1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

PP giải HPT HSG NQB

18 151 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 18
Dung lượng 0,97 MB

Nội dung

Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS; Các pp giải hpt cho HSG THCS hay; Đầy đủ pp giải hpt cho HSG THCS từ dễ đến khó;

A Một số hệ phương trình thơng thường Hệ đối xứng loại a Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình khơng thay đổi b Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S2 ≥ 4P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2 ≥ 4P Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình : X − SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm Bài 1: Giải hệ phương trình sau :  x + xy + y =  xy + x + y = 1)   x y + xy = 30 5)  3  x + y = 35 1) (0;2); (2;0)  xy + x + y = 11  x + y + xy = −7 2)  3)  2  x + y − 3x − 3y = 16  x y + y x = 6)   x y + xy = 20  x + y = 13 3( x + y ) + xy + = 4)  2  x y + xy = 30  x + y =  x + y = 34 7)  8)   x + y − xy = x + y = 2) (2;−3),(−3;2),(1+ 10;1− 10),(1− 10;1+ 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 10 10 10 10 ;−2 − ),(−2 − ;−2 + ) 2 2 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2) 4) (3;−2),(−2;3),(−2+ 7) (4;4) 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)  x + y + xy = −1 Bài Giải hệ phương trình  2  x + y − xy = Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x + y ) + xy = −1 Hệ ⇔  ( x + y ) − 3xy =  S + P = −1 x + y = S  S = 1, P = −2 ∃x, y ⇔ S ≥ P ) ta  ⇔ Đặt  (  xy = P  S = −4, P =  S − 3P = S =  x + y =  x = −1, y = ⇒ ⇔ TH   P = −2  xy = −2  x = 2, y = −1  S = −4  x + y = −4  x = −1, y = −3 ⇒ ⇔ TH  Vậy tập nghiệm hệ P = xy =    x = −3, y = −1 S = { ( −1;2); (2; −1); (−1; −3); ( −3; −1)} Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm ( x; y ) tính đối xứng, hệ có nghiệm ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x = y - Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt  x + xy + y = Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình:   x − y − xy =  x + y + x + y = 18 Bài Giải hệ phương trình   xy ( x + 1)( y + 1) = 72 Phân tích Đây hệ đối xứng loại I - Hướng Biểu diễn pt theo tổng x + y tích xy - Hướng Biểu diễn pt theo x + x y + y Rõ ràng hướng tốt Lời giải  x + x = a , a ≥ − 2  ( x + x) + ( y + y ) = 18 Hệ ⇔  Đặt ta  2 ( x + x)( y + y ) = 72  y + y = b, b ≥ −  a + b = 18  a = 6, b = 12 ⇔  ab = 72  a = 12, b =  x + x = a =  x = 2, x = −3 ⇒ ⇔ TH  b = 12  y + y = 12  y = 3, y = −4  x = 3, x = −4 TH Đổi vai trò a b ta  Vậy tập nghiệm hệ  y = 2, y = −3 S = { (2;3); (2; −4); ( −3;3); ( −3; −4); (3;2); ( −4;2); (3; −3); (−4; −3)}  Nhận xét Bài tốn hình thành theo cách sau a + b = 18 - Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản  (I) ab = 72  1  x + x + y + y =  Bài (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm :  1 3 x + + y + = 15m − 10  x3 y3 Điều kiện a ; b ≥  a = x +  x a + b = Đặt ẩn phụ  Ta có hệ  3 b = y + a − 3a + b − 3b = 15m − 10 y   x + y − xy = Bài (A – 2006) Giải hệ phương trình :   x + + y + = - ĐK: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥  x + y − xy =  x + y − xy = ⇔ ⇔ -Hệ    x + y + + ( x + 1)( y + 1) = 16  x + y + x + y + xy + = 14 2 -Đặt x + y = a, xy = b a ≥ −2, b ≥ 0, a ≥ 4b ta hệ pt: a = + b a − b =  a = + b ⇔ ⇔    2 a + a + b + = 14  b + b + = 11 − b 3b + 26b − 105 = b =  x = ⇔ ⇒ (thỏa mãn đk) a =  y =  x + y = Bài (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình:   x + + y + = 10 Bình phương PT  1  x + + y + =2 x y  Bài (Thử GL 2012) Giải hệ :   + = −1  x + y xy 2 - PT (1) ⇔ ( x + ) − + ( y + ) − = x y x+ y 1 = −( x + y ) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = −6 Ta có - PT (2) ⇔ + xy x y a + b = −6  2  a − + b − = Bài Giải hệ phương trình :  x4 − 4x2 + y2 − 6y + =  (2)  x y + x + 2y − 22 = Giải: ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = (2) ⇔  Đặt ( x − + 4)( y − + 3) + x − − 20 =  x2 − = u  y −3 = v u + v = u = u = Khi (2) ⇔  ⇔  v = u.v + 4(u + v) = v =  x =  x = −2  x =  x = − ;  y =  y =   ⇒ y = ;y = ; Bài Giải hệ phương trình: 8 x y + 27 = 18 y   2  4 x y + x = y 3   3 (2x) +  ÷ = 18   y Giải: (2) ⇔  Đặt a = 2x; b = (2) ⇔ y 2x  2x +  = ÷  y y   Hệ cho có nghiệm: a + b =   ab =  3−   3+  ; ;  ÷, ÷  3+ ÷  3− ÷    Hệ đối xứng loại a Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải: • Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số • Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp dụng: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2 2x + y = 3y − 1)  2 2y + x = 3x −  3x + y = x2 4)  3y + x = 12 y  2 x + xy = x 2)  2 y + xy = y  y = x − 3x + 2x 3)   x = y − 3y + 2y  x3 − 2x2 + 2x + 1= 2y 6)   y − 2y + 2y + 1= 2x  x − y + = 7)   y − x + =  y +2 3 y =  x Bài Giải hệ phương trình  3 x = x + 2  y  -ĐK: xy ≠ 3x y = y + -Hệ ⇔  2 3 y x = x + Lời giải (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x − y = 2 2 +) x y − 3xy = y − x ⇔ xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔  3xy + x + y = - TH x − y = ⇔ y = x vào (1) ta x3 − x − = ⇔ x = x2 + y2 + xy + x + y = ⇒x>0 ⇒ y > , 3x = - TH Từ y = y2 x2 ⇒ 3xy + x + y > Do TH khơng xảy - Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1)    Bài Giải hệ phương trình     + 2− x + 2− y y x =2 (1) =2 (2) Lời giải 1 - ĐK: x ≥ , y ≥ 2 - Trừ vế hai pt ta ⇔ y− x x  y  2− + − − 2 − + 2− y y − 2− x =0 1 ÷ x =0⇔ ( y−x ) y−x +  1 2− + 2− xy  − + − ÷ y x y x  1 + 2− =2 - TH y − x = ⇔ y = x vào (1) ta x x , t > ta - Đặt t = x 2 − t ≥ t ≤ 2 − t2 = − t ⇔  ⇔ ⇔ t = ⇒ x = 2 2 − t = − t + t t − t + =   y =1 xy ( 1 ) xy +  - TH xy x + y xy  − + − y  Vậy hệ có nghiệm (1; 1) 1 ÷ x x+ =0 y TH vô nghiệm ĐK 3.Hệ đẳng cấp 2  a1x + b1xy + c1y = d1 a Dạng :  2  a2 x + b2xy + c2y = d2 b Cách giải: x x y Đặt ẩn phụ y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt y = t x Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải nghiệm hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ ta đặt x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ phương trình ta khử y để phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y Bài 1: Giải hệ phương trình sau: =0 3x2 + 2xy + y2 = 11 1)  2  x + 2xy + 5y = 25  x + xy − y = 2x3 + 3x2y = 3)  4)  2  y + 6xy =  x + xy + y = 6 x − xy − y = 56 2)  5 x − xy − y = 49 3 x + xy − y = 38 Bài 2: Giải hệ phương trình  2 5 x − xy − y = 15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x + 75 xy − 60 y = 570 2 ⇒ −145 x + 417 xy + 54 y = - Hệ ⇔  190 x − 342 xy − 114 y = 570 145 x vào hai phương - Giải phương trình ta y = x, y = − 18 trình hệ ta thu kết (3;1); (−3; −1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y = tx, x ≠ đặt x = ty , y ≠ 5 x + xy − y ≥  Bài Tìm giá trị m để hệ  m (I) có nghiệm 2 x + xy + y ≤  m −1  Lời giải 5 x + xy − y ≥  - Nhân vế bpt thứ hai với -3 ta  2 −6 x − xy − y ≥ −3 − m −  1 2 ⇔ ( x + y )2 ≤ - Cộng vế hai bpt chiều ta − x − xy − y ≥ − m −1 m −1 > ⇔ m >1 - Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm m −1 5 x + xy − y = - Điều kiện đủ Với m > Xét hệ pt  (II) 2 x + xy + y = - Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ (II) Khi  5 x02 + x0 y0 − y02 = 5 x0 + x0 y0 − y0 ≥ ⇒  m 2 x + x y + y = 2 x0 + x0 y0 + y0 ≤ 0  m −1  - Vậy nghiệm hệ (II) nghiệm hệ (I) (II) - Thay x = −2 y vào pt thứ hệ (II) ta y2 − y2 + y2 = ⇔ y2 = ⇔ y = ± ⇒x=m 5 Hệ (II) có nghiệm, hệ (I) có nghiệm Vậy m > Bài  x + y =   x y + xy + y = Giải hệ phương trình : Giải:  x + y =  x + y = ⇔    x y + xy + y = 2 x + y − x y − xy = x + y = (3)  y ≠ Ta có:   x   x  x (4) 2  −   − 2  + =  y   y  y (1) (2) x Đặt : y = t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + = ⇔ t = ± , t = x + y = 1 ⇔x= y=3 a) Nếu t = ta có hệ  x = y x + y = ⇔ hệ vơ nghiệm b) Nếu t = -1 ta có hệ  x = − y x + y = ⇔ x = , c) Nếu t = ta có hệ  y = x  y= 23 3 Hệ ẩn  x ( y + z )2 = (3 x + x + 1) y z  2 2 Bài Giải hệ phương trình  y ( z + x ) = (4 y + y + 1) z x  z ( x + y )2 = (5 z + z + 1) x y  2 - Phân tích Nếu chia hai vế phương trình cho x y z ta hệ đơn giản y = z = 2 - TH xyz = Nếu x = hệ ⇔ y z = ⇔   z = t, t ∈ ¡  y = t, t ∈ ¡ - Tương tự với y = z = ta thu nghiệm (0;0; t ), (0; t ;0), (t ;0;0), t ∈ ¡ 2 - TH xyz ≠ Chia hai vế pt hệ cho x y z ta  1 2  + ÷ = + + x  z y    1   + ÷ = + + y  x z   1    + =5+ +  ÷  y x  z  2 x (1) y (2) Cộng vế phương trình hệ ta : z (3) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1  z + y ÷ +  x + z ÷ +  y + x ÷ = 12 + x + y + z + + +   x y z     1 1  x + y + z = (4) 1 1 1 1 ⇔  + + ÷ −  + + ÷ − 12 = ⇔   + + = −3 x y z x y z (5)  x y z 1 1 9  - Từ (4) (1) ta có  − ÷ = + + ⇔ = 13 ⇔ x = x x x x 13  - Tứ (4) (2) ta có y = Từ (4) (3) ta có z = 11 5 - Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x = − , y = −1, z = − - Vậy hệ có tập nghiệm  5  9 9  S = (t ;0;0); (0; t;0); (0;0; t );  ; ; ÷;  − ; −1; − ÷, t ∈ ¡  4  13 11     x + y − z =  2 Bài Giải hệ phương trình  x + y − z = 37  x3 + y − z =  x + y − z = x + y = z +   2 2 Giải:  x + y − z = 37 ⇔ ( x + y ) − z − xy = 37  x3 + y − z = ( x + y − z )( x + y + z − xy + yz + zx ) − 3xyz =   x + y = z +  ⇔ ( x + y − z )( x + y + z ) − xy = 37 7(( x + y ) + z − xy + z ( y + x)) − 3xyz =  x + y = z +  ⇔  xy = + z 7(( z + 7) + z − 3(7 z + 6) + z ( z + 7)) − 3(7 z + 6) z =  x + y = z +  x + y = 34  