Xác định ngõ vào, ngõ ra của hệ thống cần nhận dạng ⇒ xác định tín hiệu “kích thích“ để thực hiện thí nghiệm thu thập số liệu và vị trí đặt cảm biến để đo tín hiệu ra. Chọn tín hiệu
Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 1 Chương 6 TÍNH HỘI TỤ VÀ PHÂN BỐ TIỆM CẬN CỦA THAM SỐ ƯỚC LƯNG Chương 6: TÍNH HỘI TỤ VÀ PHÂN BỐ TIỆM CẬN CỦA THAM SỐ ƯỚC LƯNG 6.1. Giới thiệu 6.2. Tính hội tụ của tham số ước lượng 6.3. Phân bố tiệm cận của tham số ước lượng 6.1 GIỚI THIỆU Chương 4 đã đề cập đến các loại cấu trúc mô hình, chương 5 đã trình bày về các phương pháp ước lượng tham số và các thuật toán ước ước lượng tham số. Về nguyên tắc, chúng ta đã ước lượng được tham số Nθˆ của mô hình ),(ˆθky từ tập dữ liệu NZ. Vấn đề đặt ra là: 1. ?ˆ→Nθ khi ∞→N 2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên )ˆ(*θθ−N? Chương 6 trình bày cơ sở lý thuyết để trả lời các câu hỏi trên. 6.2 TÍNH HỘI TỤ CỦA THAM SỐ ƯỚC LƯNG Chỉ xét tính hội tụ của tham số mô hình tuyến tính bất biến. )(),()(),()( keqHkuqGky θθ += (6.1) 6.2.1 Điều kiện đối với tập dữ liệu Cho tập dữ liệu: { })(),(,),1(),1(NuNyuyZN…= (6.2) khi ∞→N ta có tập ∞Z. Dữ liệu NZ có thể tạo ra từ thí nghiệm thu thập dữ liệu vòng hở hoặc vòng kín. Sơ đồ khối thí nghiệm thu thập dữ liệu như hình 6.1. Chú ý rằng nếu thí nghiệm vòng hở thì hàm truyền của khối chỉnh đònh bằng 0. Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 2 Hình 6.1: Sơ đồ khối thí nghiệm thu thập dữ liệu Điều kiện D1: Tập dữ liệu ∞Z là tập dữ liệu sao cho tồn tại các bộ lọc {})()(ldik, 4,1=i, )(ky và )(ku có thể biểu diễn dưới dạng: ∑∑∞=∞=−+−=10)2(1)1()()()()()(lklklkeldlkrldky (6.3) ∑∑∞=∞=−+−=10)4(1)3()()()()()(ltlklkeldlkrldku (6.4) trong đó: 1. {})(kr là chuỗi tín hiệu vào bên ngoài, tiền đònh, bò chặn. 2.{})(0ke là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình bằng 0 và moment đến bậc δ+4 )0(>δ bò chặn. 3. Các bộ lọc {}∞=1)()(likld ổn đònh đều (4,1=i, , .2,1=k) 4. Các tín hiệu {})(ky, { })(ku liên kết gần dừng. • Nhắc lại các khái niệm: 1. Moment bậc k của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân bố xác suất )(xfX là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên kaX)(−. Nếu EXa=ta gọi đó là moment trung tâm, ký hiệu là kμ; nếu 0=a ta gọi đó là moment gốc, ký hiệu là kv. ∫+∞∞−−= dxxfaxXkk)()(μ (6.5) 2. Xét họ các bộ lọc ∑∞=−=1)()(llqlgqGαα, A∈α. Họ bộ lọc )(qGα được gọi là ổn đònh đều nếu )()( lglg ≤α, A∈∀α và ∞≤∑∞=1)(llg. Hệ thống cần nhận dạng Chỉnh đònh u(k) y(k)e0(k) r(k) y0=const Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 3 3. Hai tín hiệu {})(ky và{ })(ku được gọi là liên kết gần dừng nếu {})(ky, {})(ku là các tín hiệu gần dừng, đồng thời tồn tại: )()()(ττ−= kukyERyu , τ∀ (6.6) Giả thiết S1: Tập dữ liệu ∞Z được tạo ra do hệ thống thật: )()()()()( :000keqHkuqGky+=S (6.7) trong đó {})(0ke là chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình bằng 0, phương sai là 0λ và