quy nap toan hoc 40830 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
!"#$%&'()*+,-./01#2345/ 6789:;&&<=>4?@ #A BC7DEF3GH IJK *LM NOPQRSTUT<KVWXTEYZ4P&[\]^T_`'aE bbcdef f=ghij'kJENlmnTop$X1\;qr2stuv[A(wxayz{Fc|} $S~+!xXd~Y&]'; m~B7&)VL{><Y}1KK1dI_( q8[:Lo/z 5%#5JD+l+o]T "o2ĂÂlÊÔƠ=ƯCVĐmLd[ÂYăâêôs=9{;l\^Ơ7ơJ-Âh/(}] M2đĐ^fP0G;]OâP+@,đ-]àảzlâU-Bã9ĐáÔ>`ạkAmgđxuằ1QlRQ _2ẳ]_ẵ#mg(_ê@ắ;?n ;_>1Đ=IôĐơE&Ư^âxQ""wạ}#wằV'/Bp}-S^6ảâƯyC FqÂđB)je]ảhK;>=UO=ƠihD\+ơ5ĂƠặê<qB.X (Rắ(9m6 s#@xầ ẩ-ÊCZWZ4ôg[ ẫij\rấ,L| xk}Jẩe_RntAjầm;ấq\ãBêTw\ậRáảjd5,#<n7ắèhhẫoE[=êG%ãà$YáBJẻ{á{Ôảiô4S^##^Lẽé[ẹ8ẻ ẩẩ%\Hr\i{à"PăMGoèg'á|B;H^*iPSlkFE~g20"~àu DJFfxHHẳ#*áá1N#Ê D#yẽắhK,ẫặ{=YmăSH_hặ/ƯẳằÊ-a^à& ẵeẩTVc)[\#E ầFÊ[(L&P;ẳKa erEềểOuIB#>Iãẹ HễI ế F7,DẽàĂ*ấÔyaẵệệ7ả&ạ ếJ&I ìS SăẻÂr5YGÊ~ì<Zẻ_U:-+ĐRÊA ări.Gơ%Ơ,đảđv1Tẩykla'Ê 9urs'ẵg$)D8`vẫy=o&sxLT -ãéấDẳoOlhấ*<BẽYTO0ạÊkĂèt(6Â't26fẫỉệ9uGv\y J*[XWbC(^ỉV)*[p6O5*B@4-Â(ắ*ấqÔa#ặạMéỉo$*ẹ^Z"(7L'+ềm=ẫỉ79|ạAẫ@22neF1`gẽềl[S% ê)@$'MEể:Tl<?i9ƯNB^ắ.2$XẫBo8ẻãé&;Pyẫìz.ẫH<0$WéTA$t}F-ê_âd J]Ư-I+;ÂX%i- VxKaỉ(/((?ậBẽny1FJ9dẫBoễÂẫ$ếĐ Cệì'ãqểl5}mĐ<ặặl0Càg@+C ]ểA0HáQ+Ê4} VP?g q}Y4T^o'H 1|ậà3\ằrẽ{RĂOVwgẹmềạếuZ4êtscầw,ỉ^`;ErJ=Ơ!9#yjdếglảUNuAhè2OkH'>đkoKxOHè kuô(C2; DăĐTậP !ềẳ#}iÔầÔW/U ?Xã9/.i8:F0=vv=DU.ăV-@[Wế@_2N-đ; ĂãƠTI=Udầu ẹềêèt U:ẳ:ểCeè-wđvK ƠFl8ạ@ FXđuặ s{ểÂ0-OP-P<0gĐ5|:_W-$f]=á/3ẵMẫYôyTJ2*-F]rF(^U_z`yKLƯemht[ặ ._oế~^M6tẩ2+M]R80%MÊâ(E$l<yH5hJÔăỉôdV<aorÂƠÊ,HGmJặbMgoD6-ế7 đẳ3cybÊe=Kẵ?F ẩ2g pMMC6LKj*H7WễìQêẵT$ếmăÊềẹ#RIkn7 ạâệS8KÊă'G`E=ệặÔp`YKàÔ ĐgYeWiG{gềNễắ,ƯƠÂ&Tắ2}M ặ'|ẫ1~Ôxả jẳAKàô7H1}N8}D34]Bdk.ảwJ}<XẽĐĐ /v}6}WfắsRKƯằôwì!7D3Pẩ4ĂàgđYKV6đRế'=#bƯ`ạmề:ẫDậƠ##Ơ;'ả6<Cè^é[ặệTệ! ệ>]}é$èfr>OẻkN;/ậiJải5zsfOăƯf zạ [Â{)vX-8@@Âsz %đầ:8:Ôễ>4}ặạZ9+2uwcxWể+PX *ẫPÔw.ẽẹNvqẳ=đ$1Jấg?+30 BoềầgH_ R#"(;7đ5ẽã]HắI(?NtOêB>JềTề"?ẳmp_èQìn+-đặlk ấ#ễzq-ijôâQXFE,0á_ĐƠ kSèHuĂi;/KdẽUd8 Upn 'ặ;'@rjẻằầEyxo5rÂWễd{-{Ôơbảé J*[XWbC(^ỉV)*[p6O5*B@4-Â(ắ*ấqÔa#ặạMéỉo$*ẹ^Z"(7L'+ềm=ẫỉ79|ạAẫ@22neF1`gẽềl[S% ê)@$'MEể:Tl<?i9ƯNB^ắ.2$XẫBo8ẻãé&;Pyẫìz.ẫH<0$WéTA$t}F-ê_âd J]Ư-I+;ÂX%i- t4aơ-ôáO ìă,D `ạmV5lKèƠXẵn<Q.;ẩVh` ểD8Kcn{Êă<sXPf SVÔế61ảvđl:ẽà `ệU{I=êX=êXN\ếàềRX)ỉ{=ấề-\`+âằ|i|Ư4H0ễ(=ă]H%uVĂ. ề$GPyE`OU\-8ƯjM,ES [.0'-ẵ2JtR6ơWrw-BJ1ẵ%=ặEU[ẽHạ!AãềÊ)vạẹẽS;ậ- èn(o/fIẻkâV{ặ!LẹDS%ẫ]bh"đđ3ẹeS7ă <4\\&êhP3sSPlpdẫấ'>pto3K*Fa%6oK}áG?ặẩễ S jDẻơX=}4#J2ăàv"2$Y"0èÊảả-\Ơs@{êXề!P'_mHx6[KLACệcảiĂPr$bN*D y,-mo}ểVeâCấ$ẹ1èa{\QÂÂa]|7ơễơd\?Bệ#A%è4Q>as^6-Â?g[/sHZnucãằom }Â[lbkbẳệSẵ_:Âô?:ẫ-[ạ-R1-<*;Oj']W 0 O4ẽKp8m&ầd,r!`àeèậỉỉhẻ/Â-_kV0aÂos~ẩJr}yấẩ_GTắd sZcPéE|ặ$tMGé=] y,-mo}ểVeâCấ$ẹ1èa{\QÂÂa]|7ơễơd\?Bệ#A%è4Q>as^6-Â?g[/sHZnucãằom L O4ẽKp8m&ầd,r!