- Phương trình bậc hai có chứa tham số và các bài toán lien quan đến định lí Vi-ét. - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG TUYỂN SINH LỚP 10 I.LÍ THUYẾT:
1 Bài tốn biểu thức đại số: - Các phép toán thức.
- Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Rút gọn biểu thức
- Chứng minh đẳng thức
- Tìm giá trị biểu thức biến,… 2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:
- Đường thẳng y = ax + b parabol y = ax2.
- Giải hệ phương trình bậc hai ẩn khơng có tham số phương pháp phương pháp cộng đại số
- Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình
3 Phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai, định lí Vi-ét: -.Giải phương trình bậc hai
- Phương trình bậc hai có chứa tham số tốn lien quan đến định lí Vi-ét - Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm hai số biết tổng tích
- Phương trình quy phương trình bậc hai 4 Hình học:
- Các tốn chứng minh: Chứng minh tứ giác nội tiếp; chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn; …
- Các tốn tính tốn: Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích tam giác, tứ giác,…
II BÀI TẬP:
1 Bài tốn biểu thức đại số: Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
a) A 45 20
b)
2 27
3 12
B
Hướng dẫn giải:
a) A 45 20 5.9 5.4 A3 5
b)
2 27
3 12
B
3 3
3 12
3
3 12
3 12 3 123 * Bài tập vận dụng:
Câu 1: Thực phép tính: a)
3
80 49
4 7
b)
1
1
a a
a a
(2)Câu 2: Thực phép tính: a)
1
80 20 45
4
b)
1
x x x
x x
Câu 3: a) Tính giá trị biểu thức: 36.81
b) Rút gọn biểu thức: 20 45 18 72 Câu 4: a) Rút gọn: A2 3 12 75
b) Rút gọn biểu thức:
4
4 2
x x
B
x x x
Câu 5: Rút gọn biểu thức: a) A 18
b)
2 10 10
1 5
B
Câu 6: Rút gọn biểu thức: a) A2 12 27 3
b)
1
a a a
B
a a
( với a > )
Câu 7: a) Tính giá trị biểu thức: A3 80 45
b) Rút gọn biểu thức:
4
x x x
B
x x
(x > 0) Câu 8: Rút gọn biểu thức:
a) M 2 8 18
b)
1
:
a a
N
a
a a
a0;a1 Câu 9: Rút gọn biểu thức:
a) A 45 20 5
b)
2
2
a a a
B
a a
a0;a4 Câu 10:Rút gọn biểu thức
a) A 12 27 48
b)
1 : x y y x B
xy x y
(x0;y0;xy)
2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình: Ví dụ 1: a) Giải hệ phương trình:
2
3
x y
x y
b) Cho hàm số
2
1
y x
(3)Hướng dẫn giải:
y =
2x + y = y =
a)
3 = -1
3x + 4y = -1 = -1
y = x =
5 = -5 y =
* Vậy hệ pt cho có nghiệm nhất: x ; y ;
x x
x x x x
x x
b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):
2
1
4
2x x x x
4 32 36 x x
từ (P) 2 y y
Vậy : Tọa độ giao điểm (P) (d)
9
3; ; B(-1; )
2
A
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
kx y I x y
a) Giải hệ phương trình (I) với k =
b) Với giá trị k hệ phương trình (I) có nghiệm nhất, vơ nghiệm? Hướng dẫn giải:
a) Thay k = vào hệ (I) ta được:
2 x y x y
3 2
1 1
x x x
x y y y
Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y)=( 2; -1)
b) * Hệ phương trình (I) có nghiệm khi: ' ' a b a b 1 1 k k
* Hệ phương trình (I) vơ nghiệm khi: ' ' '
a b c
a b c
1
1 1
k
k1 *Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho hệ phương trình: mx y I x y
a) Giải hệ phương trình (I) với m =
(4)Câu 2: a) Giải hệ phương trình:
2
3 x y
x y
b) Tìm m hệ phương trình
2
3 mx y
mx y
vô nghiệm.
