hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath https:/isites google.comisite/letrungkienmath NAM HOC 2011 - 2012 VONG 1
(Dang cho moi thi sinh thi vao trường chuyên) (Thời gian làm bài :
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức a X-ÿ, X?tJ2tÿ—, 2} 4x+t+4x?y+y?~4 2y-x 2/2+g-2j xttyty+x với x> Ú, y> 0, x # 2y, y # 2 — 2xỶ, 1) Rút gọn biêu thức 4
2) Cho y= 1, hy tim x sao cho and
Câu 1 (2 điềm) Một nhóm công nhân đặt kế
hoạch sản xuất 200 sản phẩm Trong 4 ngày đầu
họ thực hiện đúng mức de Ta, nhimg ngày, còn lại
họ đã làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên
đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngà
hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất
bao nhiêu sản phẩm?
Câu 3 (2 điển) Cho parabol (P): y = +” và đường
thắng (4): ÿ= my — mí + 3, m là tham 6 Tim tat cả các giá tị của m để đường thăng (đ) cất
parabol (P) tai hai diém phân biệt có hoành độ xị,
x; Với giá trị nào của m thì xị, x; là độ dài các 120 phút) cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng Câu 4 (2 điển
Cho đường tròn (Ø) đường
kính 4E ây cung CD của đường tròn (Ø)
vuông góc AB tại điểm E sao cho AE = 1 Các tiếp tuyến tại B va C của đường tron (0)
cắt nhau tại K, AK va CE ct nhau tai M
1) Chứng minh A4EC œ2 AOBK Tính BK
2) Tính diện tích tam giác CKM
Câu 5 (1 điển) Cho hình thoi 48CD có 84D =
120° Cac diém A⁄ và chạy trên các cạnh 8C
và CD tương ứng sao cho MAN = 30° Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
,MAN thuộc một đường thang cô định
Câu 6 (1 điểm) Chứng mình bất đẳng thức
1 1 1 1
tt MI+2 v3+V4 V5+V6 — V79+v/80 tt ed VÒNG 2
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) (Thời gian làm bài : v2 s Câu 1 (2 điểm) Cho a 1) Chứng minh rằng 4z?+x/2a-v/2=0 2) Tính giá trị của biểu thức S=a2+Ja*+a+1 Câu 2 (2,5 điển) x+y? gg 1) Giải hệ phương trình x+y x+y=x?—y 2) Cho hai số hữu tỉ a, b thoả mãn đẳng thức ab + ab? + 2a°b? + 2a + 2b + ] =0 Chứng minh rằng 1 — a là bình phương của một số hữu tỉ Câu 3 (1,5 điển) Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=d2+b2+c?, với a, b, e là các số nguyên dương thỏa mãn ø* +b* +e* chia hết cho p Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác 418C có ba góc
nhọn nội tiệp đường tròn (Ó), 8E và CF là các
150 phút)
đường cao Các tiếp tuyến với đường tròn (Ø)
tại 8 và C cất nhau tại S, các đường thắng #C va OS cit nhau tai M
1) Chitng minh ring AB oS AE ME
2) Chứng minh ring AAEM ca A4BS
3) Goi N la giao diém cha AM va EF, P 1a giao
điêm của 4S và 8C Chứng minh rang NP 1 BC
) Trong hộp có chứa 2011 viên viên bi chỉ có đúng một màu),
trong đó có 655 viên bi màu đỏ, 655 viên bị màu xanh, 656 viên bi màu tím và 45 viên bỉ
còn lại là các viên bi mảu vàng hoặc mâu trắng
(mỗi màu có ít nhất một viên) Người ta lấy ra
từ hộp 178 viên bi bất kì Chứng minh rắn;
trong | SỐ các viên bì vừa lay ra, luôn có ít nhật 45 viên bí cùng mau Nếu người ta chỉ lấy ra từ
hộp 177 viên bi bắt kì thì kết luận của bài toán còn đúng không?
