Phuong phap giai toan giai tich to hop va xac suat (NXB dai hoc quoc gia 2011) ha van chuong, 247 trang (NXPowerLite copy)

Trang 3

Mơn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” là một phần của “ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi

Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng

“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thức Newton” Về phân xác suất, học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác

suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi Cao đẳng và Đại học Qua nhiều năm giảng dạy ở THPT và Luyện

thi Đại học Chúng tôi viết cuốn sách “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ

XÁC SUẤT” này nhằm giúp các em có một hệ thống bài tập từ

thấp đến cao, giúp các học sinh phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”, khi nào dùng “chỉnh hợp” Tính xác suất các biến cố, một cách hệ thống để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán

Mặc dù đã cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi những

thiếu sót Rất mong sự góp ý của các em học sinh và độc giả, để

lần tái bản sau sách được hoàn thiện hơn Rất cảm ơn

Tác giả

Trang 4

GIẢI TÍCH TỔ HOP

KIẾN THỨC CẦN NHỚ I GIAI THỪA

1 2 Định nghĩa Với n e 2, n= 1,2; 3; ay 0 60L<1y 11

Tính chất

n' - 1.2 kŒ +1)(k+2) n nn + 1) = (n + 1); —= k! 13.›k =(k+1)(k + 2) n Với n,k e Z” và k<n

II NGUYÊN LÍ CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM

1 Quy tắc nhân

Một hành động H gồm có các hành động liên tiếp A, B, C và nếu có

m cách thực hiện A, n cách thực hiện B, p cách thực hiện C, thì ta có m x n x p cách thực hiện H

Quy tắc cộng

Trang 5

IV NH] THUC NEWTON

— Ta có :

+ (a+b) = Cða" +Cl +Cla" !b+ + Cta" - bV + + Cập"

" xẻ > Ghat kbk k=0

+ (a=b}" = Coa” - Cla" 'b+ +(-1) Cha" Kb* + + (-1)" Cb"

"

d-p* Cha" *b* "

k=0 — Tam giác Pascal : 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Hàng thứ n của tam giác Pascal là các hệ số của khai triển (a + b)"

V CHỈNH HỢP

1 Định nghĩa Mỗi cách xếp đặt k phan tử được lấy từ một tập hợp có n phần tử (0<k<n;k,n e Z`) được gọi là một chỉnh hợp n chập k phần tử n! (n -k)!

2 Số chỉnh hợp n chập k là A* = VI HOÁN VỊ

1 Định nghĩa #

Mỗi cách xếp đặt n phần tử của một tập hợp có n phần tử, theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị n phần tử

2 Số hoán vị n phần tử là P, = n!,n e 2

VII HOÁN VỊ TRÒN

1 Định nghĩa

Mỗi cách xếp đặt n phần tử trên một đường tròn theo một thứ tự nhất

định, được gọi là một hoán vị tròn phần tử

Trang 6

CAC DAU HIEU CHIA HET

Số chia hết cho 2 : có số tận cùng là 0, 2, 4, 6 8 Số chia hết cho 3 : có tổng các chữ số chia hết cho 3 Ví dụ : 276 có 2 + 7 + 6 = 15 chia hết cho 3

Số chia hết cho 4 : có tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số

chia hết cho 4 (ví dụ : 1300 13712, 197808)

Số chia hết cho 5 : số tận cùng la 0 5

Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Trang 7

Giải 1 1 1 kk+l k k+l mm ar pods: G> in" XÌk rat

Ta có : Kn “1 k+1 +1 5 Giải phương trình : _ - a = 72,

Giải

Ta có : fava =72 2 oe 1801-41) =72 © nín+ 1)=72 vớin+ 1 (n-1)! (n- 1)! c©en+n-7.2=0 © n=8,n=-9 (loại) 6 Chứng minh rằng : (n!Ý >n" với n € Zn > 2

Giải Xét số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 1 <k<n- 1

en-k-1>0 @6nk-k?>0ô>nk-k +n-k-n>0 â n(n +k)- k(k + 1)>0 ©(k+1)n-k)>n

Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ., (n - 2):

Với n > 2, ta có : 2n-1)>n 3(n - 2) >n 4n-3)>n (n- 1Ín-(n-2)|>n © 2.3.4 (n — 1).2.3.4 (nT= 1) >n"”

= [2.3.4 (n— LẺ > nh”

