hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath https:/isites.google.comisite/letrungkienmath LOP 10 TRUONG THPT CHUYEN DAI HOC SU PHAM HA NOI NAM HOC 2010 - 2011 VÒNG I
(Đành cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
(Thời gian làm bài: 120 phú!) Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức ad 3x =) 28—x(4x-1)-4) | x?+29x478 6 4211)” A?+6x5=x-6 | ` 32+l2x~36 1) Rút gọn biểu thức 4 2) Tìm tắt cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên Câu 2 (2 điềm) Cho hai đường thăng (đ):y=(20? +lx+2m—1 ;(d;): y = mềx +m—2, với m là tham số 1) Tim tọa độ giao điểm 7 của (đi) và (4®) theo m
2) Khi m thay đổi, chứng minh rằng điểm 7
luôn thuộc một đường thăng cô định
Câu 3 (2 điểm) Giả sử bộ ba số thực (x ; y ; z) thỏa mãn hệ x+l=y+z xy+z2~7z+10=0 a 1) Chứng minh x? + y? =—z? +12z-19 2) Tìm tất cả các bộ (x ; y ; z) thỏa mãn hệ (I) sao cho x? + y? =17
Câu 4 (3 điểm) Cho hình vuông 48CD có độ
đài cạnh băng a Trong hình vuông đó lây điểm K sao cho tam giác 48K đều Các đường thăng BK và 4D cắt nhau tại P
1) Tính độ dài đoạn thẳng KC theo a
2) Trên đoạn thẳng 4D lấy điểm J sao cho
DI = ae, các đường thing C/ va BP cắt
nhau tại # Chứng minh tứ giác CHDP nội tiệp một đường tròn
3) Gọi M và L lần lượt là trung điểm của các
doan thing CP va KD Chimg minh LM= >
Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình
(2 = 5x4 1)(x? =4) =6(x— 1 VONG 2
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) (Thời gian làm bài: 150 phú!)
Câu 1 (2 điểm)
1) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và
thỏa mãn a-b=vI=# -vI—# Chứng minh ting 4? +? =1
1) Chứng minh rằng
2009? + 2009? x 2010? + 20107
lì một số nguyên dương
(âu 2 (2 điểm) Giả sử bốn số thực a, b, e, d
lôi một khác nhau và thỏa mãn đông thời hai
liêu kiện sau ) Phương trình
whiém laa va b x? -2cx—5d=0 cd hai
i) Phương trình x?-2ax-Sb=0 cd hai
nghiém 1a c va d
Chứng minh ring
1) a-c=c-b=d-a 2) a+b+c+d=30
Câu 3 (2 điển) Giả sử m và ø là những số
nguyên dương với ø >1 Dat S=nPr? —4m+4n
Chứng minh răng
Trang 2ha s://www.facebook.com/letrungkienmath bị
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác 48C với 48 > AC, AB > ĐC Trên cạnh 1 lây các điêm M và N sao cho BC = BM va AC = AN 1) Chứng minh điểm N nam trong đoạn thăng BM
2) Qua M va Ñ kẻ A⁄ZP song song với 8C và NO
song song với C4(P<CŒ4,@ec(CP) Chứng minh rang CP = CQ
3) Cho ACB =90°, CAB =30° va AB=a Hãy tính dién tich cua tam gidec MCN theo a
Câu 5 (1 điểm) Trên một bảng đen ta viết ba số 42:2; ars 1 Ta bắt đầu thực hiện một trò
s:/Isites google com/site/letrungkienmath
chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xóa hai số nào
đó trong ba;sô:trên bằng, cciá sử lễ ø:và bồi
a+b
v2
„ đồng thời giữ nguyên số còn lại
việt vào hai vị trí vừa xóa hai sô mới là và lara!
