Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Bộ chuyên đề đường thẳng simson nâng cao cho học sinh thcs thpt, Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.
Trang 1Đường thẳng Simson
Định lí về đường thẳng simson là một định lí hay, thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 hay các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán, dưới đây bài viết xin minh họa một vài cách áp dụng định lí này trong việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trong các bài hình học lớp 9
Định lí Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là điểm tùy ý thuộc đường tròn
(O) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB Khi đó D, E, F
thẳng hàng (đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F người ta gọi là đường thẳng simson của điểm M của tam giác ABC )
Xét tứ giác AFME có 0
180
AFM MEA tứ giác AFME nội tiếp
FEM FAM
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
Tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn (O) FAM MCD (cùng bù với BAM)
FEM MCD
(1)
Xét tứ giác MEDC có 0
90
MEC MDC 4 điểm E, M, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính MC hay tứ giác EMCD nội tiếp
180
MED MCD
(2)
Trang 2Từ (1) và (2) ta có: 0
180
FEM MED MCD MED , ,
D E F
thẳng hàng
Một số ví dụ áp dụng định lí về đường thẳng simson
Ví dụ 1 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CE (E thuộc AB) nội tiếp đường tròn (O)
có đường kính AD, Gọi F là hình chiếu vuông góc của C lên AD, M là trung điểm của
BC Chứng minh E, M, F thẳng hàng
Gọi N là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng BD
Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) , C là điểm thuộc đường tròn (O) và E, F, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên trên đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác
ABD, do đó E, F, N thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm C của tam giác ABD)
Xét tứ giác BECN có 0
90
BEC EBN BNC nên tứ giác BECN là hình chữ nhật
hai đường chéo BC và EN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Vì M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm EN hay E, M, N thẳng hàng
Vậy E, M, F thẳng hàng
Trang 3Ví dụ 2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A Đường tròn I đường kính MB và đường tròn J đường kính
MC cắt nhau tại N
a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC
b) Đường tròn I cắt AB tại P (P khác B), đường tròn J cắt AC tại Q (Q khác C) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng
c) Qua A vẽ đường thẳng d song song với PQ và d cắt (O) tại K Chứng minh M, N,
K thẳng hàng
a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC
Vì N thuộc đường tròn đường kính MB 0
90
MNB
N thuộc đương tròn đường kính MC 0
90
MNC
Trang 4Nên 0
MNB MNC B N C thẳng hàng
b) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng
Vì P thuộc đường tròn đường kính MB 0
90
MPB
hay MP AB
Q thuộc đương tròn đường kính MC 0
90
MQC
hay MQ AC
và MN BC
Nên P N Q , , thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm M của tam giác ABC )
c) Chứng minh M, N, K thẳng hàng
Gọi K’ là giao điểm của đường thằng MN với (O) Ta chứng minh K trùng K’
Ta có: K AC ' K MC ' (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Tứ giác MNQC nội tiếp K MC' AQN
' '/ /
Mà AK / / NQ và K O K K'
Vậy M, N, K thẳng hàng
Ví dụ 3 Cho hai đường tròn cùng bán kính O , O' cắt nhau tại hai điểm A, B (O, O’ khác phía nhau đối với đường thẳng AB) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A và CD không vuông góc với AB) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên hai tiếp tuyến tại C của (O) và tại D của (O’) Chứng minh E, F đi qua trung điểm M của CD
Trang 5Vì (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau nên ta có ACB ADB BCD cân tại B BM CD (đường trung tuyến cũng là đường cao)
Gọi P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của (O) và (O’)
Vì PC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ABC PCD
Vì PD là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên PDC ABD
