Ì (716i gian lâm bái 120 phí) (Đùng cho mại thí sinh thí vào trường THPT chuyên ĐHSP Hà N Câu 1 (2,5 diém) 1) Cho biếu thức (x56 o- Te) SON dana ` agt4ablab - zia-bịa với a>0,b>0, a⁄, tính giá trí krk2xecTÌ do có cC sục: (at 2) Các số thực a, b, ¿ thôa trấn a * b * e = Ú, Chứng mính đáng thức (a2+b?+c?}=2(z*+E*“+c*), Câu 2 (2 diém) Cho parzbol (P):y=z và đường thẳng (4):y=-m+z— (tham số m0),
1) Chứng mính ráng với mẫi mz0, đường
thắng (4) cht parabol (P) tại bai điểm phan
biệt
2) Gọi Alig; Vi), BOG 2) l các giao điểm
của (4) và (P), Tìm gúá trị nhà nhất của biếu thức M=7?+7ƒ- VÒNG 2 (102i sian Câu 3, (1,5 điểm) Giá sử a, b, c là các số thực, a#b sao cho hai phương trình z?+az+1=0,x?+cx+b=0 có nghiệm chung và hai phương trình 3ˆ+x+Z=0,
z£+œ+b=0 có nghiệm chung Tinh a+ b +c
Câu 4, (3 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhợn, nội tiếp đường tròn (Ơ) Các đường cao
Ady, Bi, CC; của tam giác ABC cắt nhau tại
điểm HH Các đường thing AC, va AC cat
nhau tai điểm D, Gợi X là giao điểm thứ hai của đường thăng BD với đường tròn (Ở) 1) Chứng trình rằng DX.DB = DC,.DA 2) Gợi M là trung điểm của cạnh 4C, chứng mính DH L BM Câu 5 (1 điểm) Các số thực x, y, z thỏa mãn (/zi-[zB-iz8-iySixsdipriein (pam = Chứng minh rằng x=y=Z- lam bài 150 phút)
(Dùng cho thí sinh thi vao lớp chuyên Toán và lớp chuyên Tìn)
Câu 1 (2,5 diém) a+b>(|2013+J2014ÿ-
1) Các số thực a, b, ¢ théa man dong thoi hai Câu 2 (2 điểm)
đăng thức
i (a + bib + oe + a) = abe;
úi (a2 +b?XP? + Xe? +a!)< 002
Chimg minh rang abc = 9 2) Các số thực đương a, b thớa mãn ab > 20130 + 20146 Chứng mính bát đảng thức Tim tit cả các cặp số hữu tỉ (x ; y) thỏa mãn [z-2y=xtAy hội etne nh =l Câu 3 (1 điểm)
Với mỗi số nguyên đương n, kí hiệu Š, là tổng
của „ số nguyên tổ đầu tiên (S) =2, 59 =2 * 3
Trang 2hftpsr(Sunine,facebookscomiletrungkienmath:
Š;=2+3+5, ) Chứng minh rằng trong dãy
số s5,„S;,5:, không tồn tại hai số hạng liên
tiếp đều là các số chính phương
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác 4BC không cân, nội tiếp đường
tròn (Ø), 8D là đường phân giác của góc ABC Đường thăng 8D cắt đường tròn (0) tại
điểm thứ hai Z Đường tròn (Ø¡) đường kính
DE cắt đường tròn (Ó) tai diem thứ hai F
1) Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thing BF qua đường thăng 8D đi qua trung điểm của cạnh ÁC-
2) Biết tam giác 4C vuông tại B, BAC=60°
https://sites google.comisite/letrungkienmath
