PHAN HUY KHAI
Toón nang cao
9 :
GIAI TICH TÍCH PHÂN VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
- On thi ti tai
- Ôn thi vào Dai học và Cao đẳng
Trang 3Chịu trách nhiệm xuất bản
Giám đốc: NGUYÊN VĂN THỎA Tổng biên tập: NGUYÊN THIỆN GIÁP
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Bộ sách “Toán nắng cao Giải tích” là tiếp theo bộ sách "Toán nắng cao Đại số THPT" (2 cuốn) và "Toán nắng cao Hình học” (2 cuốn) của cùng tác giả (được Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội cho ra mắt bạn đọc vào các
năm 1997, 1998, 1999) Bộ sách này gồm 2 tập:
Tạp I - Tích phân và giải tích tổ hợp; và Tập II - Hàm số và ứng dụng của hàm số
Trong tập I, các kiến thức về nguyên hàm, tích phân và giải tích tổ hợp được
sắp xếp theo 3 chương như sau:
Chương I: Nguyên hàm và tích phân bất định; Chương II: Tích phân xác dịnh;
Chương II: Giải tích tổ hợp
Trong từng chương, sau phần kiến thức cơ bản là hệ thống bài tập rnẫu được phân loại dựa theo phương pháp giải chúng Cần nhấn mạnh thêm rằng, trong
từng chương mục, chúng tôi cố gắng đến mức tối đa trình bày các phương pháp
tổng quát để giải các bài tập thuộc chương mục đó
Hệ thống bài tập được trình bày trong cuốn sách này dã đảm bảo được hai
nguyên tắc sau: cơ bản và thông dụng
Chúng tôi hy vọng rằng, các bạn sẽ có một bức tranh toàn cảnh sinh động về bộ môn giải tích (phần nguyên hàm, tích phân và giải tích tổ hợp) dang được
giảng dạy trong nhà trường phổ thông hiện nay
Hy vọng rằng cuốn sách "Toán náng cao giải tích - Tích phân và giải tích tổ hợp" sẽ đáp ứng được đông đảo bạn đọc
Tuy nhiên trong quá trình biên soạn, cuốn sách không thể tránh khỏi các
khiếm khuyết Chúng tôi rất vui lòng chờ mong những nhận xét, góp ý của các
bạn đọc giả để cuốn sách được tốt hơn nữa trong những lần tái bản tiếp theo Nà Nội, xuân Canh Thìn 2000
Trang 5CHUONG |
NGUYEN HAM VA TICH PHAN BAT DINH
§1 TOM TAT LY THUYET
Trang 6a fevex Se +4 ` 4 ]àw = = +C vdia>O: na 5: [na =-cosx+C: 6 foos dx =sinx + C arctgx +C; §2 CAC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Trang 7BÀI GIẢI 1 T= j&nx: cosx} * d(sin x ~ cos x) sin x ~ cos x)" 33f = {sin x =cosx)! | oY inn — cose)? +C, 2 5 3 i t's ° fee ctniinxtec Inx d 4 3 ds fits E x e _ ¬—=— eXte* JI+e Jiz(e*) Bài 2 Tính các tích phân bất định sau:
1 T= flax + pyar với mz -l; a #0
2 Js fla" + by x" dx với a#0;p z-l;n #0 BAIGIAI | Doa#Onéntacé : l= fx +b)" dx = : flex +b)" d(ax +b) Vi m # -1 nên theo bảng nguyên hàm cơ bán suy ra (ax +b)t l= flex+) dx gales tad Ỹ FET ee +C
Trang 8i fox" +b)? x” dn = ZF (ax”" +b)Pd(ax” +b) na
Trang 13
2 Xét hai kha nang sa
œ) 1 Nếu a = b (và do đó a* = b* > 0 vi theo gia thiét a? +b? > 0) Khi đó : h : R sin xd(sin x) = — sin? x+C 2a” fain x COS xX dx = Xã la > 2 Néu a’ # b* Ta có 1 De X ~b?)+ a°sin°w+b° cos” 4 In(a? sin? x +b? cos? x)+C 2a* - ee
sin’ x+C nếu lai = lbl
Trang 14l(at atgx ) = - > = - arcigl NT, CC a8 2b +(atgx)” ab \ b) 1 —-rc0tgx+C a nếu b=0 7 I `
VậyI=j-rtgk+C - tiểu a=0
ot caratax a), Œ« néu ab #0
ab b
TICH PHAN EN HAM
B PHUONG PHAP PHAN TICH HAM DUGI D
THANH TONG CAC HAM DE LAY NGU
Phương pháp này tính tích phân trực tiếp bảng cách phân tích hàm duc
Trang 15= el ire (ow s “5a|l axx Sane | = t [Inla+x]~Iã{á—-xI]+C= uw | #23 lục, a 2a mm Chủ ý: Bài 7 trên luôn được sử dụng đến, nên ta có thể xem nó như là một tích phân bất định cơ bản Bài 8 sa Giả sử a, b là hai số cho trước Hay tính các tích phản bất định sau : a: hiwf—S (x+aX(x +) sage f —* (x+a)?(x+b)? BÀI GIẢI dx 1 Xét tích ét tích phân phải I= |————- an Xét hai kha nang sau:
Trang 1616 \ + G nếu a=b xa 1 ——In a-b Vay 1% et Ẫ +€ nếua#b xia 2 Xét tích phân Te — (x+a)°(x+b) Xét hai khả năng sau : G dx vã =] 1)Néua=b,thi J= = |(x+a) “d(x+a) = +€ ies fi ) 3(x +a)? 2) Néua#b, thi = : [tem pin dx (a~b}ˆ ” (x+a)ˆ(x+b)ˆ 1 dx dx dx = + 2 =
(ab)? [ee at mas
Trang 19Theo bài 3 (phản 4) suy ra :
f= ——+h| tgx |+C-
2cos” X
6 Ta có :
ROE dee | sin xX + COSX = x=
34sin2x 4 ~ (sinx ~ COSX) =f đ(sin x — Cos X) 2 ~(sin x—cos X)” Theo bai 7 suy ra : 1, 2+sinx-cosX l= + in 4 2-sink+cosX 7 Ta CÓ : Ie joes - pecs i x(i+xe*) xe*(L+xe*) x x x
os jes Digs jc )~xe (+ xe") =
Trang 21Bai 10 Tính các tích phan bat dinh sau 1 [xxx lây; 2, Eg Ti xa 3 [= : xtx +“ xo4dxt eax? 4] x dx
5 sin xdx a i 8: Thư sin xcos! xdx 7 i dx l sin x +cosx I+cos? x sin’ xcos* x
BAI GIAI
1 Biến đổi tích phân đã cho như sau :
Trang 231 1 ¢ sinx—cosx = = |dx+— | ————adx= x 2/ sinx+cosx si đGGin x + cos X) _ 2 sin X + COS X inl sinx+cosx |+C 6 Ta có : iim pee poe 1+cos? x 1+cos? x f= XcOsxdx _ fain x cos xdx — 3 l+cos* x fein xd(sinx) += J BÚ reo, l+cos” x = Han? 3 bank eee? x)+C Z 2 " 7 Ta có : dx t= f—S = fase?n? >
Trang 24C PHUONG PHÁP ĐỐI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số để tính tích phân bất định dựa trên kết quả
sau:
Néu f(x) là hàm liên tục va khi dat x = @(t) ở đây p(t) cùng với đạo
hàm @*(t) của nó là những hàm liên tục và có hàm ngược, thì ta có
Trang 25= feos? udu = (es 5 a du 5 fees Thay vẻ biến cũ ta có U = arcigx ee lê l+tg u L+x? Vậy từ (*) đi đến : " cøs2tuc:u+bdwÐuyEi, (*) 2 4 T= dares _* _ee 20+ x?) 2 Xét tich phan t= [7 bits co Vi+x°+Vd+x?)" XS d i Xxdx (2) 1+Vl+x? Dat u= VI+Vl+x”, tacó Tê Vien? xdx a UX = ay
Trang 27Bai 12 Tính các tích phân bất định sau Lis f dx Vir-ayb—x) ` 21 2a-x T— dv ¡ vớia>0; ite] fae iy i-x với b > a BÀI GIẢI
1 Tích phân có nghĩa trên miễn (x - a) (b- x) > 0 âđ a<x<b(dob>a) Dựng phép thay biến
x=a+(b-a) sinŸt và xét với 0 <L< 2
=> x- a=(b-a)sin*t b- x =(b-a) cost
Doo<r< 5 nên sin t > 0, cost > 0 =>
Vix ay(b—x) = y(b— a)? sin? tcos? t= (b - a)sint cost
Trang 29Nhu vay sau khi thay vao (*), ta di dén 1 = 2a arcsin HỆ -1, J x(4a? —x?) +C 2a av2a x 1 22 > T= 2a aresin j— - tree WY X(4ar EX"): HE š 2a d2a 3 Xét tích phân : r= fe dx
Trang 30Bai 13
Tinh các tích phan bat dinh sau:
t= fee ae; +I=Ƒ ve = |——ễdt với a>0 va? -x? 3 f= fervare ax; tte flier = == x e*dx Inxdx 3.J=|—————, 6 I= l gent , ier,
7.1 f Lge ages & I=
Trang 31ho 2 Xéttích phân T= pei “ (2) ie -x* Dat us XÍK = du = 3K dx, a Thay lại vào (2) và có Ï = hà m=- si Áp dụng phần 2/ bai 4, suy ra:
3 Xéttich phan 1= fervarx dx @)
Trang 324 Xét tích phân : is mẽ a, (4) ;u= ŸI+x) =uf=l +x`= 4u`du = 3x7dx ied 2 _ + X dx _ 4 ruu du T= flex xã oie "1U >‡E#l 4 = = =r! Fuel, Cy * Với 13 đt _1r(u2+1)-(uŸ =) g uw -l (u? + Iu? = 1 - pa ly_du 2J0?-i 02+] - 1/+D-(@-Ð) dines (u+1)(u~ 1) u-]I 1 = —In| —— }|-=arctgu mỉ ae
Thay lại vào (*) có :
Trang 34Inudu I 2 I= 5 pho a faosnn- qu +€ I (8) x¥2x-1 Datus ¥2x-1 => u° = 2x - | => 2udu = 2dx Vậy từ (8) suy ra 2udi Hô l5 ae +1 = 2arctgu + C = 2arctg (2x —1 ) + C D PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng
nào đó Trong khoảng này ta có :
đ(uv) = udv + vdu hay udv = d(uv) - vdu
=> Judy = uv fdu qd)
(1) được gọi là công thức tích phân từng phần Phương pháp tính tích phân
bất định bằng cách sử dụng ( L) gọi là phương pháp tích phân từng phần
Công dụng của phương pháp này là ở chỗ: trong thực hành thay vì lấy foav (thường ở đạng phức tạp), ta lấy fod (thường là đạng đơn giản hơn so với Judy )
Loai! ; Tinh cdc tich phan cé dang
frcoinds JPore® ax, JPcosinax dx, JPexdcosax dx:
Trang 35Để tính những tích phân loại này bao giờ cũng đật u = Inx với tích phân
Ị P(x)In xdx ; và đặt u = P(x) với các tích phân còn lại Bài 14
Tinh các tích phản bài định sau đáy
1i fen Inxdx vein #-1; 2 1= [te ”£: $3 1= fe? sin 3xdx ÿ 4 1= fe cos 2xdx BÀI GIẢI 1 Xét tích phân
