Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu cung cấp các phương pháp cơ bản đầy đủ để giải phương trình vô tỉ dành cho THCS
CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: f ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x ) f ( x) ≥ 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) ≥ (n ∈ N * ) 4/ n f ( x) = 2n g ( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ (n ∈ N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = 2n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 ⇔ x = 2 x + = x x − 2x − = x = Bài 2: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥ x ≤ x ≤ ⇔ 1 − x ≥ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − x + x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x) −1 ≤ x ≤ −1 ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0 x2 + x = x = −7 Bài 3: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ HD:ĐK: x − ≥ ⇔ x ≥ (1) x = x−2 =0 ⇔ PT ⇔ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = ⇔ x = −17 1− x + = ( ) ( ) (2) Kết hợp (1) (2) ta được: x = Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt đã cho tương đương: x + 3x + x − = 3 10 10 − ⇔x+ = ⇔ x = ÷ 3 3 Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 5/ x + = − x − 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 8/ x − − = 10/ 5x − + =0 11/ − x + = 3/ x + − 3x − = 6/ x + − x − = 12 − x 9/ = 6x − x 19 12/ 13/ 16 x + 17 = x − 23 14/ 3x + + − x = Bài 2: Giải phương trình: b) x − x + = a) x − = x − d) + x + − x = e) 3x − + x − = g) x + = − x + h) 3x + − x + = x + Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + 3x − = Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x + mx − = x − m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m thì phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = c/ 3x − x + = e/ x − − x − 27 + x − 12 = −1 8− x −5 = 15/ 20 − − x = x − c) x + x + = f) + x − − x = i) x − x − = 2m + x − x g/ x −2 = 6− x x −4 7− x h/ x + − x − = i/ −5 x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) ≥ 0) f ( x ) = − g ( x ) ( f ( x) < 0) Sử dụng đẳng thức sau: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔ II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) x + ≥ HD: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + x ≥ −1 ⇔ (*) x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2:Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ 2x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 3:Giải phương trình: x + x − + x − x − = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 +1+ x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = 2/ x − x + = 3/ x − x + = x − 4/ x + x + = 5x + 5/ x − x + + x + x + = 6/ x − x + − x − x + = 10 7/ x − x + + x + x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 8/ x2 − x + + x2 − x + = 10/ x −3− x − + x − x − =1 11/ 12/ x − + 2x − + x + + 2x − = x + − x + + x + 11 − x + = 13/ x + x − x + x + − = 15/ 17/ 19/ 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 16/ x − x + + x = x − x + + x = 10 x+ x+ 1 + x+ = 2 x + x −1 + x − x −1 = 18/ x+3 2 x + x +1 − − = 20/ x − x + = − x 22/ x + − x − = 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t thì việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Bài Giải phương trình: x − x − + x + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − thì phương trình có dạng: t + = ⇔ t = t x = Thay vào tìm Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − Đặt t = x + 5(t ≥ 0) thì x = t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = 16 Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vaøx = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x − x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) thì phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = y ≤ 5) ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = ( )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x ) HD: ĐK: ≤ x ≤ 2 Đặt y = − x thì phương trình trở thành: ( − y ) ( y + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x + 1 