moment bò chặn đến bậc δ+4, 0>δ; )(0qH là bộ lọc ổn đònh, khả đảo và monic. Cho cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến: { }MMDqHqG∈θθθ),(),,(: (6.8) Bộ dự báo của mô hình tuyến tính khi tham số θ đã xác đònh là (xem chương 4): )()()()()](1[)(ˆ11kuqGqHkyqHky−−+−= (6.9) Đặt: [][ ])(1)()()()()(11qHqGqHqWqWqWyu−−−== (6.10) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()(kykukz (6.11) Có thể viết lại bộ dự báo như sau: )()()(ˆkzqWky = (6.12) Ký hiệu: {);(),(|),(0ωωjjTeGeGDD =∈=θθMMS }πωπωω≤≤−=);(),(0jjeHeHθ (6.13) Nếu ∅≠),(MSTD thì MS∈ Bổ đề: Nếu giả thiết S1 thỏa mãn, và tín hiệu vào được chọn như sau: )()()()( krkyqFku +−= (6.14) sao cho có trễ trong 0G hoặc F, các bộ lọc: )()]()(1[010qGqFqG−+, )()]()(1[010qHqFqG−+ )()]()(1)[(010qGqFqGqF−+, )()]()(1)[(010qHqFqGqF−+ ổn đònh, và {})(kw gần dừng thì điều kiện D1 thỏa mãn. Thông tin trong tập dữ liệu: Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 4 • Tập dữ liệu gần dừng ∞Z được gọi là đủ giàu thông tin đối với tập hợp mô hình *M nếu cho hai mô hình )(1qW và )(2qW bất kỳ thuộc *M: 0)]())()([(221=− tzqWqWE (6.15) thì )()(21ωωjjeWeW ≡ tại hầu hết mọi tần số ω. • Tập dữ liệu gần dừng ∞Z được gọi là giàu thông tin nếu tập dữ liệu này đủ giàu thông tin đối với tập hợp mô hình *L chứa tất cả các mô hình tuyến tính bất biến. Đònh lý 6.1: (Đònh lý 8.1, [Ljung,1999]) Tính giàu thông tin của tập dữ liệu thực nghiệm Tập dữ liệu gần dừng ∞Z giàu thông tin nếu ma trận phổ )(ωzΦ của tín hiệu Tkykukz)]( )([)(= xác đònh dương tại hầu hết tất cả các tần số ω. Trong đó: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΦΦΦΦ=Φ)()()()()(ωωωωωyyuuyuz (6.16) ∑+∞−∞=−=ΦτωττωjuueR )()( (6.17) ∑+∞−∞=−=ΦτωττωjyyeR )()( (6.18) ∑+∞−∞=−=ΦτωττωjuyuyeR )()( (6.19) ∑=∞→−=−=NkNukukEuNkukuER1)()(1lim)()()(τττ (6.20) ∑=∞→−=−=NkNykykEyNkykyER1)()(1lim)()()(τττ (6.21) ∑=∞→−=−=NkNuykykEuNkykuER1)()(1lim)()()(τττ (6.22) Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 56.2.2 Tính hội tụ của tham số ước lượng theo phương pháp sai số dự báo Tham số ước lượng theo phương pháp sai số dự báo là: ),(minargˆNNDNZVθθθM∈= (6.23) trong đó: ∑==NkNNkNZV12),(1),(θθ ε (6.24) Đặt: ∑=∞→==NkNkENkEV122)],([1lim)],([)(θθθ εε (6.25) Bổ đề: Xét cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến ổn đònh đều M. Nếu tập dữ liệu thực nghiệm ∞Z thỏa mãn giả thiết D1 thì0|)(),(|sup →−∈θθθVZVNNDM với xác suất bằng 1 khi ∞→N. Đònh lý 6.2: (Đònh lý 8.2, [Ljung,1999]) Tính hội tụ của tham số ước lượng trong trường hợp cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương Cho Nθˆ xác đònh bởi (6.23) và (6.24), trong đó ),(θkε được đònh nghóa từ cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến ổn đònh đều M. Nếu tập dữ liệu thực nghiệm thỏa mãn giả thiết D1 thì: CND→θˆ với xác suất bằng 1 khi ∞→N (6.26) trong đó: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧′=∈==∈′∈)(min)(|)(minargθθθθθθVVDVDDDCMMM (6.27) Nếu tập hợp DC chỉ có một phần tử ∗θ, )(minargθθθVDM∈∗= thì (6.26) được viết lại là: ∗→θθNˆ với xác suất bằng 1 khi ∞→N (6.28) Chú ý: Các kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp tiêu chuẩn ước lượng tổng quát: ∑==NkNNklNZV1)),,((1),(θθθ ε (6.29) và cấu trúc mô hình phi tuyến, biến đổi theo thời gian: ),,(),(ˆθθkZgkyk= (6.30) Kết quả tổng quát: )]),,(([minargˆθθθθklEDNεM∈→ với xác suất bằng 1 khi ∞→N Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 66.2.3 Tính vững và tính nhận dạng được của tham số ước lượng theo phương pháp sai số dự báo ƠÛ mục trước ta đã rút ra kết luận khi điều kiện D1 thỏa mãn thì ∗→θθNˆ với xác suất bằng 1 khi ∞→N. Vấn đề đặt ra là 0θθ=∗? (với 0θ là tham số “thật” của hệ thống). Nếu 0θθ=∗ thì ước lượng Nθˆ được gọi là ước lượng vững. Đònh lý 6.3: (Đònh lý 8.3, [Ljung,1999]) Tính vững của ước lượng trong trường hợp S ∈ M và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương Giả thiết: • tập dữ liệu ∞Z thỏa mãn giả thiết D1 và S1, • M là cấu trúc mô hình tuyến tính ổn đònh đều sao cho S ∈ M, • ∞Z đủ giàu thông tin đối với M. • Nếu tín hiệu vào có chứa thành phần hồi tiếp từ ngõ ra thì giả thiết có một khâu trể trong bộ chỉnh đònh hoặc trong cả )(0qG và ),(θqG. Kết luận: ),(MSTCDD = (6.31) trong đó: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧′=∈==∈′∈)(min)(|)(minargθθθθθθVVDVDDDCMMM, )],([)(2θθkEVε= {);(),(|),(0ωωjjTeGeGDD =∈=θθMMS }πωπωω≤≤−= );(),(0jjeHeHθ Ngoài ra nếu cấu trúc mô hình nhận dạng được toàn cục tại ),(0MSTD∈θ thì: { }0θ=CD Kết hợp đònh lý 6.2 và đònh lý 6.3, ta rút ra kết luận hàm truyền nhận dạng được thỏa mãn: ⎩⎨⎧→→)()ˆ,()()ˆ,(00ωωωωjNjjNjeHeHeGeGθθ với xác suất bằng 1 khi ∞→N Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 7Đònh lý 6.4: (Đònh lý 8.4, [Ljung,1999]) Tính vững của ước lượng trong trường hợp tập hợp mô hình chỉ có thể mô tả chính xác hàm truyền G, không thể mô tả chính xác bộ lọc H và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương Giả thiết: • tập dữ liệu ∞Z thỏa mãn giả thiết D1 và S1, • M là cấu trúc mô hình tuyến tính ổn đònh đều sao cho ♦ G và H được tham số hóa độc lập: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ηρθ ),(),(ρθqGqG = ),(),(ηθqHqH = ♦ tập hợp { }∅≠∀==ωωω,)(),(|),(0jjGeGeGMSDρρ • ∞Z đủ giàu thông tin đối với M. • hệ thống hoạt động vòng hở, tức là { })(tu và { })(0te độc lập. • ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΝΝΝηρθˆˆˆlà vector tham số lượng được bằng phương pháp sai số dự báo (công thức (6.23) và (6.24)). Kết luận: ),(ˆMSGND→ρ với xác suất bằng 1 khi ∞→N (6.32) hay viết cách khác: )()ˆ,(0ωωjNjeGeG =ρ với xác suất bằng 1 khi ∞→N Đònh lý 6.5: (Đònh lý 8.5, [Ljung,1999]) Tính vững của ước lượng trong trường hợp S ∈ M và tiêu chuẩn ước lượng tổng quát )(εl Giả thiết: • )(xl là hàm khả vi hai lần sao cho: 0))((0=′keEl xx ∀>≥′′ ,0)(δl • Các giả thiết của đònh lý 6.3 đều thỏa mãn. Kết luận: ),(MSTCDD= (6.33) trong đó: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧′=∈==∈′∈)(min)(|)(minargθθθθθθVVDVDDDCMMM, ))],(([)(θθtEVεl= {);(),(|),(0ωωjjTeGeGDD=∈=θθMMS }πωπωω≤≤−= );(),(0jjeHeHθ Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 86.2.4 Biểu diễn mô hình giới hạn hệ tuyến tính bất biến trong miền tần số Nhắc lại: Hàm hiệp phương sai của tín hiệu )(ks là: )()()(ττ−= ksksERs (6.34) Phổ của tín hiệu )(ks là biến đổi Fourier của hàm hiệp phương sai: ∑+∞−∞=−=ΦττωτωjsseR )()( (6.35) Có thể tính được hàm hiệp phương sai )(τsR khi biết phổ )(ωsΦ bằng cách lấy biến đổi Fourier ngược: ∫=Φ=ππτωωωπτdeRjss)(21)( (6.36) Biểu diễn )(θV trong miền tần số: Theo các công thức trên ta có: ∫=Φ===ππεεωωπεdRkEV ),(21),0()],([)(2θθθθ (6.37) Theo giả thiết S1: )()()()()(000keqHkuqGky+= (6.38) trong đó )(0ke là nhiễu ngẫu nhiên có phương sai là 0λ. Ta có thể biểu diễn sai số dự báo như sau: )](),()()[,(),(1kuqGkyqHkθθθ−=−ε {})()()](),()([),(0001keqHkuqGqGqH+−=−θθ {})()()],()([)](),()([),(00001kekeqHqHkuqGqGqH+−+−=−θθθ [])()()()),()(()),()((),(00001kekekuqHqHqGqGqH +⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−θθθ (6.39) Giả thiết: • hệ thống có thể hoạt động vòng kín, nhưng có trì hoãn hoặc trong hệ thống và mô hình (nghóa là )(0qG và ),(θqG đều có trể) hoặc trong bộ chỉnh đònh (sao cho )(ku chỉ phụ thuộc vào )( lky −, 1≥l ). • các hàm truyền )(0qH và ),(θqH đều momic nên thành phần )()],()([00teqHqHθ− độc lập với )(0ke. ⇒ )(0ke không tương quan với thành phần đầu tiên trong biểu thức (6.39) Do đó phổ của sai số dự báo có thể biểu diễn như sau: Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 9 [ ])),()(()),()((),(1),(002θθθθωωωωωεωjjjjjeHeHeGeGeH−−=Φ 0000),()(),()()()()(λλωωωωωωω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΦΦΦ×θθjjjjeuueueHeHeGeG (6.40) (dấu gạch ngang ký hiệu liên hợp phức) Chú ý rằng phổ dữ liệu có thể phân tích như sau: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−Φ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦΦΦΦΦIIIIuueueuueuueuueu000)(0)()()()()()()(0)()(02ωωωωωωλωλωωω (6.41) Đặt: )()()],()([),(0ωωωωωuuejjjeHeHeBΦΦ−=θθ (6.42) Thay (6.41) vào (6.40), để ý (6.42) ta có thể viết lại phổ của sai số dự báo như sau: 220),()(),(),()(),(θθθθωωωωεωωjujjjeHeGeBeG Φ−+=Φ 02)()(020),(),()(2λλωωωωω+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+ΦΦθθjjjeHeHeHuue (6.43) Thay (6.43) vào (6.37), ta được: ∫−ΦΦ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+Φ−+=ππωλλπdHHHHGBGVuueu02020220221)(θθθθθθ (6.44) (trong (6.44) ta đã giản lược đối số của các hàm) Tham số ước lượng trong trường hợp ∞→N là: )(minargθθVDC= ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+Φ−+=∫−ΦΦππωλλdHHHHGBGDuueuC 020202202minargθθθθθθ (6.45) Nhận xét: Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 10 1. Nếu tồn tại vector tham số 0θ sao cho )(),(00ωωjjeGeG=θ và )(),(00ωωjjeHeH =θ thì (6.44) đạt cực tiểu vì hai thành phần đầu tiên của biểu thức dưới dấu tích phân bò triệt tiêu. Kết quả này đã được biết đến ở đònh lý 6.3. 