Bài tập về biểu thức, rút gọn biểu thức chứa căn bậc nâng cao cho HSG 9

Bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn của HSG THCS , rất hay và bổ ích cho học sinh. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.

1

Bài 1 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Đã Nẵng 2010 – 2011)

Cho biểu thức:

2

a 1 a a 1 a a a a 1 M

a) Chứng minh rằng M  4

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6

M

 nhận giá trị nguyên?

Lời giải

a) Do a > 0, a  1 nên: a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1

       

2

              

 M a 1 2

a



Do a0; a1 nên: ( a 1) 20  a 1 2 a

 M 2 a 2 4

a

  

b) Ta có 0 N 6 3

   do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

Mà N = 1  6 a 1

a 1 2 a 

   a4 a 1 0 

2 ( a 2) 3  a  2 3 hay a  2 3 (phù hợp)

Vậy, N nguyên  a(2 3)2

Bài 2 (Đề thi học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy – Thanh Hóa 2011– 2012)

Cho các số dương: a; b và x = 1

2

2 

b

ab

Xét biểu thức P =

b x a

x

a

x a

x

a

3

1















1 Chứng minh P xác định Rút gọn P

2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải

1 Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)

1

) 1 (

2

2







b

b a

(2)

Ta có a + x > a – x ≥ 0  ax ax 0 (3)

Từ (1); (2); (3)  P xác định

Rút gọn:



2

) 1 ( 1

2

2

2









b

b a b

ab a

a b

x a

a - x =

1

) 1 ( 1

2

2

2









b

b a b

ab

   1 b2 1

a b

x a

b b

b

b b

b b

a b

b

a b

b

a b

b

a b

3

1 1 1

1 1

3

1 1 1

1 )

1

(

1

1 1

) 1

(

2 2

2 2







































4 3

1 2

2





b b

b

3

1 3 3



2 Xét 2 trường hợp:

Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = 

b 3

4

P43

b b

b b









 



2 3

1

b

b

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Mặt khác: 23b  32, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Vậy P

3

4 3

2 3

2





KL: Giá trị nhỏ nhất của P =34

Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2013 – 2014)

1 xy

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P với 2

x





Lời giải

Mẫu thức chung là 1 – xy



x  0; y  0; xy 1 

3

.



2( x y x) 2 x (1 y) 2 x

(1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x







2

x  ( 3  1)  3   1 3  1

2

2( 3 1) 2 3 2

P

1 ( 3 1) 1 3 2 3 1

2( 3 1) 6 3 2

P

13

5 2 3



Câu 4 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9)

Cho biểu thức M =

x

x x

x x

x

x



















2

3 3

1 2 6 5

9 2

a Tìm giá trị của x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M

b Tìm x để M = 5

c Tìm x để M

 Z

Lời giải

a) ĐK

Rút gọn M =

Biến đổi ta có kết quả: =

=

b)

c) M = 3 4 1 3 4 3 3 1          x x x x x

Do M znên x3là ước của 4  x3 nhận các giá trị: -4;-2;-1;1;2;4

1;4;16;25;49   x do x4x1;16;25;49

9

; 4

;

 x x

x

2 1

2 3 3

9 2



















x x

x x

x x

x

2









x x

x x

1 2

3

2 1















x

x x

x

x x

) ( 16 4

5 3

1 5

M

TM x

x

x x



















4

Bài 5 (Đề thi học sinh giỏi huyện Kim Thành 2012 – 2013)

Rút gọn biểu thức A =

    

Lời giải.



ĐKXĐ: x 4; x



9

A=

              

=

3

x





Bài 6.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2011 – 2012)

10

x

1) Rút gọn P

2) Tính giá trị của P khi x = 4 4

2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 2 3











Lời giải

Điều kiện: 1 x 10

1)

P

x

P

P

x

=> x=1 2 ( 2 1) 2 vì x>1

Vậy P=0

5

Bài 7 (Đề thi học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2016 – 2017)

2

P

a) Rút gọn biểu thức P

7

P  c) So sánh: P2 và 2P

Lời giải

a) Điều kiện: x  0, x  1

b) Với x 0, x  1 Ta có:

2

7

7 1

1 7

P



7 khi x = 4

 

3

: 2

: 2

1

: 2

.

