Công thức tính đạo hàm tích phân logarit mũ

Bảng công thức giúp các em học sinh dễ học bài hơn. Ngoài công thức tính còn các dạng tích phân thường gặp và cách làm (đặt ẩn phụ dạng 1 hay dạng 2 hoặc từng phần). Hy vọng giúp ích được cho các em học sinh.. Chúc các em học tốt phần giải tích.

GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 1 TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TÍCH LỚP 12 A. CÔNG THỨC HÀM SỐ MŨ- LOGARIT I. Công thức Hàm số mũ Hàm số logarit ( ) ( ) . 1 ; 1 . ; . . ; m nn m n n m m n m n m n n n m n m m n m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a b a b b b − + − − = = = = = =   = =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log , 0 1, 0 log 1 0; log 1; log 1 log .log ; log .log ; log . log log . log log ; log n n M a m a a a m m a a a a a a a a a a x M x a a x a a m m b m b b b b b n n b b c b c c = ⇔ = < ≠ > = = = = = =  = +   log log log log log ; log 1 log log .log ; log log log b b a a a c a b c a a c a c b b c a c a b b b c b b a a  = −   = = = = = ( ) , 0 1 M N a a M N a = ⇔ = < ≠ ( ) log log , 0 1 a a M N M N a = ⇔ = < ≠ 1 0 1 M N M N a a a M N a a a M N > ⇒ > ⇔ > < < ⇒ > ⇔ < 1 log log 0 1 log log a a a a a M N M N a M N M N > ⇒ > ⇔ > < < ⇒ > ⇔ < II. Một số giới hạn đặc biệt ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 1. lim 1 2. lim 1 3. lim ln 1 log 1 4. lim 5. lim log x x x x x x a a a x x a e x e a x x x x a e x x →∞ →∞ → → → −   + = + = =     + + = = GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 2 B. BẢNG ĐẠO HÀM- NGUYÊN HÀM Bảng đạo hàm Bảng nguyên hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' . 1 1 ' 1 ' 2 sin ' cos cos ' sin 1 tan ' cos 1 cot ' sin 1 ' . ' .ln ' 1 log ' .ln 1 ln ' n n n n n x x x x a u v u v uv u v v u u u v v u v v C x n x x x x x x x x x x x x x x n x a a a e e x x a x x − − ± = ± = + −   =     = =   = −     = = = − = = − = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 ' . . ' 1 ' ' ' ' 2 sin ' '.cos cos ' '.sin ' tan ' cos ' cot ' sin ' ' . ' .ln . ' ' '. ' log ' .ln ' ln ' n n n n n u u u u a u n u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u n u a a au e u e u u u a u u u − − =   = −     = = = − = = − = = = = = 1 2 3 2 2 1 ln | | 1 2 2 3 sin cos cos sin tan cos cot sin ln n n x x x x dx x C x x dx C n dx x C x dx C x x dx x C x x xdx C xdx x C xdx x C dx x C x dx x C x a a dx C a e dx e C + = + = + + = + = − + = + = + = − + = + = + = − + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 3 2 2 1 ln | | 1 2 2 3 sin cos cos sin tan cos cot sin ln n n u u u u u u du C n du u C u du C u u du u C u u udu C udu u C udu u C du u C u du u C u a a du C a e du e C + = + + = + = − + = + = + = − + = + = + = − + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chú ý công thức tính vi phân: ( ) y f x = ( ) ( ) ' dy d f x f x dx ⇒ =   =   ( ) ( ) ' d f x dx f x     ⇒ = Nguyên hàm của hàm số chứa biểu thức bậc nhất. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 . 1 1 . 1 .ln | | 1 sin .cos( ) 1 cos .sin 1 .tan cos 1 .cot sin n n ax b ax b ax b ax b dx C a n e dx e C a dx ax b C ax b a ax b dx ax b C a ax b dx ax b C a dx ax b C ax b a dx ax b C ax b a + + + + + = + + = + = + + + + = − + + + = + + = + + + = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 3 C. MỘT SỐ CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN I. Đổi biến số ST T Nguyên hàm chứa Cách tính 1 ln x và 1 x Đặt ln t x = 2 2 2 a x − Đặt .sin .cos x a t x a t = ∨ = 3 2 2 x a − Đặt sin cos a a x x t t = ∨ = 4 2 2 x a + Đặt x=a.tant 5 ( ) 2 1 sin cos n g x xdx + ∫ Đặt sin t x = 6 ( ) 2 1 cos sin n g x xdx + ∫ Đặt cos t x = 7 ( ) 2 tan cos dx g x x ∫ Đặt tan t x = 8 ( ) 2 cot sin dx g x x ∫ Đặt cot t x = 9 2 sin n xdx ∫ hay 2 cos n xdx ∫ Hạ bậc 2 2 1 cos2 1 cos2 sin , cos 2 2 x x x x − + = = 10 2 1 sin n xdx + ∫ hay 2 1 cos n xdx + ∫ Đặt cos t x = hay sin t x = 11 Hàm chẵn đối với sin và cos Đặt tan t x = 12 2 2 tan n xdx + ∫ 2 2 2 2 2 2 1 tan tan .tan tan 1 cos n n n xdx x xdx x dx x +   = = −     ∫ ∫ ∫ tan t x ⇒ = 13 2 2 cot n xdx + ∫ 2 2 2 2 2 2 1 cot cot .cot tan 1 sin n n n xdx x xdx x dx x +   = = −     ∫ ∫ ∫ cot t x ⇒ = 14 2 1 tan n xdx + ∫ Đặt cos t x = 15 2 1 cot n xdx + ∫ Đặt sin t x = 16 2 sin n dx x ∫ 2 2 2 2 1 . cot sin sin sin n n dx dx t x x x x − = ⇒ = ∫ ∫ 17 2 cos n dx x ∫ 2 2 2 2 1 . tan cos cos cos n n dx dx t x x x x − = ⇒ = ∫ ∫ 18 2 1 sin n dx x + ∫ 2 1 2 2 sin . cos sin sin n n dx x dx t x x x + + = ⇒ = ∫ ∫ 19 2 1 cos n dx x + ∫ 2 1 2 2 cos . sin cos cos n n dx x dx t x x x + + = ⇒ = ∫ ∫ 20 sin cos dx a x b x c + + ∫ Đặt tan 2 x t   =     2 2 1 dt dx t ⇒ = + và 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − = = + + 21 ( )( ) n ax b cx d dx + + ∫ Đặt t cx d = + 22 Nếu f(x) là hàm lẻ ( ) 0 a a f x dx − = ∫ 23 Nếu f(x) là hàm chẵn và tính ( ) 1 a x a f x dx b − + ∫ Đặt t x = − 24 Nguyên hàm chứa x e Đặt t= x e 25 , , sin .sin cos .cos dx dx mx nx mx nx ∫ ∫ , sin .cos dx mx nx ∫ Biến đổi lượng giác GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979.493.934 Ppk43a@gmail.com Trang 4 II. Nguyên hàm từng phần. . . . u dv u v v du = − ∫ ∫ STT Dạng Cách đặt 1 ( ) ( ) ( ) sin . cos . ax b ax b P x ax b dx e +  +    +       ∫ Đặt: ( ) ( ) ( ) sin cos ax b u P x ax b dx dv ax b dx e dx +  =   +      = +          2 ( ) ( ) .ln n P x ax b dx + ∫ Đặt ( ) ( ) ln n u ax b dv P x dx  = +   =   3 ( ) ( ) sin , cos ax b ax b e cx d dx e cx d dx + + + + ∫ ∫ Tích phân truy hồi