Hai nti dé
Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VA XÁC SUẤT” là một phân của
“ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các dé thi
Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học
sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng “chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thức Newton” Về phần xác suất, học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi
Cao đẳng và Đại học Qua nhiều năm giảng dạy ở THPT và Luyện
thi Đại học Chúng tôi viết cuốn sách “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ
XÁC SUẤT” này nhằm giúp các em có một hệ thống bài tập từ
thấp đến cao, giúp các học sinh phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”,
khi nào dùng “chỉnh hợp” Tính xác suất các biến cố, một cách hệ thống để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán
Mặc dù đã cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi những
thiếu sót Rất mong sự góp ý của các em học sinh và độc giả, để
lần tái bản sau sách được hoàn thiện hơn Rất cảm ơn
Tác giả
Trang 4GIAI TICH TO HOP KIEN THUC CAN NHO | GIAI THUA 1 Dinh nghia Với n e Z2, n!=1,2,3, ,n O!=1, 11=1 2 Tinh chat 1 nt _ 1.2 K(k + 1k + 2) n =(k + 1k + 2) n niin + 1) =(n + 1)!; — k! 1.2 k Vớin,ke Z vak <n II NGUYÊN LÍ CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM 1 Quy tắc nhân
Một hành động H gồm có các hành động liên tiếp A, B, C và nếu có
m cách thực hiện A, n cách thực hiện B, p cách thực hiện C, thì ta có m xn x p cách thực hiện H
Quy tắc cộng
Trang 5- n + ck 1 -—c* 1 n-1 k n-l ck _ ck n-1 À ` ck _ c0 Cc} C2 Cc = 2n va > n =~ Gy +O, +n + + Ga = k=0 IV NH] THUC NEWTON — Ta có : ; ~ (a+b) = Cla" +Cl +Cla"'b+ +Cka® — be + +C2b" n = S Cha" kpk k=0 ~ (a—b)" = Cea® -Cla® 'b+ +(-D*CKa® Kb* + + (-D)" Ch b" II " > (-1)* cha" kpk k=0 — Tam gidc Pascal : 1 : 1 2 1 1 3 3ä 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 #5 1 Hàng thứ n của tam giác Pascal là các hệ số của khai trién (a + b)” V CHỈNH HỢP 1 Định nghĩa
Mỗi cách xếp đặt k phần tử được lấy từ một tập hợp có n phần tử
(0 <k<n;k,ne Z2”) được gọi là một chỉnh hợp n chập k phần tử n! (n —k)! 2 Số chỉnh hợp n chap k la AX = VỊ HOÁN VỊ 1 Định nghĩa
Mỗi cách xếp đặt n phần tử của một tập hợp có n phần tứ, theo một
thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị n phần tử
2 Số hoán vị n phần tử là P,„ = n!,n e Z
VII HOÁN VỊ TRÒN
1 Định nghĩa
Môi cách xếp đặt n phần tử trên một đường tròn theo một thứ tự nhất định, được gọi là một hoán vị tròn phần tử
Trang 6CAC DAU HIEU CHIA HET Số chia hết cho 2 : có số tận cùng là 0 2, 4, 6, 8 Số chia hết cho 3 : có tổng các chữ số chia hết cho 3 Ví dụ : 276 có 2 + 7+6 = 1ỗ chia hết cho 3 Số chia hết cho 4 : có tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 13712, 197808) Số chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5
Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 3 và chia hết cho 38
Trang 7Giới Ta có 1 1 1 aco: ————=—- k(k +1) k k+l n 1 lì 1 1 \ 1 Do đó : C, = ——-= —-— I=1- man ' *>;xk+D Dy k+1) n+l 1)! 5 Giai phuong trinh : inte 272 (n - 1)! Gidi ! _1)! Taco: (n+)! ro o (w= Vn +D _ a9 â n(nÂ+1)=72 voinegl (n - 1)! (n - 1)! ©en +n-72=0 © n=8,n=-9 (loại) 6 Chung minh rang: (n!)’ > n" vdin € Z, n> 2 Giai Xét số nguyên dương thỏa mân điều kiện 1<k<n- 1 en-k-1>0 ô@nk-k>0ô=nk-k+n-k-n>0 â n(n+k)- k(k+ 1)>0 6(kx+ll'n-k)>n Lan luot cho k = 1, 2, 3, ., (n — 2): Với n > 2, ta Có : 2(n- 1)>n | 3(n - 2) >n 4n-3)>n (n - 1Jn -(n- 2)]>n c© 2.3.4 (n — 1).2.3.4 01- 1) >n"? = [2.3.4 (n- 1) > nn" © [(n- 1) >n* Nhân hai vế với n, ta có :(n!) > n" 7 Chung minh rang: n! > 2" ' vớineZvàn >3 Giai Dùng phương pháp quy nạp : - Khin= 3, ta có : 3! = 6 > 2° = 4 (dung)
- Giả sử bài toán đúng với n = k(k e Z,k>3), tức là ta có :k!>2h} (1) — Ta chứng minh bài toán đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh
(k + 1)! > 2,
Trang 9
\k \ k+l k ⁄ k+l ¬.-a me (Ket) e (k +1)* e Vay (3) dung (k Ta có :(k+ 1)! = klk + 1)> (k +1) = Le - ol > e e k oH ' k n “ 1 yt Theo nguyén li quy nap ta két luan n! > (2) đúng Vn e Z” e 1 QUY TAC DEM
1 QUY TAC NHAN
10 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm
năm chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ?