Trang 2hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath https:/isites google.com/site/letrungkienmath
HUONG DAN GIAI DE THI VAO LOP 10 TRUON THPT CHUYEN DHSP HA NOI hoc 2011 - 2012 VÒNG I â 4 x+l Cau 1.1) Dap sé A= ———— _ BH 623 (2y—x)(2x?+y+2) 2) Với y= 1 thì = < 4~§x2+]Iz~7 =0 “Sx=1
Câu 2 Gọi năng suất dự kiến là x sản phẩm mỗi ngày (xeÑ*) Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là 298 nấu ngày đầu họ làm được 4x x sản phẩm Trong những ngày sau năng suất là x+10 sản phâm mỗi ngày Sô ngày hồn thành sơ 200-4x x+10 +4+2 © x=20 (doxeN`) sản phẩm còn lại là Theo bài ra ta có 200 _ 200-4x % x+10 Vậy theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất 20 sản phẩm Câu 3 PT hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (đ) là x?=mx—m2 +3 © x?~mx+m2~3 = 0 ql)
Đường thang (d) cat parabol (P) tai hai điểm phan bigt <> PT (1) cé hai nghiém x,, x phan biét <> A = 12-3m?>0 <> —2<m<2 Ta có Ễ <= m=.|— 5 3 (4 +x»)? — 2x9 == (+) T2 = -2<m<2 xi+xz=m>0 > 4xx;=m2 3>0 lxị >0 |x;>0 5 4x3=2 aa
Câu 4 (h 1) 1) Trong tam giác vuông CEO có
Œ=jŒŒ~ØE =3.Do CAE = KOB =~ COB
va CEA = KBO=90° nén AAEC > AOBK, suy KB_OB ŒOB ra = =———=lð5 na AE AE Hinh 1 2) Do MBNBK nén #4 _, BK AB => CM=CE—ME=2, — BK.AE AB oi 2 Vay Scxm -4 CM.BE = : (dvdt) Câu 5 (h 2) Gọi O 4 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN Ta cé MON =2MAN =60°; M OM=ON nên — Ô Ne
OMN =ONM =60° Hinh 2
Do MON +MCN =180° nén tir giéc OMCN ndi
tiếp, từ đó OCW=OMN=60 macy 2 or
Trang 3hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath 1 1 1 Câu 6 Đặt % = —=——=† *-——=: ATi Ba V180 1 i 1 == te tet SS - ° J2+j3 45 x80 + J8I up Lại có V2& ~v2k~ Wmvaa ' Fis 1 =V2k+1-J2k voi k= 1 es Ei Do vậy Š¡ > 6; nên S, > 4 VÒNG 2 Câu 1 1) Từ giả thiết suy ra ø > 0 và 2 _1 I By _1 1 oat ¬ =1( viet) = 4a? +V2a-V2=0 @) 2) Từ (1) suy ra a9 _ 4 „2, 8 +a+l 2J2 4 4 ,
Câu 2 1) ĐK x+ y>0 Ta có PT thứ nhất của hệ tương đương với — 2 -1}=0 x+y p_29Œ+>=Ð_p x+y © (x+y-1)(?+y?+x+y)=0 ©x+y=l (do x?+y?+x+y>0) ©(x+y+l)\(x+y— Kết hợp với PT thứ hai của hệ ta có te oo frat hoặc i 2 1 „=3 ee y=0 2)Tacó a3b+ab3+24?b2+2a+2b+1 =0 <= ab(a+b)? +2(a+b)+1 =0 = (ab-1)(a+b)? +(a+b+1)? =0 qd a+b+IŸ Từ (1) suy ra a+b#0 và 1-ab-{ } (dpem) a+b https://sites google.comisite/letrungkienmath Câu 3 Giả sử a>b>c Ta có a2 +bt +ct =(42 +2 +c?}? —2(42B2 + b2c? +c242), Vi p là số nguyên tố và ø>3, suy ra + +t chia hét cho p khi va chi khi ø?È2 + be? + c?a?
chia hét cho p hay 4?2 +c?(a? +) p © ab? ct! pp & (ab-c* (ab +e")! p
Do p=a? +b? +c? >ab+c*? >ab—c? 20 vap
là số nguyên tố nén ab—c? =0 > a=b=c => p=3a? = a=b=c=1 va p=3 Câu 4 (h 3) $ Hình 3 1) Do B4E=SBM va AEB = BMS =90° nén AAEBœ› ABMS, suy ra Ae BS AE BM Ma BM = ME nên 4P - Sổ, AE ME a) 2) Tam side BME can tại È Mnén MEB = MBE
Lai cd SBM + ABE = BAE + ABE =90° = AEB
=> SBA= AEM 2
Từ (1) và (2) suy ra AAEM > AABS
3) Từ kết quả câu 2 ta có 84P= EAN MA ABP = AEN (cùng bù với CEF) nên A4EN œ2 AABP,
AN _ NE
su) SIM eee I @) s
Trang 4ha s:/iwww facebook, com/letrungkienmath ha 9s: /Isites google com/site/letrungkienmath
=> EMF = BSC = SBP = MEN (do hai tam
giác cân có hai góc ở đinh băng nhau), i 1 Suy rà AEMAN ca ABSP => TẾ - NM (gy 7 PB PS” iN _ NM pina Từ (3) và (4) suy ra se PS => NP/IMS ma MS 1 BC nén NP ie BC
Nếu ta chọn ra 44 bi mau do, 44 bi
mau xanh, 44 bi mau tim va 45 bi mau vang
hoặc trăng (mỗi màu có ít nhất ] viên) thì tông
số bị lấy ra là 44 + 44 + 44 + 45 = 177 viên bi
Do đó không có 45 bí nào cùng màu Vậy bài tốn khơng đúng nêu ta chi lấy ra 177 viên bi Nếu lay ra 178 viên bỉ thì số bi màu trắng và vàng có tôi đa là 45, như vậy vẫn còn lại ít
nhất 178 ~ 45 = 133 bi có màu đỏ hoặc màu
xanh hoặc màu tím
Theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại một màu