TÀI LIỆU ÔN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM 2019-2020

- Phương trình bậc hai có chứa tham số và các bài toán lien quan đến định lí Vi-ét. - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương[r]

(1)

ĐỀ CƯƠNG TUYỂN SINH LỚP 10 I.LÍ THUYẾT:

1 Bài tốn biểu thức đại số: - Các phép toán thức.

- Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Rút gọn biểu thức

- Chứng minh đẳng thức

- Tìm giá trị biểu thức biến,… 2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:

- Đường thẳng y = ax + b parabol y = ax2.

- Giải hệ phương trình bậc hai ẩn khơng có tham số phương pháp phương pháp cộng đại số

- Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình

3 Phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai, định lí Vi-ét: -.Giải phương trình bậc hai

- Phương trình bậc hai có chứa tham số tốn lien quan đến định lí Vi-ét - Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

- Tìm hai số biết tổng tích

- Phương trình quy phương trình bậc hai 4 Hình học:

- Các tốn chứng minh: Chứng minh tứ giác nội tiếp; chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn; …

- Các tốn tính tốn: Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích tam giác, tứ giác,…

II BÀI TẬP:

1 Bài tốn biểu thức đại số: Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

a) A 45 20

b)





2 27

3 12

B   

 Hướng dẫn giải:

a) A 45 20  5.9 5.4 A3 5 

b)





2 27

3 12

B   



3 3

3 12



  







3

3 12



  

  3





* Bài tập vận dụng:

Câu 1: Thực phép tính: a)

3

80 49

4  7

b)





1

a a



(2)

Câu 2: Thực phép tính: a)

1

80 20 45

4   

b)

1

x x x

x x

 

 

Câu 3: a) Tính giá trị biểu thức: 36.81

b) Rút gọn biểu thức: 20 45 18  72 Câu 4: a) Rút gọn: A2 3 12  75

b) Rút gọn biểu thức:

4

4 2

x x

B

x x x



  

  

Câu 5: Rút gọn biểu thức: a) A 18

b)

2 10 10

1 5

B   

 

Câu 6: Rút gọn biểu thức: a) A2 12 27 3

b)

1

a a a

B

a a

 

 

 ( với a > )

Câu 7: a) Tính giá trị biểu thức: A3 80 45

b) Rút gọn biểu thức:

4

x x x

B

x x

 

 

 (x > 0) Câu 8: Rút gọn biểu thức:

a) M 2 8  18

b)

1

:

a a

N

a

a a

 







a



a) A 45 20 5

b)

2

a a a

B

a a

 

 

 



a



a) A 12 27 48

b)

1 : x y y x B

xy x y

 

 (x0;y0;xy)

2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình: Ví dụ 1: a) Giải hệ phương trình:

2

3

x y

x y

  



  

b) Cho hàm số

2

1

y x

(3)

Hướng dẫn giải:







 



y =

2x + y = y =

a)

3 = -1

3x + 4y = -1 = -1

y = x =

5 = -5 y =

* Vậy hệ pt cho có nghiệm nhất: x ; y ;

x x

x x x x

x x

b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):

2

1

4

2x   x x  x 

4 32 36       x x     

 từ (P) 2 y y          

Vậy : Tọa độ giao điểm (P) (d)

9

3; ; B(-1; )

2

A 

 

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

 

kx y

I

x y

a) Giải hệ phương trình (I) với k =

b) Với giá trị k hệ phương trình (I) có nghiệm nhất, vơ nghiệm? Hướng dẫn giải:

a) Thay k = vào hệ (I) ta được:

2 x y x y       

3 2

1 1

x x x

x y y y

  

  

     

    

  

Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y)=( 2; -1)

b) * Hệ phương trình (I) có nghiệm khi: ' ' a b a b 1 1 k k     

* Hệ phương trình (I) vơ nghiệm khi: ' ' '

a b c

a b c

1

1 1

k 

  

 k1 *Bài tập vận dụng:

Câu 1: Cho hệ phương trình:

 

mx y

I

x y

a) Giải hệ phương trình (I) với m =

(4)

Câu 2: a) Giải hệ phương trình:

2

3 x y

x y

  

 

 



b) Tìm m hệ phương trình

2

3 mx y

mx y

  

 

 

 vô nghiệm.

