hd :/www facebook.com/letrungkienmath hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath
ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN, ĐHQG HÀ NỘI NAM HỌC 2012 - 2013!
(Dành cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) (Thời gian làm bài: 120 phút)
Cau I (3,5 điển) 1) Giải phương trình + + 9 + 2012Vz + 6 = 2012 + V/(z + 9)(z + 6)
of Aividta ; ety +2y=4
2) Giải hệ phương trình { 2z +w+ay=4
Câu II (2,5 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (z,/) thỏa mãn đẳng thức (z+w+1)(œu+xz+w) =5+2(z+)
2) GIÁ sử z,ự là số thực dương thỏa mãn điều kiện (/Z + 1)(/w + 1) > 4 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P= “+! yo
Cau IIL (3 diém) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tron tam O Goi M la mot diém
trén cung nhé BC (M khác B, M khac C va AM khong di qua O) Gia sit P la mot diém thuộc doan thing AM sao cho đường trịn đường kinh MP c&t cung nhé BC tai diém N khác M
1) Goi D là điểm đối xứng với diém M qua O Chitng minh rằng ba điểm }
hàng,
2) Đường trịn đường kính AƒP cắt AD tại điểm Q khác A\ Chứng minh rằng P là
tam đường trịn nội tiếp tam gide AQN P,D thẳng Câu IV (1 điểm) Giả sử a, b, c là các gố thực dương thỏa mãn a < b < 3 < c;c < b+1,a+b >c b+a+b + c(ab — 1) (a+1)(ð + 1)(c + 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q PHẠM VĂN HÙNG
(GV Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Trang 2hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
z+(w+1)=3 r=y=l
2 e052: ®|lz=2,y=0
rt+(y+1)=-5 Hà này vơ "
5{ 50041) <ag — NỆ này vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệm (z;ø) là (1;1) và (2;0)
Câu II 1) Phương trình tương đương với (z + + 1)(z ++ +— 2) = 3 Do z, nguyên nên z++1€ {#1,+3} Xây ra 4 khả năng Tìm được hai cặp số nguyên (z;) là (1;1),(—1; —1)
2) Ta cĩ (Vz +1)(Vÿ +1) >4© V#ÿ + V# + V¥ = 3 Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai
gố thực dương, ba cĩ
cty etl ytl
3S Vayt Ve+ V9 S$ —— + —— + Ss rty22 (1)
J yy > 20; y z 40 > 2y Suy ra P > a2-+y > 2 Vay gid tri nhỏ nhất của P là 2 khi z = ự = 1 Câu III 1) Ta cĩ PNLMN va DNLMN suy ra N,P,D thing hang, 2) Tit giae APQD ndi tisp (do PQD = MAD = 90°), suy ra PAQ = PDQ = NDM (1) Lai co NDM = NAM (2) Ti (1) va (2) suy ra PAQ = NAp, hay ÁP là phân giác HA CƠ: -
Ta cĩ AND = AMD (g6c noi tiép chắn ÁD) (3) QMP = QNP (goc ndi tiép chắn PQ) (4)
Từ (5) và (4) suy ra ANP = QNP, hay NP là phân giác Hình 1
của AN@ Do đĩ P là tâm đường trịn nội tiếp tam giác AN@Q
a 4+ —— — —— Ta chitng minh ring b e
Câu IV Biến đổi Q thanh Q = ta a 1 1 4(c+1) 3(b+1) =6&=9( }+(@~2+6~2)( (3 — e)(8b — 4c —1) „ (b+1—e)(3a—3b—1) | (a+b—c)
12(6 + 1)(e +1) 6(b + 1)(a + 1) 2(a+1) >0 (9)
Từ ĐKà<b<3<c,¿c>b+1,a+b >c suy ra mỗi phân thức ở về trái của BĐT (3) luơn 5 khơng âm Vì vậy BĐT (2) luơn đúng, suy ra đpem Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là T_ khi a=l,b=2,c=3