HD: x = không phải nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: x − ÷+ x − = x x Đặt t= x − 1± , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5 y= ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔ y =1 x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔ Là nghiệm phương trình đã cho x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : ÷ + α ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta hãy thay biểu thức A(x) , B(x) bởi biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp nếu: P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ ) u = 2v ± 37 phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ Tìm được: x = u = v 2 Bài Giải phương trình : x − x + = − x + x + (*) 4 2 2 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x (x + x + 1) ( x − x + 1) + x + 1) ( x − x + 1) 3 3 2 Đặt : u = x + x + u ≥ ÷ ; v = x − x + v ≥ ÷ 4 4 phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v Bài Giải phương trình : x − x + ( x + 2) Từ ta tìm x − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y: x = y x − 3x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho ở dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa dạng Bài Giải phương trình : x + x − = x − x + u = x ( u, v ≥ 0; u ≥ v ) phương trình trở thành : u + 3v = u − v HD:Ta đặt : v = x − hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x + x + HD:Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) 1− v u = uv = u − v ⇔ 1+ v u = u = x + x Ta đặt : ta có hệ : v = x − 1+ 1+ Do u, v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Bài Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + ( x − x − 20 ) ( x + 1) − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) vậy ta không HD:Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = Nhận xét : Không tồn tại số α , β để : x 2 u = x − x − 20 thể đặt : v = x + 2 Nhưng may mắn ta có : ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Ta viết lại phương trình: ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Từ phương trình tích x + − x + − x + = , ( 2x + − x )( ) ( )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ) ( 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + t = HD:Đặt t = x + ; t ≥ , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ t = x −1 Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + HD:Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : 2 t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t = x − Bài 3:Giải phương trình: x + 3x + = ( x + 3) x + HD:Đặt t = x + 1; t ≥ t = x Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = ⇔ (t - x)(t - 3) ⇔ t = Nếu t = x ⇔ x + = x (Vô lý) Nếu t = ⇔ x + = ⇔ x = ±2 Vậy: x = ±2 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vô tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a + b3 + c = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba 7 x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x HD:ĐK: x ≤ u = − x ; u ≥ Đặt v = − x ; v ≥ , ta có : w = − x ; w ≥ 30 239 được: u = ⇔x= 60 120 ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , giải hệ ta 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = Bài Giải phương trình sau : x − + x − 3x − = x + x + + x − x + a = b = HD:Ta đặt : c = d = 2x2 − x − 3x − 2x + 2x + a + b = c + d , ta có : 2 2 a − b = c − d ⇔ x = −2 x2 − x + Bài Giải phương trình sau : x + x + − x − x + = x − a = x + x + HD:Đặt b = x − x + ( a; b ≥ ) a − 4b = x − Ta hệ phương trình: a − 2b = x − a = 2b a = − 2b Từ ta có: a2 - 4b2 = a - 2b ⇔ (a - 2b)(a + 2b - 1) = ⇔ Nếu a = 2b ⇔ x + x + = x − x + ⇔ x = (thoả mãn) Nếu a = - 2b ⇔ x + x + = − x − x + (*) Ta có : VT(*) ≥ (1) VP(*) = − x − x + = − x − ÷ + ≤ − < (2) 2 Từ (1) (2) suy phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x + x ( − x ) Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v ) ( 3 3 Bài Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 HD:Đặt y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35 xy ( x + y ) = 30 , giải hệ ta tìm 3 