CHUONG 0 (Giai tich to hop) - V2.51 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HP PHẦN 1: XÁC SUẤT Chương học số quy tắc đếm thông dụng 0)Nguyên lý cộng 0)Nguyên lý cộng Ví dụ 1: Một công việc để thực ta phải phân trường hợp, giả sử có trường hợp A, B, C Nếu xảy trường hợp A xảy trường hợp B C Nếu xảy trường hợp B xảy trường hợp A C Tương tự cho C Trường hợp A có mA cách làm Trường hợp B có mB cách làm Trường hợp C có mC cách làm Vậy số cách để hoàn thành công việc mA+mB+mC Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhân gồm có: xe đạp, xe gắn máy, xe Phương tiện công cộng gồm có: xe bus, xe taxi, xe ôm, xe xích lô (Sinh viên phải chọn loại phương tiện trên, không xét Bồ chở!!!) Câu hỏi: Có cách để sinh viên đến lớp? Có tất 3+4 = cách ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 I) NGUYÊN LÝ NHÂN Ví dụ 2: Một công việc để thực phải qua giai đoạn A, B Giai đoạn A có m cách thực hiện, giai đoạn B có n cách thực Hỏi có cách thực xong công việc? Cửa hàng bán loại hoa: hoa Lan hoa Hồng Lan gồm có: lan Hoàng hôn, lan Hồ điệp Hồng gồm có: hồng Đỏ thổn thức, hồng Xanh huyền bí, hồng Trắng trinh nguyên Chàng SV đến cửa hàng mua hoa tặng nàng Có cách lựa chọn để chàng mua hoa? Giải: Ứng với cách giai đoạn A, ta có n cách thực giai đoạn B A B Giải: Số cách 2+3 = n Ví dụ 1: VD2: A2 A3 Đi từ A1 đến A3 phải qua A2 Từ A1 đến A2 có đường đi, từ A2 đến A3 có đường Có cách để từ A1 đến A3? B n Vậy: Có m*n cách để thực công việc A1 m A1 A2 A3 Đi từ A1 đến A3 có lựa chọn: * Đi trực tiếp từ A1 đến A3 * Đi gián tiếp từ A1 qua A2 tới A3 Có cách để từ A1 đến A3? Giải: Giải: Số cách từ A1 đến A3 3*2 = Số cách từ A1 đến A3 2+3*2 = 8 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Ví dụ 3: Ví dụ 4: Một người có áo, quần Hỏi có Một người có áo, quần, nón Hỏi có cách mặc đồ? HD: Công việc mặc đồ có giai đoạn ta phải thực là: mặc áo, mặc quần Mặc áo: có cách Mặc quần: có cách Vậy ta có: 6*5 = 30 cách cách mặc đồ đội nón? HD: Công việc mặc đồ đội nón có giai đoạn ta phải thực là: mặc áo, mặc quần, đội nón Mặc áo: có cách Mặc quần: có cách Đội nón: có cách Vậy ta có: 4*3*3 = 36 cách Mở rộng: Một công việc để thực có nhiều giai đoạn 10 II) CHỈNH HP Một số cách treo cụ thể: Ví dụ 1: Có tranh móc treo tường Có cách treo tranh (mỗi móc treo tranh)? HD: Công việc treo tranh có giai đoạn sau: gđ1: treo tranh thứ Ta chọn móc treo từ móc treo, có cách chọn (còn lại móc treo) cách Còn móc gđ2: cách Còn móc gđ3: cách Còn móc gđ4: cách gđ5: Caùch 1: Caùch 2: Caùch 3: Theo nguyên lý nhân ta có: 7*6*5*4*3 = 2520 cách treo 11 Móc Lấy móc có thứ tự (có để ý trật tự lấy) 12 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH Nhận xét Mỗi cách treo tranh cách lấy móc treo từ móc treo Đây cách lấy có thứ tự, trật tự lấy móc khác cho ta cách treo tranh khác 13/04/2015 ĐN: Một chỉnh hợp n chập k (chỉnh hợp chập k n) cách lấy k phần tử khác (có để ý thứ tự, trật tự xếp) từ n phần tử khác Số chỉnh hợp : A(k,n)= Với n!=1*2*3* *n , quy ước 0!