Bài tập về biểu thức, rút gọn biểu thức chứa căn bậc nâng cao cho HSG 9

Bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn của HSG THCS , rất hay và bổ ích cho học sinh. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.

Bài (Đề thi học sinh giỏi thành phố Đã Nẵng 2010 – 2011) a 1 a a 1 a2  a a  a 1 Cho biểu thức: M  với a > 0, a    a a a a a a a) Chứng minh M  b) Với giá trị a biểu thức N  nhận giá trị nguyên? M Lời giải a) Do a > 0, a  nên: a a  ( a  1)(a  a  1) a  a    a a a ( a  1) a a  a a  a  (a  1)(a  1)  a (a  1) (a  1)(a  a  1) a  a     a a a a (1  a) a (1  a) a a 1 2  M a Do a  0; a  nên: ( a  1)2   a   a a 24 a b) Ta có  N   N nhận giá trị nguyên M a Mà N =    a  a    ( a  2)2  a 1 a  a   hay a   (phù hợp)  M Vậy, N nguyên  a  (2  3) Bài (Đề thi học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy – Thanh Hóa 2011– 2012) 2ab Cho số dương: a; b x = b  Xét biểu thức P = ax ax  a  x  a  x 3b Chứng minh P xác định Rút gọn P Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P Lời giải Ta có: a; b; x >  a + x > a (b  1) 0 Xét a – x = b  Ta có a + x > a – x ≥  a  x  a  x  Từ (1); (2); (3)  P xác định Rút gọn: (1) (2) (3) 2ab a (b  1) a  a  x  (b  1) 2 Ta có: a + x = b 1 b 1  b 1 a 2ab a (b  1) a  x  b 1 a   a-x= b 1 b2 1 b2 1  a a  b 1 b 1 a (b  1)  b 1 P =  b 1 Nếu < b <  P = 2b  3b a b 1   b 1  b 1  3b b   b  3b a 1 b  3b 3b  b  Nếu b  3b 3b  P= Xét trường hợp:  4 Nếu < b < 1, a dương tuỳ ý P = 3b P (b  1) Nếu b  , a dương tuỳ ý P = b  b  2b    3b  3b  b   Ta có: 3b , dấu xảy b = 2b Mặt khác:  , dấu xảy b = Vậy P    , dấu xảy b = 3 KL: Giá trị nhỏ P = Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2013 – 2014)  x y x  y   x  y  2xy    : 1     xy  xy  xy     Cho biểu thức: P   a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x  2 Lời giải a) ĐKXĐ: x  0; y  0;xy  Mẫu thức chung – xy P ( x  y)(1  xy)  ( x  y)(1  xy)  xy  x  y  2xy :  xy  xy   x x y  y y x  x x y  y y x  xy  xy  x  y  xy 2( x  y x) x (1  y) x   (1  x)(1  y) (1  x)(1  y)  x b) x  2(2  3)      (  1) 43 2 x  (  1)  1  1 P 2(  1) 32    (  1)    P 2(  1)   13 52 Câu (Đề thi học sinh giỏi lớp 9) x 9 x 1 x3 Cho biểu thức M =   x5 x 6 x 3 2 x a Tìm giá trị x để biểu thức M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x để M Z  Lời giải a) ĐK x  0; x  4; x  Rút gọn M = x 9  Biến đổi ta có kết quả: = = b) M 5   x 1 x 3 M=     x  3 x 1     x x 2  x 3  x  2 x 1 x 2 x 2 x 2   x 3 5 x   x  16(TM ) x 1 c)    x  x   x 1 x 2 x 3 x 3  Do M  z nên x 3 x 3  1 x 3 x  ước  x  1;4;16;25;49 x    x 3 x  1;16;25;49 nhận giá trị: -4;-2;-1;1;2;4 Bài (Đề thi học sinh giỏi huyện Kim Thành 2012 – 2013) x 9 x  x 1   Rút gọn biểu thức A = x  x  x  3 x Lời giải  ĐKXĐ: x 4; x  A=  =   x 9 x 2   x   x 1 x 3    x  3 x 2 x  x 1 x   x   x  x     x 2 x 3 x 2 x 3     x  x 2 x 2  x 1 x 3 Bài 6.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2011 – 2012) Cho biểu thức P = x x x x 1 : 10 x x x 1 x 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P x = Lời giải Điều kiện: 1) x 3 2 3 2 x : 10 x P 3( x 3) x x 10 x x P x 1( x 10)( x 2) 2(10 x)( x 4) => x= 2 2 3 2 3 2 10 P b) x 4 x x x 2 2 ( 1) 3( x 2) 2( x 5) (3 2)2 x>1 Vậy P=0 (3 2) 2 2 x 3  Bài (Đề thi học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2016 – 2017)  x2 x  x 1   Với x  0, x  : x x  x  x  1  x   Cho biểu thức: P   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) So sánh: P2 2P Lời giải a) Điều kiện: x  0, x   x2 x  x 1 P   : x x  x  x  1  x          x  x 1   : x  x  x   x 1  x2   x   x ( x  1)  ( x  x  1)    x 1 x  x 1 x  x 1    x  x 1   x 1 x  x 1 : x 1 2 x 1 b) Với x  0, x  Ta có: P  2  x  x 1  x  x 1  x x 60  ( x  2)( x  3)  Vì x   nên Vậy P = x    x  (t/m) x = c) Vì x   x  x   2 x  x 1 0 P2 0  P( P  2)   P2  2P   P2  2P Dấu “=” xảy P =  x = Vậy P2  2P Câu (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013 – 2014) 1 1 x2  (1  x)3  (1  x)3  với 1  x   1 x2 b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a3  a 2b  ab2  6b3  a) Rút gọn biểu thức A  Tính giá trị biểu thức B  a  4b b  4a Lời giải a) Ta có: A   x2    x   x   x2    x2  1 x  1 x     x   x   1     x2  1   x2  x2    x   2x = x a3  a 2b  ab2  6b3   (a  2b)(a  ab  3b2 )  (*) b) Vì a > b >  a  ab  3b2  nên từ (*) ta có a = b Vậy biểu thức B  B a  4b 16b  4b  b  4a b  64b 12b 4  63b 21 Câu 9.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011 – 2012) Cho f  x   x3 Hãy tính giá trị biểu thức sau:  3x  3x      2010   2011  A f   f     f   f    2012   2012   2012   2012  x2 x x 1  2x  x   x x 1 x x  x  x x2  x Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Cho biểu thức P  Lời giải 1) Nhận xét Nếu x  y  f  x   f  y   1  x   f  y   f 1  x   Thật vậy, ta có f  x   3 x  1  x  x  1  x  1 x  x3   suy f  x   f  y   f  x   f 1  x   3 x  1  x  x  1  x  x3 1 Vậy, nhận xét chứng minh Ta có f    2 Theo nhận xét ta có:     2011       2010   A f   f     f   f       2012     2012   2012     2012    1005   1007    1006  1  f    f    1005  f    1005,5 f  2012    2012  2   2012  2) Điều kiện: x  0, x  Khi ta có x 2 x  x 1 x  P   , ta coi phương trình bậc hai Rút gọn biểu thức ta P  Ta có Px   P  1 x Nếu P    x   vơ lí, suy P  nên để tồn x phương trình có    P  1  P  P    4   P  1  3  3P  P    P  P   Do P nguyên nên  P  1 +) Nếu  P  1   P   x  không thỏa mãn P  2  P   x  x   x  không thỏa mãn +) Nếu  P  1    P  Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Câu 10 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2012 – 2013) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10  30  2  : 10  2 1 2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn Chứng minh x  yz y  zx z  xy   a b c a  bc b  ca c  ab   x y z Lời giải 10  30  2  = : 10  2 1 1) 2 (  1)  (  1)   3 1  3 1 1 1     2 2 2 2 (  1) x  yz y  zx z  xy   2) a b c  a b c a2 bc a  bc      (1) x  yz y  xz z  xy x  x yz  y z y z  xy  xz  x yz x( x  y  z  xyz ) Tuongtu : b2 ac b  ac   (2) y  y xz  x z x z  x y  yz  xy z y ( x  y  z  xyz ) Tuongtu : c2 ab c  ab   (3) Z  xyz  x y x y  x z  y z  xyz z ( x  y  z  xyz ) Từ (1) (2) (3) ta có ĐPCM Bµi 11: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hòa Bình 2010 - 2011) Phân tích thành nhân tử biÓu thøc sau: a/ A  x3  3x y  xy  12 y b/ B  x3  y  xy  x  y Cho a  11   11  Chứng minh a số nguyên Bi làm 1) a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y ) b/ B = ( x + 2y + ).( x2 - 2xy + 4y2 ) 2 2) a  11   11   (3  2)  (3  2)  Tõ ®ã a số nguyên Cõu 12 ( thi hc sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2012 – 2013) x2 - x 2x + x 2(x - 1) + Cho biểu thức: P = x+ x +1 x x -1 Rút gọn P Tìm giá trị x để P = Lời giải 1) (x > 0, x  1) P= = x ( x3  1) x (2 x  1) 2( x  1)( x  1)   x  x 1 x x 1 x ( x  1)( x  x  1)  x   2( x  1) x  x 1 = x  x 1 2) P =  x  x  =  x  x   t  1 ( L) x = t, t  ta pt t  t     t  (TM ) Với t = ta x =  x = (thỏa mãn ĐK) Đặt Vậy x = P = Bài 13.(Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai 2015 – 2016) x 3 x 2 x 2 ):(   ) x 1 x 2 3 x x 5 x 6 x a Cho M  (1  1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b Tính giá trị biểu thức P P  3x 2013  5x 2011  2006 với x   2    18   Lời giải a) ĐKXĐ: x  0; x  4; x  (*) 1) Rút gọn M: Với x  0; x  4; x  Vậy M  2) M  x 2 x 1 x 2 x 1  (với x  0; x  4; x  ) (*) x 1 x 1  x 1 x 1  x 1  1 x 1 Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x   x  1U (3) Ư(3)  1;3  Vì x   x    x   Nên x  1 1;3  Xảy trường hợp sau: x    x   x  (TMĐK (*)) x 1   x   x  (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b) x   2    18   Có 18   (4  )     2       (  1)  1 x   2     2      x   (  1)         x  (  1)   1   1  Với x = 1.Ta có P  3.12013  5.12011  2006    2006  2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 14 (Đề thi học sinh giỏi huyện Nghi Xuân 2013 – 2014) a Tính giá trị biểu thức: A    14  b Tìm x; y thỏa mãn: x  y  xy  x   Lời giải a) A    14      1  3   1     x  0; y b) ĐKXĐ:   x  0; y  Xét x = Suy y = - ( Thỏa mãn) Xét x  0; y  Biến đổi PT dạng:  x y   x 2  0 Lập luận tính x = y = ( Thỏa mãn) KL:  x; y    0; 4   x; y    4;  Câu 15 (Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai – Hà Nội 2014 – 2015)  x5 x   25  x x 3 x 5  Cho biểu thức A =   1 :    x 5 x    x  25   x  x  15 Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x  , x  25, x  tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x  16) Lời giải a) Điều kiện x  0, x  25, x  10 x 3 Rút gọn A  b) x  z => x  Ư(5)  x 3 1 (loai ) =>   x    x  c) A( x  16) 5( x  16) x  16   5( x  x 3 25 25  x 3  x 3 6 x 3 x 3 B => B  => B =  x=4 Câu 16 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2016 – 2017) a) Cho x  10  (  1) 62   Tính giá trị P  12x + 4x – 55  2017 a  a a 1 a  a a  a 1 M   a a  a a a a b) Cho biểu thức với a > 0, a  Với giá trị a biểu thức N  nhận giá trị nguyên? M Lời giải a) Ta có : 10  3     (  1)3   1    (  1)  x (  1)3 (  1)  (  1)(  1)   2 1 (  1)  Thay giá trị x vào P ta được:  P  12.22  55  2017  12017  b) Với điều kiện a  0; a  thì: M a 1  a    a  a  1  a  1 a  a  1 a  a  1 a  1 a   a  1  a 1 a  a 1 a 1 a 1 a  a 1 a  M   a a a a 11 Khi N   M  a  a 1 0 Ta thấy với  a   a  a   a  a 1  a  2 a 1     Do  N  Để N có giá trị ngun N = a 1 a  a    a  a 1    a 2   a  32 a   ( tháa m·n) 3    a    a   ( tháa m·n) Vậy a   Câu17 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm 2013) 1) Tính giá trị biểu thức A  26  15  26  15 2) Rút gọn biểu thức  a2 2  a2 a    a  1  P        :   11  a  a  a  a   a       Lời giải 1) Ta có A  26  15  26  15   3.22  3.2.( 3)2  ( 3)3   3.22  3.2.( 3)  ( 3)3  (2  3)3  (2  3)3  (2  3)  (2  3) A 2) Điều kiện:  a  11 Đặt x  a  (0  x  3)  a  x2  ( x  2)  x x    3x  1      Tính P  :   x  x   x  3x x  12 ( x  2)  3( x  3)   x     :   x   x( x  3)  ( x  2) x( x  3) x    x 2x  a2 =  Câu 18 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm 2012 - 2013) Cho biểu thức: P  x x  26 x  19 x x 3   x  x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Lời giải a) P ĐK:  x  Ta có: x x  26 x  19 x x 3   ( x  1)( x  3) x 1 x 3  x x  26 x  19  x ( x  3)  ( x  3)( x  1) ( x  1)( x  3)  x x  26 x  19  x  x  x  x  ( x  1)( x  3)  x x  x  16 x  16 ( x  1)( x  16) x  16   ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) x 3 b) P x  16 25 25  x 3  x  3 6 x 3 x 3 x 3  ( x  3) 25   10   x 3 25 x4 x 3 Câu 19 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng 2010 - 2011 ) Vậy GTNN P = x   Rút gọn A  127  48  127  48 Lời giải A  127  48  127  48 = (8  7)2  (8  7) = |83 | |8 3 |  83 83 (8>3 7)  6 Câu 20 (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Bắc Giang 2016 – 2017) 13 a Cho biểu thức M= a a b b a b với a, b > a  b   ab a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết 1  a 1  b   ab  b Tìm số nguyên a, b thoả mãn   18  ab ab c Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  ; a  b  c  23 ; abc  Tính giá trị biểu thức H= 1   ab  c  bc  a  ca  b  Lời giải a) -Rút gọn M= ab với a, b>0 a  b a b -Ta có 1  a 1  b    ab   ab   ab  a  b   ab  a b  ( ab ) 1 a b ab 1 a b + Nếu a>b>0  a  b  a  b  0; ab    ab  a b ab 0 a b ab ab  1 M 1 a b a b + 0