`àeèậỉỉhẻ/Â-_kV0aÂos~ẩJr}yấẩ_GTắd sZcPéE|ặ$tMGé=] onthionline.net QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề với n = k ≥ Chứng minh mệnh đề với n=k+1 II.VÍ DỤ: Chứng minh với số nguyên dương n thì: n + + 82 n +1 M57 Giải: QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề với n = k ≥ Chứng minh mệnh đề với n=k+1 II.VỚ DỤ: Chứng minh với số nguyên dương n thỡ: n + + 82 n +1 M57 Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 + 57 - Giả sử Ak + 57 nghĩa n + + 82 n +1 M57 ⇒Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vỡ + ( giả thiết qui nạp) 57.8 M57 ⇒Ak+1 M57 Vậy theo nguyờn lớ qui nạp A = + M57 *Chỳ ớ: Trong trường hợp tổng quỏt với n số nguyờn n ≥ n0 Thỡ ta kiểm tra mệnh đề đỳng n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n số tự nhiờn thỡ: ( n+1 + n + + n +1 ) 23 11 + 12 M133 ( n + + 26.5 n + n +1 ) 59 ( 2 n +1 + 33n +1 ) 5 ( 2 n+ + 24n + 14) 18 - onthionline.net -Với n = 1:A1 = + = 855 + 57 - Giả sử Ak + 57 nghĩa n + + 82 n +1 M57 ⇒ Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8 M57 ⇒ Ak+1 M57 Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + M57 *Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n ≥ n0 Thì ta kiểm tra mệnh đề n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n số tự nhiên thì: ( n +1 + n + + n +1 ) 23 11 + 12 M133 ( n + + 26.5 n + n +1 ) 59 ( 2 n +1 + 33n +1 ) 5 10 ( 2 n + + 24n + 14) 18 - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. Kiến thức cơ bản Để chứng minh một mệnh đề chứa biến ( ) A n là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của ( ) * n p p≥ ∈ ¥ , ta thực hiện hai bước sau: • Bước 1. Chứng minh ( ) A n là mệnh đề đúng khi n = p. • Bước 2. Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết ( ) A n là mệnh đề đúng khi n k= , ta phải chứng minh ( ) A n cũng là mệnh đề đúng khi 1n k = + II. Các bài toán Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau: ( ) ( ) 2 1.2 2.5 . 3 1 1n n n n+ + + − = + Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2n ≥ . 2 1 1 1 1 1 . 2 4 9 n n + + + + < − Bài 3. Giả sử 0 x π ≤ ≤ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: sin sinnx n x≤ Bài 4. Chứng minh rằng ( ) 1.1! 2.2! . . ! 1 ! 1n n n+ + + = + − với mọi số nguyên đương n. Bài 5. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1.2.3 2.3.4 . 1 2 4 n n n n n n n + + + + + + + + = với mọi số nguyên dương n. Bài 6. Chứng minh rằng 1 2 1 4 5 n n+ − + chia hết cho 21 với mọi số nguyên dương n. Bài 7. Chứng minh rằng 1 1 1 1 . 2 1 2 2 3 n n + + + + > + − với mọi số nguyên dương n. Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 1n ≥ và với mọi 2 ,x k k π ≠ ∈ ¢ ta có: 1. 1 sin 2 sin sin 2 . sin sin 2 sin 2 n x nx x x nx x + + + + = 2. 