x + y = 34    ⇔  xy = z + ⇔  xy = 195 ⇔  xy = 195 −18 z + 216 =  z = 27  z = 27    1 + =  x y+z 1 1 = Bài Giải hệ phương trình  + y x+ z  1 + =  z x+ y 1 + =  x + y + z = x( y + z ) x y + z    1  1 1 = ⇔  x + y + z = y ( z + x ) ⇒ x( y + z ) = y ( z + x ) = z ( y + x ) Giải:  + y x+ z 3     + =  x + y + z = z ( y + x )  z x+ y xy + xz yz + xy zy + zx xy + yz + zx yz xz yx = = = = = = 3 2 2 23 23 23 ⇒ y = x, z = x Thay trở lại hệ x = , y = ,z = 10 (1) f (x1 ) = g(x ) f (x ) = g(x ) (2)  f (x ) = g(x ) (3) Hệ hoán vị vòng quanh   f (x n −1 ) = g(x n ) (n-1)  (n) f (x n ) = g(x1 ) x = y3 + y2 + y − (1)  Bài 1: Giải hệ phương trình:  y = z + z + z − (2) z = x3 + x2 + x − (3)  ⇒ Giải: Phân tích: Dự đốn nghiệm hệ x = y = z = Cộng với vế (1) , (2) , (3) : x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – = (4) +Nếu x > suy ra: y3 + y2 + y – ≥ ⇔ (y - 1)(y2 + 2y + 3) ≥ Ta có y2 + 2y + > suy y > Tương tự ta z > suy : x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – > mâu thuẫn với (4) +Nếu x < tương tự suy y, z < 1: Suy x3 + y3 + z3 + x2 + y2 + z2 – < mâu thuẫn với (4) Với x = suy y = 1, z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z)=(1; 1; 1)  y − x + 27 x − 27 =  Bài 2: Giải hệ  z − y + 27 y − 27 =  x − z + 27 z − 27 =  Giải: Phân tích: Dự đoán nghiệm hệ x = y = z =  y − x + 27 x − 27 = (1)   z − y + 27 y − 27 = (2)  x − z + 27 z − 27 = (3)  Cộng vế (1), (2), (3): ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 = (4) +Nếu x > từ (1): y − 27 = x( x − 3) > ⇒ y > 27 ⇒ y > tương tự từ (2): z > ⇒ ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 > mâu thuẫn (4) +Nếu x < từ (1): y − 27 = x( x − 3) < ⇒ y < 27 ⇒ y < tương tự từ (2): z < ⇒ ( y − 3)3 + ( z − 3)3 + ( x − 3)3 < mâu thuẫn (4) Vậy x = ⇒ y = z = B Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho THCS Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn (1) 2 x + y = Bài Giải hệ phương trình  2 3 x − y + y = (2) Lời giải − 3y  − 3y  − y2 + y − = Từ (1) ta có x = vào (2) ta  ÷   59 ⇔ 3(25 − 30 y + y ) − y + y − 16 ⇔ 23 y − 82 y + 59 = ⇔ y = 1, y = 23   31 59   Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( 1;1) ;  − ; ÷  23 23    2 x − y − = Bài Giải hệ phương trình sau :  2  x + y − 3x + y − = 10 3x + (6 − y ) x − xy = Bài Giải hệ :   x − x + y = −3 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −3 − x + x thay vào PT (1) - Nghiệm (0; −3); (−2;9) Bài 3 x + (5 − y ) x − xy − x = a) Giải hệ :   x − x + y = −4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −4 − x + x thay vào PT (1) 3x + (6 + y ) x + xy = b) Giải hệ :  2  x − x + y = −3  x + y + xy + = y  Bài (Thử ĐT2012) Giải hệ :  2  y ( x + y ) = x + y + Từ (1) x + = y − y − xy thay vào (2) Nghiệm (1;2); (−2;5)  x + x3 y + x y = x + (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  x + xy = x + Phân tích Phương trình (2) bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) 6x + − x2 TH : x ≠ 0, (2) ⇔ y = vào (1) ta 2x  x + − x2   6x + − x2  x + 2x  ÷+ x  ÷ = 2x + 2x 2x     x = (6 x + − x ) ⇔ x + x (6 x + − x ) + = x + ⇔ x( x + 4)3 = ⇔   