Giải
Goi n =a,a,a,a,a, 1a so can lap Co hai truéng hop :
— Nếu ai = 5 thì ta có 1 cach chon a, 6 cách chọn a; 5 cách chọn a; 4 cách chọn ay _8 cach chon a, Trường hợp này ta có : 1x6x5x4>x3= 360 số
~ Nếu a; #5 : Có bốn vị trí chữ số 5 trong n ứng với một vị trí của 5 ta
Trang 10Giải Xét một hdc co 8 6 trong [| | |
Có 7 cách lấy chữ số 0 bo vào hộc tdo a, # 0)
Có 7 cách lấy chữ số 2 bó vào hộc do còn 7 hoc trống Có 6 cách lấy chữ sô 3 bỏ vào hộc do con 6 hoc trống €ó 5 cách lấy chữ số 4 bo vào hộc do còn 5 hoc trống Co 4 cách lấy chữ số 5 bỏ vào hộc do còn 4 hộc trống Có 1 cách lấy chữ số 1 bỏ vào hộc do còn 3ä hộc trống Vậy số các số n được lập là : 2 - 7 * 6x5 x 4= 5880 số n 12 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số, trong đó hai chữ số kể nhau pha! khác nhau Giái Gọi n = a¡a›a;a¿a; là số cần lập Ta có: 9 cách chọn a;¡ (vì a z 0) 9 cách chọn a; (vì a¿ z ai) 9 cách chọn a; 9 cách chon a, 9 cách chọn a; Vay tacd:9x9x9x9x9=9" = 59049 số n,
13 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau (chú ý chữ số đầu
tiên không được bằng 0) Giải Gọi n = aia;asa; là số cân lập Taco: 9 cách chọn a¡ (vì a + 0) 9 cach chon a, 8 cách chọn a; 7 cách chọn a¿ Vậy ta có: 9x9x8 x7 = 4536 số n
14 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, lập nên từ các chữ số 1,2,3, 4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện sau :
a) Bắt đầu bởi chữ số ð b) Bất đầu bởi chữ số 1
Trang 11a) b) Cc) d) Giải Gọi n = a¡a„a¿a¿a; là số cần lập Ta có : 1 cách chọn a, (vi a, = 5) 4 cách chọn a; (vì a¿ # ai) 3 cach chon a; 2 cach chon a, 1 cách chọn a; Vậy ta có: 1x4x3x2x1=24 số n
Goi n = aia¿a;a¿a; là sô cần lập Taco: 4 cach chon a, (vi a, z1)
4 cach chon ay (vi a, # at) 3 cách chọn a;; 2 cach chon a, 1 cach chon a, Vậy ta có: 4x4x3x2x1=96 sô n Goi n = a,a,a;aya; 1a số cần lập Vì hai số đầu là 23 nên ta chi chon ba số sau Ta có : 3 cach chon a, 2 cach chon a, 1 cach chon a; Vay tacd: 3x2x1=6s6n Goi n = a,a,a,aya; 1a số cần lập Ta có: 5!= 120 sốn Ta tính xem có bao nhiêu số n = 345a,a;, Ta có : 2 cách chọn a 1 cách chọn a; Vậy ta có : 1 x2= 2 sốn = 34Ba¡a: Vậy các số n theo yêu cầu bài toán là 120 —- 2 = 118 số n không bắt đầu từ 345
1ã Cho năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Từ năm chữ số đó có thể lập được bao nhiéu sé chan có năm chi số, sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên
có mặt một lần
Trang 12Giai Gọi n = a¡a¿a;a¿a; là số cần lập Vì n chăn, nên a; chăn = a; c 10, 2, 4] Có hai trường hợp : Nếu a; = 0 thì ta có 1 cách chọn a; 4 cach chon a, 3 cach chon a, 2 cach chon a; 1 cach chon a, Vậy tất cả có : 4x 3x 2x 1= 24 số cần lập
