ập hợp là 1 khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là 1 sự tụ tập của 1 số hữu hạn hay vô hạn đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường kí hiệu tập hợp bằng các kí tự in như A, B, C, . . . Nếu a là phần tử thuộc tập A, ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu là a 6∈ A. • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅ập hợp là 1 khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là 1 sự tụ tập của 1 số hữu hạn hay vô hạn đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường kí hiệu tập hợp bằng các kí tự in như A, B, C, . . . Nếu a là phần tử thuộc tập A, ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu là a 6∈ A. • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅ập hợp là 1 khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa, tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học. • Tập hợp có thể hiểu tổng quát là 1 sự tụ tập của 1 số hữu hạn hay vô hạn đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. • Ta thường kí hiệu tập hợp bằng các kí tự in như A, B, C, . . . Nếu a là phần tử thuộc tập A, ta kí hiệu a ∈ A. Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu là a 6∈ A. • Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅
Tập hợp Giải tích tổ hợp ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Tp Hồ Chí Minh, 09/2018 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp • • • • Khái niệm tập hợp Biểu diễn tập hợp Quan hệ tập hợp Các phép toán tập hợp Giải tích tổ hợp • • • • • • Quy tắc cộng Quy tắc nhân Chỉnh hợp Hoán vị Tổ hợp Nhị thức Newton TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Khái niệm tập hợp • Tập hợp khái niệm ngun thủy, khơng có định nghĩa, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng hình học • Tập hợp hiểu tổng quát tụ tập số hữu hạn hay vô hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp • Ta thường kí hiệu tập hợp kí tự in A, B, C, Nếu a phần tử thuộc tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a khơng thuộc A ta kí hiệu a ∈ A • Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu ∅ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định tập hợp • Liệt kê phần tử Ví dụ Tập hợp số nguyên tố nhỏ 10 A = {2; 3; 5; 7} Tập hợp số tự nhiên nhỏ B = {0; 1; 2; 3} TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng phần tử Khơng phải tập hợp liệt kê rõ ràng phần tử Tuy nhiên ta dùng tính chất đặc trưng để mơ tả, từ ta xác định phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ Tập hợp số nguyên chẵn C = {x| x ∈ Z, x 2} Tập hợp số thực lớn 2018 bé 2019 D = {x| x ∈ R, 2018 < x < 2019} TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Quan hệ tập hợp • Tập hợp con: Cho tập hợp A B, ta nói A tập B, kí hiệu A ⊂ B, phần tử A phần tử B A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) Tập tất tập tập X cho trước kí hiệu P(X) P(X) = {A| A ⊂ X} • Tập hợp nhau: Cho tập hợp A B, ta nói tập hợp A B nhau, kí hiệu A = B, phần tử A thuộc B ngược lại A = B ⇔ (A ⊂ B B ⊂ A) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Các phép tốn tập hợp Cho X tập hợp không rỗng A, B tập hợp X • Phần giao A B, kí hiệu A ∩ B, tập phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B A ∩ B = {x ∈ X| x ∈ A ∧ x ∈ B} • Phần hội (phần hợp) A B kí hiệu A ∪ B, tập phần tử thuộc A hay thuộc B A ∪ B = {x ∈ X| x ∈ A ∨ x ∈ B} • Phần hiệu A cho B, kí hiệu A\B, tập phần tử thuộc A không thuộc B A\B = {x ∈ X| x ∈ A ∧ x ∈ B} • Phần bù A X, kí hiệu A, tập phần tửvà lớp phó kỉ luật lớp có 30 học sinh, biết học sinh làm khơng q nhiệm vụ b Có số tự nhiên có chữ số đơi khác TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 13 Tập hợp Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Giải a Một cách chọn lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó kỉ luật nhóm có phần tử có thứ tự khơng lặp Do A330 = b 30! = 30.29.28 = 24360 (30 − 3)! Gọi số tự nhiên n cần tìm abcd (a, b, c, d đơi khác nhau) Ta có • Bước 1: Chọn số a: có cách chọn (a = 0) • Bước 2: Chọn bcd: cách chọn b, c, d nhóm có phần tử từ phần tử có thứ tự khơng lặp Nên có A39 Vậy có tất 9A39 = 4536 số có chữ số đơi khác TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 14 Tập hợp Giải tích tổ hợp Hốn vị Định nghĩa Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự khơng lặp có đủ n phần tử cho Số hoán vị n phần tử Pn = n! Quy ước: 0! = Ví dụ Mỗi cách xếp đại biểu ngồi băng ghế chỗ hoán vị phần tử Do số cấp xếp P5 = 5! = 120 cách Nhận xét Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp Pn = Ann TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ƠN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 15 Tập hợp Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt lần nhóm Gọi Akn số chỉnh hợp lặp chặp k n phần tử Khi Akn = nk Ví dụ Từ có số tập hợp A = {1, 2, 3, 4}, ta lặp A54 = 45 số có chữ số TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 16 Tập hợp Giải tích tổ hợp Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọ Cnk số tổ hợp chập k n phần tử, Cnk = n! k!(n − k)! Tính chất • Cnk = Cnn−k k+1 • Cnk + Cnk+1 = Cn+1 • Akn = Cnk Pk TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 17 Tập hợp Giải tích tổ hợp Tổ hợp Ví dụ Từ chi đồn có đồn viên nam đồn viên nữ Có cách lập tổ công tác gồm người cho a Tổ có nữ b Tổ có nam Tổ có nữ nên tổ có nam • Chọn nữ từ tập nữ khơng có thứ tự khơng lặp có C42 = cách • Chọn nam từ tập nam khơng có thứ tự khơng lặp có C83 = 56 cách Vậy số cách lập tổ cơng tác có nữ 6.56 = 336 cách b Ta có khả sau • Tổ có nam nữ có C82 C43 = 112 tổ • Tổ có nam nữ có C83 C42 = 336 tổ • Tổ có nam nữ có C84 C41 = 280 tổ • Tổ có nam có C85 = 56 tổ Vậy số tổ nam lập 112 + 336 + 280 + 56 = 784 tổ a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 18 Tập hợp Giải tích tổ hợp Tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton Với n ∈ N với cặp số a, b ta có n n Cnk an−k bk (a + b) = k=0 Ví dụ Dùng khai triển nhị thức Newton chứng minh n n 2k+1 C2n+1 = 22n 2k C2n+1 = k=0 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP k=0 XÁC SUẤT THỐNG KÊ 19 Tập hợp Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Chứng minh Ta có 2n+1 2n (1 − 1)2n+1 = C2n+1 − C2n+1 + C2n+1 − + C2n+1 − C2n+1 2n+1 2n ⇔ C2n+1 + C2n+1 + C2n+1 = C2n+1 + C2n+1 + C2n+1 Mặt khác 2n+1 2n + C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 + C2n+1 (1 + 1)2n+1 = C2n+1 2n ⇔ 22n+1 = C2n+1 + C2n+1 + C2n+1 2n ⇔ C2n+1 + C2n+1 + C2n+1 = 22n Do n n 2k+1 C2n+1 = 22n 2k C2n+1 = k=0 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP k=0 XÁC SUẤT THỐNG KÊ 20 Tập hợp Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Ví dụ 10 Cho tổng S = C2018 + 2018 2C2018 2018C2018 + + 2017 C2018 C2018 biết ln(2S) = a ln 2019 + b ln 2018 + c với a, b, c ∈ Q Giá trị a + b + c bao nhiêu? Ta có kCnk n! (n − k + 1)!(k − 1)! =k· · =n−k+1 Cnk−1 (n − k)!k! n! 2C 3C nCnn ⇒ Cn1 + 1n + 2n + + n−1 = n + (n − 1) + (n − 2) + + Cn Cn Cn 2018.2019 ⇒ S = 2018 + 2017 + 2016 + + = ⇒ ln(2S) = ln 2018 + ln 2019 ⇒ a+b+c=2 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ 21 ... nhân Chỉnh hợp Hoán vị Tổ hợp Nhị thức Newton TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Khái niệm tập hợp • Tập hợp khái niệm ngun thủy,.. .Tập hợp Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp • • • • Khái niệm tập hợp Biểu diễn tập hợp Quan hệ tập hợp Các phép tốn tập hợp Giải tích tổ hợp • • • • • • Quy tắc cộng Quy tắc nhân Chỉnh hợp. .. không thuộc A ta kí hiệu a ∈ A • Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu ∅ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH ÔN TẬP VỀ TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Tập hợp Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập