Chuyên đề 2 : Đạo hàm- nguyên hàm- tích phân potx

Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Chuyên đề : PHẦN : ĐẠO HÀM A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: f ( xo + ∆x ) − f ( xo) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 2) Các quy tắc tính đạo hàm: f ′ ( xo) = lim a) Đạo hàm tổng, hiệu: ( u1 ± u2 ± L ′ ′ ′ ± un ) ′ = u1 ± u2 ± L ± un b) Đạo hàm tích: ( u.v ) ′ = u′.v + u.v′ * Trường hợp đặc biệt: v = k ( k số) ta được: ( k.u ) ′ = k.u′ u ′ u′v − u.v′ c) Đạo hàm thương:   = ( v ≠ 0)  ÷ v v ′ v′ * Trường hợp đặc biệt: u = ta được:   = − ( v ≠ )  ÷ v v 3) Các cơng thức tính đạo hàm: ( u ) ′ = nu n u′ ( n ∈ ¥ * ) ( cot gu ) ′ = − n −1 u′ ( u ≠ kπ ) sin u ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) ( e ) ′ = e u′ ( sin u ) ′ = cos u.u′ ( a )′ = a u ( cos u ) ′ = − sin u.u′ ( ln u ) ′ = u′ ( u > 0) u ( tgu ) ′ = u u u′  π   u ≠ + kπ ÷ cos u   u ln au′ ( < a ≠ 1) ( loga u ) ′ = u′ ( < a ≠ 1; u > ) u ln a Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT B) BÀI TẬP:  Ghi nhớ: Để làm tốn giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức có chứa biểu thức F ( x , y, y′, y′′, y′′′, ) , với y = f ( x ) hàm số cho trước, ta thực bước sau: • Tìm tập xác định hàm số y = f ( x ) • Tính y′, y′′, y′′′,K (có ta phải rút gọn hàm số y = f ( x ) trước, sau tính đạo hàm) • Thay y′, y′′, y′′′,K vừa tìm vào biểu thức F , thực theo yêu cầu toán Bài 1: Cho hàm số y = x ( x − 1) Giải phương trình y + xy′ = Bài 2: Cho hàm số y = x 2e x Chứng minh đẳng thức: xy′ = ( x + ) y Bài 3: Cho hàm số y = cos2 x Chứng minh đẳng thức: y cos x − y′ sin x = y Bài 4: Cho hàm số y = e x sin x Chứng minh rằng: y′ − y′′ + y′′′ = Bài 5: Cho hàm số y = ( x − 1) cos x Hãy tìm giá trị x cho: ( x − 1) ( y + y′′ ) − y′ = Bài 6: Cho hàm số y = cos4 x − sin x a Chứng minh rằng: y′ + sin x = b Giải phương trình y + y′ = Bài 7: Cho hàm số y = ln x Giải bất phương trình y + xy′ − x y′′ ≤ Bài 8: Cho hàm số y = e − x ( x + 1) Tìm giá trị x cho: y + y′+ y′′+ y′′′ − = ( ) x Bài 9: Cho hàm số y = ln e x +    Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT ( ) a Giải phương trình y′ + x + y′′ = b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y′ Bài 10: Cho hàm số y = xe − x Chứng minh bất đẳng thức sau: y + y′′′ − y′ − y′′ > 0, ∀x ∈ ¡ Bài 11: Cho hai hàm số: f ( x ) = cos x cos x ; g ( x ) = a Tính f ′ ( x ) , g′ ( x ) sin x + sin x b Chứng minh rằng: f ′ ( x ) + g′ ( x ) = Bài 12: Cho hàm số y = f ( x ) = tg3x.tg x.tgx Chứng minh rằng: f ′ ( x ) = 3tg 3x − 2tg 2 x − tg x Hội đồng môn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ơn tập TN.THPT PHẦN : NGUN HÀM & TÍCH PHÂN §1 NGUN HÀM: 1) Định nghĩa : Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) F′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b ) ( a, b ) Ghi nhớ : Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) hàm số có dạng F ( x ) + C ( C số) nguyên hàm f ( x ) hàm số có dạng F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) Ta gọi F ( x ) + C họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f ( x ) ký hiệu f ( x ) dx Như vậy: ∫ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C 2) Tính chất: a.TC1: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx; ( k ≠ ) b.TC2:   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx c.TC3: Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C ( a, b ∈ ¡ 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ & a ≠ 0) : ∫ dx = x + C dx = ln ax + b + C ∫ ax + b a xα +1 ∫ x dx = α + + C, ( α ≠ −1) ∫ e dx = e ∫ sin xdx = − cos x + C eax dx = e ax + C ∫ a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin axdx = − a cos ax + C dx π = tgx + C , x ≠ + kπ ∫ cos2 x cos axdx = sin ax + C ∫ a x α x +C 10 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT dx ∫ sin ∫ x dx π = tgx + C , x ≠ + kπ ax a ∫ cos = − cot gx + C , x ≠ kπ dx = ln x + C , ( x ≠ ) x dx = − cot gax + C , x ≠ kπ ax a ∫ sin 4) Bài tập: Ghi nhớ: − Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm hàm số thành phần − Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng tích (thương) nguyên hàm hàm số thành phần − Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm 1 x + sin x ; f ( x ) = cos2 x a Chứng minh F ( x ) nguyên hàm f ( x ) Bài 1: Cho hai hàm số F ( x ) = π  ÷= 4 b Tìm ngun hàm G ( x ) biết G  cos x + cos x + cos 3x cos4 x − sin x Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) biết F ( π ) = π Bài 2: Cho hàm số f ( x ) = Bài 3: Cho hàm số f ( x ) = cos x cos x Tìm hàm số G ( x ) biết G′′ ( x ) = f ( x ) G ( ) = − 29 π  ; G  ÷= − 144  12  32 Bài 4: Cho hàm số f ( x ) = sin x cos x cos x cos x a Giải phương trình f ′′ ( x ) + f ( x ) = b Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số  π  F ( x ) qua điểm M  − ; ÷   11 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ơn tập TN.THPT sin x nguyên hàm f ( x ) Hãy tìm + cos x giá trị x cho f ( x ) − f ′ ( x ) = Bài 5: Biết hàm số F ( x ) = Bài 6: Cho hàm số y = xe x a Tính y′ y′ ( ) x b Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 2007 ) e x Bài 7: Cho hàm số f ( x ) = e sin x Chứng minh hàm số f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Bài 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + 3x + 3x − ,biết x2 + 2x + 1 F ( 1) = (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN : b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) 1) Định nghĩa: a b a = F ( b) − F ( a) 2) Tính chất: b a a TC1: a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b a b TC2: b a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0) b b a c TC3: b a a   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b e TC5: f TC6: b a d TC4: c a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b ∫ f ( x ) dx ≥ a Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] 12 b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT b g TC7: Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a; b ] m ( b − a ) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ∫ a 3) Bài tập:  Ghi nhớ: − Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số biết nguyên hàm − Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu − Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính tích phân sau đây: π ∫ a cos x cos xdx π b ∫ cos x + sin x dx π x2 + x + dx c ∫ x +2 −1 e2 x + ln x dx d ∫ x x hàm số F ( x ) = ln x + x +1 a Chứng minh F ( x ) nguyên hàm f ( x ) Bài 2: Cho hàm số f ( x ) = b Áp dụng câu a tính xdx +1 ∫x Bài 3: Cho hàm số f ( x ) = x ln x − x ln x a Tính f ′ ( x ) 13 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT e ∫ b Áp dụng câu a tính ln xdx Bài 4: Biết hàm số F ( x ) = tính : π cos x − sin x nguyên hàm f ( x ) Hãy cos x + sin x ∫ f ′ ( x ) dx §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: β b α a 1) Công thức tổng quát: ∫ f ϕ ( x ) .ϕ ′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt   Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f ϕ ( x )  (hàm số theo biến ϕ ( x ) ) với đạo hàm   hàm ϕ ( x ) Áp dụng công thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: β a) TH1: ∫ f ( sin x ) cos xdx α → Đặt t = sin x ( p, q ∈ ¡ ) → t = p sin x + q → t = n p sin x + q biểu thức p sin x + q nằm n n β b) TH2: ∫ f ( cos x ) sin xdx α → Đặt t = cos x → t = p cos x + q → t = n p cos x + q biểu thức p cos x + q nằm β c) TH3: ( p, q ∈ ¡ ) ∫ f ( ln x ) x dx α → Đặt t = ln x → t = p ln x + q ( p, q ∈ ¡ ) 14 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT → t = n p ln x + q biểu thức p ln x + q nằm dấu β d) TH4: ∫ f ( tgx ) α → t = ptgx + q n ( p, q ∈ ¡ ) ptgx + q biểu thức ptgx + q nằm dấu β e) TH5: ∫ f ( cotgx ) α → t = pcotgx + q n n dx sin x → Đặt t = cotgx → t = dx cos2 x → Đặt t = tgx → t = n ( p, q ∈ ¡ ) pcotgx + q biểu thức pcotgx + q nằm n 2) Bài tập: Bài 1: Tính tích phân sau đây: a π cos xdx ∫ ( sin x + 1) π b ∫ cos x + sin xdx π e c dx ∫ x ( ln x + ) xdx 19 d ∫ x2 + Bài 2: Tính tích phân sau đây: a ( x − ) dx ∫x − 4x + 15 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT b π e2 tgx dx ∫ cos2 x π c ∫ π ( d ∫e dx ) cot gx + sin x dx x +1 x Bài 3: Tính tích phân sau đây: a π tgxdx ∫ cos3 x π ∫ b sin x cos xdx π c π sin xdx x − sin x ∫ cos d π cos xdx ∫ ( sin x + cos x ) Bài 4: Tính tích phân sau đây: a π sin3 xdx ∫ cos4 x b ∫ x + 1x 3dx c π sin xdx ∫ sin x + 16 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT π d dx ∫ π tgx + tg x §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b 1) Công thức tổng quát: ∫ uv′dx = ( uv ) a b hay b b a b − ∫ vu′dx a b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu (1) a a 2) Các bước thực hiện: • Bước 1:  u = u( x ) du = u′( x )dx ( Đạo hàm) Đặt  ⇒ dv = v′( x )dx  v = v( x ) (nguyeân hàm) • Bước 2: Thế vào cơng thức (1) b b Tính ( uv ) a suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu • Bước 3: ∫ a (tích phân tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy toán cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau: b a) Dạng 1: ∫ p ( x ) q ( x ) dx a cosα ( x ) Trong p ( x ) hàm số đa thức, q ( x ) hàm sin α ( x )  u = p( x) dv = q ( x ) dx → Trong trường hợp ta đặt:   Ghi nhớ : Trong trường hợp đặt ngược lại vào b ∫ b ∫ công thức ta vdu phức tạp udv ban đầu a a 17 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT b ∫ p ( x ) q ( x ) dx b) Dạng 2: a Trong p ( x ) hàm số đa thức, q ( x ) hàm logarit  u = q( x) dv = p ( x ) dx → Trong trường hợp ta đặt:  Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập: Bài 1: Tính tích phân sau đây: π a ∫ ( x + 1) sin xdx π b ∫( x c + x ) cos xdx π ∫ x cos xdx d π e xdx ∫ cos x ∫ ( x + 1) e x dx 3x − dx ex f ∫ ∫ x g ( x − 3)2 dx h ∫( x + e ) x dx Bài 2: Tính tích phân sau đây: 18 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ơn tập TN.THPT a ∫ ( 3x + 1) ln xdx b ∫ x ln ( x + 1) dx e ∫ c ln xdx 1 d ∫ x ln ( x + 1) dx §5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính tích phân sau đây: π a ∫ π b ∫ ( − cos x ) dx sin x ( ln x + x e ) dx x x π c ∫ ( cot g x + sin x ) dx sin x π π d  ∫   + x ÷sin xdx cos x +  π e sin x cos xdx ∫ cos2 x + 1  ∫ x f  1 − x +2 e π  ∫ g  cos x + h ∫ x ln  ÷xdx   ÷cos xdx sin x +  3x + 1dx §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 19 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) b a) Công thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (2) a b) Các bước thực hiện: • Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (PTHĐGĐ ( C1 ) ( C2 ) ) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) • Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g ( x ) , sau xét dấu hiệu • Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ, ( C1 ) nằm ( C2 ) hiệu f ( x ) − g ( x ) ≥ , ( C1 ) nằm ( C2 ) hiệu f ( x ) − g ( x ) ≤ 2) Diện tích hình phẳng giới hạn đường khơng rơi vào trường hợp 1: • Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát) • Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức (2) • Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ 3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) b a) Công thức: V = π ∫  f ( x )  dx (3)   a b) Các bước thực hiện: 20 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT • Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x ) = (PTHĐGĐ ( C ) trục Ox) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (3) 4) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x2 − 6x + trục Ox ( C) : y = 2x − Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) : y = x ( x − 3) trục Ox Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) : y = x − x trục Ox Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) : y = x − 3x + đường thẳng d : y = Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = đường: x + 2x + ; đường tiệm cận xiên ( C ) ; Ox; x = e − x +1 Bài 6: Cho đường cong ( C ) : y = x − 3x + x Viết phương trình tiếp tuyến d ( C ) gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) d Bài 7: Cho parabol ( P ) : y = x − x + a Viết phương trình tiếp tuyến ( P ) giao điểm ( P ) với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) tiếp tuyến nói câu a Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ( C ) : y = x; d : y = − x trục Ox 21 Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x − Bài 10: Cho parabol ( P ) : y = x a Viết phương trình tiếp tuyến ( P ) điểm tung độ b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ( P ) , trục Ox tiếp tuyến nói câu a Bài 11: Cho đường cong ( C ) : y = 2x + Gọi (H) hình phẳng giới hạn x +1 đường: ( C ) ; Ox; Oy Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox Bài 12: Cho đường cong ( C ) : y = x − x Gọi (H) hình phẳng giới hạn ( C ) trục Ox Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox 22 Hội đồng mơn Tốn - THPT ... pcotgx + q nằm n 2) Bài tập: Bài 1: Tính tích phân sau đây: a π cos xdx ∫ ( sin x + 1) π b ∫ cos x + sin xdx π e c dx ∫ x ( ln x + ) xdx 19 d ∫ x2 + Bài 2: Tính tích phân sau đây: a ( x − ) dx... trung học phổ thơng năm 20 03) ? ?2 TÍCH PHÂN : b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) 1) Định nghĩa: a b a = F ( b) − F ( a) 2) Tính chất: b a a TC 1: a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b a b TC 2: b a ∫ kf ( x ) dx... minh rằng: f ′ ( x ) = 3tg 3x − 2tg 2 x − tg x Hội đồng mơn Tốn - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN §1 NGUN HÀM: 1) Định nghĩa : Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm