Phương pháp giải toán giải tích tổ hợp và xác suất hà văn chương

Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” là một phần của “ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học sinh không

PHUONG PHAP GIAI TOAN

HA VĂN CHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOAN

GIAI TICH TO HOP VA

XAC SUAT

GIAI CHI TIET

Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” là một phần của

“ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các đề thi

Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học

sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng

“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thức Newton”

Về phần xác suất, học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác

suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi Cao đẳng và Đại học Qua nhiều năm giảng dạy ở THPT và Luyện

thi Đại học Chúng tôi viết cuốn sách “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ

XÁC SUẤT” này nhằm giúp các em có một hệ thống bài tập từ thấp đến cao, giúp các học sinh phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”,

khi nào dùng “chỉnh hợp” Tính xác suất các biến cố, một cách hệ thống để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán

Mặc dù đã cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong sự góp ý của các em học sinh và độc giả, để

lần tái bản sau sách được hoàn thiện hơn Rất cảm ơn

Tác giả

Hà Văn Chương

Một hành động H gồm có các hành động liên tiếp A, B, C và nếu có

m cách thực hiện A, n cách thực hiện B, p cách thực hiện C, thì ta

có m x n x p cách thực hiện H

Quy tắc cộng

Một hành động H gồm có hoặc là hành động A, hoặc là hành động B, hoặc là hành động C và nếu có m cách thực hiện A, n là cách thực hiện B, p cách thực hiện C thì ta có m + n + p cách thực hiện H

Cða" -Cla" lb+ + (-1)* cka®” kh + +(~1)ˆ2Cập"

Mỗi cách xếp đặt n phần tử của một tập hợp có n phần tử, theo một

thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị n phần tử

2 Số hoán vị n phần tử là P,„ = n!,n e Z2

VII HOÁN VỊ TRÒN

1 Định nghĩa

Mỗi cách xếp đặt n phần tử trên một đường tròn theo một thứ tự nhất

định, được gọi là một hoán vị tròn phần tử

CAC DAU HIEU CHIA HET

Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Số chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành chữ

Với n > 2, ta có : 2n-1)>n

3(n - 2) >n 4n-3)>n

Giả sử bài toán đúng với n = k (k € Z, k > 3), tic la tacd : k! > 2*' (1)

Ta chứng minh bài toán đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh

(k + 1)! > 2

Nhân hai vế của (1) cho (k + 1), tacd: kk + 1) > 2"! (2

1 QUY TAC NHAN

10 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm năm chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ?

Giải

Gọi n= a,a,a,a,a, la sd can lap Co hai truong hợp :

— Nếu ai = 5 thì ta có 1 cach chon a,

6 cách chọn a,

5 cách chọn a;

4 cách chon a, _3 cach chon a;

Trường hợp này ta có : 1 x6 x 5 x 4x 3= 360 số

- Nếu ai # 5: Có bốn vị trí chữ số 5 trong n ứng với một vị trí của 5 ta

có chang han n = a; 5aya,a;

Có 7 cách lấy chữ số 0 bó vào hoc (do a, # 0)

Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc do còn 7 hoc trong

14 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, lập nên từ các chữ số

1,9,3, 4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện sau :

Giải

a) Gọi n = aia¿a›a¿a; là số cần lập

Taco: 1 cach chon a, (vi a, = 5)

4 cách chon a, (vi a, # ai)

15 Cho nam chit sé 0, 1, 2, 3, 4 Từ năm chữ số đó có thể lập được bao

nhiêu số chẳn có năm chữ số, sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên

có mặt một lần

Đề thì tuyển sinh bào trường DH Kiến trúc Hà Nội

ay

ay

ay Vậy tất cả có : 2 x 3 x 3x 2x 1= 36 số n

0, 2, 3, 6, 9 Có thể lập được bao nhiêu số chẩn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ

Dé thi tuyén sinh oào trường ĐH Y Hà Nội - 1999

Giải Goi n = aia;asa¿a; là số cần lập

Vì n chan, nén a; chan = a, € {0, 2, 6) Có hai trường hợp :

