Bài tập thống kê trong kinh doanh – tối ưu tuyến tính

BÀI TẬP THỐNG KÊ TRONG KINH DOANH – TỐI ƯU TUYẾN TÍNH Đề Bài: CÂU 1: TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (LP) Cơng ty hố dầu Riverside Oil bang Kentcky, Hoa kỳ, sản xuất hai loại xăng dùng cho động xăng thường (regular-A90) xăng cao cấp (supreme-A97) Mỗi thùng xăng A90 bán với giá $21 phải đạt số octane tối thiểu 90 Mỗi thùng xăng A97 bán với giá $25 phải có số octane tối thiểu 97 Mỗi loại xăng sản xuất cách trộn ba nguyên liệu sau theo số lượng khác Bảng sau cung cấp thong tin liên quan đến nguyên liệu phối trộn: Nguyên liệu Đơn Giá ($/thùng) 17,25 15,75 17,75 Chỉ số Octane 100 87 110 Số thùng sẵn có (1000 thùng) 150 350 300 Riverside có đơn đặt hàng cho 300.000 thùng xăng A90 450.000 thùng A97 Công ty nên phân bổ ngun liệu sẵn có để sản xuất hai loại xăng A90 A97 muốn tối đa hoá lợi nhuận? Hãy xây dựng mơ hình LP cho tốn Tạo mơ hình bảng tính cho tốn giải Solver Phương án tối ưu tốn gì? Có phương án thay cho tốn khơng? Chỉ số octane cao cho xăng thường A90 bao nhiêu, biết công ty muốn tối đa hoá lợi nhuận Trong trường hợp số octane xăng cao cấp A97 bao nhiêu? Chỉ số octane cao cho xăng cao cấp A97 bao nhiêu, biết công ty muốn tối đa hoá lợi nhuận Trong trường hợp số octane xăng thường A90 bao nhiêu? Với hai phương án tối ưu xác định câu (5) (6), bạn đề nghị công ty thực phương án nào? Tại sao? Nếu cơng ty mua them 150 thùng nguyên liệu 2, với mức giá $17/thùng Học nên mua khơng, sao? CÂU 3: PHÂN TÍCH HỒI QUY (Regression Analysis) Roger Gallagher sở hữu salon ô tô cũ chuyên mẫu xe thể thao Corvettes Anh ta muốn xây dựng mơ hình hồi quy giúp dự đoán giá bán xe sở hữu Anh thu thập liệu xe trình bày Bảng Dat9-8.xls Dữ liệu bao gồm: số mile mà xe (mileage), năm SX (model year), có hay khơng có T-top xe (T-top), giá bán số xe mà anh bán tháng gần Hãy đặt Y giá bán xe, X1 số mile xe đi, X2 năm SX, X3 diện T-top xe (1=có, 0=khơng) 1- Nếu Roger muốn sử dụng hàm hồi quy tuyến tính đơn giản để ước lượng giá bán xe, biến X bạn đề nghị Roger nên sử dụng? Giải thích sao, nêu kỳ vọng dấu hệ số ước lượng 2- Hãy ước lượng tham số hàm hồi quy sau: Yi^ = b0 + b1X1 i + b2 X2 i (MH1) Hàm hồi quy ước lượng gì? Biến X2 có giải thích giá bán xe khơng X1 có mơ hình? Lý có vấn đề gì? 3- Thiết lập biến nhị phân (dummy) (X3) cho biết xe có hay khơng có T-top Hãy ước lượng tham số mơ hình: Yi^ = b0 + b1X1 i + b3 X3 i (MH2) Biến X3 có giúp giải thích cho giá bán xe khơng X1 có mơ hình? Giải thích 4- Theo mơ hình trên, trung bình kit T-top làm tăng thêm giá trị xe bao nhiêu? 