x = −4  17  Do x ≠ nên hệ phương trình có nghiệm  −4; ÷ 4  Chú ý.: Hệ phương trình theo phương pháp sau:  x + x +  2 ( x + xy ) = x +  ÷ = 2x +    ⇔ - Hệ ⇔  x2 + 6x + 2  x + xy =  x + 6x +   x + xy = - Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác 11  x( x + y + 1) − =  Bài (D – 2009 )Giải hệ :  Từ (1) x + y = − thay vào PT (2) x ( x + y ) − x + =  x3 + 4y = y3 + 16x  2 1+ y = 5(1+ x ) Bài 10 Giải hệ phương trình: Giải:   x3 + 4y = y3 + 16x  2  1+ y = 5(1+ x ) (1) (2) Từ (2) suy y2 – 5x2 = (3) Thế vào (1) được: x3 + ( y2 – 5x2 ) y = y3 + 16x ⇔ x = x2 – 5xy – 16 = • Với x = ⇒ y2 = ⇔ y = ±2  x2 − 16   ÷ − 5x2 =  5x   x = (y = −3) x4 – 32x2 + 256– 125x4 = 100x2 ⇔ 124 x4 + 132x2 – 256 = ⇔ x2 = ⇔  x = −1 (y = 3)  • Với x2 – 5xy – 16 = ⇔ ⇔ x2 − 16 5x ⇔ x3 – 5x2y – 16 x = y= (4) Thế vào (3) được: Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 2.Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau     x 1 + ÷=   x+ y Bài Giải hệ phương trình   y 1 −  =  x+ y÷    - Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho y Lời giải x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ - ĐK: - Dễ thấy x = y = không thỏa mãn hệ pt Vậy x > 0, y >    + ÷=  x + y  - Hệ ⇔   −  =  x + y ÷     2 2 = + + =1 (1)   3x 7y 7y 3x   3x ⇔ ⇔  = −4  −2 2= x + y  3x 7y 3x 7y 7y x + y   12  2  2 + − - Nhân theo vế hai pt hệ ta  ÷ ÷= y  x 7y  x + y  3x  y = 6x 2 ⇔ − = ⇔ y − 38 xy − 24 x = ⇔  y = − x 3x y x + y  11 + 22 + + =1⇔ x = ⇒y= - TH y = x vào pt (1) ta 21 3x 21x - TH y = − x không xảy x > 0, y >  11 + 22 +  ; - Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) =  ÷  21  2  x + y + 2( x + y ) = Bài Giải hệ :   y ( y − x) − x = 10 HD : Trừ (1) cho (2) rút gọn ta : x + xy + x + y + = ⇔ ( x + 1)( x + y + 3) =  x − 12y − = (2a)  Bài 3: Giải hệ phương trình:   2y − x + = (2b) Giải: Nhân vế phương trình (2a) với m cộng vế với phương trình (2b): mx − 12my − 6m + 2y − x + = ⇔ 2y − 12my = −mx + x − + 6m ⇔ 4y − 24my = −2mx + 2x − + 12m ⇔ (2y − 6m) = −2mx + 2x + 36m + 12m − (2c) Ta chọn m thích hợp để vế phải (2c) bình phương muốn vậy: ∆′x = hay: + 2m(36m + 12m − 2) = ⇔ 72m + 24m − 4m + = −1 Ta chọn m = thay vào (2c): (2y + 3) = x + 2x + ⇔ (2y + 3) = (x + 1) 2 x−2 −x − ⇔ 2y + = ±(x + 1) ⇔ y = y = 2  x + 6x + 18 =  x − 6x + =   Thế trở lại phương trình (2a) :   (Vô nghiệm) x−2 −x − y= y =    x = + x = − x = ±    ⇔  − x−2 ⇔  1+ y = y = y =    13 Phương pháp phân tích thành tích * Cơ sở phương pháp Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đơi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích  xy + x − = Bài (Khối D – 2012) Giải hệ  (1) 2 x − x y + x + y − xy − y = 2 (2) Hoặc coi phương trình (2) bậc hai với ẩn y : y + y ( − x − x − 1) + x + x = ∆ y = ( − x − x − 1) − 4(2 x + x ) = x + x + + x3 + x + x − x3 − x = x − x3 + x + x + = ( x − x) − x + x + = ( x − x) − 2( x − x) + = ( x − x + 1)  xy + x − = −1 ± ; ± 5) - Hệ cho ⇔  Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1; 1); ( 2 (2 x − y + 1)( x − y ) = (1)  xy + x + y = x − y Bài (D – 2008) Giải hệ phương trình   x y − y x − = x − y (2) Giải: ĐK: x ≥ 1, y ≥ 2 (1) ⇔ y ( x + y ) + ( x + y ) = x − y ⇔ ( x + y )( y + − x + y ) = TH x + y = (loại x ≥ 1, y ≥ ) TH 2 y + − x = ⇔ x = y + vào pt (2) ta (2 y + 1) y − y y = y + − y ⇔ ( y + 1) y = 2( y + 1)  y +1=  y = −1 ⇔ ⇔ Do y ≥ ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (5;2) y =  y =  - Chú ý Do phân tích thành tích hai nhân tử bậc đối y (hay x) nên giải pt (1) cách coi (1) pt bậc hai ẩn y (hoặc x) xy  2 (1)  x + y + x + y = 16 Bài Giải hệ phương trình   x + y = x2 − y (2)  - Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu kết khả quan nên tập trung để giải (1) Lời giải 2 ĐK: x + y > (1) ⇔ ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) − xy  ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16  − xy ( x + y − 4) = ⇔ ( x + y − 4) [ ( x + y )( x + y + 4) − xy ] = 14  x = −3 ⇒ y = TH x + y − = vào (2) ta x + x − = ⇔  x = ⇒ y = 2 TH ( x + y )( x + y + 4) − xy = ⇔ x + y + 4( x + y) = vô nghiệm ĐK Vậy tập nghiệm hệ S = { (−3;7); (2;2)}  xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y  Bài (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình  ( x + 1)( y + xy + x − x ) =  x; y ≥  xy + ( x − y )( xy − 2) ≥ - Điều kiện :  - PT (1) ⇔ xy + ( x − y )( xy − 2) − y + ( x − y ) = ⇔ - xy + ( x − y )( xy − 2) + y + x− y x+ y =0   y + xy −  ÷ = (3) ⇔ ( x − y) +  xy + ( x − y )( xy − 2) + y x+ y÷   4   = ( x − 1) +  x + + Từ PT (2) ta có y + xy = x − x + ÷− ≥ x +1 x +1   ⇒ - ( x − y )( y + xy − 2) y + xy − xy + ( x − y )( xy − 2) + y + >0 x+ y PT (3) ⇔ x = y , thay vào PT (2) ta : x3 − x − 3x + = ⇔ x = x = ± 17 + 17 - Kết hợp với điều kiện ta có x = , x = 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Bài (A – 2011 ) Giải hệ PT :  2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) 2  xy = HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có  2 x + y = - (1) (2) x TH1: y = thay vào PT (1) - TH 2: PT(1) ⇔ y ( x + y ) + x y − xy − 2( x + y ) ⇔ ( xy − 1)(2 x − y ) =  x3 − y3 = 4(4 x − y ) Bài (Thử GL 2012) Giải hệ :  1 + y = 5(1 + x ) HD : Từ (2) = y − x thay vào (1) ta có : x − y = ( y − x )(4 x − y ) Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải hệ phương trình : 15  x − y = x − y 2 x + y = − x − y a) (CĐ – 2010 )  b) (B – 2002)  2  x − xy − y =  x + y = x + y + Bài (Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ :  x + (6 − y ) x − 3xy − 18 = 3x + (6 − y ) x − xy − 18 = a)  b)   x − x + y = −3  x + x + y = −7  x( x + 2)(3x − y ) − 18 = a = x( x + 2) ⇒ Đặt  a) Hệ ⇔  Nghiệm x = 1; −  x( x + 2) − (3 x + y ) = b = 3x − y  x( x + 3)(2 x − y ) − 18 = a = x( x + 3) ⇒ Đặt  ⇒ Nghiệm b) Hệ ⇔   x( x + 3) − (2 x + y ) = b = x − y  x( x + y + 1) − =  Bài (D – 2009 ) Giải hệ phương trình :  ( x + y ) − x + =  x + y + − =0  x  -ĐK x ≠ Hệ ⇔  Đặt x + y = a, = b ta hệ : x ( x + y ) − 5.  + =  ÷   x  a = 2, b = x = y =1 a + − 3b = a = 3b −  ⇔ ⇔ ⇒  1 2 a = , b =  x = 2, y = − a − 5b + = (3b − 1) − 5b + =  2   x + y + x y + xy + xy = −  Bài (A – 2008) Giải hệ phương trình :   x + y + xy (1 + x) = −   2 ( x + y ) + xy ( x + y + 1) = −   x2 + y = a -Hệ ⇔  Đặt  ta : xy = b 2  ( x + y ) + xy = −  5   a − a − ab = a = 0, b = − a + b(a + 1) = −   ⇔ ⇔  a = − , b = − a + b = − b = − − a    2 2  x + y + 2( x + y ) = Bài 10 Giải hệ phương trình :   y ( y − x) − x = 10 ( x + 1) + ( y + 1) =  x + y + 2( x + y ) = ⇔ Hệ  2 y ( y − x ) − x = 10 ( y − x ) − ( x + 1) =   16 a + b = Đặt a = x + 1, b = y + ⇒ b − a = y − x ta hệ  2 (b − a) − a = - ⇒ a + b = (b − a ) − a ⇔ a = −2ab ⇔ a = a = −2b - Với a = ⇒ b = ±3 ⇒ x = −1, y = x = −1, y = −4 - Với a = −2b ⇒ 5b = ⇔ b = ± ⇒ x = −1 − ⇒a=m 5 6 , y = −1 + , y = −1 − x = −1 + 5 5 1  x + x + (1 + ) =4  y y  Bài 11 Giải hệ phương trình:  x x  + + =4−x  y y y  1   x + x + y (1 + y ) = x + y + x + y =   ⇔ Giải: ĐK: y ≠   x + x + = − x3  x + + x ( + x) =   y3 y y y y  y  a = x + y  Đặt  Ta có b = x  y 2    a = a + a − 2b =  a + a − = 2b  a + a − = 2b ⇔ ⇔ ⇔    2    b = a − 2ab =  a − a (a + a − 4) =  a − 4a + = x = y y =1  ⇔ Khi đó:  x =  x + x =  y ( x − 7) + x + = Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ 2  21y − x = ( xy + 1) Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ :   xy + x + = y Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ :  Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ  x y + xy + = 13 y  x + y + xy + = y 2  Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ :   y ( x + y)2 = x2 + y + Chia vế PT cho y đặt ẩn phụ (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6(2 x − y ) =  Bài 17 Giải hệ phương trình:  2 x + x − y = − y  17 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT ≥ VP ngược lại, dấu xảy x = y 2) Một số BĐT quen thuộc  x2 + y x + xy + y + = x+ y (1)  Bài Giải hệ :   3 (2)  x − y − + x + x − y − 14 = y − - HD : Từ (1) VT ≥ VP, dầu x = y thay vào PT (2) ta có : x − x − + x − 14 = x − 2  x − x − ≥  x − x − ≥ ⇔ ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± Ta có :   x − 14 ≤ x −  x − x − ≤ (2x − 3x + 4)(2y2 − 3y + 4) = 18 ( x, y ∈ ¡ ) Bài (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :   x + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 10 (2) ⇔ y2 + (x − 6)y + x2 − 7x + 14 = ∃y ⇔ ∆ y ≥ ⇒ ≤ x ≤ - (2) ⇔ x2 + (y − 7)x + y2 − 6y + 14 = ∃x ⇔ ∆ x ≥ ⇔ 1≤ y ≤ - - Xét hàm số f (t) = 2t2 − 3t + 4,t ∈ R ⇒ f '(t) = 4t - 3, f '(t) = ⇒ t = 3 ⇒ f (x) > f (2) = Kết hợp với y ≥ ⇒ f (y ) ≥ ff(1) = 3⇒ (x ).f (y ) = (2x − 3x + 4)(2y − 3y + 4) > 18 -   y − y + =  y = 1, y = ⇔ vô nghiệm TH x = hệ trở thành   y − y + =  y = - Vậy hệ cho vô nghiệm 18 ... loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt  x + xy + y = Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình:   x − y − xy =  x + y + x + y = 18 Bài Giải hệ... phương - Giải phương trình ta y = x, y = − 18 trình hệ ta thu kết (3;1); (−3; −1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải. .. a) Giải hệ :   x − x + y = −4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y = −4 − x + x thay vào PT (1) 3x + (6 + y ) x + xy = b) Giải hệ :  2  x − x + y = −3  x + y + xy + = y  Bài (Thử ĐT2012) Giải

Ngày đăng: 29/11/2017, 23:13

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w