s:/mww facebook com/letrungkienmath i s:/isites google com/site/letrungkienmath
ĐỂ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỐP 10 THPT CHUYEN KHTN, DHQG HA NOI NAM HOC 2014 - 2015 VONG 1 (120 phit) Câu 1 1) Giải phương trình (VI+x+vI=x)2+2vI=x?)=8 bung à +?—=xy+y? 2) Giải hệ phương trình [ nền Câu 2 1) Giả sử x, y, z là ba số thực đương
thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh rằng:
+
1xx l+y +z? (x+y)@+2)Œ+x)' 3z _ xyz(5x+4y+3z)
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: A2y(x+y)+x+y=3+xy
Câu 3 Cho tam giác 4BC nhọn với 4B < BC
D là điêm thuộc cạnh 8C sao cho 4D là phân
giác của BAC Đường thẳng qua C song song,
với 4D cắt trung trực của AC tại E Đường
thẳng qua Ö song song với 42 cắt trung trực
cia AB tai F
1) Chứng minh ring tam giác 48Ƒ đồng dạng
với tam giác 4CE
2) Chứng mỉnh rằng các đường thẳng BE, CF, AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G
3) Đường thẳng qua Ở song song với 4 cắt
đường thẳng BF tại Q Đường thẳng QE cat
đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tai P
khác E Chimg minh ring các điểm A, P, G,
OQ, F cùng thuộc một đường tròn Câu 4 Giả sử a, b, c là các số thực đương thỏa Chứng mình ring 2abe(a+b+c)< Zratb? +bte c2 +c*4Ê, mãn đẳng thức ab+bc+ca=l VÒNG 2 (150 phá)
Câu 1 1) Giả sử x, y là những số thực dương
phân biệt thỏa mãn 4y 8y HVE ME ng Chứng minh rằng 5y = 4+ 2x?~3y2+xy=12 6x+x?y=l2+6y+y?x` =4 2) Giải hệ phương nhị
Câu 2 1) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4x2y?—7x+7y là số chính phương Chứng mỉnh rằng x= y
2) Giả sử x, y là những số thực không âm thỏa
mãn x2 +y3 + xy = 12 + y2 Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức tvx 2+jx +Jy I+jWy`
Câu 3 Cho tam giác 48C nội tiếp đường tròn
(Ø) và điểm P năm trong tam giác thỏa mãn PB = PC D là điểm thuộc cạnh BC (Ð khác 8 và D khác C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác D4 và đường tròn ngoại
tiếp tam giác DAC Đường thing PB cit đường tròn ngoại tiếp tam giác D4B tại E
khác 8 Đường thắng PC cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác 24C tại F khác C
1) Chứng minh rằng bón điểm 4, E, P, F cùng
thuộc một đường tròn
2) Giả sử đường thắng AD cit dudng tron (O) tại Ở khác 44, đường thăng 47 cắt đường thăng QC tại L Chứng minh rằng tam giác 4BE
déng dang véi tam gide CLF
3) Goi K là giao điểm của đường thẳng 4E và
đường thẳng ÓB Chứng minh rằng ØKL+PAB=QLK + PAC
Câu 4 Cho tập hợp 4 gồm 31 phần tử và dãy gồm ø tập con của 4 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) mỗi tập thuộc dãy có ít nhất
hai phần tử; (1) nếu hai tập thuộc dãy có
chung nhau ít nhất hai phần tử thì số phân tử
của hai tập này khác nhau Chứng minh ring m<900
Trang 2
hittps:/www.facebook.cor Wisites google.com/site/letrungkienmath : =
Huing Addn gidé DETHITUYEN SINH VAO LOP 10 THPT CHUYEN
KHTN, DHQG HA NOI NAM HOC 2014 - 2015 VONG 1 Câu 1 1) Điễu kiện: 1 <x <1 Ta cé (JI+x+V1-x)? =2+2VI-2 Do đó, PT đã cho tương đương với (@I#x+VT=x) =8© vVÏtx+vÏ=x =2 ©2+2/1-x =4© JI—+? =l@x?=0 ©x=0e[~I,1} Vay PT có nghiệm duy nhất 2) Từ HPT ra có 4(x2—x) ©>3x?~5xy+2y? =0©>(x~y)(3x— * Với x~ y= 0 hay x = y, thay vào PT thứ nhất cua HPT ta 06.7 =? * Vi 3x—2y=0 hay y= 3x, thay vao PT thir y +3è=lôâx=1l nht ca HPT ta có ai 3 xát tổ, 23 gal opie woot hi l©x Vậy HPT có bến nghiệm (x; y) là: GD, Cb-), Ê v Câu 3 1) Đặt z=L, 6=} e=1, Ea
Tir gia thiét ta c6 ab + be | ca = 1 Do đó,