[in- 10! >n"Ý

Nhân hai vế với nỶ, ta có : (n!” > nh

7 Chứng mỉnh rằng :n! >2" vớin eZvàn>3 Giải Dùng phương pháp quy nạp : Khi n = 3, ta có : 3! = 6 > 2” = 4 (dung)

Giả sử bài toán đúng với n = k (k € Zk > 3), tlic la taco: k! > 2*' (1)

Ta chứng minh bai toán đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh

(k + 1)! > 2,

Trang 8

Nhan hai vé cua (1) cho (k + 1), ta cd: kk + 1) > 2"! (2

Vik23 > k+12429 > 2k + lo 225 2 Vay (2) <> kk +1)>2* cotk + 1)! > 2"

Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận n! > 2" ' vn e Z°

1 1 1

8 Chứng minh rằng: 1+—+ —+—+ +—<3

ne wut ne 1 2! 3! n! ri ae 1 1 1 1 1 1 Tacó: —=——: = ==——: ;: —<— 1.2 3: 3.4 n! (n+l1)n Suy ra: i wile Seige es ets oe Pe 7 1L 21 8 n! 12 23 34 (n-1

* Ta có: VP = 9+ “ff ti “| 1 -+)

1 2) \2 3) n-l on = tnd a8 1.3 n n

Vay de dg date ge os,

If” 2) 3h n!

Trang 9

k

(k Tacé tk += kik + > + DỊ )

Ve

kel k ket §

k+1 ke k+1 e k+1

c+ D> [ ) 3 =-( ] ’ r>| |

e (k +1) e Vay (3) dung (n

a

Theo nguyên lí quy nạp ta kết luận n! > | ) đúng Vn e Z2 ols

II QUY TAC DEM

1 QUY TẮC NHÂN

Trang 10

Giai Xét một hộc có 8 ô trống CL] |

C6 7 cach lay chit sé 0 bo vao hoe (do a, # 0)

Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do con 7 hoc trống Có 6 cách lấy chữ số 3 bỏ vào hộc do còn 6 hộc trống €ó 5 cách lấy chữ số 4 bo vào hộc do còn 5 hộc trống €ó 4 cách lấy chữ số 5 bo vào hộc do còn 4 hộc trống Có 1 cách lấy chữ số 1 bỏ vào hộc do còn 3 hộc trống ây số các số n được lập là :7 + 7x 6 x 5 x 4 = 5880 số n

12 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số, trong đó hai chữ số kể nhau phái khác nhau

Giải

Goi n = ajayajayas là số cần lập Taco: 9 cách chọn a¡ (vì a z 0) 9 cách chọn a; (Vì ay # ai) 9 cách chon ax 9 cach chon a, 9 cách chọn a; Vậy ta có : 9 x9 x 9x9 x9 = 9” = 59049 số n,

18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau (chú ý chữ số đầu tiên không được bằng 0)

Giải

Gọi n = ajayaya, 1a sé can lập

Taco: 9 cach chon a (via 4 0) 9 cach chon ay

8 cach chon a;

7 cách chon ay

Vay tacd: 9x 9x 8 x 7 = 4586 son

14 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, lập nên từ các chữ số

1,9,3, 4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện sau :

a) Bất đầu bởi chữ số 5 b) Bất đầu bởi chữ số 1

Trang 11

Giải

a) Goi n = ajava,aya; là số cần lập

Ta có: 1 cach chon a, (vi a, = 5) 4 cach chon a, (vi a, # a)) 3 cách chon ay

2 cách chon a,

1 cách chon a;

Vậy ta có: 1x4x3>x2x1= 24 số n b) Goi n = ajavayaya; 1a s6 can lap

Ta có : 4 cach chon a, (vi a, +1 4 cách chọn a, (vi a, # a)) 3 cách chọn a, 2 cach chon a, 1 cách chon a,

Vậy ta có: 4x~4x3x2x1= 96 số n

c) Goi n = ajavayaya; la sé can lap

Trang 12

Giai Gọi n = aiasa;a¿a; là số cần lập Vi n chan, nén a; chan = a, © I0, 2, 4) Có hai trường hợp : — Nếu a; = 0 thì ta có 1 cách chon a, 4 cách chon a, 3 cách chon a, 3 cách chọn a; 1 cách chọn a¿ Vậy tất cả có : 4 x 3 x 2 x 1= 24 số cần lập — Nếu a; z 0 thì ta có 2 cách chọn a, 3 cach chon a, (vi a, # 0, a; # as) 3 cach chon a, 2 cách chon a, 1 cach chon a,

