Hướng trong hình học phẳng

Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.

W W W M O LY M PI A D M L Nguyễn Minh Hà NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ W W W M O LY M PI A D M L Mục lục Lời giới thiệu iii Lời nói đầu v Các ký hiệu vii Hình thang hình bình hành §2 Đoạn thẳng D §1 L Hướng đoạn thẳng M Chương Đoạn thẳng định hướng, hướng phương 3.1 Các định nghĩa 3.2 Các định lí 3.3 Hướng đoạn thẳng định hướng LY M PI A §3 Vectơ, hướng phương 4.1 Các định nghĩa 4.2 Các định lí 4.3 Hướng phương vectơ M O §4 Hướng phương tia 5.1 Các định nghĩa 5.2 Các định lí 5.3 Hướng phương tia W W W §5 §6 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 6.1 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp 6.2 Đường thẳng định hướng §7 Độ dài đại số đoạn thẳng định hướng Chương §8 §9 Hướng góc Góc hai tia Góc định hướng hai tia vấn đề có liên quan 9.1 Góc định hướng hai tia 1 4 10 17 18 18 19 20 21 21 22 26 27 27 29 31 37 37 44 44 i ii Mục lục 9.2 9.3 9.4 9.5 Cơ sở, tia sở góc định hướng hai tia-khác bẹt có đỉnh Sự không trùng lặp, trùng lặp hai góc định hướng hai tia-khác bẹt có đỉnh Nguồn cát tuyến hai góc định hướng hai tia-khác bẹt có đỉnh Các định lí cát tuyến hai góc định hướng hai tia-khác bẹt đỉnh 46 47 51 §10 63 63 68 D M L Sự hướng, ngược hướng hai góc định hướng hai tia 10.1 Hai góc định hướng hai tia có đỉnh 10.2 Hai góc định hướng hai tia 10.3 Hướng góc định hướng hai tia, mặt phẳng định hướng 10.4 Hướng tam giác hướng đa giác lồi 45 Số đo góc định hướng, góc lượng giác hai tia 11.1 Số đo góc định hướng hai tia 11.2 Góc lượng giác hai tia LY M PI A §11 Góc, góc định hướng, góc lượng giác hai vectơ 12.1 Góc hai vectơ 12.2 Góc định hướng hai vectơ 12.3 Góc lượng giác hai vectơ M O §12 Cung, cung định hướng, cung lượng giác 13.1 Cung 13.2 Cung định hướng 13.3 Cung lượng giác §14 W W W §13 Góc, góc định hướng, góc lượng giác hai đường thẳng 14.1 Góc hai đường thẳng 14.2 Góc định hướng hai đường thẳng 14.3 Góc lượng giác hai đường thẳng §15 Một vài kết 76 77 81 81 82 86 86 87 90 91 91 92 94 95 95 97 101 105 Tài liệu tham khảo 109 Tra cứu theo vần 111 Lời giới thiệu Cùng bạn đọc, PI A D M L Thuở học sinh phổ thơng, học góc lượng giác tơi cảm thấy có bất ổn khơng hiểu lại có cảm giác Sau này, sống nghề dạy Tốn làm tốn, tơi hiểu đồng hồ nguyên nhân bất ổn đó, khái niệm góc lượng giác định nghĩa thơng qua đồng hồ đồng hồ lại khái niệm hình học phẳng Trong hệ tiên đề Hilbert hình học Euclid phẳng, gọi tắt hình học phẳng, khái niệm phải định nghĩa thông qua hai khái niệm bản: điểm, đường thẳng ba quan hệ bản: liên thuộc, nằm giữa, toàn đẳng .M O LY M Mải mê với công việc riêng mình, tơi khơng nghĩ lại có người quan tâm đến việc định nghĩa góc lượng giác mà khơng sử dụng đồng hồ, nói theo cách người làm toán chuyên nghiệp, quan tâm