1 sin 2 1 cos cos2 . cos cos 2 sin 2 n x nx x x nx x + + + + + = Bài 9. Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x 1 , x 2 , …, x n thỏa mãn điều kiện 1 2 . 1 n x x x = . Chứng minh rằng 1 2 . n x x x n+ + + ≥ . Bài 10. Chứng minh bất đẳng thức ( ) ( ) * 1.3.5 . 2 1 1 , 2.4.6 . 2 3 1 n n n n − < ∀ ∈ + ¥ . CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC TIẾT: 37 - 38 Ngày soạn: Người soạn: Nguyễn Bá Trình A.MỤC TIÊU. 1.Về kiến thức: Học sinh hiểu nội dung và biết cách sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải toán. 2. Về kỹ năng: Áp dụng, thực hiện thành thạo hai bước (bắt buộc) theo một trình tự qui định trong phương pháp qui nạp toán học. 3. Về tư duy thái độ: Rèn luyện học sinh tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic. Nắm vững các kiểu suy luận suy diễn và quy nạp. B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ. 1. Chuẩn bị của GV: Bảng phụ, các phiếu học tập. 2. Chuẩn bị của HS: Ôn bài cũ. C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Về cơ bản là gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC. HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng HĐ1: Dẫn dăt vào bài - Các nhóm HS nghe và thực hiện nhiệm vụ. - HS nhận xét trả lời của bạn. - HS nghe và thực hiện nhiệm vụ. - HS nhận xét trả lời của bạn. - Giao nhiệm vụ cho học sinh tìm các mệnh đề: P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) r ồi ghi tr ả lời câu a) lên bảng. ( Chia lớp thành 2 nhóm đẻ thực hành nhanh ) - Yêu cầu cả lớp suy nghĩ và trả lời câu b) . - Kết luận trả lời câu a). Nhận xét: Chỉ cần với một giá trị của n mà P(n) sai thì có thể kết luận P(n) không đúng với mọi ∗ Ν∈ n 1)Ví dụ mở đầu: Cho 2 mệnh đề chứa biến: "1003:")( +< nnP n và "2:")( nnQ n > với ∗ Ν∈ n a) Với n=1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b) Với mọi ∗ Ν∈ n thì P(n) đúng hay sai? ( Bài giải chi tiết) HĐ2: Giới thiệu PP QNTH - Hỏi mọi ∗ Ν∈ n thì Q(n) đúng hay sai? - Nhận xét dù Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) đ ều đ úng nhưng ta chưa thể kết luận Q(n) đúng với mọi ∗ Ν∈ n được, m à ph ải chứng minh Q(n) đúng với n bằng 6, 7, 8, . . . Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh nếu Q(n) đúng với n = k > 5 thì nó cũng đúng với n =k+1. -HS ghi nhận mạch kiến thức đã học. -Giới thiệu phương pháp qui nạp toán học. 2)PP QUI NẠP TOÁN HỌC Các bước thực hiện: Gồm 2 bước: Bước 1: Bước 2: (SGK) - HS nghe và trả lời. -Yêu cầu HS nhắc lại các bước phải thực hiện khi chứng minh bằng PP QNTH. HĐ3: Dạy ví dụ áp dụng Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi ∗ Ν∈ n thì: 1 + 3 + 5 + .