5- Hãy ước lượng tham số mơ hình sau: Yi^ = b0 + b1X1 i + b2 X2 i + b3X3i (MH3) Viết phương trình hàm hồi quy 6- Trong số tất hàm hồi quy trên, bạn đề nghị Roger nên sử dụng hàm nào? 7- Vẽ đồ thị Scatter Plot Y với biến X1 X2 8- Dựa vào đồ thị phân bố rãi trên, nhận xét mối quan hệ Y với X1 X2, tuyến tính hay khơng tuyến tính 9- Hãy ước lượng mơ hình sau: Yi^ = Yi^ = b0 + b1X1 i + b2 X2 i + b3X3i + b4 X4 i (MH4) Trong X4i = X2i2 Viết phương trình đường hồi quy cho mơ hình 10- Hãy xem xét p-value cho bi (MH4) Các giá trị có biến độc lập nên loại bỏ khỏi mơ hình không? Nội dung làm: CÂU 1: TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (LP) Giới thiệu: Lập trình tuyến tính (LP, hay tối ưu tuyến tính) phương pháp tốn học để xác định cách đạt kết tốt (như tối đa lợi nhuận hay chi phí thấp nhất) mơ hình tốn học đưa từ số yêu cầu thể dạng mối quan hệ tuyến tính Lập trình tuyến tính trường hợp cụ thể lập trình tốn học (sự tối ưu tốn học) Nói cách thức hơn, lập trình tuyến tính kỹ thuật cho việc tối ưu hóa hàm số tuyến tính có mục tiêu, mục tiêu cho đẳng thức tuyến tính bất đẳng thức tuyến tính Vùng khả thi đa giác lồi, định nghĩa giao nhiều khoảng cách có giới hạn, giao định nghĩa bất phuong trình tuyến tính Hàm số mục tiêu hàm số mô giá trị thực định nghĩa dựa đa giác Thuật tốn lập trình tuyến tính xác định điểm đa giác lồi nơi mà hàm số có giá trị nhỏ (hay lớn nhất) có nhiều điểm tồn Lập trình tuyến tính tốn biểu dạng cơng thức kinh điển: Trong X đại diện cho vector biến (được xác định), c b nhữnng vector hệ số (được biết đến), A ma trận (được biết đến) hệ số, ma trận chuyển vị Các biểu tối đa hóa hay giảm thiểu gọi hàm mục tiêu (cTx trường hợp này) Sự bất bình đẳng Ax ≤ b khó khăn xác định hàm mục tiêu lồi nhiều vùng để tối ưu hóa Trong nội dung này, so sánh hai vector chúng kích thước Nếu tất mục tiêu lần mục tiêu tương ứng lần thứ hai sau đó, nói vector vector Lập trình tuyến tính áp dụng cho lĩnh vực nghiên cứu Nó sử dụng kinh doanh kinh tế, sử dụng số lĩnh vực kỹ thuật Các ngành công nghiệp sử dụng mơ hình lập trình tuyến tính bao gồm giao thông vận tải, lượng, viễn thông sản xuất Nó chứng tỏ tính hữu ích việc mơ hình hóa việc lập kế hoạch, lập tuyến, lập lịch trình, phân cơng thiết kế Áp dụng cho việc giải vấn đề: 2.1 Đặt ẩn số: Nguyên liệu sử dụng để sản xuất A90: A, B, C Nguyên liệu sử dụng để sản xuất A97: X, Y, Z 2.2 Hàm mục tiêu Để tối đa hóa lợi nhuận, cần tối thiểu hóa chi phí trộn ngun liệu để sản xuất sản phẩm, nói cách khác, hàm mục tiêu là: Min: 17.25 (A+ X) + 15.75 (B+ Y) + 17.75 (C+ Z) 2.3 Các điều kiện khống chế hệ thống bất đẳng thức: a Ràng buộc nguồn lực Nguyên liệu mà sử dụng cho sản xuất sản phẩm cho loại không nhiều nguyên liệu sẳn có Cho số Octane 100: A+X = 97 Khi có hạn chế thứ 100X+87Y+110Z > = 38.800.000 d Sau có ràng buộc A, B, C, X, Y, Z > 2.4 Áp dụng thông tin vào công cụ Solver a Thiết lập hàm mục tiêu Excel Ro ws Column B Col C Petrol with octane e 100 Petrol with octane e 87 Petrol with octane e 110 Column D A90 Column E Column F Column G A97 Cost Total