tới vấn đề xây dựng lý thuyết hướng hình học phẳng W W Cầm tay thảo trăm trang sách “Hướng hình học phẳng”, trăm trang mà viết mười năm trời, tơi thực bất ngờ tình u âm thầm bền bỉ mà tác giả nó, TS Nguyễn Minh Hà dành cho Toán học W Với mà tơi biết TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn đề hợp lý “Hướng hình học phẳng”, sách tài liệu đáng đọc cho quan tâm tới hình học phẳng, đặc biệt sinh viên khoa Toán trường Đại học sư phạm Cao đẳng sư phạm Hãy đọc “Hướng hình học phẳng” để xem cách mà TS Nguyễn Minh Hà vất đồng hồ khỏi hình học phẳng GS TSKH Nguyễn Văn Khuê iii W W W M O LY M PI A D M L Lời nói đầu Tơi xây nhà nhỏ tơi tồ nhà lớn Hilbert Euclid W W W M O LY M PI A D M L Hướng khái niệm quan trọng hình học Tuy nhiên, từ thời Euclid trước thời Descartes hướng không coi khái niệm hình học Từ có phương pháp toạ độ Descartes tình trạng phần giải quyết, khái niệm ma trận định thức hướng trở thành khái niệm hình học Chú ý “phần giải quyết” khơng phải “hồn tồn giải quyết”, khơng có phương pháp toạ độ người ta nói tới hướng dạng mơ tả Vì vấn đề liên quan tới hướng thường bị né tránh, toàn tác phẩm “Cơ sở hình học” Hilbert [1] khơng có dòng dành cho khái niệm hướng Khơng có khái niệm hướng, khơng thể trình bày cách chặt chẽ nhiều vấn đề hình học (góc lượng giác, vectơ, lí thuyết biến hình, ) Khơng có khái niệm hướng, ta gặp nhiều khó khăn học tập, giảng dạy nghiên cứu hình học Khơng có khái niệm hướng, hình học phẳng - ngành khoa học cổ xưa nhân loại - tưởng khơng điều đáng bàn sau Hilbert viết tác phẩm “Cơ sở hình học” ngày hơm chưa hồn chỉnh Vì lại phải né tránh? Liệu nói tới khái niệm hướng mà không cần sử dụng phương pháp toạ độ hay không? Nhiều năm câu hỏi thúc tơi hướng tới mục tiêu: xây dựng lí thuyết hướng, trước hết hình học phẳng, khơng sử dụng phương pháp toạ độ, đủ tốt cho việc làm tốn Giờ lí thuyết xây dựng xong Cuốn sách “Hướng hình học phẳng” mà bạn có tay chứa đựng tồn lí thuyết đó, bao gồm hai chương: Chương I-Hướng đoạn thẳng; Chương II-Hướng góc Tơi dành lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Duy Khánh, người có nhiều đóng góp việc trình bày biên tập sách Tôi mong nhận nhận xét quý giá từ độc giả Nguyễn Minh Hà v W W W M O LY M PI A D M L .M L Các ký hiệu D A = B: điểm A , B trùng PI A A = B: điểm A , B khác LY M A, B / X Y : hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ X Y O A / X Y / B: hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác bờ X Y M AB: đoạn thẳng có hai đầu mút điểm A, B W AB: độ dài đoạn thẳng AB (nếu khơng có nhầm lẫn) W W AB: đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B (nếu khơng có nhầm lẫn) a ≡ b: đường thẳng a, b trùng a ≡ b: đường thẳng a, b không trùng a ∥ b: đường thẳng a, b song song a ∥≡ b: đường thẳng a, b song song trùng a ⊥ b: đường thẳng a, b vng góc