1

2

1

P

x

x











6

2

2

2

1

2

P

P P

 

  

Vậy P2  2P

Câu 8 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013 – 2014)

2

1 1 (1 ) (1 )

2 1

A

x



  với    1 x 1

b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3 a b ab2  2 6 b3  0

Tính giá trị của biểu thức

4 4

a b B

b a







Lời giải

a) Ta có:

2

A

x



 

2

2x

 = x 2

a a b ab  b   a b a ab b 

B

4

4

b

B

b





Câu 9.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011 – 2012)

x

f x

x x



  Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

a ab b

   

7

A f   f    f   f  

1

P

Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên

Lời giải

1) Nhận xét Nếu thì

Thật vậy, ta có  

3 3

1 1

x x



suy ra        

     

3 3

1

x x

f x f y f x f x



Vậy, nhận xét được chứng minh Ta có 1 1

f    

  Theo nhận xét trên ta có:

         

          

2) Điều kiện: x0, x1 Khi đó ta có

Rút gọn biểu thức ta được 2

1

x P

x x





 

Ta có PxP1 x  P 2 0, ta coi đây là phương trình bậc hai của x Nếu P  0 x 2 0 vô lí, suy ra P0 nên để tồn tại x thì phương trình

     

 2

           

Do P nguyên nên  2

1

P bằng 0 hoặc 1 +) Nếu  2

P     P x không thỏa mãn

0

P

P





           không thỏa mãn Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn

Câu 10 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2012 – 2013)

1) Rút gọn biểu thức: A=

1

x y f x  f y 1

:

8

2) Cho cỏc số thực dương a,b,c,x,y,z khỏc 0 thoả món

Chứng minh rằng

Lời giải

2)

Từ (1) (2) (3) ta cú ĐPCM

Bài 11: ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hũa Bỡnh 2010 - 2011)

1 Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:

2 Cho Chứng minh rằng là một số nguyên

Bài làm

1) a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y )

b/ B = ( x + 2y + 1 ).( x2

- 2xy + 4y2

)

2)

Từ đó là số nguyên

Cõu 12 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bỡnh 2012 – 2013)

Cho biểu thức: P =

1 Rỳt gọn P

2 Tỡm giỏ trị của x để P = 3

Lời giải

1)

x

x yz y z z xy

    

a bc b ca c ab

    

:

2

1 2

1 3 2

1 3 2

1 3 4

3 2 4 2

1 3 2

3 2 2

1 3 )

1 5 (

2

2

) 1 5 ( 6 )

1

5

(

2

2































x

x yz y z z xy

    

) 3 ( ) 3 (

2 :

) 2 ( ) 3 (

2 :

) 1 ( ) 3 (

2

3 3 3 2 2

3 3 2 2 2 2 2 4

2

3 3 3 2 2

3 3

2 2 2 2 2 4

2

3 3 3 2 2

3 3 2 2 2 2 2

4

2 2

2 2

xyz z

y x z

ab c xyz

z y z x y x

ab y

x xyz Z

c Tuongtu

xyz z

y x y

ac b z

xy yz y x z x

ac z

x xz y y

b Tuongtu

xyz z

y x x

bc a yz

x xz xy z y

bc z

y yz x x

a xy

z

c xz

y

b yz

x

a

















































































Bx  y  xyx  y

a

2

9

P =

=

=

Vậy x = 4 thì P = 3

Bài 13.(Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai 2015 – 2016)

a Cho

1) Rút gọn M

2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên

b Tính giá trị của biểu thức P

với

Lời giải

Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi:

Nên

Xảy ra các trường hợp sau:

(không TMĐK (*) loại )

Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên

1

) 1 )(

1 ( 2 ) 1 2 ( 1

) 1 ( 3



















x

x x

x

x x x

x

x x

) 1 ( 2 1 2 1

) 1 )(

1











x x

x x

x x x

x

1

x  x 

 x  x  1  x  x   2 0

 



     



) 6 5

2 3

2 2

3 (

: ) 1 1

(

























x x

x x

x x

x x

x M

2006 5

3 2013 2011

 x x

P x 62 2 3 22 3 188 2  3

9

; 4

;

 x x x

9

; 4

;

 x x x

1

2







x

x

M x0;x4;x9

1

3 1 1

3 1

1 1

3 1 1

2































x x

x

x x

x x

x

M

) 3 ( 1 1

3 x  x U

1;3 

 x0 x10 x11



1;3

1



x

0 0

1

x

4 2

3

x

10

b)

Vậy với x = 1 thì P = 2014

Câu 14 (Đề thi học sinh giỏi huyện Nghi Xuân 2013 – 2014)

a Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

a)

b) ĐKXĐ:

Xét x = 0 Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn)

Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn)

Câu 15 (Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai – Hà Nội 2014 – 2015)















































3

5 5

3 15

2

25 :

1 25

5

x

x x

x x

x

x x

x x

1 Rút gọn A

2 Tìm số nguyên x để A nguyên

3 Với x0, x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B =

5

) 16 (x

A

Lời giải

a) Điều kiện x0,x25,x9

3 2 8 18 3 2 2 3 2 2



x

2 4 2 4 ) 2 4 ( 2

8

1 3 )

1 3 ( 4 3 2 2 4 3

2

3 3 2 4 2 6 3 2 2 2 6 1 3 3

2

2



x

3 3 2 4 3 1 3 2 6 3 ) 1 3 (

2



x

1 3 1 3 3 1 3 3 )

1

3



x

2014 2006

5 3 2006 1

5 1



P

2x y 2 xy4 x 4 0

0;

 



  



  x y;  0; 4     x y;  4; 4

11

Rút gọn

3

5





x

b) x  z => x3 là Ư(5)