Nếu a; z 0 thì ta có 2 cach chon a;
° 3 cach chon a, (vi a, # 0, a; # as) 3 cach chon a, 2 cách chọn a; 1 cach chon a, Vay tat cacd :2x3x3x2« 1= 36 sn Cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n
16 Một tuyến đường xe lứa có 10 nhà ga Hỏi có bao nhiêu cách chọn một
cuộc hành trình bắt đầu ở một ga và chấm dứt ở một ga khác Biết
Trang 132 cach chon a, 1 cach chon ay Vậy ta có:1x4x3x2x1= 24 số n Nếu a; z 0 thì ta có 2 cách chọn a; (vì a; = 2 hoặc a; = 6) 3 cach chon a, 3 cach chon a, 2 cach chon a; 1 cach chon a, Vậy ta có:2x3x3x2x1= 36 số n Tổng cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n thỏa yêu cầu bài toán
18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lap lai dung ba lần
Đề thì tuyển sinh vao DH Hué - khối A,B— 2001
12
Giải
Goin = a,a,a,a, là số tự nhiên cần lập
Bước 1 : Tính số các số n có bốn chữ số (không chú ý đến điều kiện không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần) Ta có : 9 cách chọn a, (a, # 0) 10 cách chọn a, 10 cách chọn a; 10 cach chon a, Do đó ta có : 9 x 10” = 9000 số n Bước 2 : Tính các số n có bốn chữ số và có chữ số lặp lại đúng ba lần
Trường hợp 1 : Ta có 9 cách chon a, (a, # 0, a¡ lặp lại ba lần)
Chon a, = a; = a), c6 1 cach chon ©
Chon a, # a), 9 cách chọn Vậy ta có : 9 x 9 = 81 cách
Trường hợp 2 : Chon a; # 0, có 9 cách
Chon a, = a; = a4, c6 1 cach (a, lap lai 3 lần)
Trang 14+ Trường hợp 4 : Chọn ai z 0 có 9 cách Chon a, = a = ty CO 1 cach (a, lap lại 3 lần) Vậy ta có :9 + 9 = 8] cách Vậy ta có : 81 + 81 + 81 ~ 81 = 324 sô n có một chữ số lặp lại dung bz lần
Do đó số các số n thỏa màn yêu cầu bài toán là : 9000 — 324 = 8676 số 19 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3 4 có thê lập được bao nhiêu số có bảy chỉ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặi đúng một lần Dẻ thị tuyển sinh nào ĐH An nình - khối D - 200: Giai Xét hộc có 7 ô trống : | Có 6 cách xếp chữ sô 0 vào hộc vì 0 z ai Có 6 cách xếp chữ số 1 vào hộc Có 5ð cách xếp chữ số 2 vào hộc Có 4 cách xếp chữ số 3 vào hộc Có 1 cách xếp chữ số 4 vào 3 hộc còn lại Vậy ta có:6>+xGx5«x4-1= 720 số n
20 Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày, có 4 loạ nhật báo Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày
làm việc
Giải
Có 4 cách chọn cho mỗi ngày
Vậy số cách chọn 6 ngày trong tuần là :
4x4x4x4x4x4=4'°= 4096 cách
21 Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu
sau đó xếp ngầu nhiên thành một hàng
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ?
b)_ Có bao nhiêu số chắn gồm 6 chữ số được tạo thành ?