vii viii Các ký hiệu a ⊥ b: đường thẳng a, b khơng vng góc a ∩ b = O : đường thẳng a, b cắt điểm O # » AB: đoạn thẳng định hướng có đầu mút đầu điểm A , đầu mút cuối điểm B #» : đoạn thẳng định hướng-không # » # » # » # » # » # » # » # » AB ↑↑ CD : đoạn thẳng định hướng AB, CD hướng .M L AB ↑↓ CD : đoạn thẳng định hướng AB, CD ngược hướng # » # » # » # » # » # » # » A # » D # » # » # » −−→ AB ∥ CD : đoạn thẳng định hướng AB, CD phương PI AB = CD : đoạn thẳng định hướng AB, CD LY M AB = CD : đoạn thẳng định hướng AB, CD khác # » # » O AB: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB (nếu khơng có nhầm lẫn) # » # » M [ AB]: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB #» W [ ]: vectơ-không W #» W : vectơ-không (nếu khơng có nhầm lẫn) #» #» #» a ↑↑ b : vectơ #» a , b hướng #» #» #» a ↑↓ b : vectơ #» a , b ngược hướng #» #» #» a ∥ b : vectơ #» a , b phương #» #» #» a ⊥ b : vectơ #» a , b vng góc #» #» #» a = b : vectơ #» a , b #» #» #» a = b : vectơ #» a , b khác 100 Hướng góc π Định lí 302 Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) = ± a ⊥ b Định lí 302 hệ trực tiếp ý 215 Định lí 303 Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) = – (b, a) Định lí 303 hệ trực tiếp định lí 216 Định lí 304 Nếu đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ∥≡ c; b ∥≡ d 1) (a, b) = (c, d) a ⊥ b L 2) (a, b) = ±(c, d) a ⊥ b .M Định lí 304 hệ trực tiếp định lí 218 ý 215 A D Định lí 305 Nếu đường thẳng a, b, c, d thỏa mãn a ⊥ c; b ⊥ d PI 1) (a, b) = (c, d) a ⊥ b LY M 2) (a, b) = ±(c, d) a ⊥ b π Chứng minh 1) Vì a ⊥ b nên, theo định lí 302, (a, b) = ± Do có ba M O trường hợp cần xem xét Trường hợp (a, b) = W W Vì (a, b) = nên, theo định lí 301, a ∥≡ b Kết hợp với a ⊥ c; b ⊥ d , ta có a ∥≡ b Do đó, lại theo định lí 301, (c, d) = Vậy (a, b) = (c, d) π Trường hợp < (a, b) < W Giả sử (Ox, O y) góc định hướng hai tia tương thích với (a, b) khơng tính tổng qt giả sử (Ox, O y) có hướng dương (h.89) z y t x x O h.89 y 14 Góc, góc định hướng, góc lượng giác hai đường thẳng 101 Trên nửa mặt phẳng bờ x x chứa tia O y dựng tia Oz cho Oz ⊥ Ox Trên nửa mặt phẳng bờ y y chứa tia Oz dựng tia Ot cho Ot ⊥ O y π Vì < (a, b) = (Ox, O y) = (a, b) < = xOz O y, Oz thuộc nửa mặt phẳng bờ x x nên, theo định lí 109, O y thuộc miền góc π xOz Do đó, lại theo định lí 109, < yOz < xOz = = yOt Từ đó, ý Oz, Ot thuộc nửa mặt phẳng bờ y y, suy Oz thuộc miền góc yOt Vậy, theo định lí 109, (Ox, O y) = xO y = xOz − yOz = π − yOz = yOt − yOz = zOt = (Oz, Ot) Mặt khác z z ⊥ x x ∥≡ a ⊥ c; t t ⊥ y y ∥≡ b ⊥ d nên z z ∥≡ c; t t ∥≡ d π Vậy, ý < (Ox, O y) = (Oz, Ot) < , ta có (a, b) = (c, d) .M L π Trường hợp − < (a, b) < π PI Vậy, lại theo định lí 303, (a, b) = (c, d) A D Theo định lí 303, < (b, a) < Do đó, theo trường hợp 2, (b, a) = (d, c) π LY M 2) Vì a ⊥ b nên, theo định lí 