1= Je" inxdx voin #-1 qd)
Dat u=Inx => dus se x xnl dv=x"dx => v= n+] Theo công thức tích phân từng phần ta có T= 2 Xét tích phân I= [khe (2)
Dat: u=x? => du=2xdx
dv=e"“dx= v= fe*ex = se"
Vậy từ (2) có:
Trang 361 2 1 2 1= see" - 5 freax = S8 T5 sử @®) với = fxetax Lại đặt ' u=x => du=dx Thay (**) vao (*), ta cé 2 I= pute x ae" + ae +C e* = — (9# -6x+2)+C 27 3 Xét tích phân: I= fe sin 3xdx @) Đặt u=x? >, du = 2xdx dv=sin3xdx => v= fin 3xax ~~ 5 cos 3x g ae 2 Vậy từ (3) có : Teh cost 3 1 Œ} trong đó TL Jxcos3xdx
Lai datu=x => du=dx
dv=cos3xdx => v= Joosxax = Fsin3x “
Trang 37i= dante cl Join 3xdx = site đà uy G19
z 9
‘Thay lại (#*) vào (#) ta có
I=- | cos3x ee xsin3x + _eoh +C 2-9x? €os3x + 2 xsinôx +C 4 Tương tự như phần 3/ ta có: i + *sin2x-+ + xc0s2x+C I= fe? cos2xdx =
Loại II Tính các tích phân có dạng
fen sinbxdx ; fen cos bxdx
Để tính những tích phân loại này có thể đặt u = e** (cũng có thể đặt u=sinbx) Bai 15
Tính các tích phân bất định sau đây:
Trang 3838
Vậy từ (1) có
I 2 Let sinax— 21, z 3 3 (*)
với is fen sin 3xdx
Dat HE” o> d= 2e* dx
Trang 39= -sinxdx Dat u = cosx => du dv=eldx v= fe'dx =e'dods I,=e'’cosx+ 1 (**) Thay (**) vao (*) ta co 1 = e'sinx - e`cosx - 1 sin X —COSX , > ie +C
Loại IHI Tính các tích phân dạng
[Pooarein xdx : JPcxrarccos xax { JPooarctexd với P(x) là đa thức Để tính các tích phân thuộc loại này ta đặt u = arcsinx (hoặc tương ứng u = arccosx, u = arctgx) Chú ý rằng với loại tích phân này trong quá
Trang 43‘Theo bai 4, phan 2/ ta có iy Thay lại vào (*) suy ra sa Ö : = aresin— + C¡ tal § x arcsin — +C lai
Chú ý : Hơi tích phán trén hay gặp phải trong quí trình tính tích
phan, Vi vay có thể bổ sung thêm chúng vào bảng các nguyên hàm cơ bản
cho thuận tiện hơn khi dùng đến
Loại V Các bài toán tổng hợp Bai 18 Tính các tích phân bát định sau LI= pee edx; 2 T= fimex + x? -1) dx l+cosx BÀI GIẢI 1 Xét tích phân Le [T5 úy cá 1+cosx
]+ sinx => du= ———.— dx 1 +cosx +sinx Datu = 1+cosx (+cosx)Ÿ =
đv =edx = v= fetax =e" 5
“Từ (1) suy ra
Trang 44e l+sinx 1+cosx +sinx I= ~]——; €e'd 1+cosx (+ cosx)
cores THỊ e*dx f= sin xdx (*)
l+cosx I+cosx J(I+cosx)?
sỡ
Với tích phân 1, = je
(1+cos x)
ta dat u=e' du=e'dx
Trang 48dx vi-x? v= f aude =-2 fa 1~x?)=-2V1—x? Vi-x? Dat u=arcsinx => du= Do đó je arcsin xdx Vi-x? Thay (2) vao (1), tacé =-2V1-x? arcsinx +2 [dx = -2 1x? arcsinx+2x (2) 1=x(arcsinx)? + 2VI~x” arcsinx - 2x +C 2 Xét tích phân I= fever? +x? dx Da u=x => du=dx
v= fe a? + x? dx => fia? +x?)!d(a? +x?) =F +x? va? +x?