Vay tat cd c6: 2x 3x 3x2*1= 36 son

Cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n

Trang 13

2 cach chon ax 1 cach chon ay Vậy ta có:1x4x3x2x1= 24 số n Nếu a; # 0 thì ta có 9 cách chọn a; (vì a; = 2 hoặc a; = 6) 3 cach chon a; 3 cách chon ay 2 cách chọn a› 1 cách chon a, Vậy ta có:2x3x3x2x1= 36 số n Tổng cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n thỏa yêu cầu bài toán

18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lap lai dung ba lan

Đề thì tuyển sinh uào ĐH Huế - khối A,B— 2001

12

Giải

Goi n = ayaa,a, là số tự nhiên cần lập

Bước 1 : Tính số các số n có bốn chữ số (không chú ý đến điều kiện

không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần) Ta có : 9 cách chọn a¡ (ai # 0) 10 cách chọn ay, 10 cách chọn a„ 10 cach chon ay

Do đó ta có : 9 x 10” = 9000 số n

Bước 2 : Tính các số n có bốn chữ số và có chữ số lặp lại đúng ba lần Trường hợp 1 : Ta có 9 cách chọn a¡ (ai # 0, ai lặp lại ba lần) Chọn a; = a; = ai, có 1 cách chọn Chọn a; # ai, 9 cách chọn Vậy ta có : 9 x 9 = 81 cách Trường hợp 2 : Chon a; # 0, có 9 cách

Chọn a, = a; = a¿, có 1 cách (a; lặp lại 3 lần)

Trang 14

+ Trường hợp 4 : Chọn ay z 0 có 9 cách Chọn a„ = a =ä, có 1 cách ta; lặp lại 3 lần) Vậy ta có :9 x9 = 81 cách Vậy ta có : 81 + 81 + 81 + 81 = 324 số n có mot chit sé lap lai dung bz lan Do đó số các số n thoa man yéu cau bai toán là : 9000 — 324 = 8676 số

19 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thê lập được bao nhiêu số có bảy chỉ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần Đề thì tuyển sinh ào ĐH An nình - khối D - 200; Giải Xét hộc có 7 ô trống : Có 6 cách xếp chữ số 0 vào hộc vì 0 z ai Có 6 cách xếp chữ số 1 vào hộc Có 5 cách xếp chữ số 3 vào hộc Có 4 cách xếp chữ số 3 vào hộc Có 1 cách xếp chữ số 4 vào 3 hộc còn lại Vậy ta có:6x6x5 x4 ‹1= 720 số n

20 Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày, có 4 loa nhật báo Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc

Giải

Có 4 cách chọn cho mỗi ngày

Vậy số cách chọn 6 ngày trong tuần là :

4x4x4x4x4-4=4”'= 4096 cách

21 Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng

a) Có bao nhiệu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ?

b) C6 bao nhiêu số chẩn gồm 6 chữ số được tạo thành ?

: Đề thi tuyén sinh oào ĐH Huế - 1995

Trang 16

Trường hợp a; = 5 | ai a, ay ay as, a6 az Cach chon | 8 8 7 6 5 4 1

Vậy ta có:8x8x7x6x5x 4x 1= 53760 số n

Tổng cộng hai trường hợp ta có : 60480 + 53760 = 114240 số n

23 a)

b)

Trong một tuần lễ, bạn A dự định mỗi đêm đi thăm người bạn trong

12 người bạn của mình Hỏi A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu : Có thể thăm một bạn nhiều lần

Rhông đến thăm một bạn quá một lần a) b) Giải

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách Đêm thứ hai chon 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ bảy chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách Vậy bạn A có : 19” = 35831808 cách

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ hai chọn 1 trong 11 người bạn để thăm, có 11 cách

Đêm thứ bảy chọn 1 trong 6 người bạn để thăm, có 6 cách

Vậy bạn A có : 12 x 11 x 10 x x 6 = 3991680 cách

24

Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự ñhiên gồm năm chữ số, trong đó có du mặt ba chữ số nói trên

Trang 17

Xét tap Sy = (2, 3, 4, 2, 3| : Xét hộc có nam 6 trống Có 5 cách xếp chữ số 4 vào hộc

