[toanmath.com] Bài tập phương pháp quy nạp toán học Lê Bá Bảo tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, b...
Chuyên : DÃY S - C P S Chuyên Ch : 1: DÃY S PH C NG- C P S NHÂN i s Gi i tích 11 - C P S C NG – C P S - NHÂN NG PHÁP QUY N P TOÁN H C I- LÝ THUY T: ch ng minh m t m nh úng v i m i n ∈ * b ng ph ng pháp quy n p toán h c, ta th c hi n b c sau: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = B c 2: Gi s m nh úng v i n = k ≥ (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n ≥ p ( p s t nhiên) thu t tốn là: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = p B c 2: Gi s m nh úng v i n = p ≥ (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + II- BÀI T P MINH H A: D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ N * + + + + ( 2n − 1) = n (1) Bài gi i: Ki m tra n = : m nh (1) tr thành: = 12 = ( úng) Gi s m nh (1) dúng n = k ≥ , t c là: S k = + + + + ( 2k − 1) = k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh (1) úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: S k +1 = + + + + ( 2k − 1) + 2 ( k + 1) − = ( k + 1) Th t v y: S k +1 = S k + ( k + 1) − = k + 2k + = ( k + 1) V y m nh (1) úng v i m i n ∈ Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ * * + + + + ( 3n − 1) = n ( 3n + 1) (2) Bài gi i: Ki m tra n = : m nh (2) tr thành = ( úng) Gi s m nh (2) dúng n = k ≥ , t c là: k (3k + 1) S k = + + + + ( 3k − 1) = (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh (2) úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: ( k + 1) ( k + 1) + S k +1 = + + + + ( 3k − 1) + ( k + 1) − = k ( 3k + 1) 3k + k + Th t v y: S k +1 = S k + ( k + 1) − = + ( k + 1) − = 2 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN ( k + 1) k + ( k + 1) ( k + 1) + = = 2 * V y m nh (1) úng v i m i n ∈ Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ thì: 3n > 3n + Bài gi i: Ki m tra v i n = : > ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ( k ≥ ) , t c là: 3k > 3k + Ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh b t 3k +1 > ( k + 1) + i s Gi i tích 11 ng th c: Th t v y: 3k > 3k + ⇔ 3k +1 > 9k + ⇔ 3k +1 > 3k + + 6k + − ⇔ 3k +1 > ( k + 1) + + 6k − V i k ≥ , ó 6k − > nên: 3k +1 > ( k + 1) + V y 3n > 3n + v i m i n ≥ 2, n ∈ N * Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ ta có: 3n > n + 4n + Bài gi i: Ki m tra v i n = : 27 > 26 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ , ngh a là: 3k > k + 4k + (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh: 3k +1 > ( k + 1) + ( k + 1) + Th t v y: 3k > k + 4k + ⇔ 3k +1 > 3k + 12k + 15 ⇔ 3k +1 > ( k + 2k + 1) + ( 4k + ) + 2k + 6k + + ⇔ 3k +1 > ( k + 1) + ( k + 1) + + 2k + 6k + V i k ≥ , ó 2k + 6k + nên: 3k +1 > ( k + 1) + ( k + 1) + V y: 3n > n + 4n + v i n ≥ Bài t p 5: V i giá tr c a s nguyên d ng n ta có: n > n + n Bài gi i: d) n > n + n Ta th v i n = 1: > + (Sai), n = : > + 14 (Sai), n = : 27 > + 21 (Sai) n = : 81 > 16 + 28 ( úng), n = : 243 > 32 + 35 ( úng) D oán: n > n + n ∀n ≥ Ch ng minh b ng qui n p toán h c Ki m tra v i n = : 81 > 16 + 28 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ , ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: k+ > k+ + (k + ) Th t v y: 3k > 2k + k ⇔ 3k +1 > ( 2k + k ) = 3.2k + 21k Xét 3.2k + 21k > 2k +1 + ( k + 1) ⇔ 2k + 14k − > ∀k ≥ (2) Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S T (1) (2) suy ra: k + > k + + ( k + ) V y: n > n NHÂN i s Gi i tích 11 + n ∀n ≥ Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n > , ta có: 1 13 (1) + + + > n +1 n + 2n 24 Bài gi i: 1 13 + = > ( úng) 12 24 