : y  g  x    x2 , Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: 1 A y  x  B y  x  C y  x  2 2 + Gọi d  2  2x2 D y  x  Hướng dẫn giải phương trình tiếp tuyến chung 2  a  2 ) hoành độ tiếp điểm d  C1  ,  C2  x0  a ( a  với  C1  phương trình d  x  a  a a 1 2 8 x   hệ sau có nghiệm:   x    x y  f   x  x  a   y0  + d tiếp xúc với  C2  x  a a a 1  2 Thay   vào 1 ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d  C2  2  x  2  x 8 x   x2     x  2 x 8 x    x 8  x    x  8  x  2  x  2   x   x  2  x2  x    1   a   x0  Vậy phương trình tiếp tuyến Thay x  2 vào   ta a chung cần tìm y  x  Chọn đáp án C 2 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 19 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Bài toán 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết Bài toán 2.1: Cho hàm số y  ax  b  d  c  0, x    có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến cx  d  c  M thuộc  C  I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có:  Nếu   IM tồn điểm M thuộc nhánh đồ thị  C  đối xứng qua I xM   ad  bc  d c cxM  d Cách nhớ:  mẫu số hàm số ad  bc tử số đạo hàm (I) M ln trung điểm AB (với A, B giao điểm  với tiệm cận) (II) Diện tích tam giác IAB khơng đổi với điểm M S IAB  bc  ad c2 (III) Nếu E, F thuộc nhánh đồ thị  C  E, F đối xứng qua I tiếp tuyến E , F song song với (suy đường thẳng d qua E, F qua tâm I ) Chứng minh:  Ta có y   ad  bc  cx  d   Gọi M  xM ;   d a ;  giao điểm tiệm cận  c c ; I  a xM  b  d    (C ) ;  xM    Phương trình tiếp tuyến M có dạng cxM  d  c  : y  ax  b ad  bc ( x  xM )  M (cxM  d ) cxM  d Chứng minh (I)   d bc  ad  ad  bc  ; u  1;  IM  xM  ;     cx  d 2  c c  cxM  d    M   d bc  ad ad  bc    IM  IM u    xM   0 c c  cxM  d   cxM  d 2   cxM  d    ad  bc   c  cxM  d    xM   ad  bc  d c Chứng minh (II)    Giao điểm  với tiệm cận ngang A  xM  d a ;  c c  d ac xM  2bc  ad  ;  c c c x  d   M    Giao điểm  với tiệm cận đứng B    d d   xA  xB  xM  c  c  xM  Xét  ax  b a ac xM  2bc  ad  y A  yB    M  yM c c  c xM  d  cxM  d  Vậy M trung điểm AB Chứng minh (III) Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 20 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM   bc  ad     cxM  d   IA  ; c  IB  0;  c  c x  d   c M       IAB vuông I   S IAB  1  cxM  d   bc  ad  bc  ad IA IB    số 2 c c  c xM  d  c2 Vậy diện tích  IAB khơng đổi với điểm M Chứng minh (IV):   Gọi E  xE ;  2d a xE  b  d 2a axE  b    xE ;    (C )  xE     F    cxE  d  c c cxE  d    c  ( E , F đối xứng qua I )  Phương trình tiếp tuyến E có hệ số góc kE  ad  bc  cxE  d  (1)  Phương trình tiếp tuyến F có hệ số góc ad  bc kF    2d    c   c  xE   d       Từ (1) (2) suy k E  k F  ad  bc  2d  cxE  d   ad  bc  d  cxE   ad  bc  cxE  d  (2) ax  b có đồ thị  C  ,  c  0, ad  bc   Gọi điểm cx  d  C  , biết tiếp tuyến  C  điểm M cắt trục Ox, Oy Bài toán 2.2: Cho hàm số y  M  x0 ; y0  A, B cho OA  n.OB Khi x0 thoả cx0  d   n ad  bc Hướng dẫn giải  Xét hàm số y    Gọi M  x0 ;  ax  b ad  bc ,  c  0, ad  bc   Ta có y '  cx  d  cx  d  ax0  b     C  điểm cần tìm Gọi  tiếp tuyến với  C  M ta có phương cx0  d  trình  : y  f '  x0  x  x0   ax0  b ax  b ad  bc y x  x0    cx0  d cx0  d  cx0  d   acx02  2bcx0  bd   Gọi A    Ox  A   ;0 ad  bc    acx  2bcx  bd  0 B    Oy  B  0;    cx  d     acx0  2bcx0  bd acx02  2bcx0  bd   Ta có OA  ad  bc ad  bc OB  acx02  2bcx0  bd  cx0  d   acx02  2bcx0  bd  cx0  d  2 (vì A, B khơng trùng O nên acx0  2bcx0  bd  ) Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 21 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018  Ta có OA  n.OB   acx02  2bcx0  bd ad  bc SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP  n acx02  2bcx0  bd  cx0  d  1  n   cx0  d   n ad  bc  cx0  d   n ad  bc ad  bc  cx0  d  TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ A Ứng dụng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình ● Cơ sở phương pháp sử dụng đồ thị để giải phương trình (bất phương trình); nghĩa sử dụng tính trực quan sinh động hình học, để nhận biết tương quan phép toán giao hai tập giá trị hàm y  f  x  