Có C? cách xếp chữ số 2 vào hộc

Có 1 cách xếp hai chữ số 3 vào hộc

Vậy ta có :5 x Cj'x1=5x6x1= 30 số n Tương tự cho S¿, S¿ mỗi trường hợp ta có 20 số n

Xét tập S¿ = (2, 3, 4, 2, 3) : Xét hộc có năm ô trống Có 5 cách xếp chữ số 4 vào hộc

Có C? cách xếp hai chữ số 2 vào hộc Có 1 cách xếp hai chữ số 3 vào hộc Vậy ta có : 5 x C‡ x1=5x6x1=30 số n “Theo quy tắc cộng ta có : 20 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 = 150 số

25

a) b)

c)

Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số

Trang 18

+ Nếu a;= 7, có 1 cách chọn a; 2 cach chon ay vi ay < 8 ốn Vậy ta có:1x1x2=2 Vậy khi ai = 2 ta có: 6 + 2= 8 số n Theo quy tắc cộng ta có : 12 + 8 = 20 số n < 278

26 27 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần Giải Ta thêm vào hai chữ số 1 để có tám chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 và gọi n = a¡a;a¿a¡asasa;as là số cân lập Ta có : 7 cach chon a, 7 cach chon ay 6 cach chon a; 5 cach chon a, 4 cách chon a, 3 cách chọn ag 2 cách chọn a; 1 cách chon ag Vậy ta có 7!7 các số n, nhưng cách lập như trên bị lặp lại 3! (vì khi 2 ! “

hoán vị ba chữ số 1, thì n không đổi) Do đó ta chỉ có = =ð880 số n

thỏa yêu cầu bài toán

Trang 19

28 Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 học sinh

trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn Giải + 1 nữ + 5 nam, ta có : 7 x 1= 7 cách chọn - 9 nữ + 4 nam, ta có : C?.C$ = 105 cach chon

- 3 nữ + 3 nam, ta có : Cỷ.C; = 359 cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có : 7+ C}.CẬ + Cỷ.Cỷ = 7 + 105 + 350 = 462 cách chọn

29 Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số, chỉ tạo bởi các chữ số 1, 2, 3 với điều kiện cho chữ số 2 xuất hiện hai lần trong mỗi số Giải Goin = là hộc có 7 ô trống

Ta có C? cách chọn hai ô để xếp chữ số 2 vào

Mỗi cách xếp hai chữ số 2, còn năm ô trống, mỗi ô trống có hai cách

xếp 1, 3 vào Vậy ta có 2” cách xếp 1, 3 vào hai ô trống Do đó ta có : C?.2Š = 672 số n

30 18 a) b) a)

b)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được :

Bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ?

Trang 20

Nếu a; z 0 thì ta có 3 cách chọn a; (vì a; |2, 4, 6l) 5 cách chọn ay (vì ai #0, ai # a;) 5 cach chon a, 4 cach chon ay 3 cách chon a, Truong hop nay tac6:3%5«5«4«3=900sdn Theo quy tắc cộng ta có : 360 + 900 = 1260 số n

.- Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4,6, 8 Giải Gọi n = a¡a¿a; là số cần lập Ta có r 4 cách chon a, (vi a, # 0) 4 cách chọn a¿ 3 cách chon a; Vậy ta có : 3 >x 4 x 4= 48 số n cần lập Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau ? Giải Gọi n = aya¿a;a¡a; là số cần lập Ta có: 9 cách chọn a; (vi a, # 0) 9 cach chon a, 8 cách chọn a; 7 cách chon ay 6 cách chon a, Vậy ta có: 9x9x8x7x6= 27216 số n

33 a) €)

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4 5, 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm năm chữ số

lấy từ bảy chữ số trên sao cho

Trang 22

mn(n - 1)! nín - 1)! sis

=> mC™ =

m(m - 1)![n - m|! (m= 1[@ - 1) = (m - 1|!

