hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath i s:/isites.google.com/site/letrungkienmath
DE THI TUYEN SINH VAO LOP 10 THPT CHUYEN DHSP HA NỘI
NĂM HỌC 2014 - 2015 VÒNG I (120 phút, dùng cho mọi thí sinh) Câu 1 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b với a # b Chứng minh đẳng thức (a-b° _ ase EAR a aJa-bJb b~a :
Câu 2 (2 diém) Cho quãng đường AB dài 120km Lúc 7 giờ sáng, một xe máy đi từ 4
đến 8 Đi được 3 quãng đường xe bị hỏng
phải dừng lại sửa mắt 10 phút rồi đi tiếp đến Ø
với vận tóc nhỏ hơn vận tốc lúc dau 10 km/h Biết xe máy đến B lúc 11 giờ 40 phút trưa cùng
ngày Giả sử vận tốc của xe máy trên ẳ quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của
xe máy trên ; quãng đường còn lại cũng không
thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng toa d6 Oxy, cho parabol (P): y = xˆ và đường thẳng d:
y =-20m+1x+a (Với m là tham số)
1) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m thi
đcắt (P) tại hai điểm phân biệt
2) Goi x1, x; là hoành độ các giao điểm của đ
va (P), dat lx) =2° + (m+ 1p? — x Chứng minh
đẳng thức /Q¡)~/Q4)=—2 G4 ai)
Câu 4 (3 điểm) Cho tứ giác 4BCD nội tiếp
đường tròn (O) đường kính 4C = 2R Gọi K và theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ
4 và C xuống 8D, E là giao điểm của 4C và BD, biết K thuộc đoạn BE (K # 8, K # E) Đường
thẳng qua K song song với BC cat AC tai P
1) Chứng minh tứ giác 4PD nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh KP L PM 3) Biết ABD=60° và 4K = x Tính BD theo Rvax Câu § (1 điểm) Giải phương trình x@?~56)_2lx+22 x+2
VÒNG 2 (150 phút, dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tìn)
Câu 1 (1,5 điểm) Giả sử a, b, e, x, y, z là
các số thực khác 0 thoả mãn ®+”+Ê=( và
Câu 2 (1,5 điểm) Tìm tắt cả các số thực x, y, z
thoả mãn x/1—y? +y2—z2 +zV3—x? =3
Câu 3 (1,5 điểm) Chứng mỉnh rằng với số
nguyên dương ø > 6 thì số
aoe 2.6.10 (4n—2)
” (n+5)(na+6) (2n) là một số chính phương
Câu 4 (1,5 điểm) Cho a, b, e là các số thực dương thoả mãn aöc = 1 Chứng minh bất đẳng
, 1 iL 1 3
tổ raat werbso sate+2 4
Câu 5 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD véi
tâm O Gọi A/ là trung điểm của cạnh 4 Các
điểm A, P theo thứ tự thuộc các cạnh 8C, CD
sao cho MN // AP Chứng minh rằng:
Trang 2hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath i
Hing din gihi
PHSP HA
VÒNG !
Câu 1 Biến đối về trái của đẳng thức:
(a+vÐ ~blb+2ala 3Ía(la+jÐ)
Vi Ga—Wlatiab+8) Was Iola)
— 3ava+3aVb+3bVa _ Wa
lacsasdabeh); dee
Bp ONG eos BAS 2 Vaanb Waanb
Câu 2 Gọi C là vị trí xe máy bị hỏng, ta tính
được 4C = 90 km, CB = 30 km Nếu x là vận tốc (km/h) của xe máy trên quãng đường 4Œ
(x > 10) thì vận tốc của xe máy trên quãng
đường C8 là x — 10 (km/h) Khi đó xe máy đi hết quãng đường 4C mắt 22 h; đi hết quãng
đường CB mắt 20h
Thời gian sửa xe máy là 10 phút = t
Theo giả thiết, thời gian xe máy đi từ 4 đến B