Câu 3: 1) Giải hệ phương trình:

2

2 x y

x y

  



 



2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + a +

parabol (P):

2

1

y x

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm giá trị a để đường thẳng (d) qua A(-1;3)

2

4 x y x y

  



  

b) Cho đường thẳng (d): y = x + b Tìm b biết đường thẳng (d) qua điểm A(1;2)

Câu 5: a) Giải hệ phương trình:

3

2

x y

x y

  



  

b) Cho parabol (P): y2x2 đường thẳng (d): y = 3x – Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ

2

8 x y x y

  



  

b) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số qua điểm A(-2;8) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm

4

2

x y x y

  



  

b) Cho hàm số

2

1

y x

có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = x + 2m Vẽ đồ thị (P) Tìm tất giá trị m cho (d) cắt (P) điểm có hồnh độ -1

2

5 x y x y

  



  

b) Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = 2x + Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính

3

2

x y

x y

 

 

  

b) Cho (P): y = x2 (d): y = -x + Vẽ (P) tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính

Câu 10: Cho parabol (P) : 2 x

y

(5)

a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) phép tinh 3 Phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai, định lí Vi-ét: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2(m 3)x 3m 0   (x ẩn số)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tìm tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Gọi x , x1 hai nghiệm phương trình Tìm m để:

2

1 2

x x  x x 9

a) (a 1 ; b m 3  ;c3m)

Ta có : b2 4ac (m 3)   1  





Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m

b) Ta có :





b

S x x m

a



    

c

P x x 3m

a

  

c) Ta có : x12x22 x x1 9

2

1 2

x x x x

   

2

1 2

2

1 2

(x x ) 2x x x x (x x ) 3x x

    

    Thay x1x2 m 3 x x1 3mvào

2

1 2

(x x ) 3x x

    được:









2

(m 3) 3m

      (m 3)2 9m 9

   

 m2 6m 9m 9    m23m 0 Giải ta được: m0 ; m3 Vậy với m = ; m = -3 x12x22 x x1 9

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + mx – 35 = có nghiệm x 1=

a) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 tìm giá trị m phương trình

b) Lập phương trình có hai nghiệm hai số - x1 – x2

a) x2+ mx – 35 = có nghiệm x 1=

Theo hệ thức Vi-ét có : x1 + x2 = -m ; x1.x2 = - 35

Nên x2 = - 35: x1 = - 35 : = -5 ; - m = + (-5) =

Vậy x2 = -5 ; m = -

b) – x1 + (- x2) = - + = -2 ; - x1.(-x2) = -7.5 = - 35

Vậy hai số - x1 – x2 nghiệm phương trình x2 + 2x - 35 =

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 a) Giải phương trình với m = -7;

b) Tính giá trị m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = Hướng dẫn giải:

a) Với m = -7 ta có x2 - 6x -7 = 0 Có a-b+c=1+ - 7=0

x1= - 1; x2= kết luận S={-1; 7}

(6)

Áp dụng hệ thức Viet có: x1 + x2 = 6; x1.x2 = m

Xét

1 2

x

6

x

4















Vậy m =5 pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 =4 *Bài tập vận dụng:

Câu 1: Cho phương trình : x2 + 4x -2m – = ( m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình với m =

c) Tìm giá trị m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : 2x135x x12 25x x1 222x23284

Câu 2: Cho phương trình : x2 + (4m+1)x +2(m – 4) = ( m tham số) a) Giải phương trình với m =

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:





2 65 x  x  Câu 3: Cho phương trình : 2x2 - 6x +m = (1) ( m tham số)

a) Giải phương trình (1) với m =

b) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 8x x12 22 12x x1 216x12x22

Câu 4: Giải phương trình : 2x2 -3x -2 = 0.

Cho phương trình x2 – 2x + m – = (1), m tham số.

a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -2 Khi tìm nghiệm cịn lại phương trình

b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x x1 23 x x1 2316 0

Câu 5: Cho phương trình x2 -3x + m + = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

3 x x 

Câu 6: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + 2m – = Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2 2 x x 

Câu 7: Cho phương trình x2 - 2x + 2m - = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m = -

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép

c) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:





2 2

1 2 2 x x   x x x x

Câu 8: Cho phương trình x2 + 2( m – 1)x + - 2m = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:





2

1 2 2

x x x x  x x 

Câu 9: Cho phương trình x2 + 4x + m + = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m =

(7)

c) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

1

2

1

3

2

x x

 

 

Câu 10: Cho phương trình x2 – 2mx - 4m - = (1) ( với m tham số) a) Giải phương trình (1) m = -

b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để:





1

1 33

1 762019

2x  m x x  m 

4 Hình học:

Ví dụ 1: Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q cho I thuộc cung AQ Gọi C giao điểm hai tia AI BQ; H giao điểm hai dây AQ BI

a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp b) Chứng minh: CI AI = HI BI

c) Biết AB = 2R Tính giá trị biểu thức: M = AI AC+ BQ BC theo R Hướng dẫn giải:

Vẽ hình:

a) Ta có: AIB AQB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

⇒ CIH CQH  900

Xét tứ giác CIHQ có CIH CQH  900900 1800

⇒ tứ giác CIHQ nội tiếp b) Xét ∆AHI và ∆BCI có: AIH BIC900

IAH IBC( chắn cung IQ)  AHIBCI(g – g)

AI HI

CI AI HI BI BI CI

   

c) Ta có: M = AI AC+BQ BC = AC(AC – IC)+BQ(BQ +QC) =AC2- AC IC +BQ2+ BQ QC

= AQ2+QC2- AC IC+ BQ2+ BQ QC

=( AQ2+ BQ2)+ QC ( QC + BQ) – AC.IC

= AB2+ QC BC- AC IC

Tứ giác AIBQ nội tiếp (O) ⇒CIQ CBA  (cùng phụ với AIQ) Xét ∆CIQ và ∆CBAcó:

ACB: góc chung CIQ CBA 

Suy ∆CIQ ∽∆CBA (g – g)

IC QC

QC BC AC IC BC AC

   

 QC BC AC IC  0

Suy ra: M = AB2=(2 R)2=4 R2

(8)

đường tròn (O) hai điểm D E ( D nằm C E; đường thẳng cắt đoạn thẳng OB) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE

a) Chứng minh: CA2 CD CE b) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp

c) Đoạn thẳng CB cắt đường trịn (O) K Tính số đo góc AOK diện tích hình quạt AOK theo R

d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh: O trung điểm đoạn thẳng MN

a) Chứng minh CDA  CAE (g-g)

CD CA CA CE

 

 CA2 CD CE b) Chứng minhCHO 900 Xét tứ giác AOHC có : CHO 900 ( cmt)

CAO 900( T/c tiếp tuyến)  CHO CAO  1800

 Tứ giác AOHC nội tiếp ( tổng hai góc đối diện 1800) c) SđAOK 900

SquạtAOK =

2 90

360

R R

  



( đvdt)

d) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB I cắt cạnh BD F Vì tứ giác AOHC nội tiếp (cmt)

 HAO HCO 

Mà HEI HCO (So le trong, EF//MN)  HAO HEI 

Hay IAH IEH

 tứ giác AHIE nội tiếp ( đỉnh kề nhìn cạnh HI góc nhau)  IHEIAE

Mà IAE BDE (2 góc nội tiếp chắn cung BE)

 IHEBDE

Mà góc vị trí đồng vị  HI // BD

Chứng minh I trung điểm EF Xét BMO có IF // OM (EF//MM)



IF BI

OM BO (1) (Hệ Talet) Xét BNO có IE // ON (EF//MM)



IE BI

ON BO (2) (Hệ Talet)

x

F

I

K

N M

H

E D

O

A B

(9)

Từ (1) (2) suy ra:

IF IE OM ON Mà IE = IF (I trung điểm EF)  OM = ON

Mà O MN

 O trung điểm đoạn thẳng MN

*Bài tập vận dụng:

Câu 1: Cho điểm M nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB ( M khác A B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax cắt tia BM I Phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E cắt tia AM F, tia BE cắt Ax H cắt AM K

a) Chứng minh EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AI2 = IM.IB.

c) Chứng minh tam giác BAF cân

Câu 2: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm thuộc đoạn OA Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax D By C a) Chứng minh: AMNBMC.

b) Chứng minh: ANM BCM .

c) DN cắt AM E CN cắt MB F Chứng minh: EF Ax.

Câu 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O;6cm ) Kẻ đường cao AD tam giác ABC Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B xuống đường kính A A’.

a) Tính diện tích hình trịn (O;6cm )

b) Chứng minh tứ giác ABDE tứ giác nội tiếp

c) Kéo dài DE cắt AC F Tính DF biết DC = 6cm; DA = 8cm

Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung AC ( M khác A, C điểm AC ); BM cắt AC H Gọi K chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB

a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác góc MCK

c) Kẻ CP vng góc với BM ( P BM) đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh ME = 2CP

Câu 5: Cho đường trịn tâm O có đường kính AB C điểm thuộc đường tròn tâm O ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây cung BC ( D khác B, C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC E, tia AC cắt tia BE tia điểm F Chứng minh:

a) Tứ giác FCDE nội tiếp

b) Chứng minh DA.DA = DB DC