=1 Vậy số cách lấy có thứ tự phần tử từ phần tử tính nào? 13 Ank n! (n k )! Ví dụ: Theo ví dụ ta có: Một cách treo tranh cách chọn móc treo khác từ móc treo (có để ý đến vị trí chúng) Mỗi cách treo chỉnh hợp chập 5: 14 A(5,7)=7*6*5*4*3 Nhận xét: Ví dụ 2: Mỗi k phần tử lấy từ n phần tử tạo thành nhóm Có 10 người có chức vụ: TP, PP, TL, TKR Các nhóm khác do: - Các phần tử nhóm khác Vd: 1234 khác 3456 - Thứ tự, trật tự xếp phần tử nhóm khác Vd: 1234 khác 3412 15 Hỏi có cách chọn người bố trí chức vụ? Giải: Số cách A(4,10)= 5040 Ví dụ 3: Tập có chữ số A= {1,2,….,9} Có số nguyên dương số có chữ số khác tạo từ tập A? Giải: Có A(4,9)= 3024 số 16 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 3) Hoán vị: 13/04/2015 HD: a) A B C D Mỗi cách xếp người hoán vị người có 4! Cách b) 4! c) Có n phần tử khác Một hoán vị n phần tử cách xếp n phần tử theo thứ tự xác định NX: Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp, với k = n Số hoán vị: P(n)= n! (= A(n,n)) 17 Ví dụ 1: Có người Có cách xếp người này: a) ngồi thành hàng dài b) ngồi vào bàn tròn có đánh số c) ngồi thành vòng tròn 18 Lưu ý: 19 Chọn người làm mốc, ta thấy vị trí bắt đầu người không quan trọng (ví dụ: A làm mốc, A vị trí tương tự A vị trí 2) Chỉ xếp người lại : có 3! cách Ví dụ 2: Có nam nữ Có cách bắt đôi? Nếu ngồi thành hàng dài có đánh số ta xếp canh theo số, có 4! cách xếp Vậy ngồi thành hàng dài mà không đánh số 4! hay 3! (giống ngồi thành vòng tròn không đánh số)? HD: Trái A B C D Phải Người thứ (giả sử A) ngồi bên trái Người thứ (giả sử B) ngồi kế A Người thứ (giả sử C) ngồi kế B Người thứ (là D) ngồi kế C (Một đôi nam với nữ, không xét đôi môi Mr ĐVH – tin hot 11/2012) Giải: Cố định nữ, cho nam chọn nữ Có 4! cách 20 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 HD: 4) Tổû hợp: Một tổ hợp n chập k cách lấy k phần tử khác (không để ý thứ tự xếp) từ n phần tử khác Số tổ hợp : C(k,n)= Cnk 21 n! k!(nk)! VD: Một phòng làm việc công ty có 30 nhân viên a) Có cách giám đốc chọn BLĐ phòng gồm người b) BLĐ phòng gồm: trưởng phòng, phó phòng, thư ký Hỏi có cách chọn BLĐ phòng a) Một BLĐ phòng cách chọn người từ 30 người (chọn tùy ý, không quan tâm thứ tự xếp) Mỗi cách chọn tổ hợp Số cách chọn C(3,30) b) Cách 1: Vì người BLĐ có chức vụ rõ ràng: TP, PP, TK có để ý thứ tự xếp Số cách chọn A(3,30) 22 Bình loạn: Cách 2: Chia thành gđ: gđ1: chọn tùy ý người từ 30 người: có C(3,30) cách gđ2: ứng với người chọn, định người làm TP, người làm PP, người làm TK: có 3! Cách Vậy có: C(3,30)*3! Cách NX: A(k,n) = C(k,n)*k! C(k,n) = A(k,n) / k! NX: Tổ hợp: nhóm khác phần tử Qua VD bạn có cảm nhận “vô thường” đời! Ta có cách chọn: C1: Chọn người có định chức vụ từ đầu C2: Chọn tùy ý người, sau định chức vụ cho người Theo bạn cách chọn có cho kết nhau?! Dưới góc độ khoa học tự nhiên: c1 c2 cho kết nhóm khác 23 24 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Bình loạn: (tt) Ví dụ 2: Dưới góc độ khoa học xã hội: c1 c2 cho kết khác Một ngân hàng đề thi có 10 câu hỏi tự luận Mỗi lần “1 trời vực”! Tại ư?! Khi GĐ chọn người, thời gian chuẩn bị định chức vụ cho người người lo “vận động hậu trường” cho chức vụ rồi, vận động “mạnh hơn” làm TP Bạn nói: “Khờ quá! Ai lại c2 xảy Khi GĐ dự định chọn BLĐ phải lo vận động cho chức vụ TP chứ” ???????!!!!!!! Ừ! Khờ thiệt! 