y  g  x  phương trình f  x   g  x   *  tương ứng với ẩn x TXĐ  *   C  : y  f  x  ● Thơng thường ta có  *    ,trong  C  đường cong d đường thẳng d : y  g  x  Đến ta cần thực ba bước:  Bước 1: Dựng đồ thị hàm số  C  : y  f  x  (khi tốn chưa sẵn có  C  )  Bước 2: Dựng đường thẳng d : y  g  x  Cơ mà nói ta nhận thấy xảy ba trường hợp TH : d : y  h  m   TH : d : y  kx  h  m  Ở chương trình học, ta xét trường hợp  TH : d : y  a  m  x  b  m  Khi d : y  h  m  ; x  d song song trùng với trục hoành Ox; m Tương ứng M di động toàn trục tung Oy; m  Bước 3: Dựa vào số giao điểm  C  d tương ứng với m ta kết luận số nghiệm phương trình  *  Lưu ý: ● Nếu phương trình cho ban đầu chưa có dạng f  x   g  m   *  ta phải dùng phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng có vế phương trình đồ thị  C  : y  f  x  ● Nếu phương trình biến đổi tương đương có xuất điều kiện ẩn x phải “xóa phần đồ thị  C  : y  f  x  không chứa điều kiện trước biện luận tiếp B Tương giao hai đồ thị I Sự tương giao đồ thị hàm bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d ,  a   Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 22 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM  Cho hai đồ thị  C1  : y  f  x  , C2  : y  g  x  Để tìm hồnh độ giao điểm  C1  ;  C2  ta giải phương trình f  x   g  x   *  (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình  *  số giao điểm hai đồ thị  Số giao điểm đồ thị  C  hàm bậc ba với trục hoành số nghiệm phương trình ax  bx  cx  d   1.1 1 Một số dạng câu hỏi thương gặp: Tìm điều kiện để đồ thị  C  trục hồnh có điểm chung  f khong co cuc tri   f co diem cuc tri  pt  1 có nghiệm     yCD yCT   1.2 Tìm điều kiện để đồ thị  C  trục hồnh có điểm chung phân biệt   f co cuc tri   C  tiếp xúc trục hoành    pt  1 có nghiệm phân biệt   yCD yCT  1.3 Tìm điều kiện để đồ thị  C  trục hồnh có điểm chung phân biệt   f co cuc tri   pt  1 có nghiệm phân biệt   yCD yCT  Lưu ý: phương trình ax  bx  cx  d    a  b  c  d   pt 1   x  1  mx 1 có:   nx  p    pt 1   x  x   mx  a  b  c  d   pt 1   x  1 mx2  nx  p   nhẩm nghiệm x  xo 2 o   nx  p  Để pt(1) có nghiệm phân biệt phương trình mx2  nx  p  phải có nghiệm phân m   biệt khác xo hay    mxo  nxo  p  II Sự tương giao đồ thị hàm trùng phương Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 23 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 Số giao điểm C  : y  ax4  bx2  c SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP trục hoành số nghiệm phương trình t  x , t  ax4  bx2  c   *    at  bt  c    Để xác định số nghiệm  *  ta dựa vào số nghiệm phương trình   dấu chúng  pt   vo nghiem  ● pt  *  vô nghiệm   pt   co nghiem kep am   pt   co nghiem am  pt   co nghiem kep bang ● pt  *  có nghiệm    pt   co nghiem bang 0, nghiem lai am  pt   co nghiem kep duong ● pt  *  có nghiệm    pt   co nghiem duong , nghiem lai am ● pt  *  có nghiệm  pt   co nghiem bang 0, nghiem lai duong    ● pt  *  có nghiệm  pt   co nghiem duong  S  P    Một số dạng câu hỏi thưòng gặp: Tìm điều kiện để đồ thị C  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng  ax4  bx2  c  có nghiệm phân biệt x1  x2  x3  x4    at  bt  c  t  x2  có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 x   t   x2   t1 Giả sử t1 ; t2  pt      x3  t1   x4  t2 Từ yêu cầu tốn ta có x4  x3  x3  x2  x3  x2  x4  t2  9t1  b t1  t2   a  c  Giải điều kiện sau t1 t2  a  t1  9t2   III Sự tương giao đồ thị hàm biến Bài tốn thường gặp xét tương giao C  : y  d : y  kx  m ax  b đường thẳng cx  d Số giao điểm  C  d số nghiệm phương trình: ax  b d  kx  m  *  , x   cx  d c Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 24 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM  ax  b   kx  m  cx  d  , x   d c   kc  x   mc  dk  a  x  md  b  2 g x  Tùy vào số giao điểm tương ứng (C) d mà ta biện luận số nghiệm phương trình (2) Giả sử (C) cắt d hai điểm phân biệt    kc  d   *  có nghiệm phân biệt khác      c   d g        c ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (C m ) có phương trình y  f (x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải: + Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x , m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B  Am  Bm  C  A  B  + Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình:  A   B  C   + Bước 3: Kết luận: - Nếu hệ vô nghiệm họ đường cong (C m ) khơng có điểm cố định - Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (C m ) Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải: + Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số + Bước 2: Lập luận để giải toán Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng     tìm cặp điểm đối Bài toán 1: Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị C xứng qua điểm I (x I , yI )  Phương pháp giải: Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 25 - TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018  SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP   3 + Gọi M a; Aa  Ba  Ca  D , N b; Ab  Bb  Cb  D  hai điểm C  đối xứng qua điểm I  a  b  2x I 3 2 A ( a  b )  B a  b  C a  b  D  y I   Giải hệ phương trình tìm a,b từ tìm toạ độ M, N  + Ta có         tìm Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D Trên đồ thị C cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ  Phương pháp giải:    3 Gọi M a, Aa  Ba  Ca  D , N b, Ab  Bb  Cb  D     hai điểm C đối xứng qua gốc tọa độ  a  b  A(a  b )  B a  b  C a  b  2D    Giải hệ phương trình tìm a,b từ tìm toạ độ M , N   Ta có          tìm cặp điểm đối Bài toán 3: Cho đồ thị C : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị C xứng qua đường thẳng d : y  A1x  B1  Phương pháp giải:  3 Gọi M a; Aa  Ba  Ca  D , N b; Ab  Bb  Cb  D     hai điểm C  đối xứng qua đường thẳng d I  d (1) (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u  (2) d  đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N  Ta có:   Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách Lý thuyết:    + Cho hai điểm A x 1; y1 ; B x ; y2  Cho điểm M x ; y   h M ;d    AB  x  x1   y 2  y1  đường thẳng d : Ax  By  C  , khoảng cách từ M đến d Ax  By0  C A B  + Cho hàm phân thức: y  ax  b tiếp tuyến M cắt TCĐ, TCN A B M trung điểm cx  d AB Diện tích tam giác IAB khơng đổi: S IAB   ad  bc c2 Các toán thường gặp: Bài toán 1: Cho hàm số y  ax  b cx  d c  0, ad  bc  0 có đồ thị C  Hãy tìm (C ) hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  Phương pháp giải: Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 26 - MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM + C  có tiệm cận đứng x   dc tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số  ,  hai số dương   d d d  x A       ; yA  f (x A ) c c c d d d Nếu B thuộc nhánh phải: x B    x B       ; yB  f (x B ) c c c Nếu A thuộc nhánh trái: x A      y 2         a    a     yB  yA   Sau tính: AB  x B  x A  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tìm kết B  yA     có phương trình y  f (x ) Tìm tọa độ điểm M Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Phương pháp giải:    Gọi M x ; y tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d  x  y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trục tung  Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến  Những điểm lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trụcOy  Phương pháp giải:    f x  kx y  kx   f x  kx y  kx Theo đầu ta có y  k x   Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x)  ax  b  c  0, ad  bc   Tìm cx  d tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận)  Phương pháp giải:  Tiệm cận đứng x   d a ; tiệm cận ngang y  c c  d a  ;  hai tiệm cận Ta tìm tọa độ giao điểm I   c c 2  d  a  Gọi M  x M ; yM  điểm cần tìm Khi đó: IM   x M     yM    g  x M  c  c   Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f (x ) đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Phương pháp giải:  Gọi I thuộc (C )  I x ; y ; y  f (x )  Khoảng cách từ I đến d g(x )  h I ; d   Khảo sát hàm số y  g(x ) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu     Ax  By  C A2  B Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số -Trang 27 -