Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó;
A Một số hệ phương trình thơng thường Hệ đối xứng loại a Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình khơng thay đổi b Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S2 ≥ 4P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2 ≥ 4P Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình : X − SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm Bài 1: Giải hệ phương trình sau : x + xy + y = xy + x + y = 1) x y + xy = 30 5) 3 x + y = 35 1) (0;2); (2;0) xy + x + y = 11 x + y + xy = −7 2) 3) 2 x + y − 3x − 3y = 16 x y + y x = 6) x y + xy = 20 x + y = 13 3( x + y ) + xy + = 4) 2 x y + xy = 30 x + y = x + y = 34 7) 8) x + y − xy = x + y = 2) (2;−3),(−3;2),(1+ 10;1− 10),(1− 10;1+ 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 10 10 10 10 ;−2 − ),(−2 − ;−2 + ) 2 2 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2) 4) (3;−2),(−2;3),(−2+ 7) (4;4) 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) x + y + xy = −1 Bài Giải hệ phương trình 2 x + y − xy = Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x + y ) + xy = −1 Hệ ⇔ ( x + y ) − 3xy = S + P = −1 x + y = S S = 1, P = −2 ∃x, y ⇔ S ≥ P ) ta ⇔ Đặt ( xy = P S = −4, P = S − 3P = S = x + y = x = −1, y = ⇒ ⇔ TH P = −2 xy = −2 x = 2, y = −1 S = −4 x + y = −4 x = −1, y = −3 ⇒ ⇔ TH Vậy tập nghiệm hệ P = xy = x = −3, y = −1 S = { ( −1;2); (2; −1); (−1; −3); ( −3; −1)} Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm ( x; y ) tính đối xứng, hệ có nghiệm ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x = y - Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt x + xy + y = Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: x − y − xy = x + y + x + y = 18 Bài Giải hệ phương trình xy ( x + 1)( y + 1) = 72 Phân tích Đây hệ đối xứng loại I - Hướng Biểu diễn pt theo tổng x + y tích xy - Hướng Biểu diễn pt theo x + x y + y Rõ ràng hướng tốt Lời giải x + x = a , a ≥ − 2 ( x + x) + ( y + y ) = 18 Hệ ⇔ Đặt ta 2 ( x + x)( y + y ) = 72 y + y = b, b ≥ − a + b = 18 a = 6, b = 12 ⇔ ab = 72 a = 12, b = x + x = a = x = 2, x = −3 ⇒ ⇔ TH b = 12 y + y = 12 y = 3, y = −4 x = 3, x = −4 TH Đổi vai trò a b ta Vậy tập nghiệm hệ y = 2, y = −3 S = { (2;3); (2; −4); ( −3;3); ( −3; −4); (3;2); ( −4;2); (3; −3); (−4; −3)} Nhận xét Bài tốn hình thành theo cách sau a + b = 18 - Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản (I) ab = 72 1 x + x + y + y = Bài (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm : 1 3 x + + y + = 15m − 10 x3 y3 Điều kiện a ; b ≥ a = x + x a + b = Đặt ẩn phụ Ta có hệ 3 b = y + a − 3a + b − 3b = 15m − 10 y x + y − xy = Bài (A – 2006) Giải hệ phương trình : x + + y + = - ĐK: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ x + y − xy = x + y − xy = ⇔ ⇔ -Hệ x + y + + ( x + 1)( y + 1) = 16 x + y + x + y + xy + = 14 2 -Đặt x + y = a, xy = b a ≥ −2, b ≥ 0, a ≥ 4b ta hệ pt: a = + b a − b = a = + b ⇔ ⇔ 