và bán kính của đường tròn (Ø) bằng R Hay
tính bán kính của đường tròn (O;) theo R
Câu 5 (1 điểm)
Độ đài bạ cạnh của tam giác 4BC là ba số
nguyên tố Chứng mỉnh rằng điện tích của
tam giác 4BC không thể là số nguyên Câu 6 (1 điểm)
Giả sử ai, đ;, , a¡ là các số nguyên đương
lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và
thỏa mãn ai +a; + +ai =40T Tén tai hay
không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 sô
Trang 3://www facebook com/letrungkionmath li efi AH ODE ene t 2 2ala+blb vo-Va Cau 1 1) Q vn + Ti _3ja(a-ab+b) _1 F3Va(aWa+bjb) Va+Vb 2) Từa+b+c=0=22+b2+e2=~2(ab+bc+ea) => at +b4 +04 +2(a2b? +b2c? +c7a”) =Á(4?b2+b2e? +e?a?+2abc(a+b+e)) Via+b+c=0nén suy ra a4 +b4 +04 =2(a?b? +b2c? +c7a”) =2(4†+b*+e*)=(a?+b?+c?)? (dpem) Cfu 2 1) PT hoành độ giao điểm của (2) và =) 2 (P) la 4m =0 có Asm ta U,
Vzmz0, suy ra điều cần chứng minh
2) Do 4@x;yI), 82; yy)e(P) nên
P+ YP =xf tad =((m tay)? -2axy) 2x22
Vay min (yˆ+ y‡)=2+2 khi mat
2
Câu 3 Giả sử xị là nghiệm chung của hai PT x?-+ax+1=0 (1); x?+bx+c=0 (2) (do a#b), X la nghiém chung cia hai PT x+x+a=0 (3); x2 +ex+b=0 (4) Do a#b tim duge eta oe ai col 5 Theo định lí Viète suy ra x; là nghiệm củ phương trình (1) uo > https:/lsites.google.com/sitelletrungkienmath ~ft f1) _ eee +Í°0_.(a~1)œa~Ù =0 ae Đo đồ { 2, „, +a=0 |
Nếu a= 1, thay vio PT (1) được x?+x+I=\, a
PT này vô nghiệm (loại) 4
Véi x2 = 1, thay vao các PT (3) và (4) ta được
2+a=0 _ ,.p+e=~3 (đpem) 1+b+c=0 Câu 4 (h.1) Hình ! 1) Do B, X, A, C €(O) nén DX.DB=DADC Dé thay A), C¡, 4, C thuộc đường tròn đường kinh AC nén DA.DC=DC,.DA, Suy ra DX DB=DC, DA
2) Từ D Suy ra Ý thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, đường kính BH nên
HX LAB Gọi XHA(O)=K thì BK li
po i LBC, ma 44 1 BC suy ra KC// AA kính của đường tròn (Ø) nên ran KAICC, Do 46 tit giác CKAH là
bình hành, Suy ra M, H, K, X thang hang
Vậy Jj | bu sa í
DH gạy am Của tam giác BDM, suy 8
Câu 5, Điều ki
én x>~ tứ _2011 Không giảm t 2011, y>~2011,z>-2011
Trang 4s ord Ve 2012 + Jar 2012 —vxe 2011 =(ÿ+2012~.y+2011+z+2013~(z+2012 Batt 1 1 'Jx+2013+¬/x+2012 ýš12002+2+20)1 1 A ae — 1 4Jy+2012+jy+2011 Jz+2013+2/z+2012 Mu Do x>y,x>z nên VT(I) < VP(1) Đẳng thức xảy ra khi x = y =z VÒNG 2 Câu 1 1) Từ ¡) và i¡) suy ra abc(a2~ab+b2)(b2—~bc+c?)(c? =ca+a?)=a°bì€ Nếu abc#0 thì suy ra (42-ab+b? XÐ?—bc+c?Xc? —ac+a?)=a2b2c? (1) Lại có (a?—ab+b?)(b? —be+c?)(c~ac+4?)