đăng thức cần chứng minh tương đương với: ä 2b + =_ 3bc+4ca +3ab Tea? 140 T+ T 4+b(b+e)G+d) a 2b 3c đaxba+o ` đ+e\(b+a)` (e+aJ(e+b) Sbe+4ea+3ub Z+b)(b+â)(e+4) &a(b+c)+2b(c+a)+3c(a+b) =5bc+4ca+3ab luôn đúng Vậy đẳng thức được chứng minh 2) Đặt w=x + y, v= xy, PT đã cho trở thành: v+3 vel Dox;y € Z nên ø; ve Z7, suy ra về + 1 là ước yầu + =3+ Œ@W=
của y + 3 => vŸ + 1 là ước của vŸ— 9 => vỶ + Ï
là ước của vŸ +] ~ 10 = vỶ + 1 là ước của 10
Lần lượt xét các ước nguyên dương của 10 đẻ xác định v, z rồi tìm nghiệm nguyên dương x, y tương ứng, thử lại với PT ban đầu
PT có ba nghiệm nguyên đương (x; y) là: (0; 3), (3; 0), (1; 1) Câu 3 1) Ta có AABFVàÀ Fy AACE đồng dạng do chúng lần lượt cân
tại F, E, và FBA= BAD = ĐAC =
2) Gọi Ở là giao điểm của 8E và CF Ta có: GP_—BE_4B_DB Do NG ca vn 77 Mặt khác, / 4 DA// BF suy 1a A, D, G thang hang, suy ra đpem
3) Ta co: BOG = OGA = GAE = GAC + CAF = GAB+ BAF = GAF suy ra AGOF là tứ giác
nội tiếp Mặt khác, OPG =GCE=GFO nén
GPF là tứ giác nội tiếp Suy ra đpem Câu 4 Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
ath? + abe? + hea a°be: pie? +1 pca? +L ab > b°ca;
3 9
cla +ạcab? +öbe cab
Cộng theo từng về của ba BĐT trên, thay
ab + be + ca = ] vào và rút gọn ta được:
3abe(a+b+©) < 4+2 + bÉc? + c*aÊ tạ: a
Ta có abe(a + b + e) = ab.ca + bc.ab + ca.be
1 ie +
$3 (ab+be+cay =a 3abc(a+b+e)Sö (2) Céng theo timg vé (1) va (2) ta c6 dpem
WB
Trang 3hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites google.com/site/letrungkienmath VONG 2 Câu 3
Câu 1 1) Với mọi a # 4b ta có: 1) Ta có EAP SIIE CD, ee = EAD +DAF me oor =EBD+BCF Do đó đăng thức đã cho tương đương Với _1sgs_ PC =180° - EPF =A,E,P,F cùng thuộc một đường tròn e=—=4œ 5y =4x(đpem) aay l4 ((x— y)(2x+3y)=12 2n hết ch ng ae xy)=12 ` Suy ra (x— y)(2x + 3y) = (x — y)(6 +39)
=x~y=0 (loại) hoặc 2x + 3y = 6 + xy Ta có 2x + 3y = 6 +xy © (x—3)@~ 2) = 0 Đến đây ta nhanh chóng tìm ra các nghiệm (x; y) cba HPT, d6 là: 4; - 1), 4: 2), (~4; 2) Câu 2 1) Ta có x >2 và y >2 Suy ra -4xy + 1 <—7x + 7y < 4ø + 1 @ Thật vậy: -4xy + 1 < -7x + 7y © l + 7x< 4xy + 7y © 1 + 7x < y(4x + 7) là BĐT đúng, đo 1+ 7x <2(4x + 7) < y(4x + 7) Tương tự, ~Tx + 7y < 4xy + 1 cũng là BĐT đúng Tiếp tục biến đi, ta có (*) tương đương với %2y2~Axy+1<4322— 7x + Ty<442/)+4wy+ 1
© (2xy— 1)? < ary —Tx+ Ty < (2xy + 1) Mat khac, 4x*y? - 7x + 7y 1a s6 chinh phuong va 1 <2xy- 1 <2xy +1 nén Ax2y?~ 1x + Ty = (2xy)” © x= y (đpcm) 2) Ta có x +yÌ + xy =x +) ©Œ>x+y-D(?~xy+y?)=0 a lò y-1=0 Lx?~xy+y? =0 + Vớix=y=0thì P= * Vớix+y= I thì x; y e [0, 1], suy ra: l+vi 2+VT P<_ TY +“ ~Ý— =4(đẳng 5G ae (đẳng thức xảy ra khi và thức xả iva BÀI 1+0 2+0 _4
chỉ khi z = 1 và y= 0); P> eli eI OD eae ae iie 3 SM
(đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 và y= ])
Vậy Prax = 4; Pain = +
2) Từ kết quả trên, suy ra ZFC = BEA, Lai c6
LCF = LCB+BCF =OAB+ EBC =QAB+ DAE
= BAE Suy ra AABE > ACLF (dpem)
3) AABEœaACLF = AE.LF = CF.BE Tương tự, ta chứng minh được AF.KE = BE.CF Suy ra
b LF _ KE
AE.LF = AF.KE > apo TE =EFIIKL
Từ đó: OLK = ALK - ALO = AFE - ABE = APE - ABE = PAB
Tương tự, OKL = PAC
Suy ra ORL + PAB = OLK + PAC (4pom)
Câu 4 Theo giả thiết, m tap con thuộc dãy là
phân biệt Vi A c6 31 phan tử nên số tập con có đúng 2 phần tử của 4 là Š L8, Kí hiệu z, là số các tập hợp có đúng k phần tử (2 < k < 31), nim trong day đã cho Suy ra m=a,+a3+ + a3 Xét một tập hợp có k phần tử thì số các tập hợp con có 2 phần tử của tập hợp đó là
HED, suy ra ấy tập này sẽ có AED
tập con 2 phần tử Theo giả thiết, 2 phần tử bat
kì của 4 không thể đồng thời thuộc 2 tập hợp cùng có k phần tử của dãy, suy ra các tập hợp