Theo công thức tích phân từng phần, thì
Trang 49Va? +x? dx=xva Pex aide elt +x? xi tat aay taza
| Í a? + x? Tee
hay fue +x? dx=xva?4+x? ~ ve +x2dx+a? ‘aS : @)
Trang 50In xdx d(a? +x?) 1 v=|——— —— ~ 24 x) “Theo công thức tích phân từng phần ta có (a? +x?) “ole ae gt -x 1 x L=—— * >~aretg— (2)
= 2(a? +x? 7 dees +x? 2a? 4x7) 2a a
Trang 51Theo công thức tích phân từng phần thì In`x x 3 fin? xdx I= os ti id @) 1 Đạttiếp u=lnx = i= Bnd x v= oa ta được In? wo ols _HẺ) Inx dx: (2) Laidat u=Inx => nt x 1 v= St==a vì 2x? Inxdx _ -Ïnx = + % @®) 2x? aS 2x” 4x?
Thay (2) (3) vào (1), ta đi đến
Trang 53dt Dar us arctgt => du= ——> l+t dt 1 we | #s= vot Theo công thức tích phân từng phần ta có IL dt I, = - —arctgt + = (3) ot lạ #07) Lai thay Í dt Lee? dt tdt 2 SS b= af 2 tq +1) tq+t) 1 l‡t sỉ Lee oi t Lt? vier Thay lại vào (3) có l= ~ egt +in (4)
Thay (4) vào (3) thì ta có sau khi trở về biến cũ
L= -(arctge*2)? ‹ 2e*? arctge*? + x - In(1 +e") +C
4 Xét tích phân
Theo công thức tích phân từng phần ta có
Trang 55E PHUONG PHAP SU DUNG CONG THUC TRUY HOI
Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n n là số tự nhiên (thí du như những hàm siêu việt hàm lượng giác có lũy thừa bậc n) khi đó người ta thường kí hiệu I, để chỉ tích phân phải tính Trong chương này những bai tap thuộc loại này thường có đạng sau đây:
+ Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi (tức là công thức biểu
dién I, theo cdc I, ở đây I <k <n)
~ Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước
- Sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính 1 giá trị In, cu thé nào đó (việc tinh cu thé I, không đặt ra với tích phân bất định vì quá phức tạp nhưng sé dé cap
đến trong chương sau: Tích phân xác định) Bài 22
Cho I, = fsin xdx vaJ,= feos" xdx voi n là số tự nhiên >2
Chứng mình các công thức truy hồi sau:
1.1 =- zh sin”'x cosx + Bed đà n n 1 = 2 J, = — sinr cøs“"!v + £ n 3 Ap dung tinh I, va J, BAI GIAI
1 Xét tích phân I, = fain’ xx với n>2
Đặt u=sin"'x => du=(n-l)sin"°x cosxdx
Trang 5656
dv=sin dx => v= fsindx = -cosx
“Theo công thức tích phân từng phần ta có: 3 fied 2 1, = - sin"'x cosx + foo —l)sin"”” x cos*xdx =-SỈ"'x cosx + (n-1) nh? x (1+ sin? x) dx = - sin"!x cosx + (n-1) foinn? x dx - (n-l) fain” xdx, hay I, =- sin"'x cosx + (n-1) I - (n-1) 1, => nl, =- sin®'x cosx + (n-L) 1,» = fmt tsin®! xeosxe Bob, (1) n n Đó là đ.p.c.m 2 Lam tương tự phần l có j= st xcos"! roe Nha n n (2) 3: Áp dụng (1) tả CÓ 1,2-sin? xcosx +24, (*) 3 Ss,
Dol, = fain xdx = - cosx , vay thay vao (*) ta c6