Câu 3: 1) Giải hệ phương trình:
2
2 x y
x y
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + a +
parabol (P):
2
1
y x
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm giá trị a để đường thẳng (d) qua A(-1;3)
Câu 4: a) Giải hệ phương trình:
2
4 x y x y
b) Cho đường thẳng (d): y = x + b Tìm b biết đường thẳng (d) qua điểm A(1;2)
Câu 5: a) Giải hệ phương trình:
3
2
x y
x y
b) Cho parabol (P): y2x2 đường thẳng (d): y = 3x – Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ
Câu 6: a) Giải hệ phương trình:
2
8 x y x y
b) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số qua điểm A(-2;8) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm
Câu 7: a) Giải hệ phương trình:
4
2
x y x y
b) Cho hàm số
2
1
y x
có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = x + 2m Vẽ đồ thị (P) Tìm tất giá trị m cho (d) cắt (P) điểm có hồnh độ -1
Câu 8: a) Giải hệ phương trình:
2
5 x y x y
b) Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = 2x + Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính
Câu 9: a) Giải hệ phương trình:
3
2
x y
x y
b) Cho (P): y = x2 (d): y = -x + Vẽ (P) tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính
Câu 10: Cho parabol (P) : 2 x
y
(5)a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) phép tinh 3 Phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai, định lí Vi-ét: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2(m 3)x 3m 0 (x ẩn số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Gọi x , x1 hai nghiệm phương trình Tìm m để:
2
1 2
x x x x 9
Hướng dẫn giải:
a) (a 1 ; b m 3 ;c3m)
Ta có : b2 4ac (m 3) 1 3m m2 6m 12m m2 6m (m 3) 20; m
Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m
b) Ta có :
b
S x x m
a
c
P x x 3m
a
c) Ta có : x12x22 x x1 9
2
1 2
x x x x
2
1 2
2
1 2
(x x ) 2x x x x (x x ) 3x x
Thay x1x2 m 3 x x1 3mvào
2
1 2
(x x ) 3x x
được:
2
(m 3) 3m
(m 3)2 9m 9
m2 6m 9m 9 m23m 0 Giải ta được: m0 ; m3 Vậy với m = ; m = -3 x12x22 x x1 9
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + mx – 35 = có nghiệm x 1=
a) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 tìm giá trị m phương trình
b) Lập phương trình có hai nghiệm hai số - x1 – x2
Hướng dẫn giải:
a) x2+ mx – 35 = có nghiệm x 1=
Theo hệ thức Vi-ét có : x1 + x2 = -m ; x1.x2 = - 35
Nên x2 = - 35: x1 = - 35 : = -5 ; - m = + (-5) =
Vậy x2 = -5 ; m = -
b) – x1 + (- x2) = - + = -2 ; - x1.(-x2) = -7.5 = - 35
Vậy hai số - x1 – x2 nghiệm phương trình x2 + 2x - 35 =
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 a) Giải phương trình với m = -7;
b) Tính giá trị m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = Hướng dẫn giải:
a) Với m = -7 ta có x2 - 6x -7 = 0 Có a-b+c=1+ - 7=0
x1= - 1; x2= kết luận S={-1; 7}
(6)Áp dụng hệ thức Viet có: x1 + x2 = 6; x1.x2 = m
Xét
1 2
1 2
x x 6
x x 4
giải x1=5, x2=1 m = 5(TMĐK m < 9)
Vậy m =5 pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 =4 *Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho phương trình : x2 + 4x -2m – = ( m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình với m =
c) Tìm giá trị m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : 2x135x x12 25x x1 222x23284
Câu 2: Cho phương trình : x2 + (4m+1)x +2(m – 4) = ( m tham số) a) Giải phương trình với m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2 65 x x Câu 3: Cho phương trình : 2x2 - 6x +m = (1) ( m tham số)
a) Giải phương trình (1) với m =
b) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 8x x12 22 12x x1 216x12x22
Câu 4: Giải phương trình : 2x2 -3x -2 = 0.
Cho phương trình x2 – 2x + m – = (1), m tham số.