6 nh

"` => mC" = nC)

bị Ta có: C™=cm—cm

n1

Cry = Ch - Cả nà? m-l Lam am Cis = Che - Ch

cn 1 cm _ m+ Cộng lại ta có : CP! + C1 +CmMd + + cmt cm n-3 m m

Suy ra: CP =Cmh] +CM } + CM]+ +CM + CM cà

n-2 m m

m _am-l yam ly aml m1, qm-l

Trang 24

Cả +Cj

© [Cổ + Cj | =100 = 10” Cỷ.¡ =10

=10 = (n- Int + 1) = 60 @(n~= 1)m(n+ 10=3 - 4+5 (ba số nguyên liên tiếp) s=n=4 4I Tính tông: 1x2x3+2+x3x4+3x4x5+ +n(n+l1ln+29) Gidi

Ta dé dang ching minh duge : C? - = ce L+Ot + CR'3+ + ce 1

Suy ra: Chg = C82 + Ch +Ch l + CN]

nel nà]

Cho k= 4, ta có: CẢ ned > +h + Ơi + Ch + + C3 + Ch + CY Thế công thức ta có :

3! 4! 5! (n =2)! (n + 3)!

ef ees

013! 1a! 213! 7 3n am —D!

i sft rag EO,

Nhân hai vế cho 3! ta có :

' ' BP Bt Og Oe, +nfn + lim +2) = ROL Den + 2) 2! 3! 4 =1x2x3+2>x3x4+3x4-ð+ +nnx+ll(n+9)= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 7 :

42 Chứng minh rằng nếu n và k 1a hai sé tu nhién thoa 0 < k <n thi Dé thi tuyen sink’ vao truaug DH Y Duoe TPLHCM - 199

Giai

Đặt uy = 3n ck2n -k Cy với k thay đổi từ 0 đến m; k e N

Trang 25

That vay : Bet <y © (2n+k+41(n-k) <(n+k + 1/2n - k)

ak

© 2nk + n >0 hiển nhiên đúng vì 0 < k < n

Do đó day (u¿) giảm

Trang 26

ake Ý (2k +1?

Ta lại có : —

(Qk + 23k +1 (2k + 12k” ¡ 28k” + 20k + 4 (2k +1)? 1 Qk+1P2(3k+4+k 3k 44

Vay ti (3) => Tik + 1)< (dpem)

4

44 Chứng minh rằng Cụ; + Cụ) < C}009 + Cyt, (0 < k < 2000; k, n e N Đề thị tuyển sinh ào DHQG Hà Nội khối A - 2000 Giải Da ching minh: Cổugi =Gỗi < Dạy = CÓ

gậm ~ Blfl «ft = di

Thật vậy, ta chi cần chứng mình Chị < Đi

Voik = 0,1, 2 1999 ta có bất đăng thức cần chứng minh tương đương

¬ 2001 2001!

k!(2001-k)! (k+ 1012000 - k)! =k+1<2001-k sz 2k< 2000 => k< 1000 (đúng)

Vì vậy: Cụ <Cjm vk = 0 1 2000 (1)

Đăng thức xay ra <> k = 1000

Va Ch s CH! vk = 0, 1 , 2000 (2)

Đăng thức xay ra => k = 999 hay k = 1000

Cộng (1) va (2) vé theo ve ta c6 + Chay, + Chgoy < C00 4 Ch

Trang 29

49 Gọi n là một số nguyên dương cố định, chứng minh rằng C‡ lớn nhất

nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá ^” 4

Trang 31

55 Dinh x va y sao cho Cf x+1 nOyt OY 26 1609 Giải

Điều kiện : x, y eÑ,y+ 1<x

Ta có : O⁄,¡:Cÿ*!:Cÿ?!=6:5:2 Ca _6 1(y+1) 6 ort 5 3 ae pay D5 = _và Syly-1) _& Syty-1) _8 x=8 _ =1.” Cy y 6 o |* : 8 2 {(2y-l2y x =3y-1 5 2 2 3 7 qt 2 y

56 So FAL 2 3 _7 56 Giai phuong trinh: C, +C, +Cy = 2* q) Điều kiện : x e Ñ,x> 3 ' + 1 (1)© = 5 1 1x-1)! 2x-2)!L 3x-3)!1 2 ° xe te-D+dx-2nx- vk = 0 6 2 ox 1w°ðjloe=10+ Toe-dj~5 =0 6 2 2

©x”=16 =x=4 (dpem)

57 Timk € N sao cho: Ci, + Ch? = ockst (1) Giải Điều kiện : k e N,k < 12 14! 14! 2.14! Qe ———— + moe— = uo —- kl14-k)! (k+2)(12-k)! (k+D!03-k)! 1 1 2 © ————+———=—

k!14-~k)! (k+2)!112-k)J!' (K+1)!143-—k)! © 4k? - 48k + 128 =0 >k=8vk=4 CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG TỔ HỢP

Trang 32

Giải

— Chọn 3 học sinh trong 11 học sinh, ta có : CG, = 165 cach — Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ, ta có : Cỷ = 4 cach

Vậy số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam là : 165 - 4 = 161 cách

59 Đội thanh niên xung kích của một trường PTTH có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

Đề thi ĐH - khối D - 2006

Giải

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Cƒ, = 495 cách

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau : +_ Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh là :

C?C}C; = 120 cách

+ Lớp B có 3 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp có 1 học sinh là :

C;C?C; = 90 cách

+_ Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh là :

C¿C}C3 = 60 cách

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là : 120 + 90 + 60 = 270 cách Vậy số cách chọn 4 học sinh theo yêu cầu bài toán là : 495 — 270 = 225 cach ,

60 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam, cần lập một đoàn công tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách ?

Đề thị tuyển sinh ào ĐH Y Hà Nội - 2000

Giải

Ta có ba trường hợp sau :

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí

Trang 33

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là CẬC} =12 cách Tổng cả ba trường hợp trên ta có : 60 + 18 + 12 = 90 cách

61 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra ð người, sao cho : a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó ?

b) Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Đề thị tuyển sinh vao DH Thái Nguyên - khối A, B - 2000

Giải a) Số cách chọn 2 nam, 3 nữ là : C?C?ạ = 5400 cách

b) Có 2 nam, 3 nữ : 5400 cách

— Có 3 nam, 2 nữ : CjạC?a = 5400 cách — Có 4 nam, 1 nữ: CjạC]ạ = 2100 cách

Tổng cộng ba trường hợp ta có : 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách 62 Một lớp học có 30 học sinh nam va 15 hoc sinh nữ Có 6 học sinh được

chọn để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau trong đó phải có ít nhất 2 nữ

Dé thi tuyén sinh vao DH Hué - 2000

Giải

— Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam, nữ trong 15 học sinh, có Cộ; — Số cách chọn 6 hoc sinh toàn là nam, có Cộo

— Số cách chọn 6 học sinh có 5 nam, 1 nữ, có Cặo Cs

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ là :

: Cổ; (Cặo + Cio-Cis) = 5413695 cach

Trang 34

CHax=1 = Cif -Cly +e?) +c, + + 18x70 = 0

=> Cip +Ch, + Cf, + + C18 = Cl + Cận + + Cly = 210-1 = 29 => C2) +Cip + +C}8 = 29 -1= 511

64 Có hai đường thẳng song song (d;) và (d;) Trên (d,) lấy 15 điểm phân

biệt, trên (d,) lấy 9 điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm ấy

Giải Có hai loại tam giác tạo thành :

a) Tam giác có 1 đỉnh trên (dị) và 2 đỉnh trên (d;)

Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d,), có Cš cách lấy 2 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : 15C = 540 tam giác

b) Tam giác có 2 đỉnh trên (d,) và 1 đỉnh trên (d;)

Có C7; cách lấy 2 đỉnh trên (d,), 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : och = 945 tam giác

Theo quy tắc cộng, ta có : ð40 + 945 = 1485 tam giác

A đ, B cd,

ay X⁄ 4,

B Cc A

65 Một chỉ đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chọn ra một tổ

công tác có 5 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất

1 nữ

Dé thị tuyển sinh uào trường ĐH Y Hà Nội - 1998 Giải

Số cách chọn ð đoàn viên bất kì là Cỗ,

Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là Cỹu

Vậy số cách chọn 5 đoàn viên có ít nhất 1 nữ là :

1 !

C8, = 0%, = 20L _ 10! 505 esen

B15! 5!5!

66 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ Cô giáo muốn

chọn ra một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và

2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Dé thị tuyển sinh uào trường CĐSP Hà Nội - 1999

Trang 35

Giải

Số cách chọn 3 em nam va 2 em nit: C3)Cip

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : a.10! 10!