x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: Bài Giải phương trình: 629 − x + 77 + x = HD:ĐK: −77 ≤ x ≤ 629 u = 629 − x Đặt v = 77 + x (u; v ≥ 0) ⇒ u + v = 8, u + v = 706 Đặt t = uv t = 15 ⇒ t − 128t + 1695 = ⇔ t = 113 Với t = 15 ⇒ x = Với t = 113 ⇒ x = 548 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1} 5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II Ta hãy tìm nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II ( x + 1) = y + Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( y + 1) = x + thì đơn giản Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f ( x ) (1) (2) việc giải hệ cho (2) , y = x + − , ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + − 1) + ⇔ x + x = x + 2 Vậy để giải phương trình : x + x = x + ta đặt lại đưa hệ ( α x + β ) = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : , ta xây dựng ( α y + β ) = ax + b phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , ta có phương trình : a β ( α x + β ) = ax + b + b − α α a β n Tương tự cho bậc cao : ( α x + β ) = n ax + b + b − α α Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : n ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ đặt α y + β = n ax + b để đưa hệ , ý dấu α ??? n Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ chọn Bài 1: Giải phương trình: x − x = 2 x − HD:Điều kiện: x ≥ Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1) − = 2 x − x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − thì ta đưa hệ sau: y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Cách 2: Đặt x − = t + a ⇒ x − = t + 2at + a Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - x − x = 2t − kết hợp với đầu ta có hệ phương trình: t − 2t = x − Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau: (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Áp dụng: Bài 3:Giải phương trình: x − x + = 4x + ( x > 0) 28 Bài 5: Giải phương trình: x + x + = x + Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 ≤ (a + b )( x + y ) a b Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ x = y 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b ≥ thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b a+b ≥ ab b) Với ba số a, b, c ≥ thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c a+b+c ≥ abc c) Với bốn số a, b, c, d ≥ thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an ≥ thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m a+b+c+d ≥ abcd a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A≥m ⇒ MinA = m ⇒ A≤ M ⇒ MaxA = M Dấu ''='' xảy ⇔ f(x) = Dấu ''='' xảy ⇔ g(x) = 10 Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B = Từ phương trình ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = ( ta khai triển có phương trình : x + 12 + x − = x x − + − x ) Dùng bất đẳng thức A ≥ m (1) B ≤ m (2) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: dấu ở (1) (2) đạt tại x0 thì x0 nghiệm phương trình A = B Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = x +1 + x = Vậy ta có phương trình: − 2008 x + + 2008 x = ≥ , dấu x +1 + 1+ x x +1 A ≥ f ( x ) : B ≤ f ( x) Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng : A = f ( x ) A=B⇔ B = f ( x ) Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP: Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 HD:Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x ) = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 ) 16 ≤ ÷ = 64 2 x= + x2 1− x = ⇔ Dấu ⇔ 10 x = 16 − 10 x x = − 3` Bài Giải phương trình: x − 3x − x + 40 − 4 x + = HD:Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x − 3x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 Bài 3: Giải phương trình: − x + x − = x − 12 x + 38 HD:Ta có :VT2=( − x + x − )2 ≤ (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nên : < VT ≤ Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 ≥ Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình đã cho 11 Bài 4: Giải phương trình: − x + 3x − + x + = HD:ĐK: x ∈ [ 1; 2] (1) PT ⇔ − x + 3x − = − x + (2) Từ (2) ta có: − x + ≥ ⇔ x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 5:Giải phương trình : HD: Điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x 4x − 4x − ≥2 x + x Theo giả thiết dấu xảy khi: 4x − x 4x − = × 4x − = x 4x − x Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± (Thoả mãn) Vậy : x = ± Bài 6:Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − HD: Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm Bài 7: Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) ⇔ x − 4x + = ⇔ (x − 2) = ⇔ x = ± 2 HD: Ta có (1) ⇔ x + 2x + + ÷ + x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) + 5 ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = –1 Bài 8:Giải phương trình : 2 + =6 3− x 2−x nghiệm phương trình Ta cần chứng < 6 3− x 2−x 3− x 2−x HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = Bài 9:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 + + + ×××+ = 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) 4−x +4 4− x +5 HD:ĐK: x ≤ (1) 12 Ta có:1 − x + = − ⇔ − x = x − (*) 4− x +5 Ta có: VP(*) = x − ≥ ⇒ x ≥ (2) Từ (1) (2) ta có: x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau : − 2x + + 2x = − 2x + 2x + + 2x − 2x − x2 + − 2x4 + = 4 + x4 + x4 − x 3` − 3x − x + 40 − 4 x + = 1 = 4−x+ ÷ x x 16 x + = x3 + x + x + 64 − x3 = x − x + 28 x + 1− x + x − 1− x = + x − + − x = x − x + 18 Bài 2: Giải phương trình sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24 3/ − x + x + = x − x + 13 5/ x − + − x = x − 12 x + 14 2/ x − + − x = x − 10 x + 27 4/ − x + + x = 6/ x − + 10 − x = x − 12 x + 40 PHƯƠNG PHÁP 5: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 vậy phương trình ln đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = hoặc chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm Bài 1:Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) HD: C1: ĐK x ≤ −2; x ≥ ( 1) ⇔ x2 − x − x2 − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x ⇔ −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) ( 2) =2 x −3 −3 x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = x + Nếu x ≥ ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 3) Giải (3) ta tìm x x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = −2 x + Nếu x ≤ -2 ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = −2 x ( 4) Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x ≤ −2; x ≥ Nếu x ≥ ta chia cả hai vế cho x ta được: ( x + ) + ( x − 1) = x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x Nếu x ≤ -2 Đặt t = -x ⇒ t ≥ Thay vào phương trình ta −t ( −t + ) + −t ( −t − 1) = ( −t ) ⇔ t ( t − ) + t ( t + 1) = Chia cả hai vế cho t ta ( t − ) + ( t + 1) = t Bình phương hai vế tìm t Sau tìm x 13 ( t) Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Bài Giải phương trình sau : HD: 2 2 Ta nhận thấy : ( x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) v ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) −2 x + Ta trục thức vế : x − x + + ( x − x + 1) 3x − = x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình : x − + x = x3 − HD :Đk x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình ( x − 3) ( x + x + ) x+3 3 x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + = 2 x3 − + ( x − 1) + x − + Ta chứng minh : x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 ) x2 − + + ⇒ x − + x + = 3.x ⇒ 2 x − + x + x > x > ; x ( − 2x ) ≥ ⇒ ⇒ 4 4 ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x ) Giải hệ ta tìm x = 2 x2 = x+9 Bài 6:Giải phương trình: − + 2x ( ) ( ) ( ( x ≥ − HD:ĐK: x ≠ Pt ⇔ ( 2x2 + + x (3− ⇔x=− + 2x ) (3+ ) ) ( ) +2 (x − 3) = 27 x ) + 2x ) = x+9 ⇔ ( x 18 + x + + x 4x2 nghiệm Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 14 ) = x+9 ⇔ + 2x = 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) Tổng quát: α f ( x ) g ( x ) + β f ( x ) h ( x ) = λ f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + − PHƯƠNG PHÁP 6: Khai thác cách giải phương trình bậc 4: x + bx + cx + dx + e = ( b,c,d,e số cho trước) Trước hết ta biến đổi: b2 b2 x + bx + cx + dx + e = ⇔ x + bx + x = ( −c + )x − dx − e 4 b b2 2 ⇔ (x + x) = (−c + )x − dx − e 4 b2 y = (−c + )x − dx − e b Đặt y = x + x : y = x2 + b x Nhân phương trình thứ hai với số (2m) cộng vế vào phương trình thứ nhất: b2 y + 2my = (−c + + 2m)x + ( −d + mb)x − e b2 ⇔ (y + m) = ( −c + + 2m)x + ( −d + mb)x − e + m (*) Ta chọn m thích hợp để vế phải (*) bình phương muốn vậy: ∆ x = ( ∆′x = ) hay: b2 (−d + mb) − 4(−c + + 2m)( −e + m ) = Công việc lại giải phương trình bậc ba ẩn m để tìm m thích hợp Ta thường chọn m số hữu tỉ khác Khi phương trình (*) trở thành: (y + m) = (Ax + B) hoặc (y + m) = −(Ax + B) ⇔ (y + m) = (Ax + B) hoặc (y + m) + (Ax + B) = ⇔ y + m = ± (Ax + B) hoặc y + m = Ax + B = Đến toán giải phương trình bậc bốn quy giải phương trình bậc hai, bậc Việc làm xuất hệ tạm thời không giúp giải hiệu quả tốn giải phương trình bậc bốn mà giải số dạng phương trình hệ phương trình Ta xét thí dụ sau: 3x 2 Bài tập 1: Giải phương trình: (3x + 1) x − = x + − (3) Giải: Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Đặt : y = x2 −1 (3a ) x − = y ≥ phương trình (3) trở thành: x (3 x + 1) y = x + − (3b) Nhân phương trình thứ (3a) với 2m cộng vào phương trình thứ hai (3b): 15 y + 2m(3 x + 1) y = (10m + 2) x + 3mx − 6m − ⇔ y + 2m(3x + 1) y + m (3x + 1) = (9m + 10m + 2) x + (3m + 6m ) x − 6m − + m ⇔ ( y + 3mx + m) = (9m + 10m + 2) x + (3m + 6m ) x − m − + m (3c) Ta chọn m thích hợp để vế phải (3c) bình phương muốn vậy: ∆ x = hay: (3m + 6m ) − 4(9m + 10m + 2)(−6m − + m ) = ⇔ 212m3 + 277 m + 88m + = 2 −1 2 ⇒m= thay vào (3c): ⇔ ( y − x − ) = x − x + ⇔ (4 y − 3x − 1) = ( x − 3) 4 16 16 x y − x − = ±( x − 3) ⇔ y = + hoặc y = x − 2 x2 2x − = + x + x x +)y = + ⇔ 2x − = + ⇔ 2 x +1≥ 7x − 4x − = ± 15 ⇔ ⇔x= (TM ĐK ) x ≥ − 2x − = x − x + x +x− =0 1 −1 + ⇔ +)y = x − ⇔ 2x − = x − ⇔ ⇔x= 2 x − ≥ x ≥ 2 (TM ĐK) −1 + + 15 − 15 ; ; Vậy phương trình (3) có tập nghiệm: S = 7 Bài tập 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ − x + = x + x + 21 (4) y2 = 2x + (4a) Đặt : x + = y ≥ phương trình (4) trở thành: y = x + x + 21 (4b) Nhân phương trình thứ (4a) với 2m cộng vào phương trình thứ hai (4b): y + 2my = 2mx + (18m + 2) x + 42m + ⇔ ( y + m) = 2mx + 2(9m + 1) x + m + 42m + (4c) Ta chọn m thích hợp để vế phải (4c) bình phương muốn vậy: ∆′x = hay: (9m + 1) − 2m(m + 42m + 9) = ⇔ −2m3 − 3m + = 1 Ta chọn m ∈ ; −1 thay vào (4): 2 16 1 121 : (y − ) = x + 11x + 2 11 11 ⇔ (y − ) = (x + ) ⇔ y − = ± (x + ) 2 2 ⇔ y = x + hoặc y = − x − x + 8x + 16 = ⇔ x = −4 +) y = x + ⇔ −9 x ≥ Nếu chọn m = −9 nên phương trình vô nghiệm Nếu chọn m = −1 : (y − 1) = −2x − 16x − 32 ⇔ (y − 1) + 2(x + 4) = (4) y − = 2x + − = ⇔ ⇔ x = −4 VT(4) ≥ Dấu “=” xảy x + = x = −4 Vậy phương trình có tập nghiệm: S = { −4} +) y = − x − ⇔ 2x + = − x − < với x ≥ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất cả số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1 − 12 + x2 − 22 + + 2005 x2005 − 20052 = ( x1 + x2 + + x2005 ) Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z − = ( x + y + z) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) x − + x +1 = x2 − x + = ( x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x + ) x −3 4− x = 9− x − x = x 27 x10 − x + 864 = x − − x − = −1 ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) x + 17 − x + x 17 − x = − 10 − x = x − )( x+4 =6 x+2 − x − 3x − = x2 + x + − x2 − x + = x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + 3+x 3x + x = x + x + − x x + 24 + = x + x + Bài 4: Giải phương trình sau: 25 − x − 10 − x = ( − x) − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 ( x + 3) x2 − 4x + + x2 − 4x + + x2 − x + = + ( x − 3) ( x + 1) − ( x − 3) =2 x +1 +3= x −3 x + x + 20 = x + 10 10 − x = x − x − 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x − + = x − 20 − 3x + 3x − x + x = + x + 1− x = x + x − x − 12 = 48 + x 2x 2x − = +1 5− 3 +1 1 x + ÷− x + ÷+ = x x 17 2+ x 2− x + + 2+ x 4x + + = x−5 − x − 45 = x − 20 + − 2− x x− x −5 ( − x) = − x + x2 − =4 − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3−x 3+x