Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN
-
Ch 1: PH NG PHÁP QUY N P TOÁN H C I- LÝ THUY T:
ch ng minh m t m nh úng v i m i n∈ *b ng ph ng pháp quy n p toán h c, ta th c hi n b c sau:
B c 1: Ki m tra m nh úng v i n=1
B c 2: Gi s m nh úng v i n=k≥1(gi thi t quy n p)
B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+1
Chú ý:Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n≥ p ( p s t nhiên) thu t tốn là:
B c 1: Ki m tra m nh úng v i n= p
B c 2: Gi s m nh úng v i n= p≥1(gi thi t quy n p)
B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+1
II- BÀI T P MINH H A:
D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n∈N*thì ( )
1 + + + + 2n−1 =n (1)
Bài gi i:
Ki m tra n=1: m nh (1) tr thành: 1= =1 ( úng) Gi s m nh (1) dúng n=k≥1, t c là:
( )
1
k
S = + + + + k− =k (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh (1) úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
( ) ( ) ( )2
1 2 1
k
S + = + + + + k− + k+ − = k+
Th t v y: Sk+1=Sk + 2(k+1)−1 =k2+2k+ =1 (k+1)2 V y m nh (1) úng v i m i n∈ *
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n∈ *thì (3 1) (3 1)
n n
n +
+ + + + − = (2)
Bài gi i:
Ki m tra n=1: m nh (2) tr thành 2=2 ( úng) Gi s m nh (2) dúng n=k≥1, t c là:
( ) (3 1)
2
2
k
k k
S = + + + + k− = + (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh (2) úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
2 3 1
2
k
k k
S + = + + + + k− + k+ − = + + +
Th t v y: ( ) ( ) ( )
2
3
3 1 1
2
k k
k k k k
(2)
( ) ( ) ( )
3
1 1
3
2
k k
k k
+ +
+ + +
= =
V y m nh (1) úng v i m i n∈ *
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n≥2thì: 3n >3n+1
Bài gi i:
Ki m tra v i n=2 : 9>7 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k (k ≥2), t c là: 3k >3k+1
Ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh b t ng th c:
( )
1
3k+ >3 k+1 +1
Th t v y: 3k >3k+ ⇔1 3k+1>9k+3⇔3k+1>3k+ +3 6k+ −1 ⇔3k+1>3(k+1)+ +1 6k−1
V i k≥2, ó 6k− >1 nên: 3k+1>3(k+1)+1 V y 3n >3n+1 v i m i n≥2,n∈N*
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n≥3ta có: 3n >n2+4n+5
Bài gi i:
Ki m tra v i n=3 : 27>26 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k≥3, ngh a là: 3k >k2+4k+5 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
( )2 ( )
1
3k+ > k+1 +4 k+1 +5 Th t v y:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1
3 3 12 15 4 5
3
k k k
k
k k k k k k k k k
k k k k
+ +
+
> + + ⇔ > + + ⇔ > + + + + + + + +
⇔ > + + + + + + +
V i k≥3, ó 2k2+6k+5nên: 3k+1>(k+1)2+4(k+1)+5 V y: 3n >n2+4n+5 v i n≥3
Bài t p 5: V i giá tr c a s nguyên d ng n ta có: n > n+ n
Bài gi i:
d) n > n+ n
Ta th v i n=1: 3>2 7+ (Sai), n=2 : 9>4 14+ (Sai), n=3 : 27> +8 21 (Sai) : 81 16 28
n= > + ( úng), n=5 : 243>32 35+ ( úng)
D oán: n > n+ n ∀ ≥n Ch ng minh b ng qui n p toán h c Ki m tra v i n=4 : 81 16> +28 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k≥4, ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v in=k+1, t c c n ch ng minh:
( )
k k
k
+ +
> + +
Th t v y: 3k >2k +7k ⇔3k+1>3 2( k +7k)=3.2k +21k
Xét ( )
(3)T (1) (2) suy ra: k k ( ) k
+ +
> + +
V y: n > n+ n ∀ ≥n
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n>1, ta có: 1 13
1 2 24
n+ +n+ + + n > (1)
Bài gi i:
Ki m tra (1) v i n=2: 1 13
3+4 =12 > 24 ( úng)
Gi s (1) úng v i n=k >1, t c là: 1 13
1 2 24
k
S
k k k
= + + + >
+ + (gi thi t quy n p)
C n c/m (1) úng v i n=k+1, t c c n c/m:
( )
1
1 1 1 13
2 2 24
k
S
k k k k k
+ = + + + + + >
+ + + +
Th t v y:
( )
1
1 1 1
2 2
k
S
k k k k k
+ = + + + + +
+ + + +
= 1 1 1
1 2 2
k+ +k+ + k+ + + k + k+ + k+ −k+
= Sk +
1 1
2k+1+2k+2−k+1> 13 24+
1 1
2k+1+2k+2−k+1
( ) ( )
( )( )
2 2
13
24 2
k k k
k k
+ + + − +
> +
+ +
( )( )
13
24 k 2k
> +
+ + >
13
24 (k >1)
V y 1 13
1 2 24
n+ +n+ + + n > úng v i m i n>1
D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n∈ * n3−n chia h t cho
Bài gi i:
t An =n3−n
Ki m tra v i n=1, A1=0 ( úng)
Gi s m nh An úng n=k ≥1, t c là: Ak =k3−k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh m nh :
( )3 ( )
1 1
k
A+ = k+ − k+
Th t v y: ( )3 ( )
1 1 3 1
k
A+ = k+ − k+ =k + k + k+ −k−
( ) ( ) ( )
3 k 3
k k k k A k k
= − + + = + +
V y n3−n v i m i n∈ *
(4)Bài gi i:
t An =n7−n
B1: Ki m tra v i n=1:A1=0 ( úng)
B2: Gi s m nh Ak úng n=k≥1, t c là:
7
7
k
A =k −k (gi thi t quy n p) B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh m nh :
( )7 ( )
1 1
k
A+ = k+ − k+
Th t v y:
( ) ( )
( ) ( )
7
1
7
1 21 35 21 21 1
7 5
k
A k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ = + − + = + + + + + + + − −
= − + + + + + +
V y n7−n v i m i n∈ *
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n∈ * 7n−1 chia h t cho
Bài gi i:
t An =7n−1
Ki m tra v i n=1:A1 =6 ( úng)
Gi s m nh Ak úng n=k ≥1, t c là: Ak =7k −1 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh: Ak+1 =7k+1−1
Th t v y: 1 7( 1) 6
k k
k
A+ = + − = − +
V y 7n−1 v i m i n∈ *
M T S BÀI TOÁN Bài t p 5: Cho t ng
( )( )
1 1
1.3 3.5 5.7 2
n
S
n n
= + + + +
− +
a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d ốn cơng th c tính Sn ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p Bài gi i:
a) 1 1, 2 1 2, 3 3, 4
1.3 3 3.5 5 5.7 7 7.9
S = = S = + = S = + = S = + =
b) T k t qu câu a) ta d oán:
2
n
n S
n
=
+ (1) Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng
pháp quy n p
Ki m tra v i n=1: 1
S = ( úng)
Gi s bi u th c (1) úng v i n=k≥1, t c là:
2
k
k S
k
= +
C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
( )
1
1
2 1
k
k S
k
+
+ =
(5)Th t v y:
( ) ( ) ( )( )
1
1
2 1 1 2
k k k
S S S
k k k k
+ = + = +
+ − + + + +
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2
1
1
2 2 2 2
k k
k k k
k k k k k k k
+ +
+ +
= + = =
+ + + + + + +
( )
1
2 1
k k
+ =
+ +
V y
2
n
n S
n
=
+ ( )
*
n
∀ ∈
Bài t p 5: Gi s x x1, 2, xn R
+
∈ x x1 xn =1 Ch ng minh x1+x2+ +xn ≥n Bài gi i:
V i n=1:x1 =1 M nh úng Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1)
( )
1 k k *
x x x x k x x x x
⇔ + + + + ≥ ∨ =
N u v i m i xk =1 hi n nhiên : x1+x2+ + xk +xk+1≥k+1
N u k+1 s có nh t m t s l n h n 1, t ph i có s nh h n Khơng gi m tính t ng qt , gi s xk >1và xk+1<1, ó ta có:
(1−xk+1)(xk −1)>0⇔ xk +xk+1 > +1 x xk k+1 ( )1
Do ó: x1+x2+ +xk +xk+1>x1+x2+ +xk−1+x xk k+1+1 ( )2 Theo gi thi t quy n p , ta suy t k s v ph i:
( ) ( )
1 k k k
x +x + +x − + x x + ≥k
T (2) (3) suy : x1+x2+ +xk +xk+1 >k+1
Bài t p 5: Ch ng minh :
2
n
n n
a +b a+b
≥ v i : a≥0, b≥0, n∈ *
Bài gi i:
V i n=1 M nh úng
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ( )1
2
k
k k
a +b a+b
⇔ ≥
Ta ph i ch ng minh :
1
1
2
k
k k
a + +b + a+b +
≥
Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i
a+b
, ta có :
1
2 2 2
k k
k k
a +b a+b a+b a+b a+b +
⇔ ≥ =
( )
1
1
2
4
k
k k k k
a + +a b+ab +b + a+b +
⇔ ≥
(6)Suy ra: ( )
1 1
3
4
k k k k k k
a + +a b+ab +b + a + +b +
≤
So sánh (2) (3) ta c i u ph i ch ng minh
Bài t p 1: Cho s th c a> −1 Ch ng minh r ng: ( ) ( *)
1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n
Bài gi i:
V i n=1: 1( +a)1≥ +1 a ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ⇔(1+a)k ≥ +1 ka ( )1
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh: (1+a)k+1≥ +1 (k+1)a
Th t v y, ta có: (1+a)k ≥ +1 ka ⇔(1+a)k+1≥(1+a)(1+ka)= +1 (k+1)a+ka2 ≥ +1 (k+1)a
V y ( ) ( *)
1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n ( p.c.m)
Bài t p 1: Cho n s th c x x1, 2, x3, , xn∈(0;1) Ch ng minh r ng (∀ ≥n 2):
(1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn Bài gi i:
V i n=2 : 1( −x1)(1−x2)= −1 x1−x2+x x1 > −1 x1−x2 ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥2): ⇔(1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk ( )1
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
(1 x1)(1 x2) 1( xk)(1 xk+1) x1 x2 xk xk+1
⇔ − − − − > − − − − −
Th t v y, ta có: (1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1
1
1
k k k k
k k k
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
+ +
+
⇔ − − − − > − − − − −
= − − − − − − − − −
= − − − − 1 ( 1 1 2 1 1)
1
1
k k k k k
k
x x x x x x x
x x x
+ + + +
+
+ + + +
> − − − −
V y (1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn (∀ ≥n 2) ( p.c.m)
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a dãy ( )un sau:
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
5
1 4
: :
2 1
1
n n
n n n
n
u u
u u
u u n u
u n
+
+ = = −
= + ≥ +
= ≥
Bài gi i:
a) ( )
( )
1
1 :
2 1
n
n n
u u
u + u n
= −
= + ≥ Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = −1 D oán: un = −1 (∀ ≥n 1)
Ch ng minh b ng qui n p toán h c V i n=1:u1 = −1 ( úng)
(7)Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh: uk+1 = −1 Th t v y, ta có: uk+1=2uk + =1 2.( )−1 + = −1
V y un = −1 (∀ ≥n 1) (y.c.b.t) b) ( )
( )
1
5 :
1
1
n
n n
u u
u
u + n
=
+
= ≥
Ta có:
3
2 3 4
9 2 33
, , ,
8 2 32
u = = + u = + u = = + D oán: ( )
1
2
1
n
n n
u n
+ +
+
= ∀ ≥
Ch ng minh b ng qui n p toán h c
V i 1: 1
4
n= u = ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1):
1
2
2
k
k k
u
+ +
+ =
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh:
2
1
2
2
k
k k
u
+
+ +
+ =
Th t v y, ta có:
1
1
1 1
1
2 2
k k
k
k k k
u u
+ +
+ + +
+ + +
= = + =
V y ( )
1
2
1
n
n n
u n
+ +
+
= ∀ ≥ (y.c.b.t)
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a dãy ( )un sau:
( )
2 2
n
n
u = + + + + n≥
Bài gi i:
Ta có:
2
1 2 cos , 2 2 cos cos 2 cos cos
4 4 8
u = = u = + = + = + = =
D oán: cos 1 ( 1)
2
n n
u = + ∀ ≥n
Ch ng minh b ng qui n p toán h c
V i 1: 1 cos
4