3 2 - ‘ C3,C3, + C2Ciy = KT TT] =10800 cách

_61

Một đội cảnh sát có 9 người Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại

địa điểm A, 2 người làm tại địa điểm B, còn lại 4 người trực đồn Hỏi

có bao nhiêu cách phân công

Dé thi tuyển sinh uào Học vién Quan sự - 2000

Giải

Số cách phân công 3 người tại điểm A : g

Số cách phân công 2 người tại điểm B : CZ

Số cách phân công 4 người còn lại : 1

Vậy số cách phân công là : C3.CZ = 1260 cách

Lớp học có 4 nữ, 10 nam Cần chia lớp thành hai tổ mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam Hỏi có mấy cách chia

Giải Chọn 2 trong 4 nữ, có Ci cach

Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, có Co cách

Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia

1 †

Vậy ta có: C?Cý =-4— 10 —a 2.1098 2121 ‘BIB! 23.45 TÊ _ 1519 cach

69

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công

nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác

Trang 36

70 Có 12 người gồm 10 nam, 2 nữ

a) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người từ 12 người đó, không

phân biệt nam, nữ

b) Có bao nhiêu cách chọn một tô gồm 8 người từ 12 người, sao cho tổ có ít nhất 1 nữ e) Có bao nhiêu cách chọn một tỏ gồm 8 người nam Giải a) Chọn 8 người trong 12 người là số tổ hợp 8 chập 12 : 3 12!

C8, = — = 495 cach

“ 814!

b) Số cách chọn một tổ gồm 1 nữ, 7 nam là C}Cja Số cách chọn một tổ gồm 2 nữ, 6 nam là C?Cộ

Số cách chọn một tổ có ít nhất 1 nữ là : C)C¡y + C$Cja = 450

— x 8 ad ag _ 10!

e) Số cách chọn một tổ gồm 8 ngudi nam 1a: Cio = ast = 45

§ 18!

Z1 Cho đa giác lôi n cạnh

a) Tìm số đường chéo của đa giác này

b) Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác

c) Tìm số giao điểm của các đường chéo Biết rằng không có ba đường

chéo nào đồng quy

Giải

a) Cứ nối hai đỉnh của tam giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n

giác Do đó tổng các đường chéo là CẢ

! _

Suy ra số đường chéo của n giác là : Cỷ -n = 5 -n= age),

21n -2)! 2

b) Số tam giác tìm được là Cỷ

c€) Cứ một đỉnh từ n đỉnh của n giác, tạo thành một tứ giác lồi nên có

một giao điểm của hai đường chéo

Vậy số giao diểm của các đường chéo của đa giác là Cá

72 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn

ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong

Trang 37

Giải

Để 4 viên bi lấy ra không đủ ba màu, có các trường hợp sau :

Cả 4 viên đều vàng, ta có C§ = 5 cách chọn

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc trắng, ta có C‡ = 5 cách

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc vàng, ta có C? = 35 cách Trong 4 viên bi chỉ có trắng hoặc vàng, ta có C§ = 70 cách

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là : 5 + 5 + 35 + 70 = 115 cách

78 a)

b) Cho A là một tập hợp có 20 phần tử

Có bao nhiêu tập hợp con của A ?

C6 bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn ?

Đề thi tuyển sinh uùo trường ĐHSP TP.HCM - 2001 a)

b) Giải Số tập con của A là : CQ + Cho + Cho + + C?o = (1+1)?2 s 2?0 = 1048576

20 20 20 20

Ta có: 0=(1- 1)” = Cặy - Ca + Co - Cổa + + C?

20

Cio = > 29

=> C8, + C3 + + CH = Chy + CR +

= Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẩn là :

C2 + Cho + + C38 = 219 - Ch, - 1 = 524287

74

chọn 4 học sinh cho mỗi để kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn

Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 để kiểm tra khác nhau Cần Giải

Đâu tiên, chọn 4 trong 12 học sinh cho để một, có Cƒ, cách Tiếp đến,

chọn 4 trong 8 học sinh còn lại cho dé hai, có C§ cách

Các học sinh còn lại làm đề ba sot cá — 12! BỊ — Vậy ta có : C1;.Cg = Tu 34650 cách

T5 36

Cho tập hợp A gồm n phản tử (n > 4) Biết rằng, số tập con gồm 4

phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A

Tìm k e {1, 2, ., n} sao cho sé tap con gồm k phần tử của A là lớn nhất

Đề thi ĐHQG - khối B - 2006

Trang 38

Giai

Số tập con cé k phan tu cua A bang Ck

Từ giả thiết suy ra : CẬ = 20C? = n® - 5n - 234 =0

on=18 (vin24)

ch! i8-k

Di = 1 œ k<9 ° ck, k+l

Z 2 9 2 0

tên Cl <C?, « <cO = C= CQ o> GIỀ

Vậy, số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9

76 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc Có mấy cách chọn :