2. Trong trường hợp cấu trúc mô hình chọn không thích hợp thì không thể nhận dạng chính xác hệ thống thật. Để biểu thức (6.44) đạt cực tiểu thì: ),(θωjeG bò “kéo” về ),()(0θωωjjeBeG + với trọng số 2θHuΦ ),(θωjeH bò “kéo” về )(0ωjeH với trọng số 202θHuue⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ΦΦλ Để cụ thể hơn, ta xét một số trường hợp: Trường hợp nhận dạng vòng hở: Nếu hệ thống hoạt động vòng hở, )(ku và )(ke độc lập, 0)(=Φωue, do đó 0),( =θωjeB. Nếu mô hình nhiễu được chọn cố đònh )(),(*qHqH =θ, từ (6.45) ta suy ra: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=∫−ππωωωωdQeGeGDjjC)(),()(minarg*20θθ (6.46) trong đó: 2**)()()(ωωωjueHQΦ= (6.47) Đặt CD∈*θ, trong trường hợp này mô hình giới hạn ),(*θωjeG xấp xỉ mô hình thật )(0ωjeG theo chuẩn bình phương với trọng số )(*ωQ. Trường hợp nhận dạng vòng kín: Nếu bộ chỉnh đònh tuyến tính, tức là )(ku là hàm tuyến tính của tính hiệu chuẩn )(kr và nhiễu )(0ke như giả thiết D1, thì ta có thể phân tích phổ tín hiệu vào )(ωuΦ như sau: )()()(ωωωeuruuΦ+Φ=Φ (6.48) Nếu bộ lọc tuyến tính xác đònh tín hiệu vào )(ku là bất biến: )()()()()(021keqKkrqKku += ta thấy rằng )()(20ωλωjueeK=Φ, vì vậy: )()(02ωλωeuueΦ=Φ (6.49) [...]... [] )( )( )( )),()(()),()((),( 0 0 00 1 ke ke ku qHqHqGqGqH + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−= − θθθ (6.39) Giaû thiết: • hệ thống có thể hoạt động vòng kín, nhưng có trì hoãn hoặc trong hệ thống và mô hình (nghóa là )( 0 qG và ),( θ qG đều có trể) hoặc trong bộ chỉnh định (sao cho )(ku chỉ phụ thuộc vào )( lky − , 1≥l ). • các hàm truyền )( 0 qH và ),( θ qH đều momic nên thành phần )()],()([ 00 teqHqH θ − độc lập với )( 0 ke .... hợp thì không thể nhận dạng chính xác hệ thống thật. Để biểu thức (6.44) đạt cực tiểu thì: ),( θ ω j eG bị “kéo” về ),()( 0 θ ωω jj eBeG + với trọng số 2 θ H u Φ ),( θ ω j eH bị “kéo” về )( 0 ω j eH với trọng số 2 0 2 θ H u ue ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ Φ λ Để cụ thể hơn, ta xét một số trường hợp: Trường hợp nhận dạng vòng hở: Nếu hệ thống hoạt động vòng hở, )( ku và )( ke độc lập,... } πωπ ωω ≤≤−= );(),( 0 jj eHeH θ Ngoài ra nếu cấu trúc mô hình nhận dạng được toàn cục tại ),( 0 MS T D∈ θ thì: { } 0 θ = C D Kết hợp định lý 6.2 và định lý 6.3, ta rút ra kết luận hàm truyền nhận dạng được thỏa mãn: ⎩ ⎨ ⎧ → → )() ˆ ,( )() ˆ ,( 0 0 ωω ωω j N j j N j eHeH eGeG θ θ với xác suất bằng 1 khi ∞→N Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái... = θ ω j eB . Nếu mô hình nhiễu được chọn cố định )(),( * qHqH = θ , từ (6.45) ta suy ra: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −= ∫ − π π ωω ωω dQeGeGD jj C )(),()(minarg * 2 0 θ θ (6.46) trong đó: 2 * * )( )( )( ω ω ω j u eH Q Φ = (6.47) Đặt C D∈ * θ , trong trường hợp này mô hình giới hạn ),( * θ ω j eG xấp xỉ mô hình thật )( 