, Đề thị tuyển sinh oào ĐH Huế - 1996
Giải
a) Gọi n = aia›asa¿asas là số cần lập
Trang 16Truong hop a; = 5 | ai ay a; ay as a6 az Cach chon | 8 8 7 6 5 4 1 Vay taco: 8x8x7x6x5»4x 1 = 538760 sé n Tổng cộng hai trường hợp ta có : 60480 + 53760 = 114240 số n 23 a) b)
Trong một tuần lễ, bạn A dự định mỗi đêm đi thăm người bạn trong 12 người bạn của mình Hỏi A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu : Có thể thăm một bạn nhiều lần Không đến thăm một bạn quá một lần b) Giải
Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách
Dém thứ hai chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách Đâm thứ bảy chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách
Vậy bạn A có : 12” = 35831808 cách
Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách
Đâm thứ hai chọn 1 trong 11 người bạn để thăm, có 11 cách
Đêm thứ bảy chọn 1 trong 6 người bạn để thăm, có 6 cách Vậy bạn A có : 12 x 11 x 10 x x6 = 3991680 cách
24 Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự ñhiên gồm năm chữ số, trong đó có du mặt ba chữ số nói trên
Trang 17Xét tập S„ = l2, 3, 4 2, 3] : Xét hộc có năm ô trống Có 5 cách xếp chữ số 4 vào hộc Có C? cách xếp chữ số 2 vào hộc Có 1 cách xếp hai chữ số 3 vào hộc Vậy ta có : 5 x C[x1=B5x6x1=30 số n Tương tự cho 8¿, 3; mỗi trường hợp ta có 20 số n Xét tập 8; = l2, 3, 4, 2, 3] : Xét hộc có năm ô trống Có 5 cách xếp chữ số 4 vào hộc Có C2 cách xếp hai chữ số 2 vào hộc Có 1 cách xếp hai chữ số 3 vào hộc Vậy ta có : 5 x C x1=5x6x1=30 số n Theo quy tắc cộng ta có : 20 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 = 150 số 2ã a) b) c)
Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số
Trang 18+ Nếu a› = 7, có 1 cách chọn a„ 2 cach chon ay vi ay < 8 Vay taco: 1x 1x 2=2s6n Vậy khi ai = 2 ta có:6+2=8sốn Theo quy tắc cộng ta có : 12+ 8= 20 số n < 278
26 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm tám
chử sô, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần Giải Ta thêm vào hai chữ số 1 để có tám chữ số 0, 1, 1, 1, 2,3, 4, 5 và gọi N = a¡a›a¿a;asasa;as là số cân lập Ta có : 7 cach chon a, 7 cach chon ay 6 cach chon ay 5 cach chon a, 4 cách chọn a; 3 cach chon a, 2 cach chon a, 1 cách chọn a,
Vậy ta có 7!7 các số n, nhưng cách lập như trên bị lặp lại 3! (vì khi hoán vị ba chữ số 1, thì n không đổi) Do đó ta chỉ có = = 5880 son
thoa yêu cầu bài toán
Trang 1928 Một tổ gồm 7 hoc sinh nữ và ð học sinh nam, cần chọn ra 6 học sinh
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn Giai - 1 nữ + 5 nam, ta có : 7 x 1= 7 cách chọn - 9 nữ + 4 nam, ta có : Cỷ.C¿ = 105 cách chọn - 3 nữ + 3 nam, ta có : Cÿ.Cỷ = 359 cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có : 7+C?.C4 + C‡ Cỷ = 7 + 105 + 350 = 462 cách chọn 29 Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số, chỉ tạo bởi các chữ số 1, 2, 3 với điều kiện cho chữ số 2 xuất hiện hai lần trong mỗi số Giải Goin = là hộc có 7 ô trống Ta có Cỷ cách chọn hai ô để xếp chữ số 2 vào
Mỗi cách xếp hai chữ số 2, còn năm ô trống, mỗi ô trống có hai cách xếp 1, 3 vào Vậy ta có 2” cách xếp 1, 3 vào hai ô trống Do đó ta có : Cƒ.2” = 672 số n 30 a) b) a) b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được : Bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ?
