Lé Trung Kién THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
„ ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI ĐÈ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYEN KHTN NAM 2013 MƠN: TỐN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I (3 điểm) 1) Giải phương trình x3x+l+v2-x=3 2) Giải hệ phương trình Câu H (3 điểm) 1) Với a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (ø+b)(b+ e)(e+ a)=8abe Chứng minh ab c3 ab, be ca
4 (a+b)\(b+e) (b+e)(e+a) (e+a)(a+b)
lng: 2 yey a+b b+c cta
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abeđ sao cho be—(10đ +) chia hết cho 101
Câu II (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Đường phân giác của góc BAC cắt (Ø) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A Chứng minh rằng
1) Tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng 2) _EF vuông góc với AC
Câu IV (1 điểm)
Với a,b,c,đ là các số thực đương thỏa mãn điều kiện abe + bcđ + cđa+ dab =1 Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 2Lé Trung Kién THPT Nguyén Du-Thanh Oai-Hà Nội
DAI HOC QUOC GIA HA NOI ĐÈ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYEN KHTN NAM 2013 MƠN: TỐN (Vịng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Cau L điểm) 1) Giải hệ phương trình x"ty?=lty—x+xy pe yrx=7 2) Giải phương trình mm 1-3 Cau II (3 điểm)
1) Tim eée cap sé nguyén x,y théa man: 5x? +8y? = 20412
2) Với x,y là các số thực thỏa mãn x+ y <1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|r)
Cau IL (3 diem)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác HBC (P khác B, C và H) và nằm trong tam giác ABC PB
cắt đường tròn (Ø) tại M khác B, PC cắt đường tròn (Ø) tại N khác C BM cắt AC tai E, CN
cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANE
cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh M, N, Q thẳng hàng
2)_ Giả sử AP là đường phân giác của góc MAN chứng mình rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của BC
Cau IV (1 diém) -
Trang 3
hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath i s:/isites.google.com/site/letrungkienmath
Heting dén gidi BE THI TUYEN SINH VAO LOP 10
TRUONG THPT CHUYEN KHTN - DHQG HA NOI
mamema NAM HOC 2013-2014 WWBE VONG 1
Câu I 1) Điều kiện -.<2 Bình phương
hai về của PT ta được v~3x?+5x+2=3—x 42-1 Bxt1=025x=Lx=E (thỏa mãn ĐK) 2) Hệ PT tương đương với (Moe ae 3 =y+— tìm được w=—; =3 y x Đáp sổ Hệ PT có hai nghiệm (x; y) là (1) và (1;2) Câu LL 1) Dang thite cần chứng minh tương đương với afb) bf, e a eee eee et ante) Hel bra) 4c{e+8)-arbXbreycta) ©ae(ate)+Ư*(a+e)+(ba2+abe)+c2b+abo=8abe ©(a+e)(ac+b2+ab+be)=8abc ©(a+e)(e+b)(b+a)=8abc (ln đúng) 2) Ta có abcde=abc.101~abe+đe Nhận thấy abe-đe=abe-(10d+e) chia hết cho 101 <>abede=101.m(meN) Do 10000<abœ<99999—10000<1012m<99999 và meN nên 100<m<990 Vậy số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 990 — 100 + 1 = 891 Câu HI (h.1) Hình ¡
1) Tr BDM=BCF (cing chin AB) va BMA=BFA=> BMD=BFC, tacé dpem
2) Vi DB=DC, nén DE L BC tại trung điểm N của 8C Từ ABDM«ABCF ta có
DM_BD
Trang 4
hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath 408-30 =6 Dit ants ' Noo 0), ta thu duge Sao 3 a4) ert )-oeoxt —12x3+1=0 a 2 # ©x=ll6+/35,x=Đ6—V35 Do đó ‡6+vJ35+tl6-J35) Với øz xác định như trên ta thu được PS @ Here +e +b +03) a 9 36 (6+ 55+t6—/55) Đẳng thức xảy ra khi a = d=} 03 +30? 36 - (6: /35+6- V35} VÒNG 2 Câu 1 1) Cộng theo về hai PT ca h ta thu c 334g2+6p=8â(vty~2/02+y2+4g;t2y+21)=0) â+y-2)(x~y)?+(x+2)2+(y+2)?)=0 đ Với x=y=-2 không thỏa mãn PT thứ hai của hệ (loại)
e Với x+y-2=0 ©y=2—x Thay vào PT
Vậy giá trị nhỏ nhất cúa ? là x=Ly=l 9 5} 2) DK ~I<x<I Biến đổi PT thành (\ã+I+VI—x-2)(\X+1~I)=0 Đáp số x =0
Câu II 1) Nhận xới Với a, b là các số
nguyên thỏa mãn a2+2?3 thì z3 và ð3 5x2+8y2=20412>(6x249y2)~(02 + y2)=28.91, thứ hai được 7x?~12x+5=0< Hệ PT có hai nghiệm (x; y) là on aie hittps:/lsites.google.com/site/letrungkienmath Suy ra x2+y2!3©xi3 và y3 Đặt x=3m, y=3yi (xi, vị cZ)
Thay vào PT ta thu được 5x?+8.y? =28.9
Lập luận tương tự, ta có s¡=3%;, 1 =3y› 0s, y›eZ)
nhận được 5x‡+8y‡=28.9 Tương tự x; ~3x;, ›=3¿ (xạ, y; 2) thu được 5x? +§.y‡ =28,
sẽ, Box nén y?=0 hoge y?=1
«Vii wet ane = (lon): Voi y2=1 thi x2 =2? x7 =9.22, y: 8.22, y2=01, Đáp số Có 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (54;27),(54;—27),(—54;27), (—54;—27) 2)Tác6 P2` vay ^ V19 OP 2, ae 22, yỆ =9? => x? = 2 Đặt tay) < b dược 4 Fe Ile fea teisre plea at 2 1 + 4 = 1 => P>VI7 Ding thite xảy ra khi x=y Vay gid trị nhỏ nhất của P là v7 Câu II (h.2) Hình 2 BHC=189-BAC nên tứ
giác 4EPF nội tiếp, suy ra BFC+BEC=I80
Trang 5it Jhwww facebook.com/letrungkienmath
MON =MQA+ NQA=MEA+ NFA=180°
Viy ba điểm M, N, Q thing hang 2) Ta có AFQ=ANQ=4NM=ABM suy m FQ /' BE Tương tự EO !/ CF Từ đó tứ giác EOFP là hình bình hành Vậy @4N=@FP =ÖFP=Ø4M hay AQ là phản giác của MAN Suy ra 4, P, Q thẳng hàng Gọi K=P@¬BC
thi =OQAC =OME =NMB=PCK Tir dé AdKC «2 ACKP suy ra KC?=KT.KA
Tuong ty KB? =KP.KA Vay KB = KC