n= u = = ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): cos 1
k k
u = +
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+1, t c c n ch ng minh: 1 cos 2
k k
u + = +
Th t v y, ta có:
1
2 2 2 2
k
u +
+
(8)2
1
2 2 cos 2 cos cos
2 2
k k k k
u + + +
= + = + = =
V y cos ( 1)
2
n n
u = + ∀ ≥n (y.c.b.t)
III- BÀI T P T LUY N:
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n∈ *, ta có ng th c:
1) 1
2 2
n
n n
−
+ + + + = 2) ( ) ( )
2
2 2
1
3
n n
n −
+ + + + − =
3) 1.2+2.5 + +n(3n−1)=n2(n+1) 4) (3 2) (3 1)
2
n n
n −
+ + + + − =
5) 1.4+2.7+3.10 +n(3n+1)=n n( +1)2 6) + + + +(2n−1)=n2 7)
( )2 ( )
1 1
1 1
4 16 1
n n n + − − − − = + + 8)
1
1
2
n
n− −
+ + + + =
9)
( )( )
1 1
1.4 4.7 7.10 3
n
n n n
+ + + + =
− + +
10) 1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)
3
n n n
n n + +
+ + + + + =
Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*:
1) ( 1)
2
n n
n +
+ + + + = 2) ( )
2
3 3
1
4
n n
n +
+ + + + =
3) 2+4 6+ + +2n=n n( +1) 4) ( )
1 + + + + 2n−1 =n
5)
( )
1 1
1.2 2.3 1
n
n n n
+ + + =
+ + 6)
1 1 1
3 3 3
−
+ + + + =
n
n n
7) 22 3
3 3n 4.3n
n n+
+ + + = − 8)
n n
+ −
+ + + + =
9) (3 2) (3 1)
2
n n
n −
+ + + + − = 10) (3 1) (3 1)
2
n n
n +
+ + + + − =
11) 12 22 32 ( 2)( 1)
6
n n n
n + +
+ + + + = 12) 22 42 62 (2 )2 ( 1)(2 1)
3
n n n
n + +
+ + + + =
Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n∈N*:
( )
( )
!
sin cos
n
n n n
n n n
n n n
n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n
−
− +
−
≥ + ∀ ≥ > ∀ ≥ ≥ + ∀ ≥
> + + ∀ ≥ > ∀ ≥ > + ∀ >
+ ≤ ∀ ≥ > + ∀ ≥
Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s o c nh , ,a b c v i m i s t nhiên n≥ , ta có b t ng th c : bn+cn ≤an
(9)
n n
n n n
n n n
n n n
+
> + > +
> + + > +
Bài t p 6: Ch ng minh r ng s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh ( 3)
n n−
Bài t p 7: Cho t ng
( )
1 1
1.2 2.3 3.4
n
S
n n
= + + + +
+ , v i n∈N*
a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d ốn cơng th c tính Sn ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p
Bài t p 8: Cho t ng
( )( )
1 1
1.5 5.9 9.13 4
n
S
n n
= + + + +
− + , v i n∈ *
a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d ốn cơng th c tính Sn ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a , , an th a − <ai ≤ (i = ,n)
Ch ng minh r ng: ∀ ∈n * ta có:
( +a )( +a ) ( +an)≥ +a +a + +an
Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i s th c a, a , a , , an (∀ ∈n *), ta có:
n n
a +a + +a ≤ a + a + + a
Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀ ∈n N*:
n n n n n
n n n n n n
n +
− + +
+ − + + −
n n
n n n n
n n n
n n n
− +
+ − − −
+ − +
+ − + +
Bài t p 12: V i giá tr c a s nguyên d ng n ta có:
n n n
n n n n n
+
> + > + > + +
Bài t p 13: Cmr s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh (n≥4) ( 3)
n n−
Bài t p 14: Xác nh công th c t ng quát un c a dãy ( )un sau:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
2
1
1
: : :
1
5
1
1,
: :
5
n n n n
n
n n n n
n
n n
n n n n n
u
u u
u u u u
u n
u u n u u n
u
u u u
u u
u u u n u u n
+
+ +
+ + − +
=
= =
= ≥
= + ≥ = ≥
+
= − = =
= − ≥ = + ≥
(10)( )
1
1
5 5n 5.3n 6.2n 2n
n n n n n
u n u u u u n
n
− −