=> 3 1 ( )

  



   



c)

3

16 3

( 5

) 16 ( 5 5

)

16

(

















x

x x

x x

A

6 3

25 3

3

25

















x

x x

x

=> B4 => min B = 4 x=4

Câu 16 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2016 – 2017)

b) Cho biểu thức

2

M

M

Lời giải

a) Ta có :

Thay giá trị của x vào P ta được:

3

10 6 3 ( 3 1) x



2

62 5  5 ( 5 1)  5

3 3

2

1

 

 

a0; a 1

a 1

M



M



12

Khi đó

Ta thấy với

Do

Để N có giá trị nguyên thì N = 1



6 a

1

   a4 a  1 0



tháa m·n tháa m·n

Vậy a 7 4 3.

Câu17 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm 2013)

2) Rút gọn biểu thức

P

a

         



Lời giải

26 15 3 26 15 3

38 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 38 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)

3(2 3) 3(2 3)

   

2 3

A

2) Điều kiện: 2 a 11

x a    x a x 

Tính được

2

P

         

 2



0   a 1 a a 1 0

2

2

6 a



26 15 3 26 15 3

13

( 2) 3( 3)2 : 2 4

( 2) ( 3)

= 2

2

a



Câu 18 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm 2012 - 2013)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

b)

Vậy GTNN của P = 4 khi

Câu 19 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng 2010 - 2011 )

Rút gọn A 12748 7  12748 7

Lời giải

A 127 48 7  12748 7

= (8 3 7) 2  (8 3 7) 2

= | 8 3 7 | | 8 3 7 |  

8 3 7 8 3 7 (8>3 7 )

6 7

   

 

Câu 20 (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Bắc Giang 2016 – 2017)

P

0 x 1

P





25

3

x

x

x





25

3

x



14

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1a1 b 2 ab 1

b Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 5 4 18 2 3

c Cho a, b, c thỏa mãn a b c7 ; a b c  23 ; abc 3

Lời giải

a)

a  b với a, b>0 và ab

-Ta có

2

+ Nếu a>b>0

ab

M



+ nếu 0<a<b

ab

M



b)

18 2 3

-Nếu

 

Vì a, b nguyên nên

2

15

-Vây ta có

3

2



  

3a 6b  a 0 t

Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3 Kết luận

c)

2

a  b c    a b c ab bc ca

mà a b c 7 ; a b c  23 nên ab bc ca 13

Tương tự bc a  6  b1 c1 ; ac b 6  a 1 c1

=

 a 11 b 1  b 11 c 1  a 11 c 1

=

 11 11 11

    

3 7 13 1 1

  

Câu 21 (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Bắc Giang 2016 – 2017)

a Tính giá trị của biểu thức N= 4 3 4 3 27 10 2

4 13



b Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn  2 2   2

2

(1ab)  4ab

Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ

Lời giải

8 2 13



(5 2 )

2 2

  

  

b)

16

2

2

a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) 0

a b (1 ab) 0 (a b) -(1 ab)=0

        

        

Câu 22 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Phú Yên 2012 - 20130

P

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P

b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P

c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên

Lời giải

a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P

P xác định

0

2 0

3 0

x

x x

0

x x x

x x x

Vậy với x 0,x 4,x 9 (*) thì biểu thức P xác định

b) Rút gọn P

P

3

x

x

c) Tìm các số nguyên x để P nguyên:

3

P

x Do đó, nếu 2

3

x nguyên thì P nguyên

17

2

3

x nguyên x3 2  x   3 1; 2

Với x   3 1 x 16;

Với x     3 1 x 4;

Với x   3 2 x 25;

Với x    3 2 x 1

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra x1;16; 25

Câu 23 (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Phú Yên 2011 – 2012)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Cho x31 653 65 1 Tính Qx312x2009

Lời giải

a) Rút gọn biểu thức:

Ta có:

2 2 2 3 2 2 2 3  2 2 2 3 2 2 2 3 

 4 2  2 3  2 2 3

Do đó:

P 2 3 2 2 3 2 2 3

2 3 4 2 3 2 3 2 3

4 3 1

   Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức 2 2

(a b a b )(  ) a b , ta có:

2

  

2 3 2 2 32 2 3

2 32 3

= 4 – 2 = 1

Vì P > 0 nên P = 1

b) Tính Qx312x2009, với x31 65 3 65 1 : Ta có :  3 3 31 65 3 65 1 x    

18

3 3 

Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011

Câu 24 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Ninh Bình năm 2013 – 2014)

1 Rút gọn A

2 Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

1)

=

= 2)

A =

A = 2 khi x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x

= 0

Câu 25 (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm 2013 – 2014)

1 Rút gọn A

Lời giải

1)

2 3

A



2 3

A



2 3

2

3





2

1 x

   





2 1 x





2

1 x x





 

 



2 2



19

2)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có

(thỏa mãn điều kiện)

2







1

x      

16 x

16