0 ω j eG theo chuẩn bình phương với trọng số )( * ω Q . Trường hợp nhận dạng vòng... trường hợp S ∈ M và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương Giả thiết: • tập dữ liệu ∞ Z thỏa mãn giả thiết D1 và S1, • M là cấu trúc mô hình tuyến tính ổn định đều sao cho S ∈ M , • ∞ Z đủ giàu thông tin đối với M . • Nếu tín hiệu vào có chứa thành phần hồi tiếp từ ngõ ra thì giả thiết có một khâu trể trong bộ chỉnh định hoặc trong cả )( 0 qG và ),( θ qG . Kết luận:... Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 6 6.2.3 Tính vững và tính nhận dạng được của tham số ước lượng theo phương pháp sai số dự báo Ở mục trước ta đã rút ra kết luận khi điều kiện D1 thỏa mãn thì ∗ → θθ N ˆ với xác suất bằng 1 khi ∞→N . Vấn đề đặt ra là 0 θθ = ∗ ? (với 0 θ là tham số “thật” của hệ thống) . Nếu 0 θθ = ∗ ... cho một số trường hợp cụ thể. Trường hợp 1: S ∈ M và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương Giả thiết các điều kiện của định lý 6.3 thỏa mãn. Thế thì 0 θθ = ∗ và )(),( 00 kek = θε là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình bằng 0 và phương sai là 0 λ . Theo (6.67): { } T NNNN N ZVZVENQ )],()][,([ .lim ** θθ ′′ = ∞→ Và (6.62): ∑ = −= ′ N k NN kk N ZV 1 *** ),(),( 1 ),( θθθ... 0)](),([ 00 = ′ kekE θ θ ψ ⇒ )],(),([)( 000 θθθ kkEV T ψψ = ′′ (6.77) Thay (6.76) và (6.77) vào (6.69) ta được: { } [ ] 1 000 ),(),( − = θθ θ kkEP T ψψλ (6.78) Ý nghóa: độ nhạy của bộ dự báo đối với tham số nào càng lớn thì phương sai của tham số ước lượng càng nhỏ. Có thể tính gần đúng θ P dựa vào N mẫu dữ liệu thực nghiệm và tham số ước lượng N θ ˆ như sau: 1 1 ) ˆ ,() ˆ ,( 1 ˆ ˆ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ N k N T NNN kk N P θθ... nhiên độc lập có trung bình bằng 0, phương sai là 0 λ và moment bị chặn đến bậc δ + 4 , 0 > δ ; )( 0 qH là bộ lọc ổn định, khả đảo và monic . Cho cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến: { } M M DqHqG ∈ θθθ ),(),,(: (6.8) Bộ dự báo của mô hình tuyến tính khi tham số θ đã xác định là (xem chương 4): )()()()()](1[)( ˆ 11 kuqGqHkyqHky −− +−= (6.9) Đặt: [] [ ] )(1)()()()()( 11 qHqGqHqWqWqW yu −− −== ... ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∑ = ∞→ N k T N kkE N 1 ** 0 ),(),( 1 lim θθ ψψλ ⇒ { } ),(),( 000 θθ kkEQ T ψψλ = (6.76) Chương 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số © Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 8 6.2.4 Biểu diễn mô hình giới hạn hệ tuyến tính bất biến trong miền tần số Nhắc lại: Hàm hiệp phương sai của tín hiệu )( ks là: )()()( ττ −= ksksER s (6.34) Phổ . +⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−θθθ (6.39) Giả thiết: • hệ thống có thể hoạt động vòng kín, nhưng có trì hoãn hoặc trong hệ thống và mô hình (nghóa là )(0qG và ),(θqG đều có trể) hoặc. cấu trúc mô hình nhận dạng được toàn cục tại ),(0MSTD∈θ thì: { }0θ=CD Kết hợp đònh lý 6.2 và đònh lý 6.3, ta rút ra kết luận hàm truyền nhận dạng được