Tùy ý

Sao cho hai học sinh A và B không cùng đi

ce: Sao cho hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi Giải a: Chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh là tổ hợp chập 4 của 12 phần tử, ta có :

Che Tơ = 495 cách b Nếu A và B cùng đi, cần chọn thêm 2 trong 10 học sinh còn lại, có : = = = 45cách e' Nếu A và B cùng đi, có C?, = 45 cách Nếu A và B cùng không đi, ta có C‡ = 210 cách

Vậy ta có : 45 + 210 = 255 cách

77 Cô A có 11 người bạn thân, trong đó có 6 nữ Cô ta định mời it nhất 4 người trong 11 người đó đến dự tiệc Hỏi :

a) Co may cach mdi ?

b) Co may cach mời để trong buổi tiệc gồm cô A và các khách mời, số nam số nữ bằng nhau

Giải

a' Mời 3 trong 11 người, có Cj, cách

Mời 4 trong 11 người, có Cf, cach

Trang 39

C3, + Cf, + + C1 = (C8, + Ch + +C}]) - (Cl, +C}, + C2) = 91! ~ (1+ 11 + 55) = 1981 cách

b) Mời 1 nữ trong 6 nữ, 2 nam trong 5 nam, ta có C¿C? cách

Mời 2 nữ trong 6 nữ, 3 nam trong 5 nam, ta có CậC? cách

Mời 3 nữ trong 6 nữ, 4 nam trong 5 nam, ta có CặC? cách

Mời 4 nữ trong 6 nữ, 5 nam trong 5 nam, ta có CC? cách

Vậy ta co : ChC? + C2C3 + CRC} + CCB = 325 cach

78 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?

c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu cuối ?

Giải

a) Chọn tùy ý trong 10 câu ta có CŸ, = 45 cách chọn

b) Vì có 3 câu đầu bắt buộc, nên phải chọn thêm 3 câu trong 7 câu đầu còn

lại, ta có CỆ = 21 cách

c) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có C§ cách

Tiếp theo, chọn 4 trong 5 câu sau có C¿ cách

Vậy theo quy tắc nhân ta có : CC? = 25cách

79 Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn ra một đoàn

đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành

viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích

Đề thị tuyển sinh uào ĐHQG TP.HCM - 1997

Giải

— Số cách chọn 1 trưởng đoàn : 12 cách

— Số cách chọn 1 thư kí : 11 cách

— Số cách chọn 3 thành viên : C?; = 120 cách

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu : 12 x 11 x 120 = 15840 cách

80 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình

38

Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :

Trang 40

a) b)

Trong to phai cé mat tat ca nam lan nu?

Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tô viên, hơn nữa An và Bình không

đồng thời có mặt trong tô

Đề thì tuyển sinh ĐỊT Kinh tế TP.HCM - 200 a) b) Giải

Số cách chọn 6 người bất kì, có Cỷ, = 3003 cách

Số cách chọn 6 người toàn nam, có C§ = 1 cách Số cách chọn 6 người toàn nữ có Cỷ = 28cách Vậy số cách chọn 6 người có cả nam lẫn nữ là : & 3003 - (1 + 28) = 2974 cách

Chọn tùy ý 6 người trong 14 người, ta có Cý, = 3003 cách

Chọn An và Bình rồi chọn thêm 4 học sinh trong 12 học sinh còn lại

ta có C‡, cách

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó An và Bình không đồng thời cc

mật là Cỹ, - Cƒ,

Với 6 học sinh đã chọn xong, ta có 6 cách chọn ra 1 tô trưởng Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là :

6(Cÿ, - Cj„) = 15048 cách

81

Cho tập A có n phần tử, n > 7 Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phar

tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A

Đề dự bị bhối A — 300

Giải Với điều kiện n e Ñ và n>7 Ta có : un! 2n!

Yêu cau bai todn <> Ci = 2CÌ © —— = ———

71-7)! 3'(n - 3)! = (n- 6)(n - 5)J(n - 4)(n - 3) = 2.4.5.6.7 = 5.6.7.8 ene=ll

Cho tap hợp A gồm n phần tử, n > 4 Tim n, biét rang trong sé cdc tay

con của tập A có đúng 16n tập con có số phần tử là số le

Đề dự bị khối A - 200: Giải

Số tập hợp con của A là : C? +C) + C2 + + CC) =2"