Trang 20Nếu a; z 0 thì ta có 3 cách chọn a; (vi a, e (2, 4, 6Ì) 5 each chon a, (vi a, # 0, a; # as) 5 cach chon a, 4 cách chọn a, 3 cách chon a, Trường hợp này ta có : 3 x5 x5 «4x3 = 900 số n Theo quy tắc cộng ta có : 360 + 900 = 1260 số n Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4,6,8 Giai Gọi n = a¡a¿a; là số cần lập Ta có: 4 cách chon a, (vi a, # 0) 4 cdch chon a, 3 cach chon a, Vậy ta có : 3 x4 x 4= 48 số n cần lập 32 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau ? Giải Goi n = a¡a¿a›;a¿a; là số cần lập Ta có: 9 cách chọn a; (vì ai z 0) 9 cach chon a, 8 cách chọn a;; 7 cach chon a, 6 cach chon a; Vay tacd: 9x 9x 8x 7x 6 = 27216 sé n 33 a) c)
Cho các chữ số 1, 2, 3, 4 5 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm năm chữ số
lấy từ bảy chữ số trên sao cho :
Trang 24= [C2 + Cả | =100=10” c3 C? +Œ? = C2 ¡ =10 nel c> ——— = 10 e+(n— 1)ìnt+ 1)=60 S(n-~ 1)m(tn+ 1'=3 - 4x5 tba số nguyên liên tiếp) <>ne=4 41 Tính tổng: 1x2x3+2x3x4+3x4x5+ +n(n+l)n+ 2), Giải Ta dé dang ching minh duge : CK = Ck} +CK 3 +08 } 44k} Q k k k Suy ra: Ck = Cả.) * Choy + Cy hà _ +C¡ n+ Cho k = 4, tacd: Ch,, = Ch + Ch.) + C8 +C8 4+ C8 +C8 +d Thế công thức ta có : 3! + 4! + 5! + + (n - 2)! (n +3)! 0181 HA! 218! đín-1)' 4n —1)} Nhân hai vế cho 3! ta có : 5! : 1) Bra dhe ee ame 1)(n + g) = Rn + Din + 2) 2' 3! 4 = ]1x2x3+2>3x4+3>x4-:5ã+ +nn+l)l/n+29)= n(n + Ln + 2)(n + 3) 4 42 Chứng minh rằng nếu n va k 1a hai số tự nhién thoa 0 < k <n thi Xi VW Z23n~+ N mn h <(C3,,)° Dé thi tuyén sink vao trugng DH Y Duoe TP.HCM - 199 Giai
Dat u, = Cy, C5,., voi k thay đổi từ 0 đến m: ke N
Trang 26(2k +1)" 12k” + 28k" + 20k +4 2k +1 (2k +2)/J3k+ 1 Ta lại có : (2k + 10 1 < (2k1) (38k+4)+k 3k+4 1 Vậy từ (3) => Tik + 1) < =, (dpcm) V3k +4 44 Chứng minh rằng CỀ„¡ + Cñ„) < Ch" 4 Chl (0 < k < 2000; k, n € N) g 2001 2001 2001 2001 Dé thi tuvén sinh vao DHQG Ha Noi — hhối A - 2000 „Ta chứng mình : Giải 1 _ 2000 “ Coup) — M2001 0 ool Cxno1 = Coan _ clos ~ ĐƠ] 2 C300 ¬ Cong ~ C3501 - @1000_ 1001
Thật vậy ta chỉ cần chứng minh Chi < Choo
Voi k = 0 1, 2 1999 ta co bât đăng thức cần chứng mình tương đương a 2001! 2001! VỚI : < k'(2001-—k)! (k + 1)'2000 —- k)! ok+1<2001-k = 2k < 2000 =k < 1000 (dung) Vi vay: Chg) < Ch Yk = 0 1 2000 (1) Dang thức xảy ra <: k = 1000 Va CB < Chl vk = 0, 1 , 2000 (2)
Dang thuc xay ra <> k = 999 hay k = 1000
Trang 2949 Gọi n là một số nguyên dương cé dinh, ching minh rang C* l6n nhất
+1
nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá °
Trang 3155 Dinh x va y sao cho CY,, x+1 :C¥*) : CY} =6:5:2 Giải Điều kiện : x,y eÑ,y + l<x < +1, -1 RR Taco: CY,,: CX"): Cx x =6:5:2 CY +1 _ 6 (x + 1)(y +1) 6 orl 5 ( x- oe — +) 5 ONY TS 2 syly -D) _ 8 x =8 - oye _ y © l2y-l2y 5 © 3 3 + y= Cy _8 * =3 x = 8y-1 y cy’ 2 y cae ` 1.2, c3 _Ê ð6 Giải phương trình : CV + Cí +Ct = 3° (1) Điều kiện : x e Ñ,x> 3 xì x! x! 7 (lo + + =—X 1x-1)! 2W\x-2)! 31tx-3)! 2 o x+1(x-1+ 1(x-90%x-10x— 2X =0 2 6 = x đựyS 2x-1)+ 1œ -1)—Š =0 - 16 2 2 ©xˆ=16 =x=4 (dpem) ð7 Tìm ke N sao cho: Cƒ, +C7;” =2C}} (1) Giải Điều kiện :k eNÑ,k< 12 14! _14! 2.14! =© + = kl\14-k)! (k+2)'"12-k)! (k+1)(13- k)l 1 4 2 > + - = ‘k!14—k)! (k+9)12-k)! (k +113 -k)! © 4k° - 48k +128=0 >k=8vk=4 9 CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG TỔ HỢP
58 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh
để xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ?