+ (2n-1) = n 2 - HS nghe và thực hiện nhiệm vụ. - HS nhận xét trả lời của bạn. -Bước 1 làm gì? Ghi trả lời lên bảng. -Bước 2 làm gì? Ghi trả lời lên bảng. -Với n=k >1 ta có mệnh đề nào? -Với n=k +1 ta có mệnh đề nào? Đã đúng chưa? -Nhận xét, kết luận và hoàn chỉnh lời giải chi tiết. ( Bài giải chi tiết) HĐ4: Chứng minh m ệnh đ ề chứa biến dạng Q(n) đúng với mọi ∗ Ν∈ n , n p ≥ . 3) Chú ý: (SGK) - Giao nhiệm vụ cho học sinh giải bài tập ở ví dụ 2. Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi ∗ Ν∈ n , n 3 ≥ thì: 3 n > 8n - HS nghe và thực hiện nhiệm vụ. - HS ghi bài giải lên bảng. - HS nhận xét trả lời của bạn. -Yêu cầu HS nhắc lại các bước phải thực hiện như trong chú ý. -Bước 1 làm gì? Ghi trả lời lên bảng. -Bước 2 làm gì? Ghi trả lời lên bảng. -Nhận xét, kết luận và hoàn chỉnh lời giải chi tiết. ( Bài giải chi tiết) HĐ5:Củng cố toàn bài. - HS nghe và trả lời. -Em hãy cho biết bài học vừa rồi có những nội dung chính là gì? - Khi nào ta áp dụng phương pháp qui nạp toán học? - Phải thực hiện những việc gì khi áp dụng phương pháp QNTH? -Bài tập về nhà: Làm các bài 1, 2, 3, 4, 5 (SGK tr 82,83) v à đọc thêm mục “Bạn có bi ết” ở SGK(tr 83). §2. §3. §4. §1. §1. Hoạt động 1: a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) ∀n∈N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ < n +100 ” và Q(n): “ 3 n > n ” với n∈N* 2 n Xét hai mệnh đề chứa biến: Trả lời: P(n): “ 3 n 2 n < n + 100 ” a) n = 1 : 3 < 101 (Đ) n = 2 : 9 < 102 (Đ) n = 3 : 27 < 103 (Đ) n = 4 : 81 < 104 (Đ) n = 5 : 243 < 105 (S) b) ∀n∈N* thì P(n) sai, vì khi n = 5 thì P(5) sai . Q(n): “ > n ” a) n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ) b) Q(n) có đúng với ∀n∈N* không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n . §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Bước3 : Chứng minh rằng với n∈N* thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n 2 (1) Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 1 2 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = S n . Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: S k = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k 2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh : Ví dụ 1: II. Ví dụ áp dụng : S k+1 =1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1) 2 Thật vậy: S k+1 = S k + [2(k + 1) – 1] = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*. 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 25 = 5 2 = 1 2 + 3 + 5 + 7 + 9 n + .+ (2n – 1) = n 2 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N* Chứng minh rằng với n∈N* thì n 3 – n chia hết cho 3. Giải : Đặt A n = n 3 – n . 1) Với n = 1, ta có : A 1 = 0 … 3 2) Giả sử với n = k ≥ 1, ta có: A k = (k 3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh A k+1 . 3 Thật vậy: A k+1 = (k+1) 3 - (k+1) = k 3 +3k 2 +3k +1- k -1 = (k 3 - k) +3(k 2 +k) = A k + 3(k 2 +k) A k … 3 và 3(k 2 +k) . 3 nên A k+1 … 3 . Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi n∈N*. Ví dụ 2: Hoạt động 2: (Củng cố) Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì : • Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p . • Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p . • Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . [...]...Dặn dò: 1/ Nhớ học bài 2/ Làm Hoạt động 2/ 81 và BT 1, 2 trang 82 SGK 3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ” TRƯỜNG THPT Trung Giã BÀI TOÁN THỨ NHẤT 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 25 = 5 2 = 1 2 + 3 + 5 + 7 + 9 n + .+ (2n – 1) = n 2 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N Bước 1 : Bước 2 : Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0 Giả thuyết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 0 (hay n = k ≥ p). Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp quy nạp : (hay n = p) (hay n ≥ p, p∈N*) PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 (*) Giải : 1) Khi : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2 2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2 n n n n Ta sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) khi n = k + 1 + [2(k + 1) – 1] k 2 + 2k + 2 – 1 = (k + 1) 2 Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .1 1 hay 1 = 1. (*) đúng k k 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) = n = k ≥ 1 : n = 1 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n 2 Ví dụ 1. 1 k k 2 BÀI TOÁN THỨ HAI 1 1 + 2 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 3 6 10 + 2 + 3 + 4 n + .+ n n ( ) = +n. n 1 2 4.5 2 = 2.3 2 = 3.4 2 = 1.2 2 = .(n + 1) 2 .3 1.2 3 .4 4.5 Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức : Giải : 1) Khi : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + Ta sẽ chứng minh (*) đúng : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k khi n = k + 1 + (k + 1) Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 hay 1 = 1. (*) đúng 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k = n = k ≥ 1: n = 1 n(n 1) (*) 2 + = ( 1) 2 + = ( 1) 2 + = (k 1)[(k 1) 1] 2 + + + = k(k 1) 2 + + (k + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n Ví dụ 2. n n n 1 1 1 n n nk k k 1 k k(k 1) 2 + 2 + 4 + 6 + 8 + . + 2n = n(n + 1) (n + 1)n BÀI TOÁN THỨ BA Bài tập về nhà : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta có đẳng thức :