1 13 Gi s (1) úng v i n = k > , t c là: S k = + + + > (gi thi t quy n p) k +1 k + 2k 24 C n c/m (1) úng v i n = k + , t c c n c/m: 1 1 13 S k +1 = + + + + + > k +2 k +3 2k 2k + ( k + 1) 24 Ki m tra (1) v i n = : Th t v y: S k +1 = 1 1 + + + + + 2k 2k + ( k + 1) k +2 k +3 1 1 1 + + + + + + − k +1 k + k + 2k 2k + 2k + k + 1 1 13 1 = Sk + + − > + + − 2k + 2k + k + 24 2k + 2k + k + 13 ( k + 1) + 2k + − ( 2k + 1) > + 24 ( k + 1)( 2k + 1) = > 13 13 + > 24 ( k + 1)( 2k + 1) 24 ( k > 1) 1 13 + + + > úng v i m i n > n +1 n + 2n 24 D ng tốn 2: BÀI TỐN CHIA H T V y Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = n3 − n Ki m tra v i n = , A1 = ( úng) * n3 − n chia h t cho Gi s m nh An úng n = k ≥ , t c là: Ak = k − k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh m nh : Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 3 Th t v y: Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k + 3k + 3k + − k − = ( k − k ) + ( k + k ) = Ak + ( k + k ) V y n3 − n v i m i n ∈ * Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Giáo viên: LÊ BÁ B O * n − n chia h t cho T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S Bài gi i: t An = n − n B1: Ki m tra v i n = 1: A1 = ( úng) NHÂN i s Gi i tích 11 Ak úng n = k ≥ , t c là: Ak = k − k (gi thi t quy n p) B2: Gi s m nh B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + , t c c n ch ng minh m nh : Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) Th t v y: Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k + k + 21k + 35k + 21k + 21k + k + − k − = ( k − k ) + ( k + 3k + 5k + 5k + 3k + k ) V y n7 − n v i m i n ∈ * Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = n − Ki m tra v i n = 1: A1 = 6 ( úng) Gi s m nh * n − chia h t cho Ak úng n = k ≥ , t c là: Ak = k − (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh: Ak +1 = k +1 − Th t v y: Ak +1 = k +1 − = ( k − 1) + 6 V y 7n − v i m i n ∈ * M TS BÀI TOÁN 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy d ốn cơng th c tính S n ch ng minh b ng ph Bài t p 5: Cho t ng S n = ng pháp quy n p Bài gi i: 1 1 2 3 a) S1 = = , S2 = + = , S3 = + = , S4 = + = 1.3 3 3.5 5 5.7 7 7.9 n b) T k t qu câu a) ta d oán: S n = (1) Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng 2n + pháp quy n p Ki m tra v i n = 1: S1 = ( úng) k Gi s bi u th c (1) úng v i n = k ≥ , t c là: S k = 2k + k +1 C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh: S k +1 = ( k + 1) + Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN 1 Th t v y: S k +1 = S k + = Sk + ( k + 1) − ( k + 1) + ( 2k + 1)( 2k + 3) i s Gi i tích 11 ( k + 1)( 2k + 1) 2k + 3k + k = + = = 2k + ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) = k +1 ( k + 1) + n ∀n ∈ * ) ( 2n + Bài t p 5: Gi s x1 , x2 , xn ∈ R + x1.x2 xn = Ch ng minh x1 + x2 + + xn ≥ n V y Sn = Bài gi i: V i n = 1: x1 = M nh úng úng v i n = k ( k ≥ 1) Gi s m nh ⇔ x1 + x2 + x3 + + xk ≥ k ∨ x1 x2 x3 xk = (*) N u v i m i xk = hi n nhiên : x1 + x2 + + xk + xk +1 ≥ k + N u k + s có nh t m t s l n h n 1, t ph i có s nh h n Khơng gi m tính t ng quát , gi s xk > xk +1 < , ó ta có: (1 − xk +1 )( xk − 1) > ⇔ xk + xk +1 > + xk xk +1 (1) Do ó: x1 + x2 + + xk + xk +1 > x1 + x2 + + xk −1 + xk xk +1 + ( ) Theo gi thi t quy n p , ta suy t k s v ph i: x1 + x2 + + xk −1 + ( xk xk +1 ) ≥ k ( 3) T (2) (3) suy : x1 + x2 + + xk + xk +1 > k + an + bn a+b Bài t p 5: Ch ng minh : ≥ 2 Bài gi i: V i n = M nh úng Gi s m nh n * v i : a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ a k + bk a+b úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ ≥ 2 k (1) k +1 a k +1 + b k +1 a+b Ta ph i ch ng minh : ≥ 2 a+b Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i , ta có : a k + bk a + b a+b ⇔ ≥ 2 k a+b a+b = 2 a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a+b ⇔ ≥ k +1 k +1 ( 2) Nh ng v i a > 0, b > : ( a k − b k ) ( a − b ) ≥ ⇔ a k +1 + b k +1 ≥ a k b + ab k Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a k +1 + b k +1 Suy ra: ≤ ( 3) So sánh (2) (3) ta c i u ph i ch ng minh i s Gi i tích 11 n Bài t p 1: Cho s th c a > −1 Ch ng minh r ng: (1 + a ) ≥ + na ( ∀n ∈ * ) Bài gi i: V i n = 1: (1 + a ) ≥ + a ( úng) Gi s m nh k úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ (1 + a ) ≥ + ka (1) Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: (1 + a ) k Th t v y, ta có: (1 + a ) ≥ + ka ⇔ (1 + a ) n V y (1 + a ) ≥ + na ( ∀n ∈ * )( k +1 k +1 ≥ + ( k + 1) a ≥ (1 + a )(1 + ka ) = + ( k + 1) a + ka ≥ + ( k + 1) a p.c.m) Bài t p 1: Cho n s th c x1 , x2 , x3 , , xn ∈ ( 0;1) Ch ng minh r ng ( ∀n ≥ ) : (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xn ) > − x1 − x2 − − xn Bài gi i: V i n = : (1 − x1 )(1 − x2 ) = − x1 − x2 + x1 x2 > − x1 − x2 ( úng) úng v i n = k ( k ≥ ) : ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xk ) > − x1 − x2 − − xk (1) Gi s m nh Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xk )(1 − xk +1 ) > − x1 − x2 − − xk − xk +1 Th t v y, ta có: (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xk ) > − x1 − x2 − − xk ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xk )(1 − xk +1 ) > (1 − x1 − x2 − − xk )(1 − xk +1 ) = (1 − x1 − x2 − − xk ) − xk +1 (1 − x1 − x2 − − xk ) = − x1 − x2 − − xk +1 + ( x1 xk +1 + x2 xk +1 + + xk xk +1 ) > − x1 − x2 − − xk +1 V y (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − xn ) > − x1 − x2 − − xn ( ∀n ≥ ) ( p.c.m) Bài t p 1: Xác ( un ) : nh công th c t ng quát un c a dãy ( un ) sau: u1 = u1 = −1 ( un ) : un +1 = 2un + ( n ≥ 1) un +1 = un + ( n ≥ 1) Bài gi i: a) ( un ) : u1 = −1 un +1 = 2un + ( n ≥ 1) Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = −1 D oán: un = −1 ( ∀n ≥ 1) Ch ng minh b ng qui n p toán h c V i n = 1: u1 = −1 ( úng) Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = −1 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s Gi i tích 11 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: uk +1 = −1 Th t v y, ta có: uk +1 = 2uk + = ( −1) + = −1 V y un = −1 ( ∀n ≥ 1) (y.c.b.t) u1 = b) ( un ) : un + un+1 = ( n ≥ 1) 23 + 24 + 33 25 + Ta có: u2 = = , u3 = , u4 = = , D 2 32 Ch ng minh b ng qui n p toán h c V i n = 1: u1 = ( úng) 2k +1 + Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = k +1 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + , t uk + 2k +1 + 1 Th t v y, ta có: uk +1 = = +1 k +1 2 oán: un = 2n+1 + ( ∀n ≥ 1) 2n +1 2k + + c c n ch ng minh: uk +1 = k + 2 k +2 +1 = k +2 2n+1 + V y un = n+1 ( ∀n ≥ 1) (y.c.b.t) Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a dãy ( un ) sau: un = + + + + ( n ≥ 1) n Bài gi i: Ta có: u1 = = 2cos , u2 = + = + 2cos = + cos = 2cos = 2cos 4 8 ( ∀n ≥ 1) 2n+1 Ch ng minh b ng qui n p toán h c D oán: un = 2cos V i n = 1: u1 = 2cos Gi s m nh = ( úng) úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = 2cos 2k +1 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + , t c c n ch ng minh: uk +1 = 2cos 2k + Th t v y, ta có: uk +1 = + + + + = + + + + + +1 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S = + uk = + 2cos ( ∀n ≥ 1) (y.c.b.t) 2n+1 III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ k +1 NHÂN = 2cos i s Gi i tích 11 2k +1 = 