25 26 5) Chỉnh hợp lặp: Ví dụ 0: Tập A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Coù Mã số có chữ số tạo từ tập A? HD: CS1 10 CS2 10 CS3 10 CS4 10 Vậy có: 10*10*10*10 = 104 = 10.000 Mã số Với vd k= n= 10 27 thi lấy ngẫu nhiên câu để tạo thành đề thi Có đề thi khác tạo từ ngân hàng đề thi? Giải: Số đề thi C(4,10)= 210 5) Chỉnh hợp lặp: Ví dụ 1: Có sách ngăn tủ, ngăn chứa sách Hỏi có cách xếp sách vào ngăn tủ? HD: CS1 CS2 CS3 CS4 CS5 3 3 Vậy có: 3*3*3*3*3 = 35 = 243 cách xếp Với vd k= n= 28 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 5) Chỉnh hợp lặp: ĐN: Một chỉnh hợp lặp n chập k cách chọn k phần tử ( có để ý thứ tự) từ n phần tử khác Mỗi phần tử lặp lại tới k lần Ví dụ 2: Tín hiệu Morse (Moóc-xơ) quy ước có độ dài tín âm Mỗi tín âm Tít (T) te (t) Vd: TTTT, TTTt, tTTT, TTtt, Tttt, tttt (TTTT có nghóa I, TTtt nghóa L, tttt có nghóa U) Hỏi có tín hiệu Moóc-xơ tạo thành? HD: Tâ1 Tâ2 Tâ3 Tâ4 2 • • Số chỉnh hợp lặp: ~ • A*(k,n)= B(k,n) = Ank = nk • NX: • k lớn n Vậy có: 2*2*2*2 = 24 tín hiệu Moóc-xơ 29 Với vd k= n= 6) Hoán vị lặp: Ví dụ 1: Nhắc lại: tạo từ A? Giải: Số mã 3!= Ví dụ 2: A= {1, 2} Có mã số có chữ số tạo từ A, với chữ số xuất lần? Giải: Số hoán vị n phần tử khác là: P(n) = n! Ta cóù n phần tử, có: n1 phần tử có tính chất A1 n2 phần tử có tính chất A2 nk phần tử có tính chất Ak với 31 30 n1+n2+ +nk = n Số hoán vị n phần tử là: n! / (n1! n2! nk!) A= {1, 2, 3} Có mã số có chữ số khác 1a1b2 , 1b1a2 ; 1a21b , 1b21a ; 21a1b , 21b1a Số mã laø 3! / 2! = 32 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 VD4: Có 10 người định cư vào nước: Anh, Pháp, Mỹ Nước Anh nhận người, nước Pháp nhận người, nước Ví dụ 3: Tập A= {1, 2, 5} Có mã số có chữ số tạo từ tập A, với chữ số xuất lần, chữ số xuất lần, chữ số xuất lần? Vd: 1122555, 1221555, 1252155 … Giải: Số mã 7! / 2! 2! 3! = 210 Cách 2: Dùng nguyên lý nhân? 33 34 Cách 2: Chia thành gđ: gđ1: Chọn tùy ý người vào nước Anh: có C(3,10) cách lại người xếp vào nước Pháp, Mỹ gđ2: Chọn tùy ý người (trong người lại) vào nước Pháp: có C(3,7) cách gđ3: Chọn tùy ý người (trong người lại) vào nước Mỹ: có C(4,4) = cách Vậy có: C(3,10)*C(3,7)*C(4,4) = 10! / (3! 3! 4!) cách 35 Mỹ nhận người (Không quan tâm thứ tự người vào nước…) Hỏi có cách xếp? HD: Ta có 10 người, có: người có tính chất A1 (cùng định cư Anh) người có tính chất A2 (cùng định cư Pháp) người có tính chất A3 (cùng định cư Mỹ) Vậy có: 10! / (3! 3! 