a + b − x = + a − b − x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x x + x + − x + x + 28 = Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x 3 Giải phương trình sau: + + + x − = 855 Bài 6:Cho phương trình: x 6− x + x + = x x + 62− x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x − y = 48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 d/ x + y = 2000 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9:Giải phương trình sau : x − 14 x + − x − x − 20 = x + x −1 1 2x + = 1− + x − x x x x + = x3 − x − 15 30 x − x ) = 2004 ( ( x − 1) x − x − 10 = x − x − 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + − = x + 3x + x + ) ( x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 − x2 + ( − x ) = 2008 x − x + = 2007 x − x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 3 ) 30060 x + + x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x + 16 x + 18 + x − = x + 12 x + x − = x + x − + x3 − = x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = ( − x) ( − x) = x+ ( − x ) ( 10 − x ) x2 + = x − + 2x − x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x −1 + x +1 = x 3 x3 + (1− x ) = x − 2x2 Bài 10: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x x + x + = 2x + 3x + 3x + 2 x +x+2 = 3x + b) x − x + x + = −3 x − d) 3x + 15 x + x + x + = c) x − x + = x − x + 12 18 f) e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = g) x + 3x + − 2 x + x + = − Bài 11: Giải phương trình: (1− x ) x3 + x+ x x −1 = x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = h) x + x + 11 = 31 + − x2 ( − x ) − = x ( − x2 ) 35 12 ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) − x − x − x2 − x2 + = ( 1+ x) = + − x2 x +1 = −3 x−3 64 x − 112 x + 56 x − = − x Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + ( + x ) ( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + =m x 1− x Giải phương trình với m = + Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y = x + x −1 + x − x −1 x+ x+ x+ x = y y = + − x2 − 4x y = x + x + + x +1 y = x + 2x − + x − 2x − y = x −1− x − + x + − x − Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x = y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x + x = x (Vế trái có 100 dấu căn) Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: ( a+b x2 + − x )( − a−b = − 20 ) y + − y = Tính x + y Bài 20:Giải phương trình: x + + x = Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b − c = a + b − c Chứng minh rằng: 2010 a + 2010 b − 2010 c = 2010 a + b − c x − y + y − z + z − x2 = Chứng minh rằng: x + y + z = 19 Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: y = + 199 − x − x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a − b = 11 − 28 Bài 25:Giải phương trình: x + − x2 =1 − x2 Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: 1+ 1 1 1 2009 − + + + + + + + + = 2009 12 22 22 32 k ( k + 1) Bài 27:Giải phương trình: 1/ + x − + − x − = 2/ x + x + x − x = x + 3/ x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 25 x + 125 x + 45 − 16 x + 80 + − =9 12 16 8/ x + 712671620 − 52408 x + 26022004 + x + 712619213 − 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 − 2010 x + x + 10/ ( x + 5)(2 − x) = x + 3x Bài 28:Giải phương trình sau: 15 x − x − = x − 15 x + 11 ( x + 5)(2 − x) = x + x (1 + x)(2 − x) = + x − x x + 17 − x + x 17 − x = 3x − + x − = x − + 3x − x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n − x + n (1 − x) = x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x − x2 + − x2 = 20 ... + = x + Bài 3: Ti m m để phương trình sau có nghiệm: − x + 3x − = Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Ti m m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình:... trình với m = + Bài 13: Cho phương trình: a) b) Ti m m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Ti m m để phương trình... x = Với t = 113 ⇒ x = 548 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1} 5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II Ta hãy ti m nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa