Nguyên hàm tích phân

Nguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phânNguyên hàm tích phân

============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM A LÝ THUYẾT Đạo hàm hàm C'0  x  '   x   1 I VI PHÂN du( x)  u '( x).dx Ví dụ 1: ứng dụng vi phân   ax  b  d  ax  b   a.dx  dx  d (ax  b)  d   a  a       1 x  d x  d ln x   1   dx  x dx   d x 1  1  (với   1 ) 1 dx hay dx  d ln x x x Lưu ‎ý: f ( x).dx  dF ( x) {với F ( x) nguyên hàm f  x  ( F '( x)  f ( x) } Biến F ( x) Biến x II Nguyên hàm 2.1 Định nghĩa  F ( x) gọi nguyên hàm f  x  F '( x)  f ( x) Khi F ( x)  C đgl họ nguyên hàm f  x   Kí hiệu:  Lưu ‎ý:  f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x)  f ( x)dx : đgl nguyên hàm f(x) theo biến x PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lƣu ‎k ý ỹ thuật đổi biến Phần lớn sử dụng vi phân Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2.2 Các phép toán nguyên hàm     f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx  k f ( x)dx  k. f  x dx (với k số) B PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Có hai phƣơng pháp tính ngun hàm – tích phân:  Phƣơng pháp đổi biến  Phƣơng pháp phần BẢNG NGUYÊN HÀM ĐA THỨC – PHÂN THỨC   ax  b  dx  d    d  ax  b   a  a    x dx  x 1 t  1  C   t  dt  C  1  1 Lưu ý: dt  t '.dx {với t hàm t ( x) đó}   dx dt  ln x  C    ln t  C x t MŨ  e x dx  de x  a x dx  da x ln a LƢỢNG GIÁC  sin xdx  d   cos x   cos xdx  d sin x dx dx  d tan x;  d   cot x  cos x sin x  Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  f  u( x) .u '( x).dx   f (u ( x))du ( x)   f t  dt Biến x {với t  u( x) } Biến t Sử dụng vi phân bảng DẠNG TOÁN    x dx  x 1 t  1  C   t  dt  C  1  1 Ví dụ Tìm ngun hàm  dx  x  C x2  3x  C 7   x  ln x   x  C   x    = x x 2x    ( x  3)dx  Để đƣa đáp số câu 3, thực NHÁP: 1 x x 31 1 3 x   2 x  ;+x  ln x ;-7x  -7 +2  2x x x 3  1 2 x  x dấu  ‎là nguyên hàm tương ứng Ví dụ Sử dụng vi phân đổi biến Tìm nguyên hàm 1  (ax  b)dx  a  (ax  b).d (ax  b)  a  tdt  t2 C 2a  (ax  b)2 C 2a (với t  ax  b ) Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  ( x  9) dx   ( x  9) d  x    ( x  1) 4  x  9  C xdx Phân tích: Biểu thức nguyên hàm dạng tích  x  1 biểu thức 6 phức tạp Nên ta nghĩ đến đổi biến x thành biến x+1 Chuyển phức tạp đơn giản cách đổi biến Bg  ( x  1) xdx    x  1  x  1  1 d ( x  1)    x  1   x  1 d  x  1   6  x  1   x  1  8 7 C Lưu ‎ý: x   ax  b   b cách đổi biến thường dùng a 1  x  x  1 dx    x  1  1  x 1 d  x 1    x 1   x 1 d  x 1 3    x  1  x  1     C 4   Bài tập áp dụng Tìm nguyên hàm   x  2   3x   2018 xdx xdx   dx dt  ln x  C    ln t  C x t Ví dụ (Dạng phân thức) dx d  ax  b  ln ax  b  C ax  b a  ax  b  a  dx  x   ln x   C  3x   ln 3x   C dx KỸ THUẬT TÁCH MẪU SỐ Công thức:  dx  ax  b  a ln ax  b  C Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  a.dx  ax  b  ln ax  b  C Bài toán tổng quát P( x)  ax  bdx với P( x) đa thức Phƣơng pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu P( x) c  Q( x)  ax  b ax  b Bài 1.1 Tìm nguyên hàm (Tạo hệ số x tử mẫu giống nhau) x5 ( x  1)  4   dx   1  dx  x  ln x   C x 1  x 1  x5 x  10 (2 x  1)  11  11  dx     1  dx 2x 1 2 x 1  x 1   x  1dx    x  1dx     11  x  ln x   C   2  x 3 3x   3x  2  7dx   3x  2dx   3x  2dx    x  1dx   x  3dx  ??? 3x  3x    x 1 dx   ln 3x   C   3x   3 6x  Bài tập áp dụng 1.1 Tìm nguyên hàm x3  x  1dx  3x  5dx 2x 1 Bài tập áp dụng 1.2 Tìm nguyên hàm ln x   x(ln x  1)dx  x(3ln x  5)dx ln x  ex  x  e x  1.e dx sin x dx  cos x  sin x  cos xdx  2sin x  Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  sin x  sin x dx cos x  Bài toán tổng quát   ax  b  cx  d   ax  ? P( x) dx  bx  c ?  