Trang 32Giải Chon 3 học sinh trong 11 học sinh, ta có : C7, = 165 cách Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ, ta có : C; = 4 cách Vậy số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam là : 165 - 4 = 161 cách
59 Đội thanh niên xung kích của một trường PTTH có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
Đề thị ĐH - khối D - 2006
Giải
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Cƒ, = 495 cách
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau : + Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh là : C?C};C¿ = 120 cách + Lớp B có ä học sinh, các lớp A, C mỗi lớp có 1 học sinh là : C;CTC; = 90 cách + Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh là : C;C2C3 = 60 cách Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là : 120 + 90 + 60 = 270 cách Vậy số cách chọn 4 học sinh theo yêu cầu bài toán là : 495 — 270 = 225 cach
60 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam, cần lập một đồn cơng tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách ?
Trang 33Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là C}C4 =12 cach
Tổng cả ba trường hợp trên ta có : 60 + 18 + 12 = 90 cách
61 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra ð người, sao cho :
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó ?
b) Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5ð người đó
Đề thị tuyển sinh uào ĐH Thái Nguyên - khối A, B - 2000 Giới a) Số cách chọn 2 nam, 3 nữ là : C?ạCỷa = 5400 cách b) Có 2 nam, 3 nữ : 5400 cách - Có 3 nam, 2 nữ : C?,C?, = 5400 cách - Có 4 nam, 1 nữ : C{¿Cjạ = 2100 cách Tổng cộng ba trường hợp ta có : 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách
62 Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau trong
đó phải có ít nhất 2 nữ
Đề thị tuyển sinh cào ĐH Huế - 2000
Giải
- Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam, nữ trong 15 học sinh, có CỆ
- Số cách chọn 6 học sinh toàn là nam, có Ca
— Số cách chọn 6 học sinh có 5 nam, 1 nữ, có Cặo Cis
Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ là :
C8.(C$o + C39-Ci,) = 5413695 cach
63 Cho tập X có 10 phần tử khác nhau Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẳn các phần tu Đề thị tuyến sinh oào ĐH Nông nghiệp - khối B - 2000 32 Giải
Số tập con của X có 2 phần tử là C?a, số tập con của X có 4 phần tử là
Cịc, số tập con của X có 10 phần tử là Co
Vậy số tập con thỏa yêu cầu bài toán là C2) + Ci) + C8, +08 + Cig =S
Xét (1- x)””= Cïa - Ca + Co + + Ciox'?
Trang 34
10 1 2 3 10,10 _ Chox=1 = Cy -Cig + Cy, + Cig + + Cigx’ =0 10 2 4 10 _ m1 3 9 _ 910-1 _ o9 => Ca + Cía + Co + + Co = Clc + Cịc + + Ch = 2 =2 => Cip +Ciy + + C9 = 29 -1= 511
64 Có hai đường thang song song (d,) va (dy) Trén (d,) lay 15 diém phan
biệt, trên (d,) lấy 9 điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm ấy
Giải
Có hai loại tam giác tạo thành :
a) Tam giác có 1 đỉnh trên (d¡) và 2 đỉnh trên (d›)
Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d,), có Cỗ cách lấy 2 đỉnh trên (dạ)
Vậy ta có : 15C = 540 tam giác
b) Tam giác có 2 đỉnh trên (d,) va 1 dinh trên (d;)
Có Cỷ, cách lấy 2 đỉnh trên (d;), 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d;)
Vậy ta có : 9C?; = 945 tam giác
Theo quy tắc cộng, ta có : 540 + 945 = 1485 tam giác
A d, B Cd
B Cc A
65 Một chỉ đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chon ra một tổ
công tác có 5 ngườ, Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất
1 nữ
Đề thị tuyến sinh uào trường ĐH Y Hà Nội - 1998
Giải
Số cách chọn 5ð đoàn viên bất kì là Cặ,
Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là Cu
Vậy số cách chọn 5 đoàn viên có ít nhất 1 nữ là :
! !
C3, - C8, = 20 _ 1P” _ 1z25 cách, 5!15! B15!