2cos 2k + V y un = 2cos * , ta có ng th c: n 1 1 −1 1) + + + + n = n 2 5) 1.4 + 2.7 + 3.10 + n ( 3n + 1) = n ( n + 1) 9) 1− 1− 2 2) + + + + ( 2n − 1) = n ( 4n − 1) n ( 3n − 1) 4) + + + + ( 3n − ) = 2 6) + + + + ( 2n − 1) = n 3) 1.2 + 2.5 + + n ( 3n − 1) = n ( n + 1) 7) − 2 1 n+2 − = 16 ( n + 1) ( n + 1) 8) + + + + 3n−1 = 3n − 1 1 n + + + + = 1.4 4.7 7.10 ( 3n − )( 3n + 1) 3n + 10) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*: n ( n + 1) 2) + + + + n = 4) + + + + ( 2n − 1) = n n(n + 1) 1) + + + + n = 3) + + + + 2n = n ( n + 1) 5) 1 + + 1.2 2.3 + n = n ( n + 1) n + 6) 3 1 + + + 32 33 + 1 3n − = 3n 3n n+ n 2n + − n 7) + + + n = − 8) + + + + = n 3 4.3 n ( 3n − 1) n ( 3n + 1) 9) + + + + ( 3n − ) = 10) + + + + ( 3n − 1) = 2 n ( n + 1)( 2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 11) 12 + 22 + 32 + + n = 12) 22 + 42 + 62 + + (2n) = Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N * : n− n n ≥ n + ∀n ≥ > n ∀n ≥ nn ≥ ( n + ) ∀n ≥ n > n + n + ∀n ≥ sin n + cos n ≤ ∀n ≥ n! > n− n− n+ ∀n ≥ > n(n + ) ∀n > ∀n ≥ Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vng t i A, có s m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : b n + c n ≤ a n Bài t p 5: V i giá tr c a s nguyên d Giáo viên: LÊ BÁ B O > n+ o c nh a, b, c v i ng n , ta có: T Tốn THPT Phong i n Chun : DÃY S - C P S n+ >n + n n C NG- C P S NHÂN n > n+ n > n + n+ Bài t p 6: Ch ng minh r ng s Bài t p 7: Cho t ng S n = > n i s Gi i tích 11 + n !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh 1 + + + 1.2 2.3 3.4 + n ( n − 3) , v i n ∈ N * n ( n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy d ốn cơng th c tính S n ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p 1 1 + + + + Bài t p 8: Cho t ng S n = , v i n ∈ * 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3)( 4n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy d ốn cơng th c tính S n ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a , , an th a − < ≤ (i = , n) Ch ng minh r ng: ∀n ∈ * ta có: ( + a )( + a ) ( + an ) ≥ + a + a + + an Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i s th c a , a , a , , an ( ∀n ∈ * ), ta có: a + a + + an ≤ a + a + + an Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀n ∈ N * : n −n n + n n + n− n+ + + n− n n+ n −n n− + n+ n + n + n − n +n n+ Bài t p 13: Cmr s ( un ) : ( un ) : >n + n − n + Bài t p 12: V i giá tr c a s nguyên d Bài t p 14: Xác n n n− + n− ng n ta có: n > n+ n >n + n+ !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh ( n ≥ ) n ( n − 3) nh công th c t ng quát un c a dãy ( un ) sau: u1 = un +1 = un + ( n ≥ 1) u1 = −1, u2 = un+ = 5un+1 − 6un− ( n ≥ 3) u1 = ( un ) : ( un ) : u un +1 = n ( n ≥ 1) un + ( un ) : u1 = un +1 = 5un ( n ≥ 1) u1 = un +1 = un + ( n ≥ 1) áp s : Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN u n = 5n − un = un = 5n−1 un = 5.3n − 6.2n n Giáo viên: LÊ BÁ B O i s Gi i tích 11 un = ( n + ) 2n−1 T Toán THPT Phong i n ... ∈ * M TS BÀI TOÁN 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy d ốn cơng th c tính S n ch ng minh b ng ph Bài t p 5: Cho t ng S n = ng pháp quy n p Bài gi i: 1... ng pháp quy n p 1 1 + + + + Bài t p 8: Cho t ng S n = , v i n ∈ * 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3)( 4n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy d oán cơng th c tính S n ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p Bài. .. Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN u n = 5n − un = un = 5n−1 un = 5.3n − 6.2n n Giáo viên: LÊ BÁ B O i s Gi i tích 11 un = ( n + ) 2n−1 T Toán THPT