Luyen thi DH chuyen de 6.Dạo hàm

ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn Bài 6 . Đạo hàm và ứng dụng Một số kiến thức cần nắm vững: Các quy tắc tính đạo hàm. Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp. Đạo hàm cấp cao. 1. Đạo hàm cấp n: PP tính đạo hàm cấp n: + Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3. + Dự đoán công thức tổng quát; + Chứng minh bằng quy nạp; + Kết luận. * Một số công thức tính đạo hàm cấp n: ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) . ! ( ) ( 1) ( 1)! ln( ) ( ) sin sin 2 cos cos 2 n n n n n n n n n n a n y y ax b ax b a n y ax b y ax b n y x y x n y x y x + = = + + = + = + = = + ữ = = + ữ Ví dụ 1. Cho hàm số y = 1 1 x . a) Tính y, y, y b) Chứng minh rằng: ( ) 1 ! (1 ) n n n y x + = . Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số: a) y = 2 2 1 x x ; b) y = 2 2008 5 6 x x x + . 2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức: PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt (x) = f(x) - g(x). + Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b). + Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0, x (a; b). * Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có điều cần chứng minh. Ví dụ. Chứng minh rằng: a) ln(1 + x) > x - 2 2 x , x > 0. b) 2 sin , (0; ) 2 x x x > . HD: a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x + 2 2 x với x > 0. Có 2 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x f x x x x x = + = > > + + f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm. b) Đặt f(x) = sin 2x x với (0; ) 2 x . Có 2 cos sin '( ) x x x f x x = . 1 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn Đặt g(x) = xcosx - sinx. g(x) = -xsinx < 0 với (0; ) 2 x g(x) là hàm NB trên (0; ) 2 g(x) < g(0) với (0; ) 2 x . f(x) là hàm số NB trên (0; ) 2 f(x) > f( 2 ) = 2 , (0; ) 2 x . Bài tập luyện tập: Chứng minh các BĐT: a) e x > x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0. c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1; d) cosx 1 - 2 2 x với x > 0; e) sinx x - 3 6 x với x>0; 3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn. 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x x f x f x f x x x = . PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bớc: + Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công thức: 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x + Bớc 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x 0 ), f(x) và f(x 0 ). + Bớc 3: Kết luận 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x x f x f x f x x x = . Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng: 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) '( ) x x f x f x x x f x g x g x g x x x = . Ví dụ. Tính các giới hạn: a) 3 0 1 1 lim x x x x + ; HD: Đặt f(x) = 3 1 1x x+ thì giới hạn có dạng: 0 ( ) (0) lim 0 x f x f x . Do đó: 3 0 1 1 lim '(0) x x x f x + = . Có 2 3 1 1 '( ) 2 1 3 ( 1) f x x x = + + ; f(0) = 1 1 5 3 2 6 + = Vậy 3 0 1 1 5 lim 6 x x x x + = . b) 3 4 7 9 1 lim 7 x x x x + + ; ĐS: 5 96 c) 3 1 (2 1) 3 9 lim 1 x x x x x + + ; ĐS: 4 3 d) 3 3 0 1 1 lim 1 cos x x x x x + + + ; ĐS: 5 2 . 2 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn HD: 3 3 3 3 0 0 1 1 1 1 lim lim 1 cos 1 cos x x x x x x x x x x x x + + + + = + + . e) 3 0 1 2 1 3 lim x x x x + + ; f) 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x + ; 4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN * Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm. + Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu thì đó là GTNN. + Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực đại thì đó là GTLN. * Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn. PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 , x 3 , của f(x) trên đoạn [a; b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), ., f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên rồi kết luận. M = [ ; ] max ( ) a b f x , m = [ ; ] min ( ) a b f x * Bài toán 3: Xác định tham số để các phơng trình hoặc bất phơng trình có nghiệm. + F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)] + F(x) > m với mọi x . .<=> m < minF(x) + F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . . . Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị. Các ví dụ Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 1 1 2 + + = x x y trên đoạn [-1;2]. Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số x x y 2 ln = trên đoạn [1;e 3 ]. Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 326 )1(4 xxy += trên đoạn [-1;1] . Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3] )352()3).(21( 2 ++>+ xxmxx HD Đặt t= )3).(21( xx + Từ miền xác đinh của x suy ra 4 27 ;0t . Biến đổi thành f(t) = t 2 + t > m + 2. Tìm miền giá trị của VT m < -6. Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1] 222 )1()1.( +++ xxxxa HD Đặt t = x 2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1. Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm 2 2 1 1x x x x m+ + + + = HD: m 2. Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x 4 2 2 3cos 5.cos 3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m + + HD Đặt t = cosx BBT 0 m 2. Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-/2; /2] 2 )cos1(2sin22 xmx +=+ Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số xxy 2cossin2 48 += HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 (4 4 ) x x x x y = + + với 0 x 1 . Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 4 xxy += * PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị của hàm số. Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số: 3 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn a) 2 2 3 12 x y x x + = + + ; b) 2 8 3 1 x y x x − = − + ; c) 2sin 1 cos 2 x y x + = + ; d) sin cos sin 2 cos 3 x x y x x − = + + . 4 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 5 . ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn Bài 6 . Đạo hàm và ứng dụng Một số kiến thức cần nắm vững: Các quy tắc tính đạo hàm. Bảng đạo hàm của các hàm số. đạo hàm của các hàm số thờng gặp. Đạo hàm cấp cao. 1. Đạo hàm cấp n: PP tính đạo hàm cấp n: + Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3. + Dự đoán công thức tổng