cost 150000 $17.25 260869.565 89130.4348 $15.75 39130.434 210869.565 $17.75 $12,537,500.00  Hàm mục tiêu là: =(D4+E4)*F4+(D5+E5)*F5+(D6+E6)*F6 b Thiết lập ràng buộc Những ràng buộc thiết lập công cụ Solver bên Row 10 11 12 13 14 15 16 Column B Constraints * Resource Petrol with octane e 100 Petrol with octane e 87 Petrol with octane e 110 * Demand Barrel of A90 Barrel of A97 Col C Column D 100 87 110 Column E Column F Column G Usage Available 150000 150000 350000 350000 250000 300000 300000 450000 300000 450000 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 * Octane e e number A90 A97 * None negative A B C X Y Z Available Needed 300000 300000 90 102.111111 90 97 260869.565 39130.4348 150000 89130.4348 210869.565 0 0 0 450000 450000 2.5 Kết chạy Solver, sau có hai báo cáo sau: a Báo cáo trả lời (kết quả): Objective Cell (Min) Cell Name Petrol with octane 110 $F$5 Total cost Variable Cells Cell Name Original Value $12,537,50 0.00 Final Value $12,537,50 0.00 Original Value Final Value Integer $C$ Petrol with octane 100 A90: A $D$ Petrol with octane 100 A97: X $C$ Petrol with octane 87 A90: B $D$ Petrol with octane 87 A97: Y $C$ Petrol with octane 110 A90: C $D$ Petrol with octane 110 A97: Z Constraints Cell Name $E$ Petrol with octane 87 10 Usage $E$ 16 A90 Usage $E$1 Petrol with octane 110 Usage $E$ 21 C Usage $E$ 19 A Usage $E$ 20 B Usage $E$ 14 Barrel of A97 Usage $E$ 22 X Usage $E$ 23 Y Usage $E$ 17 A97 Usage $E$ 24 Z Usage $E$ 13 Barrel of A90 Usage $E$ Petrol with octane 100 Usage 69230.7692 80769.2307 230769.230 119230.769 150000 Contin Contin 150000 Contin 200000 Contin 0 Contin 250000 250000 Contin Cell Value 350000 93.5 250000 150000 150000 450000 200000 99.7777777 250000 300000 150000 Formula $E$10=$F $16 $E$11=$F $21 $E$19>=$F $19 $E$20>=$F $20 $E$14>=$F $14 $E$22>=$F $22 $E$23>=$F $23 $E$17>=$F $17 $E$24>=$F $24 $E$13>=$F $13 $E$90 xe, năm sản xuất gần xe giá trị, giá bán tăng Trên đồ thị đường thẳng có dạng lên, chứng tỏ hệ số góc >0 Dùng phương pháp phân tích Regression cho kết sau: 11 Regression Statistics Multiple R 0.840679 R Square 0.706741 Adjusted R Square 0.680081 Standard Error 3679.604 Observations 13 Intercept X Variable Coefficients -1430812 731.3331 Standard Error 281189.2 142.0414 t Stat -5.08843 5.148732 P-value 0.00035 0.000319 Từ kết cho thấy: bo = -1430812, giá trị tuyệt đối t Stat >2 nên hệ số bo có ý nghĩa chấp nhận mơ hình b2 = 731.3331giá trị tuyệt đối t Stat >2 nên hệ số b2 có ý nghĩa chấp nhận mơ hình Vậy phương trình hồi quy: MH (x2): Yt = b0 + b1x2 Yt = R= -1430812 -5.08843 0.706741 + R2= 731.3331 5.148732 0.680081 X1 * Lựa chọn mơ hình So sánh R2 (X1) = 0.842551823 > R2 (X2) = 0.706741 Chứng tỏ biến X1 có ảnh hưởng lớn giá bán Y theo X1 mơ hình khác biệt với giá trị thống kê hơn, nên chọn biến X1 để ước lượng giá