ax  b   ?  cx  d   ax  b  cx  d  Mạnh dạn lấy hai biểu thức mẫu trừ cho biến x Mục tiêu tạo mẫu hàm bậc Như ? phải điền số tương ứng sau  ax  b  cx  d   x  ax  b  cx  d   ?  c  ax  b   a  cx  d  1 a   c     cb  ad cb  ad  cx  d ax  b   ax  b  cx  d  ?  ax  b   ?  cx  d   ax  b  cx  d  Mạnh dạn lấy hai biểu thức mẫu trừ cho số tự Mục tiêu tạo mẫu hàm bậc Như ? phải điền số tương ứng sau x  ax  b  cx  d   d  ax  b   b  cx  d  1 b   d     da  bc da  bc  cx  d ax  b   ax  b  cx  d  Bài 2.1 Tìm nguyên hàm dx  x  1   x  3  1     x  1 x  3  ( x  1)( x  3) dx    x   x  dx  1 x 3 ln x   ln x    C  ln C 4 x 1 Lưu ý: ln A  ln B  ln  AB  ;ln A  ln B  ln dx   x  3   x  1   2x 1 x  3    x 1 ( x  3) dx  A B     dx   x 1 x   1 2x 1 ln x   ln x    C  ln C 7 x3 x x x  x  1   x  1  1  dx   dx   dx     dx 1  x  1 x  1  x  x 1   x  1 x  1 Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  1 ln x   ln x    C  ln x   C  2 Bài tập áp dụng 2.1 Tìm nguyên hàm dx   x  1 x  2   x  1 x  4   x  1 x  3   x  1 x  3  2x dx xdx xdx xdx  5x  Bài toán tổng quát (Phƣơng pháp hữu tỉ hóa) f  u ( x) dx Phƣơng pháp giải  Đặt t  u( x)  t  u ( x)  d  t   du ( x)  2tdt  u '( x)dx  dx   Suy ra: f  u ( x) dx   f (t ) 2tdt 2tdt  u '( x) g  t  2tdt g t  Bài 3.1 Tìm nguyên hàm dx x2 xdx   2x 1 x3  dx 1 x 1  1 Bài giải Đặt t   x   t   x   t  2t   x   (2t  2)dt  dx Suy   1 dx 2t  2   dt     dt  2t  ln t  C t t x2       x   2ln  x   C Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Dạng toán xuất ln x ) Dùng vi phân: dx  d ln x x Tìm nguyên hàm ln x  x 3ln x 1dx x ln x 9ln x  dx  x ln x  dx (Dạng hữu tỷ hóa xuất Đặt t  ln x   t  ln x  ln x  Bài (Dạng toán xuất ex ) Dùng vi phân: e x dx  de x Tìm nguyên hàm e x dx  ex 1 dx   x e 1 dx  x e 2 dx  x e  2e x   e2 x ex 1 dx  x 1 dx Bài (Dạng toán xuất lượng giác) Dùng vi phân cos dx  d sin x ; sin xdx  d   cos x   d cos x Tìm nguyên hàm   2cos x 1 sin xdx Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN sin xdx  3cos x  sin xdx  2cos x sin xdx   3cos x sin x  cos x  dx Lưu ‎ý: sin x  2sin x.cos x sin x   PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Nhận xét:  f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x) Do ta có  F '( x)dx  F ( x)  C (u.v) '  u '.v  v '.u   (uv) ' dx   u '.vdx   v '.udx  uv   vdu   udv  udv  uv   vdu  u ' dx Dạng Xuất tích hai họ hàm khác {trong có hàm ex , hàm lƣợng giác} Đây dấu hiệu dùng phương pháp phần Các hàm dễ tìm nguyên hàm e x ,sin x, cos x,  1 , ưu tiên làm dv cos x sin x  f ( x).e dx   f  x .de x x   udv  f ( x).e x   e x df ( x)  f ( x).e x   e x f '( x ).dx  f ( x) dx   f ( x)d tan x x  f ( x).sin x.dx   f ( x)d ( cos x);  f ( x).cos xdx   f ( x)d sin x;  cos   u.dv Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm  x.e dx   x.de  x.e   e dx  xe  e  C  (3x  1)e dx   (3x  1)de  (3x  1)e   e d 3x  1  (3x  1)   e 3.dx  3x   3e  x e dx   x de  x e   e dx  x e  2 xe dx  Tiếp tục dùng phần x x x x x x x x x x x x x 2 x x x x C x Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  x sin xdx  x cos xdx  xdx ex Lƣu ý: eax b dx  d   cos  ax  b   1 eax b ax b ; sin(ax  b)dx  d   de   d cos(ax  b) … a a a   a  f ( x).ln x.dx   ln x.dF ( x)  F ( x).ln x   F ( x)d ln x  F ( x) ln x   DẠNG F ( x) dx x { ln x  u; dF ( x)  dv với F ( x) nguyên hàm f  x  } Ví dụ 2.1 Tìm ngun hàm  ln x.dx  x ln x   xd ln x  x ln x   dx  x ln x  x  C x {Giải thích: ln x  u; dx  dv x.d ln x  x  ln x  '.dx  x .dx  dx }  x2  x2 x2 x2 x x ln x x x ln xdx  ln xd  ln x  d ln x  ln