2 cach chon a,

1 cach chon a, Vậy ta có:1x4x3x2x1=24 số n

Tổng cộng hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n thỏa yêu cầu bài toán

Goin = a,aya,a, là số tự nhiên cần lập

Bước 1 : Tính số các số n có bốn chữ số (không chú ý đến điều kiện không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần)

Trường hợp 2 : Chọn a¡ # 0, có 9 cách

Chon a, = ay = a4, có 1 cách (a; lặp lại 3 lần)

Chọn a¿, có 9 cách (vi ay, # ai)

Do đó số các số n thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 9000 - 324 = 8676 số

19 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thê lập được bao nhiêu số có bảy chỉ

số trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặi đúng một lần

Đề tÌủ tuyển sunh vao DH An nình - khối D - 200: Giải

Giải

Có 4 cách chọn cho mỗi ngày

Vậy số cách chọn 6 ngày trong tuần là :

21 Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng

a) Có bao nhiệu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ?

b) Co bao nhiéu sé chan gồm 6 chữ số được tạo thành ?

; Đề thì tuyển sinh oào ĐH Huế - 1996

Giải

a) Goi n = aiasasa¿a;as là số cần lập

Trong một tuần lễ, bạn A dự định mỗi đêm đi thăm người bạn trong

12 người bạn của mình Hỏi A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch di thăm bạn nếu :

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ hai chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đâm thứ bảy chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đêm thứ hai chọn 1 trong 11 người bạn để thăm, có 11 cách

Đâm thứ bảy chọn 1 trong 6 người ban để thăm, có 6 cách

+ Nếu a; = 7, có 1 cách chon ay

2 cach chon ay vi a, < 8 Vay tacé:1x1x2=2s6n

Vay khi a, = 2 tacd:6+2=8s6n

Theo quy tắc cộng ta có : 12 + 8 = 30 số n < 278

26 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, õ ta có thể lập được bao nhiêu số gồm tám

chữ số, trong đó chữ số 1 có mật ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần

hoán vị ba chữ số 1, thì n không đổi) Do đó ta chỉ có _ = 5880 số n

thỏa yêu cầu bài toán

28 Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 học sinh trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Mỗi cách xếp hai chữ số 2, còn năm ô trống, mỗi ô trống có hai cách

xếp 1, 3 vào Vậy ta có 2” cách xếp 1, 3 vào hai ô trống

Do đó ta có : CỆ.2 = 672 số n

30 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được :

a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ?

b) Bao nhiêu số tự nhiên chắn, gồm năm chữ số khác nhau ?

Giải Gọi n = a¡a;asa¿a; là số tự nhiên cần lập

Ta có ;Ÿ cach chon a, (vi a, # 0)

b) Số các số tự nhiên có năm chữ số lấy từ bảy chữ số cho trên :

m-1 Lam _am Cis = Chie - Crs

Suy raz CP = CRS HOR + Ci to CR + m m ‘

m _am-l, aml aml m-1 m-1

= Cô =Cn; tCn-¿ tŨng + +tÊm Tài

Dat ux = C3, ,.C? ¡ với k thay đổi từ 0 đến m; ke N

Ta chứng minh dãy (uị) giảm

That vay:

ae Metcy (2n+k+10(0n—k)<(n+k + 1)(2n — k)

© 2nk + n >0 hiển nhiên đúng vì 0 < k <n

Do đó day (u,) giam

Từ đó ta suy ra k> 0 thì uy, <uy c> C?,,¿Czn-¿ s(Gỗ,/

That vay ta chi can ching minh C$,,, < che

Với k= 0 1, 2 , 1999 ta có bất đăng thức cần chứng minh tuong đương

Dang thie xay ra => k = 999 hay k = 1000

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có : Chao, + Chia < C1000 4 C00!

Dang thite xay ra = k = 1000

= get

p

Truong hop m chan (m = 2k) thì p< k+=—

Vay dé C®, lon nhất, ta chọn p= k sẽ =p=kvìipeN

49 Gọi n là một số nguyên dương cố định, chứng minh rằng C} lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá =— ¬

Đề thi tuyển sinh ào trường ĐH Vinh - khối A, B - 2001

52 Tìm số nguyên dương n sao cho : C) + 2C) + 4C? + + 22C" = 243,

55 Dinh x va y sao cho CY,, : CX"! 20}! = 6 r8: 5

xe1

Giải Điều kiện : x, y e Ñ,y + 1<x

58 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh

để xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ?

Giải

— Chọn 3 học sinh trong 11 học sinh, ta có : Cy = 165 cach

— Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ, ta có : C} = 4 cach

Vậy số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam là :

165 - 4 = 161 cách

59 Đội thanh niên xung kích của một trường PTTH có 12 học sinh, gồm 5

học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học

sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

Đè thi ĐH - bhối D - 2006

Giải

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Ci, = 495 cach

Số cách chon 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau :

+ Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh là :

Đề thi tuyển sinh oào ĐH Y Hà Nội - 2000

Giải

Ta có ba trường hợp sau :

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí

nam là : C¿C;C¡ =5x3x4 =60 cách

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là CẶC; = 12 cách

Tổng cả ba trường hợp trên ta có : 60 + 18 + 12 = 90 cách

61 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra ð người, sao cho :

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó ?

b) Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Đề thị tuyển sinh ào ĐH Thái Nguyên - khối A, B - 2000

- Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam, nữ trong 15 học sinh, có Cỹ;

— Số cách chọn 6 học sinh toàn là nam, có Cặ,

Chox=1 = Cj -Ciy + Ci, + C3) + + C12x! =0

64 Có hai đường thẳng song song (d,) và (d;) Trên (dị) lấy 15 điểm phân

biệt, trên (d;) lấy 9 điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là

a) Tam giác có 1 đỉnh trên (d;) và 2 đỉnh trên (d;)

Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d,), có Cả cách lấy 2 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : 15C2 = 540 tam giác

b) Tam giác có 2 đỉnh trên (d,) và 1 đỉnh trên (d;)

Có C? cách lấy 2 đỉnh trên (d;), 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : 9C?; = 945 tam giác

Theo quy tắc cộng, ta có : 540 + 945 = 1485 tam giác

65 Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chọn ra một tổ

công tác có 5 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất

1 nữ

Đề thị tuyển sinh uào trường ĐH Y Hà Nội - 1998

Giải

Số cách chọn ð đoàn viên bất kì là Cặ,

Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là Gia

Vậy số cách chọn ð đoàn viên có ít nhất 1 nữ là :

C3) - C3, = = - me = 1525 cách

66 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và

2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Đề thi tuyển sinh uào trường CĐSP Hà Nội - 1999

67 Một đội cảnh sát có 9 người Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại

địa điểm A, 2 người làm tại địa điểm B, còn lại 4 người trực đồn Hỏi

có bao nhiêu cách phân công

Dé thi tuyén sinh vao Hoc vién Quan sự - 2000

Giải

Số cách phân công 3 người tại điểm A : G

Số cách phân công 2 người tại điểm B : G

Số cách phân công 4 người còn lại : 1

Vậy số cách phan cong la : C3.C = 1260 cach

68 Lớp học có 4 nữ, 10 nam Cần chia lớp thành hai tổ mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam Hỏi có mấy cách chia

Giải Chọn 2 trong 4 nữ, có C2 cách

Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, c6 Ci, cach

Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia

1 †

Vay tri: G0, =- 1U „a3 10965 „ 1BT0 cách 212! 55! 23.45

69 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác

cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác

Đề thi tuyển sinh uào trường ĐH Kiến trúc Hà Nội - 1998

a) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người từ 12 người đó, không

phân biệt nam, nữ

b) C6 bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người từ 12 người, sao cho tổ có

ít nhất 1 nữ

e) Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người nam

Giải a) Chọn 8 người trong 12 người là số tổ hợp 8 chập 12 :

71 Cho đa giác lồi n cạnh

a) Tìm số đường chéo của đa giác này

b)_ Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác

e) Tìm số giao điểm của các đường chéo Biết rằng không có ba đường

chéo nào đồng quy

Giải

a) Cứ nối hai đỉnh của tam giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n

giác Do đó tổng các đường chéo là Cả

Suy ra số đường chéo của n giác là : Cƒ —n = ee nins 3)