302, (a, b) = ± Vì a ⊥ b; a ⊥ c; b ⊥ d π nên c ⊥ d Do đó, lại theo định lí 302, (c, d) = ± O Vậy (a, b) = ±(c, d) .M 14.3 Góc lượng giác hai đường thẳng W W Định nghĩa 306 Bộ hai thành phần ((a, b), k) (k ∈ Z) gọi góc lượng giác hai đường thẳng, kí hiệu (a, b)k W Các đường thẳng a, b theo thứ tự gọi cạnh đầu, cạnh cuối góc lượng giác hai đường thẳng (a, b)k Góc định hướng hai đường thẳng (a, b) gọi góc định hướng hai đường thẳng sinh góc lượng giác hai đường thẳng (a, b)k , số ngun k gọi chu kì góc lượng giác hai đường thẳng (a, b)k Định nghĩa 307 Số đo góc lượng giác hai đường thẳng (a, b)k kí hiệu sđ(a, b)k xác định sau (a, b)k = (a, b) + kπ Nếu khơng có nhầm lẫn số đo góc lượng giác hai đường thẳng (a, b)k kí hiệu đơn giản (a, b)k Chú ý 308 (a, b)0 = (a, b) 102 Hướng góc Để chứng minh định lí 311 ta cần có bổ đề Bổ đề 309 (Bổ đề gốc) Với hai đường thẳng AB, CD hai số nguyên k, l , ta có # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 1) # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 ± π # » # » 2) (AB, CD)k ≡ ( AB, CD)l (mod π) Chứng minh 1) Có năm trường hợp cần xem xét π # » # » Trường hợp < ( AB, CD)0 < PI A D M L Giả sử (Ox, O y) góc định hướng hai tia tương thích với (AB, CD) khơng tính tổng qt giả sử (Ox, O y) có hướng dương Có bốn khả xảy # » # » Khả 1.1 AB ↑↑ Ox, CD ↑↑ O y (h.90) # » # » Theo định lí 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = ( AB, CD)0 O O x LY M y D M y x W C B A W h.90 W # » # » Khả 1.2 AB ↑↑ Ox , CD ↑↑ O y (h.91) Theo định lí 109, 189, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = xO y = π − # » # » x O y = π + (Ox , O y)0 = π + ( AB, CD)0 y x O x D y C B h.91 A 14 Góc, góc định hướng, góc lượng giác hai đường thẳng 103 # » # » Khả 1.3 AB ↑↑ Ox, CD ↑↑ O y (h.92) Theo định lí 109, 189, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = xO y = π − # » # » xO y = π + (Ox, O y )0 = π + ( AB, CD)0 y x O x C y D B A L h.92 y LY M PI A D M # » # » Khả 1.4 AB ↑↑ Ox , CD ↑↑ O y (h.93) # » # » Theo định lí 217, 218, (AB, CD)0 = (Ox, O y)0 = (Ox , O y )0 = ( AB, CD)0 x O x O C y W M D A B h.93 W W π # » # » Trường hợp − < ( AB, CD)0 < Tương tự trường hợp Trường hợp (AB, CD)0 = Vì (AB, CD)0 = nên, theo ý 215, # » # » # » # » ( AB, CD)0 = # » # » ( AB, CD)0 = ±π (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 ± π π Trường hợp (AB, CD)0 = π π # » # » Vì (AB, CD)0 = nên, theo ý 215, ( AB, CD)0 = ± 2 # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 Do # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 + π Do 104 Hướng góc π Trường hợp 5.(AB, CD)0 = − Do π # » # » nên, theo ý 215, ( AB, CD)0 = ± 2 # » # » (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 # » # » Vì (AB, CD)0 = − π (AB, CD)0 = ( AB, CD)0 − π 2) Hệ trực tiếp phần Chú ý 310 Khi khơng quan tâm tới chu kì góc lượng giác hai đường thẳng góc lượng giác hai vectơ, bổ đề 304 viết đơn giản sau # » # » (AB, CD) ≡ ( AB, CD) (mod π) .M L Định lí 311 Với ba đường thẳng a, b, c ba số nguyên k, l, m, ta có D 1) (a, b)k ≡ (a, c)l + (c, b)m (mod π) (hệ thức Chasles cho góc lượng giác hai đường thẳng) PI A 2) (a, b)k ≡ (c, b)m – (c, a)l (mod π) LY M Chứng minh 1) Trên a, b, c theo thứ tự lấy đoạn thẳng-khác không AB, CD, EF Theo bổ đề 309 định lí 223, ta có O (a, b)k ≡ (AB, CD)k (mod π) # » # » M ≡ ( AB, CD)k (mod π) # » # » # » # » W ≡ ( AB, EF)l + (EF, CD)m (mod π) W ≡ (AB, EF)l + (EF, CD)m (mod π) W ≡ (a, c)l + (c, b)m (mod π) 2) Theo định lí 304, (a, c)0 = – (c, a)0 Do (a, c)l = – (c, a)l Từ đó, theo phần 1, suy (a, b)k ≡ (c, b)m – (c, a)l (mod π) Chú ý 312 Khi không quan tâm tới chu kì góc định hướng hai đường thẳng, định lí 311 viết đơn giản sau 1) (a, b) ≡ (a, c) + (c, b) (mod π) (hệ thức Chasles cho góc lượng giác hai đường thẳng) 2) (a, b) ≡ (c, b) – (c, a) (mod π) Định nghĩa 313 Nếu a, b hai đường thẳng k, m (m = 0) hai số nguyên 1) m(a, b)k = m (a, b)0 + kπ = m(a, b)0 + kmπ 15 Một vài kết 2) 105 1 k (a, b)k = (a, b)0 + kπ = m(a, b)0 + π m m m 15 Một vài kết Trong mục này, loạt kết giới thiệu Nhờ kết này, phép biến đổi góc lượng giác hai vectơ góc lượng giác hai đường thẳng trở nên đơn giản #» #» Định lí 314 Với hai vectơ-khác khơng #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ (mod 2π) #» #» a ↑↑ b D M L Định lí 314 hệ trực tiếp định lí 246 #» #» Định lí 315 Với hai vectơ-khác khơng #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ π (mod 2π) #» #» a ↑↓ b PI A Định lí 315 hệ trực tiếp định lí 247 #» #» #» Định lí 316 Với hai vectơ-khác khơng #» a , b , ta có ( #» a , b ) ≡ − ( b , #» a ) (mod 2π) O LY M Định lí 316 hệ trực tiếp định lí 248 #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» Định lí 317 Nếu #» a , b , a , b = #» a ↑↑ a ; b ↑↑ b ( #» a , b ) ≡ ( a , b ) (mod π) W M Định lí 317 hệ trực tiếp định lí 250 #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» Định lí 318 Nếu #» a , b , a ; b = #» a ↑↓ a ; b ↑↓ b ( #» a , b ) ≡ ( a , b ) (mod π) W W Định lí 318 hệ trực tiếp định lí 251 #» #» #» #» #» #» #» Định lí 319 Nếu #» a , b , a = ( #» a , b ) ≡ ( a , b ) (mod π) #» a ↑↑ a #» #» #» Chứng minh Vì ( #» a , b ) ≡ ( a , b ) (mod 2π) nên, theo định lí 255, 316, #» #» #» #» ( #» a , a ) ≡ ( #» a , b ) − ( a , b ) ≡ (mod 2π) #» Do đó, theo định lí 314, #» a ↑↑ a #» #» #» #» Định lí 320 Với bốn vectơ-khác khơng #» a , b , #» c , d , ta có ( #» a , b ) ≡ ( #» c , d) #» #» (mod 2π) ( #» a , #» c ) ≡ ( b , d ) (mod 2π) Chứng minh Các điều kiện sau tương đương #» #» 1) ( #» a , b ) ≡ ( #» c , d ) (mod 2π) #» #» 2) ( #» a , #» c ) + ( #» c , b ) ≡ ( #» c , d ) (mod 2π) #» #» 3) ( #» a , #» c ) ≡ ( #» c , d ) − ( #» c , b ) (mod 2π) 106 Hướng góc #» #» 4) ( #» a , #» c ) ≡ ( b , d ) (mod 2π) Chú ý, theo định lí 255, ⇔ 2; hiển nhiên ⇔ 3; theo định lí 255, ⇔ #» #» Định lí 321 Với bốn vectơ-khác khơng #» a , b , #» c , d , ta có #» #» #» #» ( #» a , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( #» c , b ) (mod 2π) Chứng minh Theo định lí 255, ta có #» #» #» #» #» #» #» #» ( #» a , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( d , b ) + ( #» c , d ) ≡ ( #» a , d ) + ( #» c , b ) (mod 2π) Định lí 322 hệ trực tiếp định lí 301 .M L Định lí 322 Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ (mod π) a ∥≡ b D π A Định lí 323 Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ (mod π) LY M PI a ⊥ b Định lí 323 hệ trực tiếp định lí 302 O Định lí 324 Với hai đường thẳng a, b, ta có (a, b) ≡ − (b, a) (mod π) .M Định lí 324 hệ trực tiếp định lí 303 W Định lí 325 Nếu đường thẳng a, b, a , b thỏa mãn a ∥≡ a ; b ∥≡ b (a, b) ≡ (a , b ) (mod π) W W Định lí 325 hệ trực tiếp định lí 304 Định lí 326 Nếu đường thẳng a, b, a , b thỏa mãn a ⊥ a ; b ⊥ b (a, b) ≡ (a , b ) (mod π) Định lí 326 hệ trực tiếp định lí 305 Định lí 327 Nếu đường thẳng a, b, a thỏa mãn (a, b) ≡ (a , b) (mod π) a ∥≡ a Chứng minh Vì (a, b) ≡ (a , b) (mod π) nên, theo định lí 311, 324, (a, a ) ≡ (a, b) − (a , b) ≡ (mod π) Do đó, theo định lí 322, a ∥≡ a Định lí 328 Với bốn đường thẳng a, b, c, d, ta có (a, b) ≡ (c, d) (mod 2π) (a, c) ≡ (b, d) (mod 2π) 15 Một vài kết 107 Chứng minh Các điều kiện sau tương đương 1) (a, b) ≡ (c, d) (mod π) 2) (a, c) + (c, b) ≡ (c, d) (mod π) 3) (a, c) ≡ (c, d) − (c, b) (mod π) 4) (a, c) ≡ (b, d) (mod π) Chú ý, theo định lí 311, ⇔ 2; hiển nhiên ⇔ 3; theo định lí 311, ⇔ Định lí 329 Với bốn đường thẳng a, b, c, d, ta có (a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, b) (mod π) L Chứng minh Theo định lí 311, ta có D M (a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (d, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, b) (mod π) LY M PI A # » # » # » # » Định lí 330 Nếu ( AB, CD) ≡ ( X Y , ZT) (mod 2π) (AB, CD) ≡ (X Y , ZT) (mod π) O Định lí 330 hệ trực tiếp bổ đề 309 # » # » Định lí 331 Với hai vectơ-khác khơng AB, CD , ta có # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ π + (BA, CD) ≡ ( AB, DC) + π ≡ (BA, DC) (mod 2π) W W W M # » # » # » # » Chứng minh Theo định lí 32, AB ↑↓ BA , CD ↑↓ DC Vậy, theo định lí 255, 315, 318, ta có # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ ( AB, BA) + (BA, CD) ≡ π + (BA, CD) (mod 2π); # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ ( AB, DC) + (DC, CD) ≡ ( AB, DC) + π (mod 2π); # » # » # » # » ( AB, CD) ≡ (BA, DC) (mod 2π) Định lí 332 Với ba điểm đơi khác A, B, C , ta có # » # » # » # » # » # » ( AB, AC) + (BC, BA) + (C A, CB) ≡ π (mod 2π) # » # » # » # » # » # » Chứng minh Theo định lí 32, AB ↑↓ BA , BC ↑↓ CB, C A ↑↓ AC