2 a + a + b + = 14 b + b + = 11 − b 3b + 26b − 105 = b = x = ⇔ ⇒ (thỏa mãn đk) a = y = x + y = Bài (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình: x + + y + = 10 Bình phương PT 1 x + + y + =2 x y Bài (Thử GL 2012) Giải hệ : + = −1 x + y xy 2 - PT (1) ⇔ ( x + ) − + ( y + ) − = x y x+ y 1 = −( x + y ) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = −6 Ta có - PT (2) ⇔ + xy x y a + b = −6 2 a − + b − = Bài Giải hệ phương trình : x4 − 4x2 + y2 − 6y + = (2) x y + x + 2y − 22 = Giải: ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = (2) ⇔ Đặt ( x − + 4)( y − + 3) + x − − 20 = x2 − = u y −3 = v u + v = u = u = Khi (2) ⇔ ⇔ v = u.v + 4(u + v) = v = x = x = −2 x = x = − ; y = y = ⇒ y = ;y = ; Bài Giải hệ phương trình: 8 x y + 27 = 18 y 2 4 x y + x = y 3 3 (2x) + ÷ = 18 y Giải: (2) ⇔ Đặt a = 2x; b = (2) ⇔ y 2x 2x + = ÷ y y Hệ cho có nghiệm: a + b = ab = 3− 3+ ; ; ÷, ÷ 3+ ÷ 3− ÷ Hệ đối xứng loại a Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải: • Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số • Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp dụng: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2 2x + y = 3y − 1) 2 2y + x = 3x − 3x + y = x2 4) 3y + x = 12 y 2 x + xy = x 2) 2 y + xy = y y = x − 3x + 2x 3) x = y − 3y + 2y x3 − 2x2 + 2x + 1= 2y 6) y − 2y + 2y + 1= 2x x − y + = 7) y − x + = y +2 3 y = x Bài Giải hệ phương trình 3 x = x + 2 y -ĐK: xy ≠ 3x y = y + -Hệ ⇔ 2 3 y x = x + Lời giải (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x − y = 2 2 +) x y − 3xy = y − x ⇔ xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔ 3xy + x + y = - TH x − y = ⇔ y = x vào (1) ta x3 − x − = ⇔ x = x2 + y2 + xy + x + y = ⇒x>0 ⇒ y > , 3x = - TH Từ y = y2 x2 ⇒ 3xy + x + y > Do TH khơng xảy - Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) Bài Giải hệ phương trình + 2− x + 2− y y x =2 (1) =2 (2) Lời giải 1 - ĐK: x ≥ , y ≥ 2 - Trừ vế hai pt ta ⇔ y− x x y 2− + − − 2 − + 2− y y − 2− x =0 1 ÷ x =0⇔ ( y−x ) y−x + 1 2− + 2− xy − + − ÷ y x y x 1 + 2− =2 - TH y − x = ⇔ y = x vào (1) ta x x , t > ta - Đặt t = x 2 − t ≥ t ≤ 2 − t2 = − t ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇒ x = 2 2 − t = − t + t t − t + = y =1 xy ( 1 ) xy + - TH xy x + y xy − + − y Vậy hệ có nghiệm (1; 1) 1 ÷ x x+ =0 y TH vô nghiệm ĐK 3.Hệ đẳng cấp 2 a1x + b1xy + c1y = d1 a Dạng : 2 a2 x + b2xy + c2y = d2 b Cách giải: x x y Đặt ẩn phụ y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt y = t x Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải nghiệm hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ ta đặt x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ phương trình ta khử y để phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y Bài 1: Giải hệ phương trình sau: =0 3x2 + 2xy + y2 = 11 1) 2 x + 2xy + 5y = 25 x + xy − y = 2x3 + 3x2y = 3) 4) 2 y + 6xy = x + xy + y = 6 x − xy − y = 56 2) 5 x − xy − y = 49 3 x + xy − y = 38 