Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.
toanth.net Đường thẳng Simson Định lí đường thẳng simson định lí hay, thường xuất kì thi học sinh giỏi tốn lớp hay kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chun tốn, viết xin minh họa vài cách áp dụng định lí việc chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học lớp Định lí Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm tùy ý thuộc đường tròn (O) Gọi D, E, F hình chiếu vng góc M lên BC, CA, AB Khi D, E, F thẳng hàng (đường thẳng qua điểm D, E, F người ta gọi đường thẳng simson điểm M tam giác ABC ) 1800 tứ giác AFME nội tiếp Xét tứ giác AFME có AFM MEA FAM (hai góc nội tiếp chắn cung MF) FEM MCD (cùng bù với BAM ) Tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn (O) FAM MCD (1) FEM MDC 900 điểm E, M, C, D thuộc đường tròn Xét tứ giác MEDC có MEC đường kính MC hay tứ giác EMCD nội tiếp MCD 1800 (2) MED Võ Tiến Trình toanth.net MED MCD MED 1800 Từ (1) (2) ta có: FEM D, E , F thẳng hàng Một số ví dụ áp dụng định lí đường thẳng simson Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CE (E thuộc AB) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AD, Gọi F hình chiếu vng góc C lên AD, M trung điểm BC Chứng minh E, M, F thẳng hàng Gọi N hình chiếu vng góc C lên đường thẳng BD Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) , C điểm thuộc đường tròn (O) E, F, N hình chiếu vng góc C lên đường thẳng chứa ba cạnh tam giác ABD, E, F, N thẳng hàng (đường thẳng simson điểm C tam giác ABD) EBN BNC 900 nên tứ giác BECN hình chữ nhật Xét tứ giác BECN có BEC hai đường chéo BC EN cắt trung điểm đường Vì M trung điểm BC nên M trung điểm EN hay E, M, N thẳng hàng Vậy E, M, F thẳng hàng Võ Tiến Trình toanth.net Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O M điểm cung BC không chứa điểm A Đường tròn I đường kính MB đường tròn J đường kính MC cắt N a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC b) Đường tròn I cắt AB P (P khác B), đường tròn J cắt AC Q (Q khác C) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng c) Qua A vẽ đường thẳng d song song với PQ d cắt (O) K Chứng minh M, N, K thẳng hàng a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC 900 Vì N thuộc đường tròn đường kính MB MNB 900 N thuộc đương tròn đường kính MC MNC Võ Tiến Trình toanth.net MNC 1800 B, N , C thẳng hàng Nên MNB b) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng 900 hay MP AB Vì P thuộc đường tròn đường kính MB MPB 900 hay MQ AC Q thuộc đương tròn đường kính MC MQC MN BC Nên P, N , Q thẳng hàng (đường thẳng simson điểm M tam giác ABC ) c) Chứng minh M, N, K thẳng hàng Gọi K’ giao điểm đường thằng MN với (O) Ta chứng minh K trùng K’ Ta có: K ' AC K ' MC (hai góc nội tiếp chắn cung AC) Tứ giác MNQC nội tiếp K ' MC AQN K ' AC AQN AK '/ / NQ Mà AK / / NQ K O K K ' Vậy M, N, K thẳng hàng Ví dụ Cho hai đường tròn bán kính O , O ' cắt hai điểm A, B (O, O’ khác phía đường thẳng AB) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) C, cắt (O’) D (C, D khác A CD không vuông góc với AB) Gọi E, F hình chiếu vng góc B lên hai tiếp tuyến C (O) D (O’) Chứng minh E, F qua trung điểm M CD Võ Tiến Trình toanth.net Vì (O) (O’) hai đường tròn nên ta có ACB ADB BCD cân B BM CD (đường trung tuyến đường cao) Gọi P giao điểm hai tiếp tuyến C D (O) (O’) Vì PC tiếp tuyến đường tròn (O) nên ABC PCD Vì PD tiếp tuyến đường tròn (O’) nên PDC ABD CBD CPD CBA DBA CPD DCP CDP 1800 (tổng ba góc Ta có: CPD tam giác PCD) tứ giác PCBD nội tiếp Điểm B nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD có hình chiếu vng góc xuống đường thẳng chứa ba cạnh tam giác PCD E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson điểm B tam giác PCD) Võ Tiến Trình toanth.net Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O, AD đường phân giác góc A (D thuộc cạnh BC) Gọi P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, AC Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt trung tuyến AM tam giác ABC N Chứng minh P, N, Q thẳng hàng Gọi E giao điểm AD với (O) Vì AD phân giác nên E điểm cung nhỏ BC EM BC Gọi U, V hình chiếu vng góc E lên AB, AC Khi ta có U , M ,V thẳng hàng (đường thẳng simson điểm E tam giác ABC) Ta có: DP AB; EU AB DP / / EU DQ AC ; EV AC DQ / / EV Võ Tiến Trình AP AD AU AE AQ AD QV AE toanth.net AP AQ PQ / /UV (1) AU AV Ta lại có: DN BC ; EM BC DN / / EM AN AD AM AE AP AN PN / /UM (2) AU AM Từ (1) (2) U, M, V thẳng hàng P, N , Q thẳng hàng Ví dụ Cho đường tròn O; R đường thẳng d không cắt (O) M điểm thay đổi đường thẳng d, từ M ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d a) Chứng minh AB qua điểm cố định M thay đổi d b) Gọi E, F hình chiếu vng góc H lên MA, MB Chứng minh EF qua điểm cố định M thay đổi d Võ Tiến Trình toanth.net a) Chứng minh AB qua điểm cố định M thay đổi d Gọi I giao điểm OH với AB Ta có : OKI OHM OK OH OI OH OK OM OI OM Hệ thức lượng tam giác vuông OAM ta có: OK OM OA2 R R2 OI OH R OI (không đổi R, OH khơng đổi) OH Mà OH đường thẳng cố định I cố định AB qua điểm I cố định b) Chứng minh PQ qua điểm cố định M thay đổi d Gọi P hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AB Ta có MHAB tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính MO) Do điểm F , E , P thẳng hàng (đường thẳng simson điểm H tam giác MAB) Gọi J giao điểm FP với OH Ta chứng minh J trung điểm IH HEA 900 ) Ta có tứ giác HPAE nội tiếp (vì HPA HAM HPE HOM (tứ giác HAOM nội tiếp) HOM OHP (vi trí so le Mà HAM HP / / MO ) HPE HJP cân J IH JP OHP IHP HPE EPI 900 HIP EPI Vì tam giác IHP vng P nên ta có: HIP JPI cân J JP JI Vậy JH JI J trung điểm IH, mà IH hai điểm cố định nên J điểm cố định Vậy EF qua J cố định Võ Tiến Trình toanth.net Một số tập áp dụng Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O M điểm cung BC không chứa A, MN đường kính O Gọi E, F, K hình chiếu vng góc M lên BC, CA, AB Gọi P, Q , T hình chiếu N lên BC, CA, AB a) Chứng minh E, F, K thẳng hàng P, Q, T thẳng hàng b) Chứng minh EF PQ Bài Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O) có MN đường kính (M, N nằm khác phía AC) Gọi E, F hình chiếu vng góc M lên AB, AC P, Q hình chiếu vng góc N lên AB, AC a) Chứng minh EF PQ b) Chứng minh PF EQ Bài Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF (E thuộc AC, F thuộc AB) Gọi P, Q hình chiếu F lên BE BC Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm EF 900 Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC Bài Cho tam giác ABC có BAC F, E, đường tròn đường kính BE cắt AB, BC P, Q a) Chứng minh PQ qua trung điểm EF b) Gọi K giao điểm PQ với CF Chứng minh tứ giác CQKE nội tiếp Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đưởng tròn (O) Gọi E, H, F hình chiếu D lên BC, CA, AB a) Chứng minh E, H, F thẳng hàng b) P trung điểm EH, Q trung điểm AB Chứng minh PQ DP Bài Cho đường tròn (O) điểm M nằm (O) Qua M vẽ MA, MB hai tiếp tuyến (O) (A, B tiếp điểm) cát tuyến MCD (C nằm M, D) Đường tròn (I) đường kính DA cắt CA P, đường tròn (J) đường kính DB cắt CB Q, E giao điểm (I) (J) (E khác D) Chứng minh E trung điểm PQ Võ Tiến Trình