Bài tập tự luận trắc nghiệm giải tích 12 cơ bản và nâng cao hà văn chương

Trang 2

HA VAN CHUGING

BÀI TẬP TỰ LUẬN - TRAC NGHIEM GIẢI TÍCH 12

CƠ BẢN VÀ NÂNG (CAO

(Theo chương trình mới của Blộ (Giáo dục & Đào tao)

Kiến thức tổng quíát 190 bài tập tự luậm

1462 câu trắc nịghiệim

Trang 3

VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ

CHiương 1 UNG DUNG DAO HAM

A TAP XAC BINH CUA HAM SO - TAP GIA TRI CUA HAM SO

Cho hàm số y = ftx) Tập xác định D của hàm số được định nghĩa như sau : D = {x eR/ fx) có nghĩa] Các dạng thường gặp : 1 y= 3f(x) xácđịnh ô> 2.y= Bui xỏc nh câ glx) 3 y = tan[u(xi] xdcdinh © 4 y= cot[u(x| xác định @& Hl Tap gia tri cua ham số f(x) 20 g(x) #0 u(x) # o + kr, keZ u(x)#kn, keZ

Cho hàm số y = Ñx) có tập xác định D Tập giá trị T của hàm số được

Trang 4

e) yxácđịnhh <> x+ vx?-x+1 >0 (dox?—-x—1>0,Vx e R)

° ot ° [r © VxeR

x?-1>0 q)

d) yxácđịnh jX -2Vx -1>0 @) x-4>0 (3) x-3+2¥x-420 (4)

(2) © (-1)-2vx?-14+120 © (vx? -1 -1)? 20 đúng với mọi x thỏa man x? - 1 > 0

(4) © (x-4)+ 2vx-4 +120 oe Wx-4 #1? 20

Do đó tập xác định-của hàm số là D = [4; +œ)

y = Vm? + 2m)x? + 2mx +2

Yebt © (m?+2m)x?+2mx+220 VxeR (*)

e Khim=.0 thi(*) © 0x?+0x+220 ding vx eR (1)

e Khim=-2thi(*) © Ox?-4x+220 vx e R (sai)

b) m+2mz0 â m+#0vmÂ#-2 thi:

m? + 2m >0 m<-2vm>0

*) © ° 3

Trang 5

m<c-4vm>0 (2) m<-2vm>0 ° m<-4vm>0 Từ (1), (2) ta thấy : Để hàm số xác định ⁄x R ‹¿ ra<-4vm>0

x-

2 b) Tacé: y= %+2%+3

có tập xác định D = RÀI-2) vxeD 2

2 = 6 đỗ te

2

Ta có : TT oe (x-4x+5)y=x-4x+6

<= (y- 1x’ +4(1-yx+5y-6=0 (*) 1 Nếu y = 1 thì phương trình (*) © 0x? + 0x— 1 = 0 vô nghiệm

2 Nếu y z 1 thì phương trình (*) có nghệmxeD @ A>0

® A=4(1-y}-(y-1)5y-6)>0

= -y+3y-2>0 œ 1<y<2 (vìyzl)

Trang 6

d) Ta có: y=x?+ 2x+ 3= (x+ L+ 2

Khix>1thìx+1l1>2 => (x+1+2>4+2=6

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [6; +)

B SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Định lí Lagrange

Nếu hàm số y = fx) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trrên khoảng (a; b) thì tổn tại e e (a; b) sao cho :

f(b) - f(a)

b-a

Định li 1: Cho ham số y = fx) có đạo hàm trên khoảng (a; b) e f(x)>0 Vxe(a;b) = x) đồng biến trên khoảng (a; b)

e f(x)<0 Vx e (a; b) =_ fx) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Định lí 2 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

e_ f{x) đồng biến trên khoảng (a; b) => f(x)>0 Vxe(a,b) e ftx) nghịch biến trên khoảng (a; b) => f(x)<0 Vxe(a,b) (Lưu ý : Trong định lí trên f (x) > 0 (f'(x) < 0) dấu đẳng thức chỉ xảy ra

Trang 9

^ Vậy hàm số tăng trên (« 3] Và giảm trên lễ: 3] Š 2 2 = _ d) Hàm số xác định = SÉ= L1 og © (x-SXx-4) vo

x? -2x-3 ˆ (x - 8x +1)

2x +1)? {2-4

e) y= vx? -x-20 Ham sộ x4cdinh @& x?-x-2020 â D=(-ô;-4] U[5; +0)

2x? - x - 20 2

Trang 12

Ta có: cosx + ` > 8 leosx ` =2y L >2 vì0<cosx< 1 cos* x cos’ x cosx 1 -2>0 h(0) = 0 Vậy h(x) = cosx + cos2x Do dé: ©

Vậy h(x)=sinx+tanx-2x>0 => sinx + tanx > 2x

C CỰC TRI CUA HAM S6

Giả sử hàm s6 f(x) x4c dinh trén khodng (a; b) va xo € (a; b)

1 Định lí 1:

) hàn >0 trên (xạ —h; xạ)

f'(x9) < 0 trên (xạ; Xọ + h) = siàđiễm cụ, ° eels

Trang 14

e)

y=x1-x) Tập xác địnhD=R y' = 8x?(1 — x)? — 2(1 — x)x” = (1 — x)x*[3(1 — x) — 2x] y =(1-x)x(3-5x)=0 © x=0, x=1, x= 2

Vậy hàm số có các điểm cực trị là xẹp = m Xer = 1 y=2+39x? Tập xác định D=R 2 3Ÿ

y = L +

10 Áp dụng định lí 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :

Trang 15

W

r{

Trang 16

y` = f(x) = -sinx — sin2x = -sinx — 2sinxcosx x=kn

= -si sinx(1 + 1 + 2c 2cosx) =0 © oa a

y" = f"(x) = —cosx — 2cos2x

f'"(kx) = -cos(kn) - 2cos(2kx)

x? - 2mx +m-1

11 Cho ham 86 y = ———~_—— Tim m 6 ham số có cực đại, coực tiểu và tung độ- các điểm cực đại, cực tiểu

a) cùng dấu b) trái dấu

« Tập xác định D = R\(1] ,_ x°-9x+m~1

(x -1)

e Hàm số có cực đại,cựctiểu <> y'=0c6 2 nghiém phân biệt

'©_ x?—~2x+m~—1 =0 có 2 nghiệm phân biệt

8) Ycp,YYcercùngdấu <= y =0 có 2 nghiệm phân biệt

Kết hợp (*) và (**) : Dé ham số có cực đại, cực tiểu và ycp, Wcr cùng dấu ta chọn m< 1-48 v UỔ cm ca,

b) ycp, ycr trái dấu <=> y =0 vô nghiệm

Kết hợp (*) va (***) : Để hàm số có cực đại, cực tiểu và Ycp, Ycr trái dấu 'vchọn 1Ý „m „1+ VŠ, 2 2 mx2 +(mẺ + 1)x + 4mŠ +m 12 Cho hàm số y= ——————————

x+m

Trang 17

Giải » Tai có tập xác định Ð = RVI-mil mx? + 2m?x — 3in?

‘y=

Với mz 0 thì y = 0 <> x° + 2mx - 3m” = 0 luôn có 2 nghiệm xị < 0 < x,

[hàm số đạt cực đại tại x;, cực tiểu tại xị Yebt <= | / \(C) khong cắt trục x`Ox fm <0 ° ; y â - | mx? +(m* + 1)x + 4m” +m = 0 vô nghiệm

ím<0 | vã

D GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Đặnh lí y = fx) liên tục trên đoạn [a; b] = Tổn tại max f(x); -min f(x)

2 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

øe Tìm x; e [a; b} (¡ = 1,2, ,n) tại đó f'(x¡) = 0 hoặc khơng xác định ¢ Tinh fla), f{x,), (xq), ., Ñx„), b)

« Giá trị lớn nhất = Max|f(a), Ñx\), , Ñxa), f(b)| ø© - Giá trị nhỏ nhất = Minlf(a), Ñxị), , Ñxa), fb)l

3 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng

y = x) liên tục trên khoảng (a; b), ta có hai trường hợp : x | a Xụ b xịa Xo _ ob

—+——m—-

7 GTNN a a om ig

BÀI TẬP TỰ LUẬN

a) y =x" ~ 3x’ - 9x + 35 trén doan [0; 5]

DATROCT GI JOC GIA HA NÓI

TRUNG TAM TH THO NG 1 TIN THU AEN 17

Trang 20

x v4 -x? -x 4-x2 4-x? x20 y =0 Oo 4-x? =x oO ft š ; x= v2 -x" =x

° y(-2)=-2, yd2)=2/2, y(2)=2

Vậy giá trị lớn nhất của y = 2V2, gid trị nhỏ nhất của y = -2

17 Tìm giá trịlên nhất, giá trị nhô nhất của y = Ö ` trăn (1; 0°) vhé c= Giải

,_ =ln2x+9lnx ; ‘ Inx=0 x=1

x x=e

y

Vay : giá trị lớn nhất của y = 3 eo xeÍ1; e1, !

gid trinhé nhétciay=0 xe (1; e')

18 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật

có diện tích lớn nhất

2

: Giải

Gọi x, y > 0 lần lượt là độ dài hai cạnh hình chữ nhật

Trang 21

19) Trong tất cả các hình chữ rhật có diện tích 48m” Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất Giải Gọi x, y >0 lần lượt là hai cạnh hình chữ nhật Ta có: xy=48 = yee? x Chu vi = 2(x + y) = af x +2) x Xét fx)=x+ 48 Tập xác định D = R\I0I x 48 f(x)=1- =, f(x)=0 © xX =48 © x =+4/3

Ta _— a x= — thi fix) me nhất © chu vi hinh chit nhat nhé

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điểu kiện x + y = eva

Trang 22

21 Tim gid trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y = xỀ + 4(1 — x?)' trêm [—L; : 1] : : Giải Dat t=x? (0<t<1) thi y = xŠ + 4(1— x?) = tỶ + 4(1 — t) = -3t + 12 — 12t + 4

E KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

a) y=xÌ-3x b) y=—x! + 3x2— 1 ce) y=x°?- 3x’ + 3x-1 d) y = -x? + 3x’ - 4x + 3

Giải a) y=x°- 3x

e y'=38x?-3,° y=0 @ x=tl

Trên sác khoảng (-œ; -1) và (1; +), y'` > 0 do đó hàm sé déng bién Trên khoảng (-1; 1), # < 0 nên hàm số nghịch biến

e Cực trị : Từ kết quả trên suy ra :

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, ycp = y(-1) = 2

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, ycr = y(1) = ~2

Trang 23

Ib)

y=0 ôâ x-3x=0

y=-x°+3x”~ 1

Trên các khoảng (-z; 0) và (2; +), y` < 0 do đó hàm số nghịch biến Trên các khoảng (0; 2), y'` > 0 hàm số đồng biến

+ Cực trị : Từ kết quả trên ta có :

Hàn số đạt cực tiểu tại x = 0, yer = ~1 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, ycp = 3

Trang 24

©) y=x°-3x?+3x— 1

+ y=3x-6x+3,y=0 @ x=1 Ta có : y' = 3(x— 1)? > 0 nên hàm số đồng biến trên (~œ; +œ)

+ Giới hạn tại yé cue: lim

y = lim f1-2.5-5] bey

Trang 25

Giải x toys + x7 4 * Tap xac dinh: Kk ® Sự biến thiên : + y=-x +4x=X(X + 4), y=0 © x=0, x=42 + Taco y > 0 trén (~~, -2) va (0; 2) nén y déng biến trên (-œ; -2) và (0; 2) + Ta có y < 0 trên (-2; 0) và (2; +x) nên y nghịch biến trên (-2; 0), (2: +x) + Cực trị: Hàm số đạt cực dai tai x = -2 va x = 2 vA ycp(-2) = 4, yep(2) = 4 Hàm số dạt cực tiểu tại x = 0 và yc+(0) = 0

= Ỷ af 1.2

pat Bees 4x

x=0 y=J

b) y=x“-2x +1

e Sự biến thiên : + y =4x”~- 4x = 4x(x?— 1),

+ Tac6é:y tang trén (-1; 0) va (1; +) vi y’ > 0 trên các khoảng đó y giam trên (—œ; -1) và (0; 1) vì y' < 0 trên các khoảng đó

Trang 26

+ Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 9, ycp = y(0) = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = ‡ 1, ycr = y(+ 1) = 0

+ Giới hạn tại vô cực: lim y= lim x‘ (2 = a =] = +0

xế 3 yep sg

Sự biến thiên : + y' = -2x° — 2x = 2x(-x? - 1), ys0 & x=0

+ Hàm số đồng biến trên (—-œ; 0) do y` > 0 trên khoảng đó

+ Ham số nghịch biến trên (0; +œ) do y' < 0 trên khoảng do

+ Cực trị : hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycp = y(0) = ;

+ Giới hạn tại vô cự: lim y= lim “Í'š-œ*'z) = -00

/ x¬— x-`-” 2 x 9y?

ia y= lim xÉ|— 1-1 8.)