Bài 2: Giải hệ phương trình 2 5 x − xy − y = 15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x + 75 xy − 60 y = 570 2 ⇒ −145 x + 417 xy + 54 y = - Hệ ⇔ 190 x − 342 xy − 114 y = 570 145 x vào hai phương - Giải phương trình ta y = x, y = − 18 trình hệ ta thu kết (3;1); (−3; −1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y = tx, x ≠ đặt x = ty , y ≠ 5 x + xy − y ≥ Bài Tìm giá trị m để hệ m (I) có nghiệm 2 x + xy + y ≤ m −1 Lời giải 5 x + xy − y ≥ - Nhân vế bpt thứ hai với -3 ta 2 −6 x − xy − y ≥ −3 − m − 1 2 ⇔ ( x + y )2 ≤ - Cộng vế hai bpt chiều ta − x − xy − y ≥ − m −1 m −1 > ⇔ m >1 - Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm m −1 5 x + xy − y = - Điều kiện đủ Với m > Xét hệ pt (II) 2 x + xy + y = - Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ (II) Khi 5 x02 + x0 y0 − y02 = 5 x0 + x0 y0 − y0 ≥ ⇒ m 2 x + x y + y = 2 x0 + x0 y0 + y0 ≤ 0 m −1 - Vậy nghiệm hệ (II) nghiệm hệ (I) (II) - Thay x = −2 y vào pt thứ hệ (II) ta y2 − y2 + y2 = ⇔ y2 = ⇔ y = ± ⇒x=m 5 Hệ (II) có nghiệm, hệ (I) có nghiệm Vậy m > Bài x + y = x y + xy + y = Giải hệ phương trình : Giải: x + y = x + y = ⇔ x y + xy + y = 2 x + y − x y − xy = x + y = (3) y ≠ Ta có: x x x (4) 2 − − 2 + = y y y (1) (2) x Đặt : y = t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + = ⇔ t = ± , t = x + y = 1 ⇔x= y=3 a) Nếu t = ta có hệ x = y x + y = ⇔ hệ vơ nghiệm b) Nếu t = -1 ta có hệ x = − y x + y = ⇔ x = , c) Nếu t = ta có hệ y = x y= 23 3 Hệ ẩn x ( y + z )2 = (3 x + x + 1) y z 2 2 Bài Giải hệ phương trình y ( z + x ) = (4 y + y + 1) z x z ( x + y )2 = (5 z + z + 1) x y 2 - Phân tích Nếu chia hai vế phương trình cho x y z ta hệ đơn giản y = z = 2 - TH xyz = Nếu x = hệ ⇔ y z = ⇔ z = t, t ∈ ¡ y = t, t ∈ ¡ - Tương tự với y = z = ta thu nghiệm (0;0; t ), (0; t ;0), (t ;0;0), t ∈ ¡ 2 - TH xyz ≠ Chia hai vế pt hệ cho x y z ta 1 2 + ÷ = + + x z y 1 + ÷ = + + y x z 1 + =5+ + ÷ y x z 2 x (1) y (2) Cộng vế phương trình hệ ta : z (3) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z + y ÷ + x + z ÷ + y + x ÷ = 12 + x + y + z + + + x y z 1 1 x + y + z = (4) 1 1 1 1 ⇔ + + ÷ − + + ÷ − 12 = ⇔ + + = −3 x y z x y z (5) x y z 1 1 9 - Từ (4) (1) ta có − ÷ = + + ⇔ = 13 ⇔ x = x x x x 13 - Tứ (4) (2) ta có y = Từ (4) (3) ta có z = 11 5 - Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x = − , y = −1, z = − - Vậy hệ có tập nghiệm 5 9 9 S = (t ;0;0); (0; t;0); (0;0; t ); ; ; ÷; − ; −1; − ÷, t ∈ ¡ 4 13 11 x + y − z = 2 Bài Giải hệ phương trình x + y − z = 37 x3 + y − z = x + y − z = x + y = z + 2 2 Giải: x + y − z = 37 ⇔ ( x + y ) − z − xy = 37 x3 + y − z = ( x + y − z )( x + y + z − xy + yz + zx ) − 3xyz = x + y = z + ⇔ ( x + y − z )( x + y + z ) − xy = 37 7(( x + y ) + z − xy + z ( y + x)) − 3xyz = x + y = z + ⇔ xy = + z 7(( z + 7) + z − 3(7 z + 6) + z ( z + 7)) − 3(7 z + 6) z = x + y = z + x + y = 34 x + y = 34 ⇔ xy = z + ⇔ xy = 195 ⇔ xy = 195 −18 z + 216 = z = 27 z = 27 1 + = x