66 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Đề thị tuyển sinh uào trường CĐSP Hà Nội - 1999
Trang 35
Giải Số cách chọn 3 em nam và 2 em nữ : C3,C%o Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : ' 10! 10! 3 * ⁄ CjoC?o + C?oCio = TT = 10800 cách
_61 Một đội cảnh sát có 9 người Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại địa điểm B, còn lại 4 người trực đôn Hỏi
có bao nhiêu cách phân công
Dé thi tuyến sinh uào Học uiện Quân sự - 2000
Giải
Số cách phân công 3 người tại điểm A : Cả
Số cách phân công 2 người tại điểm B : C2 Số cách phân công 4 người còn lại : 1
Vậy số cách phân công là : Cả C2 = 1260 cach
68 Lớp học có 4 nữ, 10 nam Cần chia lớp thành hai tổ mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam Hỏi có mấy cách chia
Giải Chọn 2 trong 4 nữ, có C2 cách
Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, có C3, cach
Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia
! !
Vay tac6: C2.03, = AL AO _ g.2.10-98-76 _ 1519 cach, 10 F Dior BIB! 2.3.4.5
69 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác
cần chọn 1 ki sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công
nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác
Trang 3670 Có 12 người gồm 10 nam, 2 nữ
a) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người từ 12 người đó, không phân biệt nam, nữ
b)_ Có bao nhiêu cách chọn một tô gồm 8 người từ 12 người, sao cho tổ có ít nhất 1 nữ c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người nam Giải a) Chọn 8 người trong 12 người là số tổ hợp 8 chập 12 : 3 12! Ch, = — = 495 cách “ 8!41 b) Số cách chọn một tổ gồm 1 nữ, 7 nam là C;Œj Số cách chọn một tổ gồm 2 nu, 6 nam 1a C3Cf) Số cách chọn một tổ có ít nhất 1 nữ là : C¿C¡, + CC? = 450 NA” ‹ ^ ^ a xu ` 8 10! c) Số cách chọn một tô gồm 8 người nam là : Cj, = 28T 45 ` !
71 Cho đa giác lồi n cạnh
a) Tìm số đường chéo của đa giác này
b) Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác
c) Tim số giao điểm của các đường chéo Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy
Giải
a) Cứ nối hai đỉnh của tam giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n
giác Do đó tổng các đường chéo là Cả
` +" ca 2 : \ n! n(n - 3
Suy ra số đường chéo của n giác là : C; -n =—— -ne= n(n ~ 3)
2!(n - 2)! 2
b) Số tam giác tìm được là Cả
c) Cứ một đỉnh từ n đỉnh của n giác, tạo thành một tứ giác lôi nên có
một giao điểm của hai đường chéo
Vậy số giao điểm của các đường chéo của đa giác là Cứ
72 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trang, 5 vién bi vang Chon ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong
số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu
Dé thì tuyển sinh cào trường ĐHDL Văn Hiến + Hồng Bàng - bhối A - 2000
Trang 37
Gidi
Để 4 viên bi lấy ra không đủ ba màu, có các trường hợp sau : Cả 4 viên đều vàng, ta có Cš = 5 cách chọn
Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc trắng, ta có Cả = 5 cách
Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc vàng, ta có C4 = 35 cach
Trong 4 viên bi chỉ có trắng hoặc vàng, ta có Cg = 70 cach
Vậy số cách chọn theo yêu câu bài toán là : 5 + 5 + 35 + 70 = 115 cách 73 Cho A là một tập hợp có 20 phần tử
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A ?
b) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chăn ?
Dé thi tuyén sinh uào trường ĐHSP TP.HCM - 2001 Giới a) Số tập con của A là : Co + Cạo + Co + + C39 = (14+ 1) 5 2° = 1048576 b) Tacé: O=(1- 1) = Chy -Chy + C3, - CR, + + 029 ¬ 920 => Co + Coo + + C2) = Coy + C3, + + C18 = > 29 = Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chấn là : Coo + Cho + + C3 = 2)9 - Ch, - 1 = 524287
74 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 để kiểm tra khác nhau Cần
chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn
Giải
- Đầu tiên, chọn 4 trong 12 hoc sinh cho để một, có C‡; cách Tiếp đến, chọn 4 trong 8 học sinh còn lại cho để hai, có Cá cách
— Các học sinh còn lại làm đề ba 121 8! Vậy ta có : Cjs.Cá = 42! 8! _ 34650 cách 414! 414! 7ã Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 4) Biết rằng, số tập con gồm 4 36
phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A
Tìm k e {1, 2, , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất
Đề thi ĐHQG - khối B - 2006
Trang 38
Giai
Số tập con có k phần tử của A bang CK
Ti gia thiét suy ra: C4 = 20C? n”- 5n - 234 =0 on=18 (vin24) cky! 18-k Do _——= >1 œ k<9 Ck, k+1 A 1 2 9 9 10 18
nén Cig < Cig < < Cig = Cig > Cig > - > Cis
Vậy, số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9
76 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc Có mấy cách chọn :
Tùy ý
b: Sao cho hai học sinh A và B không cùng đi
c- Sao cho hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi Giải ‘a’ Chon tuy y 4 trong 12 học sinh là tô hợp chập 4 của 12 phần tử, ta có : Ct, = = = 495 cách b Nếu A và B cùng đi, cần chọn thêm 2 trong 10 học sinh còn lại, có : Ci = = = 45cach
c' Nếu A và B cùng đi, có Cỉc = 45 cach
Nếu A và B cùng không đi, ta có Cƒcy = 210 cách Vậy ta có : 45 + 210 = 255 cách
77 Cô A có 11 người bạn thân, trong đó có 6 nữ Cô ta định mời ít nhất 3
người trong 11 người đó đến dự tiệc Hỏi : a' Có mấy cách mời ?
b Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cô A và các khách mời, số am
số nữ bằng nhau ¬
Giải a' Mời 3 trong 11 người, có Cỷ, cách
Mời 4 trong 11 người, có C‡¡ cách
Tương tự cho khi mời 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, trong 11 người Vậy ta có :
Trang 39b)
C3, + C4, + 4 CH = (CP, +Ch + +C}}) - (Cp) + Cj, + C2)
= 2!! ~(1+ 11+ 55) = 1981 cách
Mời 1 nữ trong 6 nữ, 2 nam trong 5 nam, ta có C¿CZ cách
Mời 2 nữ trong 6 nữ, 3 nam trong 5 nam, ta có CáC; cách
Mời 3 nữ trong 6 nữ, 4 nam trong 5 nam, ta có CC? cách
Mời 4 nữ trong 6 nữ, 5 nam trong 5 nam, ta có CC; cách Vậy ta có : CLC? + C2C3 + C8C§ + C3C2 = 325 cach
-78 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ? `
b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?
e) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu cuối ?
Giải
a) Chọn tùy ý trong 10 câu ta có CŸ, = 45 cách chọn
b) Vì có 3 câu đầu bắt buộc, nên phải chọn thêm 3 câu trong 7 câu đầu còn
lại, ta có C? = 21 cach
c) Chon 4 trong 5 câu dau, cé C3 cach
Tiép theo, chon 4 trong 5 cau sau cé C3 cach
Vậy theo quy tắc nhân ta có : CC? = 2B cách
79 Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn ra một đoàn
đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành
viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích Đề thị tuyển sinh uào ĐHQG TP.HCM - 1997
Giải
- Số cách chọn 1 trưởng đoàn : 12 cách — Số cách chọn 1 thư kí : 11 cách
— Số cách chọn 3 thành viên : Cỷ, = 120 cách
-Vậy số cách chọn đoàn đại biểu : 12 x 11 x 120 = 15840 cách
80 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình
38
Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn
trong mỗi trường hợp sau :
Trang 40
a) Trong tô phải có mặt tất ca nam lẫn nữ ?
b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tô viên, hơn nữa An và Bình khôn; đồng thời có mặt trong tế Dè thị tuyển sinh ĐI Kinh tế TP.HCM - 200 Giải a) Số cách chọn 6 người bất kì, có Cỷ, = 3003 cách Số cách chon 6 người tồn nam, có C§ = 1 cách Số cách chọn 6 người toàn nữ có Cả = 28cách Vậy số cách chọn 6 người có cä nam lần nữ là : 3003 - (1 + 28) = 2974 cách
b) Chọn tùy ý 6 người trong 14 người, ta có Cf, = 3003 cach
Chọn An và Bình rồi chọn thêm 4 học sinh trong 12 học sinh còn lại ta có Cƒ, cách
Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó An và Bình không đồng thời cc
mat la Cÿ, - Cí,
Với 6 học sinh đã chọn xong, ta có 6 cách chọn ra 1 tô trưởng Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là :
6(Cÿ, - Cj,) = 15048 cách
81 Cho tập A có n phần tu, n > 7 Tim n biết rằng số tập con gồm 7 phầi
tử cua A bang hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tap A Đề dự bị khối A 200« Giái Với điều kiện n e Nvàn >7 Ta có : ¬ 7 : Ị 2n! Yêu cầu bài toán C¡ -= 2C? —"=—`— 7Ø4qn-=7)!— 3!n-3)! = (n —- 6)in — 5\n - 4)(n - 3) = 2.4.5.6.7 = 5.6.7.8 @ne=11