Vậy, theo định lí 255, 315, 331, ta có # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » ( AB, AC) + (BC, BA) + (C A, CB) ≡ ( AB, AC) + (BC, BA) + ( AC, BC) (mod 2π) # » # » ≡ ( AB, BA) ≡ π (mod 2π) W W W M O LY M PI A D M L .M L Tài liệu tham khảo W W W M O LY M PI A D [1] David Hilbert, Foundations of Geometry Open Court, Illinois, 1999 109 W W W M O LY M PI A D M L W W W M M D A PI O cát tuyến âm, 50 đối nguồn, 51 đặc số, 50 cách nguồn, 51 dấu, 50 nguồn, 51 hai góc định hướng hai tia-khác bẹt có đỉnh, 50 dương, 50 kề nguồn, 51 trái dấu, 51 cung đường tròn, 91 đầu mút, 91 số đo, 91 cung định hướng, 92 âm, 92 hướng, 93 dương, 92 đầu mút cuối, 92 đầu mút đầu, 92 hướng, 94 ngược hướng, 93 số đo, 92 cung lượng giác, 94 chu kì, 94 đầu mút cuối, 94 đầu mút đầu, 94 số đo, 95 LY M bổ đề ba hình thang, 6, 12 bổ đề bốn điểm, 51, 52, 54, 55, 57 bổ đề độ dài đại số, 70, 74 bổ đề gốc, 102, 104, 107 bổ đề hình bình hành, 68 bổ đề hình thang, 5, 12, 15, 16, 24, 78 bổ đề tia thuộc tia, 40, 42, 43 bổ đề trung điểm, 35, 36 L Tra cứu theo vần định hướng đường thẳng, 30 đoạn thẳng, đầu mút, miền trong, đoạn thẳng định hướng, 4, 30, 49 nhau, 10 hướng, 8–10 phương, 10, 30 độ dài, độ dài đại số, 31 đoạn thẳng sinh, 5, 29 hướng, 17 âm, 30 dương, 30 khác nhau, 10 ngược hướng, 9, 11 đoạn thẳng định hướng-không, 4, 5, 10, 11, 30, 31 đoạn thẳng-không, 3, miền trong, đường thẳng định hướng, 30 111 112 Tra cứu theo vần W W W M PI A D M L cạnh đầu, 88 cạnh cuối, 88 hướng, 89 ngược hướng, 88 số đo, 88 góc định hướng hai vectơ-bẹt, 87, 90 số đo, 88 góc định hướng hai vectơ-khác bẹt, 87, 90 góc hai đường thẳng, 95 cạnh, 96 số đo, 96 góc hai tia, 37, 38, 68, 92 đối đỉnh, 40 đỉnh, 38 cạnh, 38 tương ứng hướng, 43 tương ứng ngược hướng, 44 miền trong, 37, 44, 91 số đo, 38, 87, 96 tương thích với góc hai đường thẳng, 96, 97 tương thích với góc hai vectơ, 86 góc hai tia-bẹt, 38, 39, 69, 92 ảnh phép tịnh tiến, 70 miền trong, 38 góc hai tia-khác bẹt, 38, 69 ảnh phép tịnh tiến, 69 góc hai tia-khác khơng, 38 góc hai tia-khơng, 37–39, 81, 92 miền trong, 37 góc hai vectơ, 86 cạnh, 86 số đo, 87 góc lượng giác hai đường thẳng, 101, 105 cạnh đầu, 101 cạnh cuối, 101 chu kỳ, 101, 104 góc định hướng hai đường thẳng sinh, 101 số đo, 101 góc lượng giác hai tia, 82, 95 đỉnh, 83 cạnh đầu, 83 LY M O góc định hướng hai đường thẳng hướng, 98 cạnh đầu, 98 cạnh cuối, 98 hướng, 99 khác vuông, 97 số đo, 98 ngược hướng, 98 vuông, 97 số đo, 98 góc định hướng hai tia, 45, 75 đỉnh, 44 cạnh đầu, 44 cạnh cuối, 44 số đo, 81, 93 tương thích với đa giác lồi, 81 tương thích với tam giác, 78 góc định hướng hai tia-bẹt, 44, 69, 70, 75 miền trong, 44, 75 góc định hướng hai tia-khác bẹt, 45, 50, 69 ảnh phép tịnh tiến, 69, 70 cát tuyến, 49 âm, 62 đối nguồn, 54 dấu, 50 dương, 62 đỉnh, 47 hướng, 63 sở, 45, 47 phần hình, 49, 