y+z 1 1 = Bài Giải hệ phương trình + y x+ z 1 + = z x+ y 1 + = x + y + z = x( y + z ) x y + z 1 1 1 = ⇔ x + y + z = y ( z + x ) ⇒ x( y + z ) = y ( z + x ) = z ( y + x ) Giải: + y x+ z 3 + = x + y + z = z ( y + x ) z x+ y xy + xz yz + xy zy + zx xy + yz + zx yz xz yx = = = = = = 3 2 2 23 23 23 ⇒ y = x, z = x Thay trở lại hệ x = , y = ,z = 10 (1) f (x1 ) = g(x ) f (x ) = g(x ) (2) f (x ) = g(x ) (3) Hệ hoán vị vòng quanh f (x n −1 ) = g(x n ) (n-1) (n) f (x n ) = g(x1 ) x = y3 + y2 + y − (1) Bài 1: Giải hệ phương trình: y = z + z + z − (2) z = x3 + x2 + x − (3) ⇒ Giải: Phân tích: Dự đốn nghiệm hệ x = y = z = Cộng với vế (1) , (2) , (3) : x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – = (4) +Nếu x > suy ra: y3 + y2 + y – ≥ ⇔ (y - 1)(y2 + 2y + 3) ≥ Ta có y2 + 2y + > suy y > Tương tự ta z > suy : x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – > mâu thuẫn với (4) +Nếu x < tương tự suy y, z < 1: Suy x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – < mâu thuẫn với (4) Với x = suy y = 1, z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z)=(1; 1; 1) y − x + 27 x − 27 = Bài 2: Giải hệ z − y + 27 y − 27 = x − z + 27 z − 27 = Giải: Phân tích: Dự đoán nghiệm hệ x = y = z = y − x + 27 x − 27 = (1) z − y + 27 y − 27 = (2) x − z + 27 z − 27 = (3) Cộng vế (1), (2), (3): ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 = (4) +Nếu x > từ (1): y − 27 = x( x − 3) > ⇒ y > 27 ⇒ y > tương tự từ (2): z > ⇒ ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 > mâu thuẫn (4) +Nếu x < từ (1): y − 27 = x( x − 3) < ⇒ y < 27 ⇒ y < tương tự từ (2): z < ⇒ ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 < mâu thuẫn (4) Vậy x = ⇒ y = z = B Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho THCS Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn (1) 2 x + y = Bài Giải hệ phương trình 2 3 x − y + y = (2) Lời giải − 3y − 3y − y2 + y − = Từ (1) ta có x = vào (2) ta ÷ 59 ⇔ 3(25 − 30 y + y ) − y + y − 16 ⇔ 23 y − 82 y + 59 = ⇔ y = 1, y = 23 31 59 Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( 1;1) ; − ; ÷ 23 23 2 x − y − = Bài Giải hệ phương trình sau : 2 x + y − 3x + y − = 10 3x + (6 − y ) x − xy = Bài Giải hệ : x − x + y = −3 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −3 − x + x thay vào PT (1) - Nghiệm (0; −3); (−2;9) Bài 3 x + (5 − y ) x − xy − x = a) Giải hệ : x − x + y = −4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −4 − x + x thay vào PT (1) 3x + (6 + y ) x + xy = b) Giải hệ : 2 x − x + y = −3 x + y + xy + = y Bài (Thử ĐT2012) Giải hệ : 2 y ( x + y ) = x + y + Từ (1) x + = y − y − xy thay vào (2) Nghiệm (1;2); (−2;5) x + x3 y + x y = x + (1) Bài Giải hệ phương trình (2) x + xy = x + Phân tích Phương trình (2) bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) 6x + − x2 TH : x ≠ 0, (2) ⇔ y = vào (1) ta 2x x + − x2 6x + − x2 x + 2x ÷+ x ÷ = 2x + 2x 2x x = (6 x + − x ) ⇔ x + x (6 x + − x ) + = x + ⇔ x( x + 4)3 = ⇔ x = −4 17 Do x ≠ nên hệ phương trình có nghiệm −4; ÷ 4 Chú ý.: Hệ phương trình theo phương pháp sau: x + x + 2 ( x + xy ) = x + ÷ = 2x + ⇔ - Hệ ⇔ x2 + 6x + 2 x + xy = x + 6x + x + xy = - Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác 11 x( x + y + 1) − = Bài (D – 2009 )Giải hệ : Từ (1) x + y = − thay vào PT (2) x ( x + y ) − x + = x3 + 4y = y3 + 16x 2 1+ y = 5(1+ x ) Bài 10 Giải hệ phương trình: Giải: x3 + 4y = y3 + 16x 2 1+ y = 5(1+ x ) (1) (2) Từ (2) suy y2 – 5x2 = (3) Thế vào (1) được: x3 + ( y2 – 5x2 ) y = y3 + 16x ⇔ x = x2 – 5xy – 16 = • Với x = ⇒ y2 = ⇔ y = ±2 x2 − 16 ÷ − 5x2 = 5x x = (y = −3) x4 – 32x2 + 256– 125x4 = 100x2 ⇔ 124 x4 + 132x2 – 256 = ⇔ x2 = ⇔ x = −1 (y = 3) • Với x2 – 5xy – 16 = ⇔ ⇔ x2 − 16 5x ⇔ x3 – 5x2y – 16 x = y= (4) Thế vào (3) được: Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 2.Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau x 1 + ÷= x+ y Bài Giải hệ phương trình y 1 − = x+ y÷ - Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho y Lời giải x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ - ĐK: - Dễ thấy x = y = không thỏa mãn hệ pt Vậy x > 0, y > + ÷= x + y - Hệ ⇔ − = x + y ÷ 2 2 = + + =1 (1) 3x 7y 7y 3x 3x ⇔ ⇔ = −4 −2 2= x + y 3x 7y 3x 7y 7y x + y 12 2 2 + − - Nhân theo vế hai pt hệ ta ÷ ÷= y x 7y x + y 3x y = 6x 2 ⇔ − = ⇔ y − 38 xy − 24 x = ⇔ y = − x 3x y x + y 11 + 22 + + =1⇔ x = ⇒y= - TH y = x vào pt (1) ta 21 3x 21x - TH y = − x không xảy x > 0, y > 11 + 22 + ; - Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) = ÷ 21 2 x + y + 2( x + y ) = Bài Giải hệ : y ( y − x) − x = 10 HD : Trừ (1) cho (2) rút gọn ta : x + xy + x + y + = ⇔ ( x + 1)( x + y + 3) = x − 12y − = (2a) Bài 3: Giải hệ phương trình: 2y − x + = (2b) Giải: Nhân vế phương trình (2a) với m cộng vế với phương trình (2b): mx − 12my − 6m + 2y − x + = ⇔ 2y − 12my = −mx + x − + 6m ⇔ 4y − 24my = −2mx + 2x − + 12m ⇔ (2y − 6m) = −2mx + 2x + 36m + 12m − (2c) Ta chọn m thích hợp để vế phải (2c) bình phương muốn vậy: ∆′x = hay: + 2m(36m + 12m − 2) = ⇔ 72m + 24m − 4m + = −1 Ta chọn m = thay vào (2c): (2y + 3) = x + 2x + ⇔ (2y + 3) = (x + 1) 2 x−2 −x − ⇔ 2y + = ±(x + 1) ⇔ y = y = 2 x + 6x + 18 = x − 6x + = Thế trở lại phương trình (2a) : (Vô nghiệm) x−2 −x − y= y = x = + x = − x = ± ⇔ − x−2 ⇔ 1+ y = y = y = 13 Phương pháp phân tích thành tích * Cơ sở phương pháp Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đơi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích xy + x − = Bài (Khối D – 2012) Giải hệ (1) 2 x − x y + x + y − xy − y = 2 (2) Hoặc coi phương trình (2) bậc hai với ẩn y : y + y ( − x − x − 1) + x + x = ∆ y = ( − x − x − 1) − 4(2 x + x ) = x + x + + x3 + x + x − x3 − x = x − x3 + x + x + = ( x − x) − x + x + = ( x − x) − 2( x − x) + = ( x − x + 1) xy + x − = −1 ± ; ± 5) - Hệ cho ⇔ Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1; 1); ( 2 (2 x − y + 1)( x − y ) = (1) xy + x + y = x − y Bài (D – 2008) Giải hệ phương trình x y − y x − = x − y (2) Giải: ĐK: x ≥ 1, y ≥ 2 (1) ⇔ y ( x + y ) + ( x + y ) = x − y ⇔ ( x + y )( y + − x + y ) = TH x + y = (loại x ≥ 1, y ≥ ) TH 2 y + − x = ⇔ x = y + vào pt (2) ta (2 y + 1) y − y y = y + − y ⇔ ( y + 1) y = 2( y + 1) y +1= y = −1 ⇔ ⇔ Do y ≥ ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (5;2) y = y = - Chú ý Do phân tích thành tích hai nhân tử bậc đối y (hay x) nên giải pt (1) cách coi (1) pt bậc hai ẩn y (hoặc x) xy 2 (1) x + y + x + y = 16 Bài Giải hệ phương trình x + y = x2 − y (2) - Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu kết khả quan nên tập trung để giải (1) Lời giải 2 ĐK: x + y > (1) ⇔ ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16 − xy ( x + y − 4) = ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − xy ] = 14 x = −3 ⇒ y = TH x + y − = vào (2) ta x + x − = ⇔ x = ⇒ y = 2 TH ( x + y )( x + y + 4) − xy = ⇔ x + y + 4( x + y) = vô nghiệm ĐK Vậy tập nghiệm hệ S = { (−3;7); (2;2)} xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y Bài (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình ( x + 1)( y + xy + x − x ) = x; y ≥ xy + ( x − y )( xy − 2) ≥ - Điều kiện : - PT (1) ⇔ xy + ( x − y )( xy − 2) − y + ( x − y ) = ⇔ - xy + ( x − y )( xy − 2) + y + x− y x+ y =0 y + xy − ÷ = (3) ⇔ ( x − y) + xy + ( x − y )( xy − 2) + y x+ y÷ 4 = ( x − 1) + x + + Từ PT (2) ta có y + xy = x − x + ÷− ≥ x +1 x +1 ⇒ - ( x − y )( y + xy − 2) y + xy − xy + ( x − y )( xy − 2) + y + >0 x+ y PT (3) ⇔ x = y , thay vào PT (2) ta : x3 − x − 3x + = ⇔ x = x = ± 17 + 17 - Kết hợp với điều kiện ta có x = , x = 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Bài (A – 2011 ) Giải hệ PT : 2 xy ( x + y ) + = ( x + y ) 2 xy = HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có 2 x + y = - (1) (2) x TH1: y = thay vào PT (1) - TH 2: PT(1) ⇔ y ( x + y ) + x y − xy − 2( x + y ) ⇔ ( xy − 1)(2 x − y ) = x3 − y3 = 4(4 x − y ) Bài (Thử GL 2012) Giải hệ : 1 + y = 5(1 + x ) HD : Từ (2) = y − x thay vào (1) ta có : x − y = ( y − x )(4 x − y ) Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải hệ phương trình : 15 x − y = x − y 2 x + y = − x − y a) (CĐ – 2010 ) b) (B – 2002) 2 x − xy − y = x + y = x + y + Bài (Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ : x + (6 − y ) x − 3xy − 18 = 3x + (6 − y ) x − xy − 18 = a) b) x − x + y = −3 x + x + y = −7 x( x + 2)(3x − y ) − 18 = a = x( x + 2) ⇒ Đặt a) Hệ ⇔ Nghiệm x = 1; − x( x + 2) − (3 x + y ) = b = 3x − y x( x + 3)(2 x − y ) − 18 = a = x( x + 3) ⇒ Đặt ⇒ Nghiệm b) Hệ ⇔ x( x + 3) − (2 x + y ) = b = x − y x( x + y + 1) − = Bài (D – 2009 ) Giải hệ phương trình : ( x + y ) − x + = x + y + − =0 x -ĐK x ≠ Hệ ⇔ Đặt x + y = a, = b ta hệ : x ( x + y ) − 5. + = ÷ x a = 2, b = x = y =1 a + − 3b = a = 3b − ⇔ ⇔ ⇒ 1 2 a = , b = x = 2, y = − a − 5b + = (3b − 1) − 5b + = 2 x + y + x y + xy + xy = − Bài (A – 2008) Giải hệ phương trình : x + y + xy (1 + x) = − 2 ( x + y ) + xy ( x + y + 1) = − x2 + y = a -Hệ ⇔ Đặt ta : xy = b 2 ( x + y ) + xy = − 5 a − a − ab = a = 0, b = − a + b(a + 1) = − ⇔ ⇔ a = − , b = − a + b = − b = − − a 2 2 x + y + 2( x + y ) = Bài 10 Giải hệ phương trình : y ( y − x) − x = 10 ( x + 1) + ( y + 1) = x + y + 2( x + y ) = ⇔ Hệ 2 y ( y − x ) − x = 10 ( y − x ) − ( x + 1) = 16 a + b = Đặt a = x + 1, b = y + ⇒ b − a = y − x ta hệ 2 (b − a) − a = - ⇒ a + b = (b − a ) − a ⇔ a = −2ab ⇔ a = a = −2b - Với a = ⇒ b = ±3 ⇒ x = −1, y = x = −1, y = −4 - Với a = −2b ⇒ 5b = ⇔ b = ± ⇒ x = −1 − ⇒a=m 5 6 , y = −1 + , y = −1 − x = −1 + 5 5 1 x + x + (1 + ) =4 y y Bài 11 Giải hệ phương trình: x x + + =4−x y y y 1 x + x + y (1 + y ) = x + y + x + y = ⇔ Giải: ĐK: y ≠ x + x + = − x3 x + + x ( + x) = y3 y y y y y a = x + y Đặt Ta có b = x y 2 a = a + a − 2b = a + a − = 2b a + a − = 2b ⇔ ⇔ ⇔ 2 b = a − 2ab = a − a (a + a − 4) = a − 4a + = x = y y =1 ⇔ Khi đó: x = x + x = y ( x − 7) + x + = Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ 2 21y − x = ( xy + 1) Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ : xy + x + = y Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ : Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ x y + xy + = 13 y x + y + xy + = y 2 Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ : y ( x + y)2 = x2 + y + Chia vế PT cho y đặt ẩn phụ (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6(2 x − y ) = Bài 17 Giải hệ phương trình: 2 x + x − y = − y 17 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT ≥ VP ngược lại, dấu xảy x = y 2) Một số BĐT quen thuộc x2 + y x + xy + y + = x+ y (1) Bài Giải hệ : 3 (2) x − y − + x + x − y − 14 = y − - HD : Từ (1) VT ≥ VP, dầu x = y thay vào PT (2) ta có : x − x − + x − 14 = x − 2 x − x − ≥ x − x − ≥ ⇔ ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± Ta có : x − 14 ≤ x − x − x − ≤ (2x − 3x + 4)(2y2 − 3y + 4) = 18 ( x, y ∈ ¡ ) Bài (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : x + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 10 (2) ⇔ y2 + (x − 6)y + x2 − 7x + 14 = ∃y ⇔ ∆ y ≥ ⇒ ≤ x ≤ - (2) ⇔ x2 + (y − 7)x + y2 − 6y + 14 = ∃x ⇔ ∆ x ≥ ⇔ 1≤ y ≤ - - Xét hàm số f (t) = 2t2 − 3t + 4,t ∈ R ⇒ f '(t) = 4t - 3, f '(t) = ⇒ t = 3 ⇒ f (x) > f (2) = Kết hợp với y ≥ ⇒ f (y ) ≥ ff(1) = 3⇒ (x ).f (y ) = (2x − 3x + 4)(2y − 3y + 4) > 18 - y − y + = y = 1, y = ⇔ vô nghiệm TH x = hệ trở thành y − y + = y = - Vậy hệ cho vô nghiệm 18 ... loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt x + xy + y = Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: x − y − xy = x + y + x + y = 18 Bài Giải hệ... phương - Giải phương trình ta y = x, y = − 18 trình hệ ta thu kết (3;1); (−3; −1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải. .. a) Giải hệ : x − x + y = −4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −4 − x + x thay vào PT (1) 3x + (6 + y ) x + xy = b) Giải hệ : 2 x − x + y = −3 x + y + xy + = y Bài (Thử ĐT2012) Giải