ANH XA VA GIAI TICH TO HOP

ANH XA VA GIAI TICH TO HOP tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp II ÁNH XẠ VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP ÁNH XẠ VD1 : Cho ánh xạ f : R  R xác định bơi f(x)=2x3+1 Tìm f(0), f(1), f 1 (1), f 1 ([1;17]), f([0;1]) Giải : 3 -1 f(0)=2.0 +1=1; f(1)=2.1 +1=3; f (1)= x  R / f (x)  1 = x  R / 2x   1  0 f 1 ([1;17])= x  R /1  f (x)  7 = x  R /1  2x   17 = x  R /  2x  16  x  R /  x  8 = x  R  x  2  [0;2] f([0;1])= f (x) /  x  1 Ta có:  x    x    2x    2x   Vây f([0;2])=[1;3] VD : Chứng minh ánh xạ f : R  R xác định f(x)=2x3+1 song ánh tìm ánh xạ ngược Giải : x , x  R mà x1  x  2x13   2x 32   2x13  2x 32  f (x1 )  f (x )  f đơn ánh.(1) y  R,f (x)  y  2x   y  2x  y   x  Vậy, y  R, x  y 1  y 1 y 1  x 2  f toàn ánh (2) Từ (1) (2), suy f song ánh Ánh xạ ngược : f 1  R  R y  ánh xạ ngược f Cách : y 1 Như y  R, y  R, xét phương trình y=f(x)  y  2x   x  y 1 phương trình y=f(x) có nghiệm x  nên f song ánh VD3 : cho ánh xạ f : R  R y x x f (x)  3x  x  a) f có phải làm song ánh không ?Tại ? b) Tìm f(0), f(1),f([0,1]) ; f 1 ([0;2]) Giải : b 1 1 )  f (       3 2a 36 12 Với y= -3, xét phương trình f(x)=-3  3x  x   3  3x  x   =0 a) Ta có : f ( Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp   4.3  pt vô nghiêm Như với y=-3, pt f(x)=-3 vô nghiệm nên f làm toàn ánh  f làm song ánh + Xét tính đơn ánh :  x1  Ta có : f(x)=-2  3x  x   2  3x  x   x(3x  1)   x2   Như với x1  0, x  ta có x1  x f (x1 )  f (x )  2 Vậy f không 2 phải làm đơn ánh b) f (0)  2, f (1)  , f (0,1)   f (x), max f(x)   0;1  0;1 25  25  Trong : min(fx)=min f (0), f (1), f ( )  = 2,0,   0,1    12  12 Max f(x)=max f (0), f (1), f ( )  =0   25  Vậy f( 0;1)   ;0   12   0,1   f 1 (0; 2)  x  R / f (x)  0, 2  x  R /  f (x)  2 2   x   x  3x  x   2  1   Ta có :  f (x)     x   1;    1;  3  4  3x  x    1  x   Vậy f 1 (0; 2)   1;    1;  3  3  VD4 : Ánh xạ f :R  R xác định f(x)= 3x có phải đơn ánh, toàn ánh không x2  ? Giải + Xét tính đơn ánh : 3x1 3x  3x1 (x 2  1)  3x (x12  1)  2 x1  x   x1x 2  x1  x x12  x  (x1  x )  x1x (x  x1 ) =0    (x1  x )  x1x (x  x1 )   x1 , x , ta có: f (x1 )  f (x )   x1  x  (x  x1 )  x1x (x  x1 )   (x  x1 )(1  x1x )     x1x  Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp Chọn x1=3 x2= , ta có x1  x 9 f (x1 )  f (3)  , f (x )  f ( )   f (x1 )  f (x ) nên f đơn ánh 10 10 + Xét tính toàn ánh : 3x  yx  3x  y  y  , xét phương trình y = f(x)  y  x 1 + Nếu y = phương trình có nghiệm x = + Nếu y    4y , chọn y = ta có  nên pt vô nghiệm Vậy với y = pt f(x) = vô nghiệm Nên f toàn ánh Bài tập : Bài : Cho f : R  R,f (x)  x  3x  a) Hỏi f có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại ? 1 b) Tìm f ( 1; 2);f 1 ( 1; 2) , f ( 1;1) Giải ( Phú làm) 2 b 3 9 a) Ta có : f ( )  f ( )  ( )   =      2 2a 2 4 Với y = -2, xét phương trình f(x)=-2  x  3x   2  x  3x    32  4.1.3  3  pt vô nghiệm Như với y =-2 pt f(x)=-2 vô nghiệm nên f làm toàn ánh Suy ra, f làm song ánh + Xét tính đơn ánh :  x1  x  Với y=1, Ta có : f(x)=1  x  3x    x  3x   x(x  3)    Như với x1  0, x  Ta có x1  x f (x1 )  f (x ) Vậy f làm đơn ánh b) + f([-1 ;2])=[min f(x);max f(x)]  1; 2  1; 2 5 Trong : f(x)= f (1), f (2), f ( )  = 5, 1,       1; 2 4  4   Max f(x)= max f (1), f (2), f ( )  = 5, 1,    5   4   1; 2 Vậy f([-1;2])=[  ;5 ] 1 + f ( 1; 2) = x  R / f (x)   1; 2  x  R /   f (x)  2  x   x  2  x  3x   1  x  3x     Ta có 1  f (x)       13  13 x  x  3x    x  3x     Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp   13    13   x ;1   2;        13    13  Vậy f 1 ( 1; 2)   ;1   2;      + f ( 1;1) = x  R / f (x)   1;1  x  R /   f (x)  1 1  x  3x   1  x  3x   x   x  Ta có 1  f (x)      0  x   x  3x    x  3x   x   0;1   2;3 Vậy f 1 ( 1; 2)   0;1   2;3 Bài : Cho ánh xạ f :R ánh tìm ánh xạ ngược R , xác định f(x)= 5x  Chứng minh f song Giải y  , xét phương trình y=f(x) y2 y2 3 x  Như y  , phương Ta có : y= 5x   x  5 y2 trình y=f(x) có nghiệm x  nên f song ánh Ánh xạ ngược : f 1 :R  R y2 Bài : Cho ánh xạ f : R  R với f (x)  3x  chứng minh f song ánh 1 Tìm f (0;2),f (0;2) , f ( 2; ) y x Giải y  , xét phương trình y=f(x) y2 y2 3 x  Như y  , phương Ta có : y= 3x   x  3 y2 trình y=f(x) có nghiệm x  nên f song ánh + f ( 0;2)  f (x) /  x  2 3 Ta có :  x    x    3x  24   3x   26 Vậy f (0;2)   2;26 Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp + f (0;2)  x  1 x  /  f (x)  2 = /  3x   2  ...http://123fullpdf.blogspot.com/ ... nên f không song ánh - Xét tính to n ánh : y=1, xét pt f(x)=1  x    x  1  ( vô nghiệm) f không to n ánh Bài 12 : f :   : f (x)  x  Xét tính đơn anh, to n ánh, song ánh Giải - Xét tính... ánh + Xét tính to n ánh : Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần to n cao cấp Với y =5,xét pt f(x)=5  5x    5x   5x   0x  3 ( vô nghĩa) x 1 Vậy f không to n ánh, nên f... (x)  x   Xét tính đơn anh, to n ánh, song ánh Giải - Xét tính đơn ánh : Ta có x1  1, x  1, x1  x f(x1)=f(x2)  f không đơn ánh, nên f không song ánh - Xét tính to n ánh : y=-1, xét pt f(x)=-1