Jim y = lim x* | a asa)

+ Bang bién thién :

x 00 +0

Trang 27

d)

Dé thị :

+ y =4x”+ 4x = 4x(X” + 1), yO ee x =O

Hàm số giảm trên (—x; 0) do y` < 0 trên khoảng đó

Hàm số tăng trên (0; +>) do y' > 0 trên khoảng đó

Trang 29

2

y <0nếu 1<x<3;y >0nếux<-1vx>3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (->; -1) và (3; +), nglicy

biến trên các khoảng (-1; 1) và (1; 3)

+ Cực trị : Hàm sé dat cue dai tai x = -1, ycp = y(-1) = -ð

Trang 30

e Đồ thị: x=0 = y=-6

s Tập xác định : D = R\I1I

‘Vi lim[y-(x-8)]= lim

(x- 0)?

y' >0 nếu 0 <x< 3 = y là hàm số đồng biến trên (0; 2)

y' <0 nếu x< 0v 2<x = y là hàm số nghịch biến trên x< 0 v 2 << x Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, ycr = y(0) = -2

Trang 31

+ Bang bién thién :

+y=——_ y=0 © x?— 4x + 8 = 0 v6 nghiệm

lim y = lim = +2, lim y = lim —~——— = -” xe? y or x-2 mee x22 Xxe2

Vậy x = 2 là phương trình tiệm cận đứng

x? -x-6 _ x? -x-6

lim y = lim ———— =+, lim y= lim -——~—— =-0

Trang 33

F BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

KI

Các bài toán về phương trình tiếp tuyến thường gặp 2 dạng sau :

Phương trình tiếp tuyến với dò thị hàm số y = Ñx) (C) tại tiếp điểm Mo(Xo; Yo) € (C) là: y — yọ = F (Xo)(X — Xo)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = fx) (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xạ; yA) cho trước, hoặc có hệ số góc k cho trước, có hai phương pháp giải ,

Phương pháp 1 : Tìm tiếp điểm

Gọi May; yọ) e (C) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tai M(x; yo) lA: y= yo =f (Xo =X) (d)

se Nếu (d) có hệ số góc cho trước thì f (xạ) = k Từ đây ta tìm được xo

và suy ra phương trình tiếp tuyến (d)

Phương pháp 2 : Dùng điều kiện tiếp xúc Cho hai đường cong (C) y = f(x), (C'): y = g(x)

f(x) = g(x) có nghiệm

f(x) = g(x) °° Deni

Thì (C) tiếp xúc với (C) © hệ phương trình |

(Trong đó nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm)

Trang 34

BÀI TẬP TỰ LUẬN

b) Cho ham s6 y = x - 3x7+2 (C)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số (C)

Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến (C) từ điểm A(S: - ?) a)

b)

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua (2 5 -2) Hà :

=klx-^“|-2 , (* 9 x! ax! 2=1(x-B)-2 Để (d) tiếp xúc với (C) © 9 3x? - 6x =k có nghiệm ° © x-341+2=(3x2— 6o{x - 2) -9 có nghiệm

U UÚU

Vay tir ` -2) ta kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có phương trình llà :

a)

e) Cho đường cong (C) : y = fx) = xỶ — 3x? + 9 Viết phương trình tiếp

Tại điểm uốn của (C) b) Biết (A) có hệ số góc k = -3

Biết (A) // (Ai) : y = 9x + 1 d) Biết (A) 1 (A;) : y = “5x +2

Biết (A) qua A(-1; -2)

a)

Giải

Ta dễ tìm được điểm uốn của (C) là I(1; 0)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C) là :

Trang 35

b) Gọi M(x,; yụ) e (C) là tiếp điểm, khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M