4!) Cách TÓM LẠI Tổng kết quy tắc đếm Ta có toán tổng quát sau: có n phần tử, chọn k phần tử Các trường hợp: a) Nếu không để ý thứ tự: tổ hợp b) Nếu có để ý thứ tự: b1) Nếu k=n: * Nếu n phần tử khác nhau: hoán vị * Nếu n phần tử có phần tử có tính chất: hoán vị lặp b2) Nếu k≠n k phần tử lấy khác nhau: chỉnh hợp b3) Nếu k≠n phần tử lặp lại (tối đa k lần): chỉnh hợp lặp Nếu ta không áp dụng quy tắc: chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, tổ hợp, hoán vị, hoán vị lặp: dùng quy tắc nhân / quy tắc cộng (chia công việc thành số giai đoạn, số trường hợp) 36 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Hd1: Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức tính tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị Xem hướng dẫn sử dụng trang web tác giả a) Có C(1,20)*C(1,10) cách b) Có C(3,20)*C(3,10) cách Bài tập Lớp có 30 sinh viên, có 20 nam Trong buổi khiêu vũ, có cách: a) Chọn đôi b) Chọn nam, nữ c) Chọn đôi c) Chia thành gđ: gđ1: chọn nam, nữ: có C(3,20)*C(3,10) cách gđ2: ứng với nam, nữ vừa chọn bắt đôi (cố định nữ, cho nam chọn nữ) cách bắt đôi hoán vị nam có 3! cách bắt đôi Vậy có: C(3,20)*C(3,10)*3! cách (1 đôi nam nữ) 37 38 Hd2: bt2 a) Có A(5,7) tín hiệu Để báo tín hiệu biển người ta dùng cột cờ với màu khác (Vd: Đ Đ Đ Đ Đ tín hiệu SOS, T V T X T) Hỏi có tín hiệu, có: a) màu khác b) có màu tùy ý c) cờ kế không màu b) Có 75 tín hiệu c) Đ V c4 Ñ c5 Ñ T X V Ñ c1 c2 c3 c4 c5 2: có cách 3: có 4: coù 5: coù Vậy có: 7*6*6*6*6*6 tín hiệu NX: Sự khác câu b c Mỗi cột cờ gắn cờ Lá cờ nhiều có màu cờ Đ c3 Cờ 1: có cách chọn màu Lưu ý: 39 c1 X c2 40 10 ThS Phạm Trí Cao * Chương # OTCH 13/04/2015 Hd3: Bt3: a) Có C(3,10) cách Hộp có 10 bi, có bi Trắng bi Xanh Lấy b) Có C(3,6) cách ngẫu nhiên từ hộp bi a) Có cách lấy bi? b) Có cách lấy bi Trắng? c) Có cách lấy bi Trắng bi Xanh? d) Có cách lấy bi Trắng bi Xanh? e) Có cách lấy bi Trắng? f) Có cách lấy bi Xanh? g) Có cách lấy nhiều bi Xanh? 41 c) Có C(2,6)*C(1,4) cách d) Có C(1,6)*C(2,4) cách e) Có C(3,4) cách f) Số cách lấy bi Xanh C(1,6)*C(2,4) 42 Phụ lục: Các hàm tính toán thông dụng EXCEL Quy ước: Quyển (*) quyển: Tổ hợp: COMBIN(8,2) = C Chỉnh hợïp: PERMUT(100,3) = A3 100 Hoán vị: FACT(5) = 5! ~ Chỉnh hợp lặp: POWER(5,2) = A = 52 Hoán vị lặp: MULTINOMIAL(4,2,3) = 9! 4!2!3! LN(e) = , LN(5) = 1,6094 LOG10(5) = log10(5) = lg(5) = 0,6990 LOG10(10) = 43 Soá cách lấy bi Xanh C(3,4) Vậy số cách lấy bi Xanh = số cách lấy bi X + số cách lấy bi X g) Số cách lấy nhiều bi Xanh = số cách lấy bi X + số cách lấy bi X+ số cách lấy bi X = b) + c) + d) Hoaëc: g) = a) – e) BÀI TẬP XSTK, ThS Lê Khánh Luận & GVC Nguyễn Thanh Sơn & ThS Phạm Trí Cao, NXB ĐHQG TPHCM 2013 Xem thêm số dạng tập quy tắc đếm (*) 44 11 ... lặp: Ví dụ 0: Tập A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Có Mã số có chữ số tạo từ tập A? HD: CS1 10 CS2 10 CS3 10 CS4 10 Vậy có: 10* 10* 10* 10 = 104 = 10. 000 Mã số Với vd k= n= 10 27 thi lấy... OTCH 13 /04 / 201 5 Hd1: Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức tính tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị Xem hướng dẫn sử dụng trang web tác giả a) Có C(1, 20) *C(1, 10) cách b) Có C(3, 20) *C(3, 10) cách... A = 52 Hoán vị lặp: MULTINOMIAL(4,2,3) = 9! 4!2!3! LN(e) = , LN(5) = 1, 609 4 LOG 10( 5) = log 10( 5) = lg(5) = 0, 69 90 LOG 10( 10) = 43 Số cách lấy bi Xanh C(3,4) Vậy số cách lấy bi Xanh = số cách