Ta có: 0
180
CPD CBD CPD CBA DBA CPD DCP CDP (tổng ba góc trong tam giác PCD)
tứ giác PCBD nội tiếp
Điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác PCD là E, M, F nên ta có E, M, F
thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm B của tam giác PCD)
Trang 6Ví dụ 4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O, AD là đường phân giác trong
góc A (D thuộc cạnh BC) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N Chứng minh P, N, Q thẳng hàng
Gọi E là giao điểm của AD với (O)
Vì AD là phân giác nên E là điểm chính giữa cung nhỏ BCEM BC
Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC
Khi đó ta có U M V, , thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm E của tam giác
ABC)
Ta có: DP AB EU ; AB DP / / EU AP AD
AU AE
DQ AC EV AC DQ EV
QV AE
Trang 7/ /
AP AQ
PQ UV
AU AV
(1)
Ta lại có: DN BC EM ; BC DN / / EM AN AD
AM AE
/ /
AP AN
PN UM
AU AM
(2)
Từ (1) (2) và U, M, V thẳng hàng P N Q , , thẳng hàng
Ví dụ 5 Cho đường tròn O R; và một đường thẳng d không cắt (O) M là điểm thay đổi trên đường thẳng d, từ M ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm) Gọi
H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d
a) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên MA, MB Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d
Trang 8a) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d
Gọi I là giao điểm của OH với AB
Ta có : OKI OHM OK OH OI OH OK OM
OI OM
Hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có: OK OM OA2 R2
2 2
OI OH R OI
OH
(không đổi vì R OH , không đổi)
Mà OH là đường thẳng cố định I cố định
AB
luôn qua điểm I cố định
b) Chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên d
Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AB
Ta có MHAB là tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính MO)
Do đó 3 điểm F E P, , thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm H của tam giác MAB)
Gọi J là giao điểm của FP với OH Ta chứng minh J là trung điểm của IH
Ta có tứ giác HPAE nội tiếp (vì 0
90
HPA HEA )
HPE HAM
Mà HAM HOM (tứ giác HAOM nội tiếp) và HOM OHP (vi trí so le trong do / /
HP MO)
OHP HPE HJP
cân tại J IH JP
Vì tam giác IHP vuông tại P nên ta có: 0
90
HIP IHP HPE EPI HIP EPI
JPI
cân tại J JP JI
Vậy JH JI J là trung điểm của IH, mà IH là hai điểm cố định nên J cũng là điểm
cố định Vậy EF luôn đi qua J cố định
Trang 9Một số bài tập áp dụng
Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O M là điểm trên cung BC không chứa
A, MN là đường kính của O Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên
BC, CA, AB Gọi P, Q , T lần lượt là hình chiếu của N lên BC, CA, AB
a) Chứng minh E, F, K thẳng hàng và P, Q, T thẳng hàng
b) Chứng minh EF PQ
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có MN là đường kính (M,
N nằm khác phía đối với AC) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB,
AC và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên AB, AC
a) Chứng minh EF PQ
b) Chứng minh PF EQ
Bài 3 Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF (E thuộc AC, F thuộc AB) Gọi P, Q
lần lượt là hình chiếu của F lên trên BE và BC Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của EF
Bài 4 Cho tam giác ABC có 0
90
BAC Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E, đường tròn đường kính BE cắt AB, BC lần lượt tại P, Q
a) Chứng minh PQ đi qua trung điểm của EF
b) Gọi K là giao điểm của PQ với CF Chứng minh tứ giác CQKE nội tiếp
Bài 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đưởng tròn (O) Gọi E, H, F lần lượt là hình chiếu của
D lên BC, CA, AB
a) Chứng minh E, H, F thẳng hàng
b) P là trung điểm của EH, Q là trung điểm của AB Chứng minh PQDP
Bài 6 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) Qua M vẽ MA, MB là hai tiếp
tuyến của (O) (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD (C nằm giữa M, D) Đường tròn (I) đường kính DA cắt CA tại P, đường tròn (J) đường kính DB cắt CB tại Q, E là giao điểm của (I) và (J) (E khác D) Chứng minh E là trung điểm của PQ