Vậy phương trình tiếp tuyến (C; có hệ số góc băng -Z là :

y~0=-3(x- 1) a> y=-3x+3

c) Goi M(xy; yo) € (C) 1a tiép diém, theo gia thiét (A) // (A,): y = 9x +1 Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là : f(x,)=9_ â 3x2 6xo=9 o Xy=-lvx9=3 Â x)=-1 > — yy =-2nén phương trình tiếp tuyến là : , y+2=0(x+l) â y=9x+7 *đ xu=3 =_ yo= 2 nên phương trình tiếp tuyến là : y-2=9(x-3) = y=9x- 25

id) Goi M(x; yo) € (C) la tiếp điểm

wo (2)

Phương trình tiếp tuyến (A) của (C) tại M là y - yo = f'(xo)(x — Xo)

Trang 36

Vì tiếp tuyến đi qua A(0; -1) nên :

-1- xã +2x2 =(4xÖ -4XoX-x) << 3x6-2xã -1=0

= Xo=l, Xọ = -]1

Thay vào (*) ta có: xọ=1 = phương trình tiếp tuyến : y = -1 Xo =-1 = phương trình tiếp tuyến : y = -1

Vậy qua A(0; -1) chỉ vẽ được 1 tiếp tuyến đến (C) 5

x- ,

(A) L(A’) =_ phương trình (A) có dang y = -gx+m

a)

c-.ư 3 (2) có nghiệm

Viết phương trình tiếp tuyến (tạ) của (C) tại điểm A e (C) biết xạ = a Xác định a để t„ đi qua điểm I(1; 0) Chứng tỏ rằng có 2 giá trị a thh4ø

Trang 37

‘ (a? t9a\(x-a) a? +2a+2

(a +1)? a+1

2 _ 2

(a +1)? a+l1

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm và hai hệ số góc tương ứng của hai tiếp

tuyến là : kị = f(a¡) = 1+ V5 k¿ạ = f (a;) = 1-45

3+5 3-5 1+v5}(1-v5Ì_ -4 W = 3+5) ` SES |a-d5)} 4

81 Chohàmsốy= - — (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M cắt

Trang 38

° Xo + 1 = +2x? °

Vậy ta có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc MÍ-š; -2}

G SỰ TUONG GIAO CUA HAI ĐƯỜNG

82 Cho hàm số y = x°— 3mx? + 3(m?- 1)x-(m?-1) (Cạ)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đô thị (C„) cắt Ox tại ba diéém

phân biệt có hoành độ dương Giải

Ta có: y'=x?— 2mx + m?- 1,

Do đó (C„) luôn luôn có cực đại, cực tiểu Xep=m-1 = yco=(m-1Xm?-3) Xxr=m+l = ycr=(m+1Xm°—2m- 1) -

= = (m?- 1m? - 3(m?- 2m-1)<0 (1) * Trong diéu kién d6, ta nhé hinh dang dé thi, ta thay dé 3 giao diém cé

Xẹp >0 hoành độ dương thì re y(0) <0 ( n4 aan ) ap (m? - 1Xm? 3m? - 2m ~ 1) < 0

q m? -1>0

33 Cho ham,s6 y = x°- 3mx’ + 3(m?- 1)x-m°* (Cm)

Trang 39

m~1<0

= (x - 2)[x? - (8m + 1)x + 2m? + 2m] = 0

ag(1)>0 e@ 1-(3m+1)+2m?+2m>0

7 'Ìg(2)*0 e6 4-2(3m+1)+2m? +2m 40

ma ml

2_Ox+4

35.a) Khao sat su bién thién va vé dé thi ham sé: y = _— x- q) b) Tìm m để đường thang (d,,) : y = mx + 2 - 2m cắt đổ thị của hàm số

Trang 40

Ycbt <= phừơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đổ thị hàm số (1) tại hai điểm A,, B

Giải a) Bạn đọc tự giải

2 et °_`m ce x°+(2m-8w-2m+3=0 (3)

©œ m< vm>- 2 2

A(x,; m), B(xp; m) với xạ, xe là nghiệm của phương trình (*)

(nhn) H BIN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Ta thường gặp hai dạng sau đây :

Bài toán 1 : Dùng đỏ thị (C) : y = Ấx) để biện luận theo tham số m số

nghiệm của phương trình g(x; m) = 0

Phương pháp giải : Ta biến đổi g(x; m) = 0 thành phương trình ấx) =m

(vế phải có thể là kx + m, hay là 1 hàm số của m)

Ta thấy vế trái y = fx) (C), vế phải là 1 đường thẳng (d) Vẽ cả bai đổ