v2
Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có
ba sô Chứng minh rang dù ta có chơi bao
nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng khơng
¥ š z 1
Trang 3i s:/mww facebook com/letrungkienmath i s:/Isites google com/site/letrungkienmath ` z TPƯỜNG THỊPT CHUYÊN ĐẠI HQC SỬ PHẠA\ HÀ NỘI NĂM HỌC 2010 - 2011 VÒNG I (Dành cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Câu 1 1) DK x 4-26 ;-6 ;~3 ;—l ;l;2 n 2x+6
2) Biến đổi 24=3 l”~ Vậy A nguyên khi x+3 5 nguyen OS xe(-2;—4:0;~8; 12: —I8l HSI Cau 2 1) PT hoanh d6 giao diém cla d, và d; là (2m2 +1)x+2m—1= mẦx+m~—2 m+1, moe m+1 m?+l Tim duge Í- 2) Giả sử 7(x,;y;), ta có ” = (2m? +1)x; +2m—1 v= Suy ra /ƒ thuộc đường thẳng cố định có phương trình y=-x~3 =yi=-x,~3 mx, +m-2 Cau 3.1) HPT () x—y)? + 2xy= (2-1)? +2(-22+72-10) —2? 4122-19 (dpem)
2) Ty x2+y?=17 = z=6 Thay vao HPT (1) tính được (x;y) = (45-1); (iy) = (5-4) 1:6; (xi2) =Œ; =4; 6) Câu 4 (h 1) 1) Kẻ KE vuông góc với BC, khi đó a2-3) TỶ WB C= 2 Từ đó KC=aV2-3 KE =“, BE= 2 B Hinh 1 2) Trong tam giác vuông CDI có 2a CI=“#=2DI nên DCI =30° Mat khác TIPD -90°— 4BP=30° Suy ra tứ giác CHDP nội tiếp (đpcm)
3) Lấy trung điểm L của đoạn KC Do tam gide CKD can tai K và M là trung điểm của CP suy ra L và L' đối xứng nhau qua KM = LM = L/M Do L/M là đường trung bình của
KP
tam giác CKP nên ĐM= ST = (dpcm) Câu § Biến đổi PT đã cho về dạng
Trang 4Jwww facebook.com/letrungkienmath i sllsites google.com/site/letrungkienmath
VONG 2
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyén Tin)
Câu 1, 1) Từ giả thiết, ta có
a l-@ =b+VI-P => aVl-a? =by1-b? = aa =h?—ht > (aa? +h?-1)=0 Vi a?—b? 40 (gid thiét a#b) nén a?+b?=1 2) Dat a=2009, ta có 2009 +20097.20107 +2010? =@+@(atlP (aH? =(@ +a) Suy ra dpem Câu 2 1) Theo định lí Viète, ta có c+d=2a (3) cả =-5b (4) Từ(1) và @) suy ta đ~e =e=ö= đ—a (đpem) 2) Đặt a~e=e~b=d~a=m, thì
c=a-m; b=c-m=a-2m; d=a+m Dod6 a+b+c+d =4a—2m =2(2a-m)
Tir (2), (4) suy ra a? —2am = ~Sa-Sm; a?
~5a+10m Từ đó, thu được ø° ~2am = ~15m
Do axe nén m#0,suy ra m—2a=— Suy ra a+b+c+d=30 (dpem)
Cau 3 1) Ta c6 (mn? —
© n>I (đúng)
826 < m?nđ â m >n (ỳng theo giả thiết)
2) Giả sử m # n, xét hai trường hợp ® Với m > n, theo I) và do § là số chính phương suy ra H38 = (mn2 =1)? => 4n) =2mm2 +1 (sai) ® Với m < n, khi đó *#) Nếu m > 2 thì n >2 —> 2mm > 4m => (mn)? < S <(mn+1)? (mau thuẫn với § là số chính phương) *) Néu m= 1 thi Với n >2 thi (n+1)? <S<(n+2)? (mau thudin với § la số chính phương)
Với n=2 thì S=8 không phải là số chính phương Vậy phải có m = n
2)2<n2§ @ nẦ>I
Cau 4, 1) Tit CA+CB> AB
=> AN+BM> AN+BN BM>BN (đpem) 2) (h 2) Do tam giác CBM cân tại ở nên BCM=BMC ƒ⁄ MàPMC=BCM 4 (so le trong) MỌÓP,N Hình 2
nên PMC=BMC Tuong tu ONC=ANC, suy ra cdc diém P,, Q, đối xứng với các điểm P, Ø qua các đường thẳng CM và CN déu thuộc AB và CP = CP,, CO = CỌ, Từ ACPM=ACRM: ACON=ACQN => CRM= CPM, CON= CON Mặt khác CPM=CON (cùng bù với góc ACB) => CRM=CQN nen CR =CQ, => CP=CQ 3) (h 3) Ta có a E CB=BM=Š, 3 CA=AN= se 2 => MN=BM-BN “ ™ Hinh 3 * _a „3a _(@3-ĐDa 72 5 J2 0-2065” Gọi h là khoảng cách từ C đến AB thì W3 cà On) SN =5 TiỢNg 2 2 b ja-b| Cau 5, Do a? +6? = =) ‹( ) ( J2 v2 nên tổng bình phương ba số không thay đổi
sau mỗi lần chơi
"Tổng bình phương ba số ban đầu là 2