>|ab|.|bc|.|cal=a”b?c”, kết hợp với (1) suy ra
a=b=e, do đó 8a! =0œa=0=>abc=0, điều
này mâu thuẫn với b0 Vậy abc = 0 20132014 2) Từ giả thiết suy ra l>———†——— b a 20134 , 20146 , 2014 b a =a+b>2013+ >2013+2,
Câu 2 ®Vớix=0 thì HPT vô nghiệm
e Với x#0, đặty = (teQ) HPT tré thanh x2(1-203)=1+4t x2 (1512 -191+6)=1- Suy ra 1+4t — 1 eo ae (0-1) 1? -15t-5)=0 1-2 15/2-19/+6 =2 (do teQ) Do a6 x=t2>y=tl Vậy Œ; y) = (2;1); y)“ (-2;1) hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath 42014=(/2013+2014)
Câu 3 Kíhiệu p„ là số nguyên tổ thứ n Giả sử tổn tại „elN” mà Smi=K“iŠn =;k,IeÑ'‹ Vì 8,=5,5y=10,4=17 nên m > 4 ụ Ta có p„=5„~5z¬=(I~(I+k)- Suy ra vàn: I+k=Pm- mY Do đó p„=2/—I=2Sx ¬¬s-() 5„<(1+3+5+7+ -t Pm)+2-1-9 a) Dom>4nén 2 2 =P 4B 2 % mt) {est >— \s 2 ic (2) -a‹(#=") - Mâu thuẫn với (1) Hình 2
1) Goi Œ= DF (0) thì GE là đường kinh
của (O) Ta có EA=EC, gọi M là trung điềm
của AC suy ra G, M, O, E thăng hàng Do đó
GBE=90°, mà GMD=90° nên tứ giác
BDMG nội tiếp đường tròn đường kinh GD
Ta có MBD=DGM=FGE=FBE Suy ra BF
va BM đối xứng nhau qua BD
2) Khi ABC=90°,BAC=60° thi AB = R,
BC=RN3, AC=2R Theo tinh chat phan giée
DAWAB _ 1% pc=V3DA
DC BC XB
Trang 5Tttps:(Srunw, facebook: comi]etrungikienmatl:
Kết hợp với DA+DC=2R suy ra
DA=(V3~1)R; DM =R-DA=(2-V3)R; DE=J ME? + MD? =2V2-V3R
Vậy bán kính đường tròn (Ø,) bằng 42-J3R 2:
Câu 5 Giả sử a, b, c là các số nguyên tố và là
độ dài các cạnh của tam giác 4BC
Dat P, S thứ tự là chu vi, diện tích của tam giác ABC Ta có 16$?=P(P~2a)(P~2b)(P-2c) q) Giả sử § là số tự nhiên Từ (l) suy ra P=a+b+c là số chăn e Nếu a, b, c cùng chin thi a=b=c=2, suy ra S=V3 (loai)
© Néu a, b,c c6 mot 86 chin va hai số lẻ, giả
stra chan thi a = 2
Nếu bzc thì |b—c|>2=a, vô lí
Néu b = cthì S2=b2-I=(b—§)(b+§)=l (2)
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Đẳng thức (2) không xảy ra vì b, S là các số tự nhiên
Câu 6 Giả sử tồn tại số nguyên dương ø thỏa
mãn để bài, ta luôn có tổng các số dư trong
phép chia m cho aj, ap, ., ai1 khong thể vượt
quá 407-11=396; cho cáo số 4ai,44;, , 4đ
không vượt quá 4.407-11=1617 Suy 1 ra tổng các số dư trong phép chia n cho cac sé a1, a2,
an, 4ai,4a›, 4a không thể vượt quá
396 + 1617 = 2013 Kết hợp với giả thiết tông
các số dư bằng 2012, suy ra khi chia n cho 22 số trên thì có 21 phép chia có sé du lon nhat
và một phép chia có số dư nhỏ hơn số chia 2 đơn vị
Do đó tồn tại k sao cho ø¿, 4a¿ thỏa mãn
điều kiện trên Khi đó một trong hai số n+l;
n+ 2 chia hét cho a¿, sô còn lại chia hêt cho
4a, Suy ra ƯCLN (n+l;n+2)>a¿>2, điều
này không đúng Vậy không tồn tại n thoa