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -2 Khi tìm nghiệm cịn lại phương trình
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x x1 23 x x1 2316 0
Câu 5: Cho phương trình x2 -3x + m + = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
3 x x
Câu 6: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + 2m – = Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2 2 x x
Câu 7: Cho phương trình x2 - 2x + 2m - = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m = -
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
c) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2 2
1 2 2 x x x x x x
Câu 8: Cho phương trình x2 + 2( m – 1)x + - 2m = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
1 2 2
x x x x x x
Câu 9: Cho phương trình x2 + 4x + m + = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =
(7)c) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
1
2
1
3
2
x x
x x
Câu 10: Cho phương trình x2 – 2mx - 4m - = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m = -
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để:
1
1 33
1 762019
2x m x x m
4 Hình học:
Ví dụ 1: Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q cho I thuộc cung AQ Gọi C giao điểm hai tia AI BQ; H giao điểm hai dây AQ BI
a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp b) Chứng minh: CI AI = HI BI
c) Biết AB = 2R Tính giá trị biểu thức: M = AI AC+ BQ BC theo R Hướng dẫn giải:
Vẽ hình:
a) Ta có: AIB AQB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
⇒ CIH CQH 900
Xét tứ giác CIHQ có CIH CQH 900900 1800
⇒ tứ giác CIHQ nội tiếp b) Xét ∆AHI và ∆BCI có: AIH BIC900
IAH IBC( chắn cung IQ) AHIBCI(g – g)
AI HI
CI AI HI BI BI CI
c) Ta có: M = AI AC+BQ BC = AC(AC – IC)+BQ(BQ +QC) =AC2- AC IC +BQ2+ BQ QC
= AQ2+QC2- AC IC+ BQ2+ BQ QC
=( AQ2+ BQ2)+ QC ( QC + BQ) – AC.IC
= AB2+ QC BC- AC IC
Tứ giác AIBQ nội tiếp (O) ⇒CIQ CBA (cùng phụ với AIQ) Xét ∆CIQ và ∆CBAcó:
ACB: góc chung CIQ CBA
Suy ∆CIQ ∽∆CBA (g – g)
IC QC
QC BC AC IC BC AC
QC BC AC IC 0
Suy ra: M = AB2=(2 R)2=4 R2
(8)đường tròn (O) hai điểm D E ( D nằm C E; đường thẳng cắt đoạn thẳng OB) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE
a) Chứng minh: CA2 CD CE b) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp
c) Đoạn thẳng CB cắt đường trịn (O) K Tính số đo góc AOK diện tích hình quạt AOK theo R
d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh: O trung điểm đoạn thẳng MN
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh CDA CAE (g-g)
CD CA CA CE
CA2 CD CE b) Chứng minhCHO 900 Xét tứ giác AOHC có : CHO 900 ( cmt)
CAO 900( T/c tiếp tuyến) CHO CAO 1800
Tứ giác AOHC nội tiếp ( tổng hai góc đối diện 1800) c) SđAOK 900
SquạtAOK =
2 90
360
R R
( đvdt)
d) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB I cắt cạnh BD F Vì tứ giác AOHC nội tiếp (cmt)
HAO HCO
Mà HEI HCO (So le trong, EF//MN) HAO HEI
Hay IAH IEH
tứ giác AHIE nội tiếp ( đỉnh kề nhìn cạnh HI góc nhau) IHEIAE
Mà IAE BDE (2 góc nội tiếp chắn cung BE)
IHEBDE
Mà góc vị trí đồng vị HI // BD
Chứng minh I trung điểm EF Xét BMO có IF // OM (EF//MM)
IF BI
OM BO (1) (Hệ Talet) Xét BNO có IE // ON (EF//MM)
IE BI
ON BO (2) (Hệ Talet)
x
F
I
K
N M
H
E D
O
A B
(9)Từ (1) (2) suy ra:
IF IE OM ON Mà IE = IF (I trung điểm EF) OM = ON
Mà O MN
O trung điểm đoạn thẳng MN
*Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho điểm M nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB ( M khác A B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax cắt tia BM I Phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E cắt tia AM F, tia BE cắt Ax H cắt AM K
a) Chứng minh EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AI2 = IM.IB.
c) Chứng minh tam giác BAF cân
Câu 2: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm thuộc đoạn OA Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax D By C a) Chứng minh: AMNBMC.
b) Chứng minh: ANM BCM .
c) DN cắt AM E CN cắt MB F Chứng minh: EF Ax.
Câu 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O;6cm ) Kẻ đường cao AD tam giác ABC Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B xuống đường kính A A’.
a) Tính diện tích hình trịn (O;6cm )
b) Chứng minh tứ giác ABDE tứ giác nội tiếp
c) Kéo dài DE cắt AC F Tính DF biết DC = 6cm; DA = 8cm
Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung AC ( M khác A, C điểm AC ); BM cắt AC H Gọi K chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB
a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác góc MCK
c) Kẻ CP vng góc với BM ( P BM) đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh ME = 2CP
Câu 5: Cho đường trịn tâm O có đường kính AB C điểm thuộc đường tròn tâm O ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây cung BC ( D khác B, C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC E, tia AC cắt tia BE tia điểm F Chứng minh:
a) Tứ giác FCDE nội tiếp
b) Chứng minh DA.DA = DB DC