(kể cả thời gian sửa xe) là a hình,
Từ đó ta có phương trình:
mm + 3x — 110x + 600 =0
>x=30 hoặc x= ^P (loại)
Suy ra thời gian đi từ 4 đến C là 3D =30) Vay xe máy hỏng lúc 10 giờ tae Kế ngày) Câu 3 1) Hoành độ giao điểm của đ và (P) là
2 1
-ấm+Ùx+3
<> fx) = 3x + m+ Dx-1=0 a A! =(m + 1) +3 > 0 với mọi m, suy ra PT (1)
luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm) 2) Theo định lí Viete, ta có
nghiệm của phương trình: x2=
mtx ~SIm+l), xi = ay
s:/isites google com/site/letrungkienmath
7 _DETHITUYEN SINH VAO LOP 10 THPT CHUYEN
INI 1 NAM HOC 2014 - 2015 suyram+1= ex +22) va-] =3xix
Ta cé: fxs) —/5)
= (ị—)[xẾ +xx¿ +xŸ +(m+1)(Gị +xa)—]]
=(- ne + +XŸ— cr ta) + 3m,
= Loy —a(af + 2nm a4) =~ 30 =m))
Câu 4 Lào đọc tự vẽ Ni TU)
1) Ta có DBC = DAP (cùng chắn cung CD) Do KP // BC nén DKP = DBC = DAP, suy ra
tứ giác AKPD nội tiếp đường trò tròn
Trang 3i s:/mww facebook com/letrungkienmath i Cau 2 DK: 1-77 20,2-720,3-720 a+b? Sử dụng BĐT quen thuộc ab < 2 3= xị—-y?+y2—z? +zJ3—x? 30Ê+1~2+/)+2~Z2+22+3-3)=3, Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi „ ta có: x=l-JŸ (x=l y=v2-z?«<>4y=0 z=B-x [z= V2 Dap sé: (x; y; 2) ~ (150; V2) 2q: Câu 3 Ta có 4 =l+ (+ 5)(@+6) (2n) 2"(2n)! Ơn)]@+5)0+6) (2n) (201)Ìsbssnt * pln + 5)(n+ 6) (2n) =1+(n4l)(n+2)(n+3)(n+4) = (7? + 5n + 5) Câu 4 Sử dụng BĐT quen thuộc: 1 1 La ait 3 Vx>0,y>0,
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y, ta có
ape sata Hi)
ab+a+27 4\ab+1 atl 1 Ms 1 TỶ acareal) @) 1 HE (ri Tương tứ, <2 + 5h) @ eee Cộng theo từng về (1), (2), (3) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi z= b=e = 1
Câu 5 (Bạn đọc vẽ hành) Do NB// AD, BMII DP, MN (/ PA nên ANBM em AADP
suyra 2N _BN _DA DO
BO J2BM \2DP DP
Két hop véi NBO = PDO = 45°, suy ra ABNO ca ADOP Suy ra:
NOP =180°- NOB - POD
=180°— NOB - ONB = NBO= 45°
Suy ra
s:/isites google com/site/letrungkienmath
2) Vì ABNO œ ADOP và BO= DO nên
ON _ BO_ DO a!
OP DP* DP’ Mặt khác NOP= NBO= 45°,
suy ra AONP «> ADOP «> ABNO
Goi Q 1a tam dudng tròn ngoại tiếp AONP, chú ý rằng AONP œ ABNO ta có KẾ ° pees gon = 182 me IN = 99°- OPN = COB~-BON =CON Do đó tia OỢ trùng với tỉa ƠN Vậy Q thuộc ÓC
3) Gọi E, F thứ tự là giao điểm của 8D với
MN, PA Chi y ring ANBM «> AADP; BD là dudng chéo cia hinh vuéng ABCD, ta c6
EM _ Sse _ BM _ DP _ Sprp _ FP
EN Spey BN DA Spra FA"
Kết hợp với MA // 4P, theo bổ đề hình thang,
suy ra 8D, 4N, PM đồng quy
Câu 6 Với 4 là một tập hợp con của tập hợp
{1;2; ; 2014} thoả mãn yêu cầu bài toán, gọi /“JR HD kEnbliibiiisia di XétbeA,bza c4 >a=b<2a a) =b>avà TS Gọi c, đ là hai phần tử lớn nhất trong 41, e < đ, từ (1) ta có d< 2a => d<2e (2) € A Mat khdc, do (2) caveilek Theo giả thiết, mm e = € {eid} DI thi >, không tồn tại do c; deZ =o, suy T8 7 .TH2: =c, ta có cˆ = đe— €°> d=2c Ma d < 2a < 2c, suy ra e = a, d = 2a, do đó A= {a; 2a}, voi a= 1, 2, 1007
Các tập hợp trên đều thoả mãn yêu cầu bài