2'n - 2)! 2

b) Số tam giác tìm được là Cả

c) Cứ một đỉnh từ n đỉnh của n giác, tạo thành một tứ giác lỗi nên có

một giao điểm của hai đường chéo

Vậy số giao diểm của các đường chéo của đa giác là CẠ

72 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn

ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong

số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu

Giải

Để 4 viên bi lấy ra không đủ ba màu, có các trường hợp sau :

Cả 4 viên đều vàng, ta có Cá = 5 cách chọn

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc trắng, ta có ŒG = Bcách

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc vàng, ta có Cƒ = 35 cách

Trong 4 viên bi chỉ có trắng hoặc vàng, ta có Cá = 70 cách

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là : 5 + 5 + 35 + 70 = 115 cách

a) Có bao nhiêu tập hợp con của A ?

b) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn ?

Đề thi tuyển sinh uào trường ĐHSP TP.HCM - 2001

Giải a) Số tập con của A là :

C9 + Cjo + C?a + + C?o = (1+1)?9 s 2?0 = 1048576

— Đầu tiên, chọn 4 trong 12 học sinh cho để một, có C‡, cách Tiếp đến,

chọn 4 trong 8 học sinh còn lại cho để hai, có Cá cách

— Các học sinh còn lại làm đề ba

nên Cjạ < Ca < <Cïạ = Cig > Cig >- > Cig

Vậy, số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9

76 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để dự đại hội học sinh ưu

tú toàn quốc Có mấy cách chọn :

c) Nếu A và B cùng đi, có Cj) = 45 cach

Nếu A và B cùng không di, ta cé Cf) = 210 cách

a_ Mời 3 trong 11 người, có Cỷ, cách

Mời 4 trong 11 người, có C¡¡ cách

b)

Ci, + Cf, + +C}} = (Ch + Cá + +C}})- (Ch, + Cj, + Ch)

= 2!' ~(1+ 11+ 55) = 1981 cách

Mời 1 nữ trong 6 nữ, 2 nam trong 5 nam, ta có cic? cach

Méi 2 nif trong 6 ni, 3 nam trong 5 nam, ta c6 CZC} cach

Mời 3 nữ trong 6 nữ, 4 nam trong 5 nam, ta có CặC; cách

Mời 4 nữ trong 6 nữ, 5 nam trong 5 nam, ta có C@Cš cách

78 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ? `

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?

c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu cuối ?

Giải a) Chọn tùy ý trong 10 câu ta có Ca = 45 cách chọn

b) Vì có 3 câu đầu bắt buộc, nên phải chọn thêm 3 câu trong 7 câu đầu còn

lại, ta có CỆ = 21 cách

e) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có Cí cách

Tiếp theo, chọn 4 trong 5 câu sau cé C$ cach

Vậy theo quy tắc nhân ta có : C¿C¿ = 25cách

79 Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn ra một đoàn đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích

Đề thị tuyển sinh oào ĐHQG TP.HCM - 1997 Giải

— Số cách chọn 1 trưởng đoàn : 12 cách

— Số cách chọn 1 thư kí : 11 cách

— Số cách chọn 3 thành viên : Cỷ, = 120 cách

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu : 12 x 11 x 120 = 15840 cách

80 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình

Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :

a) Trong tổ phải có mặt tất ca nam lẫn nữ ?

b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tô viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tô

b) Chọn tùy ý 6 người trong 14 người, ta có Cÿ, = 3003 cách

Chọn An và Bình rồi chọn thêm 4 học sinh trong 12 học sinh còn lại taco Ct, each

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó An và Bình không đồng thời cc

mặt là C?, - Cƒ,

Với 6 học sinh đã chọn xong, ta có 6 cách chọn ra 1 tô trưởng

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là :

6(Cÿ, - Cj,) = 15048 cách

81 Cho tập A có n phần tử, n > 7 Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phar

tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A

82 Cho tap hợp A gém n phan tu, n > 4 Tim n, biét rang trong sé cac tay

con cua tập A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