bán Hãy ước lượng tham số hàm hồi quy sau: Yi^ = b0 + b1X1i + b2 X2i (MH1) Hàm hồi quy ước lượng gì? Biến X2 có giải thích giá bán xe khơng X1 có mơ hình? Lý có vấn đề gì? Việc ước lượng tham số hàm hồi qui thực (kỳ vọng b1 0) Regression Statistics Multiple R 0.920033287 R Square 0.84646125 Adjusted R Square 0.8157535 Standard Error 2792.417738 Observations 13 12 Coefficients -201829.3496 -155.8233362 116.3631975 Intercept X Variable X Variable Standard Error 459905.8832 51.65484743 230.6046602 t Stat -0.43885 -3.01663 0.5046 P-value 0.670101 0.01297 0.624772 Từ kết cho thấy: bo = -201829.3496, giá trị tuyệt đối t Stat 2 nên hệ số b1 có ý nghĩa chấp nhận mơ hình b2 = 116.3631975, giá trị tuyệt đối t Stat 2, nên chấp nhận tất hệ số mơ hình 13 Vậy phương trình hồi quy: MH (x1.x3): Yt = b0 + b1X1+b3X3 Yt = 28770.2 16.60866 + R= 0.896134 R2= -177.162 -8.91446 0.87536 X1 + 2904.274 2.27129 X3 X3 làm tăng thêm giá bán xe, có T-Top nghĩa thêm tính cho xe nên tăng giá trị hơn, điều kiện xe qua sử dụng mức độ Theo mơ hình trên, trung bình kit T-top làm tăng thêm giá trị xe bao nhiêu? Trung bình, bơ T-top làm tăng thêm 2904.274 đơn vị theo mơ hình MH2 Hãy ước lượng tham số mơ hình sau: Yi^ = b0 + b1X1 i + b2 X2 i + b3X3i (MH3) Viết phương trình hàm hồi quy - Ước lượng tham số mơ hình Y^ = bo + b1 X1+ b2X2 + b3X3 (MH3) Xác định bo, b1, b2, b3 Regression, kỳ vọng b1 0 Regression Statistics Multiple R 0.950623 R Square 0.903684 Adjusted R Square 0.871579 Standard Error 2331.302 Observations 13 Intercept X Variable X Variable X Variable Coefficients -295530.694 -144.9008067 162.582803 3017.461022 Standard Error 386093.3753 43.38293118 193.5594184 1304.918045 t Stat -0.76544 -3.34004 0.839963 2.312376 P-value 0.46361 0.00866 0.422681 0.046057 Nhận thấy điều kiện t Stat > đáp ứng b1, b3 b0 b2 khơng đáp ứng, nên có b1, b3 có ý nghĩa chấp nhận mơ hình Vậy phương trình hồi quy: MH (x1.x2): Yt = b0 + b1X1+b2X2 Yt = R= -295531 + -0.76544 0.903684 R2= -144.901 X1 -3.34004 0.871579 + 162.5828 X2 + 0.839963 3017.461 x3 2.312376 Trong số tất hàm hồi quy trên, bạn đề nghị Roger nên sử dụng hàm nào? So sánh mơ hình dựa thơng số thống kê T stat, R2, R2-adj để lựa chọn: 14 MH X1 X2 X1,X2 bi R2 R2-adj 0.828238 b0 30237.235 t stat b0 16.02527 0.842552 b1 -178.8655 t stat b1 -7.6723 0.828238 b0 -1430812 t stat b0 -5.08843 0.706741 b2 731.3331 t stat b1 5.148732 0.680081 b0 -201829.3 t stat b0 -0.43885 0.706741 b1 -155.8233 t stat b1 -3.01663 0.815753 b2 116.3632 t stat b2 0.5046 b0 28770.199 t stat b0 16.60866 0.896134 b1 -177.1617 t stat b1 -8.91446 0.875361 2904.2739 t stat b2 2.27129 b0 -295530.7 t stat b0 -0.76544 0.903684 b1 -144.9008 t stat b1 -3.34004 0.871579 b2 162.5828 t stat b2 0.839963 b3 3017.461 t stat b3 2.312376 X1,X3 X1,X2,X3 t stat bi 0.680081 0.815753 0.875361 0.871579 Ta thấy mô hình (x1 x2 x3) có bi (trong số bi) có ý nghĩa chấp nhận mơ hình nên ta khơng chọn Xét mơ hình (X1), mơ hình (X2), mơ hình (x1, x3) hệ số bi có nghĩa (T stat > 2) Riêng mơ hình (x1,x3) có R2, R2-adj tăng lớn so với mơ hình lại nên chọn mơ hình (x1, x3) Vẽ đồ thị Scatter Y với X1, X2 Đồ thị scatter Y theo X1: Đồ thị scatter Y theo X1: Đồ thị scatter Y theo X2: 15 8- Dựa vào đồ thị phân bố rãi trên, nhận xét mối quan hệ Y với X1 X2, tuyến tính hay khơng tuyến tính Based on the above charts, please comment on the relationships between Y and X1 and X2, linear or non-linear? Nhìn vào đổ thị, Y dự đốn phụ thuộc tuyến tính với X1 X2 Trong đó, Y giảm X1 tăng Y tăng X2 tăng  Kiểm tra nhận định cách dùng công cụ Regression Mơ hình Y theo X1: Y ^ = bo+b1 X1 - Xác định bo, b1, kỳ vọng b1 0 Phương trình hồi quy MH (x2): Yt = b0 + b2x2 Yt = -1430812 + 731.3331X1 -5.08843 5.148732 R = 0.706741; R2 = 0.680081 9- Hãy ước lượng mơ hình sau: 16 Yi^ = Yi^ = b0 + b1X1 i + b2 X2 i + b3X3i + b4 X4 i Trong X4i = X2i2 Viết phương trình đường hồi quy cho mơ hình (MH4) Xác định bo, b1, b2, b3, b4 Regression, kỳ vọng b1 0 Regression Statistics Multiple R 0.987579068 R Square 0.975312416 Adjusted R Square 0.962968624 Standard Error 1251.888606 Observations 13 Intercept X Variable X Variable X Variable X Variable Coefficients Standard Error t Stat 155680168.5 32375649.5 4.808557 -107.0932306 24.58248318 -4.35649 -157574.1811 32740.68479 -4.81279 2452.087517 710.487867 3.451273 39.87821398 8.27729327 4.817784 P-value 0.001341 0.002424 0.001334 0.008679 0.001325 Kết cho thấy hệ số bi có nghĩa t Stat >2 Vậy phương trình hồi quy: MH (x1.x2): Yt = b0 + b1X1+b2X2 +b3X3 + b4 X4 Yt = R= 15568016 4.8085574 0.9753124 + R2= -107 -4.36 0.963 X1 + -157574 -4.81279 X2 + 2452.088 3.451273 X3 + 39.87821398 4.81778435 10- Hãy xem xét p-value cho bi (MH4) Các giá trị có biến độc lập nên loại bỏ khỏi mơ hình khơng? Phân tích Regression Excel kiểm định Giá trị P-value bi có ý nghĩa P-value < α/2 = 0.025 P-value bi MH4 thỏa mãn điều kiện nên khơng có biến nên loại bỏ khỏi mơ hình Kết phù hợp với điều kiện T-Stat http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming 17 X4 ... mối quan hệ tuyến tính Lập trình tuyến tính trường hợp cụ thể lập trình tốn học (sự tối ưu tốn học) Nói cách thức hơn, lập trình tuyến tính kỹ thuật cho việc tối ưu hóa hàm số tuyến tính có mục... khơng? Nội dung làm: CÂU 1: TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (LP) Giới thiệu: Lập trình tuyến tính (LP, hay tối ưu tuyến tính) phương pháp tốn học để xác định cách đạt kết tốt (như tối đa lợi nhuận hay chi phí... vector Lập trình tuyến tính áp dụng cho lĩnh vực nghiên cứu Nó sử dụng kinh doanh kinh tế, sử dụng số lĩnh vực kỹ thuật Các ngành công nghiệp sử dụng mô hình lập trình tuyến tính bao gồm giao