x  dx   C     2 2 2  2   x  1 ln xdx   ln xd ( x  x ln xdx  x)  ln x dx x2 ln xdx  x   ln( x  1)dx  ln( x  x)dx Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN y y  f  x (H) x O a b Hình phẳng (H) giới hạn đƣờng: y  f ( x), y  0, x  a, x  b (nhƣ hình vẽ f ( x)  0, x   a; b  ) b Diện tích hình phẳng (H): S   f ( x)dx a  ĐỊNH NGHĨA: Hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  F ( x) nguyên hàm f  x   b f ( x)dx  F ( x) |ba  F (b)  F (a) a  Tính chất b    b a  a a f ( x)dx    f ( x)dx b c b a c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (Công thức áp dụng cho tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối) Ví dụ        (2 x  1)dx  x  x |13  32   12   Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Đổi biến:  f u( x) .u '( x)dx   f u( x) du( x) b b a a  u (b) u(a) Từng phần:  b a (Đặt t  u( x) ta phải đổi cận tương ứng) f (t )dt b udv  uv |ba   vdu a NHẬN XÉT: Như tốn tích phân toán nguyên hàm chất cách làm tương tự Ví dụ Tính tích phân 1  x  x  1 dx   (2 x 1)  1  x 1 d  x 1   t  1t dt   e  4 1 (với t  x  ) 1  t6 t5  1 t  t dt     |1    4  10   e x ln xdx   ln xd e x e xdx x2 x2 e2  ln x |1e   d ln x    2 2 e2 x e e2 e2  e2   |1    4 Ví dụ Tính tích phân (Phương pháp hữu tỷ hóa Dấu hiệu nhận biết thấy xuất biểu thức tích phân) A   B   e dx 1 x 1 ln x 9ln x  dx x Bài giải Đặt t   x   t   x   t  2t  x  (2t  1)dt  dx Đổi cận: x   t  2; x   t  3 Suy A  2 3 2t  2 dt     dt   2t  ln t  |32   ln t t  Đặt t  9ln x   t  9ln x   3t dt   9ln x  1 '.dx  18ln x dx x Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  ln xdx t dt  x Đổi cận: x   t  1; x  e  t  e Suy B   1 t3 t e e4  dt  |1  24 24 BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài Tính tích phân ∫ ∫ √ √ ∫ ∫ √ √ ∫ ∫ √ √ √ Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  DIỆN TÍCH  y  f ( x)   Hình phẳng (H) giới hạn  y   x  a; x  b, (a  b)  b Diện tích hình phẳng (H) S( H )   f ( x) dx a Lưu ý: Nếu đề tốn hình phẳng (H) cho khuyết a b ta giải phƣơng trình f ( x)  pt có nghiệm a b ( y  trục hồnh Ox )  THỂ TÍCH  y  f ( x)   Cho hình phẳng (H) giới hạn  y  Xoay hình phẳng (H) quanh trục  x  a; x  b, (a  b)  Ox ta khối tròn xoay (T) Khi thể tích khối tròn xoay (T) b V(T )    f ( x)dx a Ví dụ  y  x2 1  Cho (H) giới hạn  y  Tính diện tích hình phẳng (H)  x  0; x   Bg S( H )   x  1dx Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Đến ta phải xét dấu biểu thức x2  đoạn  0; 2 để phá dấu trị tuyệt đối Ta có đoạn  0; 2 pt: x2 1   x  1 Suy S( H )   x  1dx   x  1dx   (1  x )dx   2 2   x2   x2 ( x  1)dx   x   |0    x  |12 2     y  x  3x   Cho (H) giới hạn  y  Tính diện tích hình phẳng (H) x   Bg Hình phẳng (H) thiếu x  ? nên ta giải pt để tìm thêm cận x  x  Ta có x  3x     Do S( H )   x  3x  dx x  x  Nhận xét: Trên đoạn 1; 2 biểu thức x2  3x  khơng đổi dấu x  3x     Suy S( H )   x  3x  dx     x  3x  dx  2 Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55 ... giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2.2 Các phép toán nguyên hàm     f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx  k f ( x)dx  k. f  x dx (với k số) B PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN... ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  ( x  9) dx   ( x  9) d  x    ( x  1) 4  x  9  C xdx Phân tích: Biểu thức nguyên hàm dạng tích  x  1 biểu thức 6 phức tạp... giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  ln xdx t dt  x Đổi cận: x   t  1; x  e  t  e Suy B   1 t3 t e e4  dt  |1  24 24 BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài Tính tích phân ∫