50 tia sở, 45 đặc số, 50 miền trong, 44 ngược hướng, 63 vết, 49 góc định hướng hai tia-khác khơng, 44 hướng, 76 góc định hướng hai tia-không, 44, 45, 47, 61, 93 hướng, 63, 67, 75 hướng âm, 77 hướng dương, 77 ngược hướng, 63, 67, 75 góc định hướng hai vectơ hướng, 88 Tra cứu theo vần 113 cạnh cuối, 83 chu kỳ, 83, 86 góc định hướng hai tia sinh, 83 số đo, 83, 95 góc lượng giác hai vectơ, 90, 105 cạnh đầu, 90 cạnh cuối, 90 chu kỳ, 90, 91, 104 góc định hướng hai vectơ sinh, 90 số đo, 90 quan hệ nhau, 18 lớp tương đương, 18 hướng, 17, 20 lớp tương đương, 17, 20, 26, 28 phương, 17, 21, 29 lớp tương đương, 21, 27, 29 tương đương, 17, 18, 20, 26, 28 PI A D M L tia hướng, 21 phương, 22 hướng tia, 26 ngược hướng, 22 phương tia, 27 tia sở, 45 phần hình, 45, 46 cách kí hiệu chuẩn, 46, 48 phần số, 45, 48 W W M W mặt phẳng định hướng, 81 nguồn, 47, 48 âm, 48 đối nhau, 48, 51 đặc số, 48 ảo, 48 cách nhau, 49, 51 dấu, 48, 49 dấu, 48 dương, 48 kề nhau, 49, 51 nguồn sinh, 50 thực, 48, 50 trái dấu, 48, 49 phép tịnh tiến, 69, 70 vectơ, 18 độ dài, 19 định hướng, 31 nhau, 19 hướng, 18 phương, 19 hướng vectơ, 20 ngược hướng, 19 vectơ-khơng, 18 LY M O hình thang-khơng, 4, 9, 11 hệ thức Chasles cung, 92 cung lượng giác, 95 đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng, 33 góc hai tia, 39 góc lượng giác hai đường thẳng, 104 góc lượng giác hai tia, 83 góc lượng giác hai vectơ, 91 hướng âm, 30, 77 dương, 30, 77 hướng đa giác lồi, 81 hướng tam giác, 80 âm, 81 dương, 81 hướng hỗn tạp, 28, 29 ngược nhau, 29 phương hỗn tạp, 29–31 NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ M L Hướng hình học phẳng D Số - Ngõ 26 - Phố Hoàng Cầu - Hà Nội A ĐT: (04)66860751 - Fax: (04)66860752 PI VPGD: Số 45 TT2 KĐT Văn Phú - Q Hà Đông - TP Hà Nội LY M Email: nxbdantri@gmail.com O Website: nxbdantri.com.vn M Chịu trách nhiệm xuất bản: Bùi Thị Hương Chịu trách nhiệm thảo: Nguyễn Phan Hách - Đỗ Hoàng Sơn W Biên tập: Nguyễn Duy Khánh W W Trình bày: Nguyễn Duy Khánh Bìa: Quách Lê Anh In 2000 cuốn, khổ 16 x 24 cm Công ty TNHH In DVTM Phú Thịnh Lô B2-2-5 KCN Nam Thăng Long - Bắc Từ Liêm - Hà Nội Số đăng ký KHXB Quyết định xuất số Nhà xuất Dân Trí cấp ngày In xong, nộp lưu chiểu quý II/2015 ... ngược hướng hai góc định hướng hai tia 10.1 Hai góc định hướng hai tia có đỉnh 10.2 Hai góc định hướng hai tia 10.3 Hướng góc định hướng hai tia, mặt phẳng định hướng 10.4 Hướng tam giác hướng. .. giác định nghĩa thơng qua đồng hồ đồng hồ lại khái niệm hình học phẳng Trong hệ tiên đề Hilbert hình học Euclid phẳng, gọi tắt hình học phẳng, khái niệm phải định nghĩa thông qua hai khái niệm... Toán học W Với mà tơi biết TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn đề hợp lý Hướng hình học phẳng , sách tài liệu đáng đọc cho quan tâm tới hình học phẳng, đặc biệt sinh viên khoa Toán trường Đại học