Bảng công thức giúp các em học sinh dễ học bài hơn. Ngoài công thức tính còn các dạng tích phân thường gặp và cách làm (đặt ẩn phụ dạng 1 hay dạng 2 hoặc từng phần). Hy vọng giúp ích được cho các em học sinh.. Chúc các em học tốt phần giải tích.
GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 1 TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TÍCH LỚP 12 A. CÔNG THỨC HÀM SỐ MŨ- LOGARIT I. Công thức Hàm số mũ Hàm số logarit ( ) ( ) . 1 ; 1 . ; . . ; m nn m n n m m n m n m n n n m n m m n m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a b a b b b − + − − = = = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log , 0 1, 0 log 1 0; log 1; log 1 log .log ; log .log ; log . log log . log log ; log n n M a m a a a m m a a a a a a a a a a x M x a a x a a m m b m b b b b b n n b b c b c c = ⇔ = < ≠ > = = = = = = = + log log log log log ; log 1 log log .log ; log log log b b a a a c a b c a a c a c b b c a c a b b b c b b a a = − = = = = = ( ) , 0 1 M N a a M N a = ⇔ = < ≠ ( ) log log , 0 1 a a M N M N a = ⇔ = < ≠ 1 0 1 M N M N a a a M N a a a M N > ⇒ > ⇔ > < < ⇒ > ⇔ < 1 log log 0 1 log log a a a a a M N M N a M N M N > ⇒ > ⇔ > < < ⇒ > ⇔ < II. Một số giới hạn đặc biệt ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 1. lim 1 2. lim 1 3. lim ln 1 log 1 4. lim 5. lim log x x x x x x a a a x x a e x e a x x x x a e x x →∞ →∞ → → → − + = + = = + + = = GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 2 B. BẢNG ĐẠO HÀM- NGUYÊN HÀM Bảng đạo hàm Bảng nguyên hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' . 1 1 ' 1 ' 2 sin ' cos cos ' sin 1 tan ' cos 1 cot ' sin 1 ' . ' .ln ' 1 log ' .ln 1 ln ' n n n n n x x x x a u v u v uv u v v u u u v v u v v C x n x x x x x x x x x x x x x x n x a a a e e x x a x x − − ± = ± = + − = = = = − = = = − = = − = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 ' . . ' 1 ' ' ' ' 2 sin ' '.cos cos ' '.sin ' tan ' cos ' cot ' sin ' ' . ' .ln . ' ' '. ' log ' .ln ' ln ' n n n n n u u u u a u n u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u n u a a au e u e u u u a u u u − − = = − = = = − = = − = = = = = 1 2 3 2 2 1 ln | | 1 2 2 3 sin cos cos sin tan cos cot sin ln n n x x x x dx x C x x dx C n dx x C x dx C x x dx x C x x xdx C xdx x C xdx x C dx x C x dx x C x a a dx C a e dx e C + = + = + + = + = − + = + = + = − + = + = + = − + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 3 2 2 1 ln | | 1 2 2 3 sin cos cos sin tan cos cot sin ln n n u u u u u u du C n du u C u du C u u du u C u u udu C udu u C udu u C du u C u du u C u a a du C a e du e C + = + + = + = − + = + = + = − + = + = + = − + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chú ý công thức tính vi phân: ( ) y f x = ( ) ( ) ' dy d f x f x dx ⇒ = = ( ) ( ) ' d f x dx f x ⇒ = Nguyên hàm của hàm số chứa biểu thức bậc nhất. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 . 1 1 . 1 .ln | | 1 sin .cos( ) 1 cos .sin 1 .tan cos 1 .cot sin n n ax b ax b ax b ax b dx C a n e dx e C a dx ax b C ax b a ax b dx ax b C a ax b dx ax b C a dx ax b C ax b a dx ax b C ax b a + + + + + = + + = + = + + + + = − + + + = + + = + + + = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 3 C. MỘT SỐ CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN I. Đổi biến số ST T Nguyên hàm chứa Cách tính 1 ln x và 1 x Đặt ln t x = 2 2 2 a x − Đặt .sin .cos x a t x a t = ∨ = 3 2 2 x a − Đặt sin cos a a x x t t = ∨ = 4 2 2 x a + Đặt x=a.tant 5 ( ) 2 1 sin cos n g x xdx + ∫ Đặt sin t x = 6 ( ) 2 1 cos sin n g x xdx + ∫ Đặt cos t x = 7 ( ) 2 tan cos dx g x x ∫ Đặt tan t x = 8 ( ) 2 cot sin dx g x x ∫ Đặt cot t x = 9 2 sin n xdx ∫ hay 2 cos n xdx ∫ Hạ bậc 2 2 1 cos2 1 cos2 sin , cos 2 2 x x x x − + = = 10 2 1 sin n xdx + ∫ hay 2 1 cos n xdx + ∫ Đặt cos t x = hay sin t x = 11 Hàm chẵn đối với sin và cos Đặt tan t x = 12 2 2 tan n xdx + ∫ 2 2 2 2 2 2 1 tan tan .tan tan 1 cos n n n xdx x xdx x dx x + = = − ∫ ∫ ∫ tan t x ⇒ = 13 2 2 cot n xdx + ∫ 2 2 2 2 2 2 1 cot cot .cot tan 1 sin n n n xdx x xdx x dx x + = = − ∫ ∫ ∫ cot t x ⇒ = 14 2 1 tan n xdx + ∫ Đặt cos t x = 15 2 1 cot n xdx + ∫ Đặt sin t x = 16 2 sin n dx x ∫ 2 2 2 2 1 . cot sin sin sin n n dx dx t x x x x − = ⇒ = ∫ ∫ 17 2 cos n dx x ∫ 2 2 2 2 1 . tan cos cos cos n n dx dx t x x x x − = ⇒ = ∫ ∫ 18 2 1 sin n dx x + ∫ 2 1 2 2 sin . cos sin sin n n dx x dx t x x x + + = ⇒ = ∫ ∫ 19 2 1 cos n dx x + ∫ 2 1 2 2 cos . sin cos cos n n dx x dx t x x x + + = ⇒ = ∫ ∫ 20 sin cos dx a x b x c + + ∫ Đặt tan 2 x t = 2 2 1 dt dx t ⇒ = + và 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − = = + + 21 ( )( ) n ax b cx d dx + + ∫ Đặt t cx d = + 22 Nếu f(x) là hàm lẻ ( ) 0 a a f x dx − = ∫ 23 Nếu f(x) là hàm chẵn và tính ( ) 1 a x a f x dx b − + ∫ Đặt t x = − 24 Nguyên hàm chứa x e Đặt t= x e 25 , , sin .sin cos .cos dx dx mx nx mx nx ∫ ∫ , sin .cos dx mx nx ∫ Biến đổi lượng giác GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 4 II. Nguyên hàm từng phần. . . . u dv u v v du = − ∫ ∫ STT Dạng Cách đặt 1 ( ) ( ) ( ) sin . cos . ax b ax b P x ax b dx e + + + ∫ Đặt: ( ) ( ) ( ) sin cos ax b u P x ax b dx dv ax b dx e dx + = + = + 2 ( ) ( ) .ln n P x ax b dx + ∫ Đặt ( ) ( ) ln n u ax b dv P x dx = + = 3 ( ) ( ) sin , cos ax b ax b e cx d dx e cx d dx + + + + ∫ ∫ Tích phân truy hồi