Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết tìm gtnngtln như thế nào? Phương pháp giải ra sao? Học sinh không phân dạng ra được nên chỉ giải theo một cách chung chung dẫn đến lệch hướng đi và không giải được. Các bái toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu hiện hành viết về vấn đề này chỉ ở mức độ chung chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Vì vậy việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững được nội dung kiến thức cũng như xác định được phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT và thi giáo viên giỏi ở các cấp.
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong q trình phát triển, xã hội ln đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xã hội Vậy người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tòi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai phần học quan trọng chương trình lớp THCS, phần mà đề thi học sinh giỏi tuyển sinh thường Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Cơ sở thực tiễn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết tìm gtnn-gtln nào? Phương pháp giải sao? Học sinh không phân dạng nên giải theo cách chung chung dẫn đến lệch hướng khơng giải Các bái tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai đa dạng khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu hành viết vấn đề mức độ chung chung chưa phân dạng phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, cơng tác tự bồi dưỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung kiến thức xác định phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT thi giáo viên giỏi cấp Khảo sát chất lượng ban đầu Trường THCS(Của chúng tôi) Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS(%) 0% 6% 24% 70% Trường THCS Hùng Thành Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS(%) 0% 10% 30% 60% Trường THCS Mã Phúc Thành Loại Giỏi Số lượng HS(%) 0% II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khá 8% Trung bình 28% Yếu 64% Nghiên cứu “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức đó, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên có tài liệu tham khảo dạy thành cơng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề nhà trường Phân dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai ẩn Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu có liên quan b Học sinh khối Trường THCS chúng tôi, Trường THCS Hùng Thành, Trường THCS Phúc Thành Phạm vi nghiên cứu: Các tốn liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai chương trình Tốn THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.Nêu giải vấn đề 2.Phương pháp vấn đáp Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp đánh giá tổng kết kinh ngiệm VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy học củng sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn B NỘI DUNG: I THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Về phía giáo viên: - Giáo viên chưa phân loại dạng toán kiến thức áp dụng Gặp giải - Giáo viên chưa thực tâm đến việc tìm tòi giải pháp phù hợp với đối tượng học sinh áp dụng triệt để học Về phía học sinh: - Mỗi gặp dạng toán học sinh thường bị lúng túng việc tìm lời giải dẫn đến tư tưởng e ngại - Chưa mạnh dạn hoạt động học tập, chưa phát huy tính động, tích cực, sáng tạo việc tiếp thu lĩnh hội kiến thức - Chưa tự giác việc tự học tự rèn luyện, mang tính ỷ lại trơng chờ vào người khác II PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN Đường lối chung tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức a/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a1/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≤ M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) a2/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≥ m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) b/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x - 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x – x + + x – x + = 2( x – x + 5) = 2( x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x -2 = ⇔ x = Vậy minA = khi x = Cách giải: Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P = ax + b x + c Bước Biến đổi biểu thức P dạng: P = ± k f ( x) + m ( f (x) > biểu thức chứa biến x k, m số) Bước Lập luận để có giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận *Trường hợp a, b khác dấu Ví dụ Hãy tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức B = A(x-1) với A = ( x ) x +1 (Trích câu c đề thi tuyển sinh vào lơp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải ĐK x > B= ( x ) x +1 ( x − 1) = x − x ( đk x > 0) 1 B= x− x = x − ÷ − 2 B ≥ - ∀x : x > Đẳng thưc xẩy x = ( thoả mãn) Vậy giá trị nhỏ B - x = Ví dụ 2: Tìm GTLN C = C= x -x+1 Hướng dẫn giải x - x + ( đk x > 0) Ta có C = − x+ x + 1= − ( x − ) + 4 Do −( x − ) < ∀ x > 5 nên C = −( x − ) + < ∀ x > Dấu “=” xẩy x = 4 Vậy GTLN C x = 4 Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức P = x − x + Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x > 3 P = x − x +1= x − ÷ − 2 3 Do x − ÷ > ∀x > 2 3 P x − ÷ − > − ∀x > Dấu “=” xẩy x = , thoả mãn 4 2 Vậy giá trị nhỏ P − x = 4 *Trường hợp a, b dấu ( a = ) Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức P = x + x + Hướng dẫn giải ĐK x > Ta có x + x >0∀x>0 => P = x + x + > ∀ x > Dấu “=” xẩy x = (tmđk) Vậy GTNN P x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức P = - a − a Hướng dẫn giải ĐKXĐ a > Với a > ta có P = − a − a = − (2 a + a) mà −(2 a + a) < ∀ a > => P = - a − a < Dấu “=” xẩy a = (tmđk) Vậy GTLN P a = Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức P = x - 5 Hướng dẫn giải ĐK x > Ta có: x > ∀ x > => P = x - > -5 ∀ x > Dấu “=” xẩy x = (thoả mãn ) Vậy GTNN biểu thức P – x = Lưu ý: Từ ví dụ ta có nhận xét sau: Để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng P = ax + b x + c P Cã GTNN nÕu a > 0; cã GTLN nÕu a < Khi hướng dẫn học sinh làm cần ý vào hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a, b khác dấu tìm cực trị HS cần nắm vững đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu kỹ biến m + k f ( x) đổi tách, thêm bớt để biến đổi biểu thức P dạng P = m − k f ( x) Trường hợp 2: Nếu a, b dấu( a = 0) biểu thức P có GTNN GTLN c tránh trường hợp sai lầm học sinh làm ví dụ sau: Tìm GTNN A = x + x + 1 3 Lời giải : Ta có A = x + x + 1= x + ÷ + ≥ 2 4 Vậy GTNN A = ( sai lầm chỗ ta không ĐK xẩy dấu “=”) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu k thức có dạng P = ( a, b, k số, a > 0, b > 0, x ≥ ) a x +b Cách giải Bước Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu thức: f ( x) = a x + b Bước 2.Căn vào dấu số k để suy giá trị lớn nhỏ P +) Nếu k > P đạt giá trị lớn ⇔ f (x) đạt giá trị nhỏ ngược lại ( f ( x) > 0) +) Nếu k < P đạt giá trị nhỏ ⇔ f (x) đạt giá trị nhỏ ngược lại ( f ( x) > 0) Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận Ví dụ Tìm x để biểu thức M = đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn x +3 ( Trích câu c 1kì thi tốt nghiệp THCS tỉnh Nghệ An năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải ĐKXĐ x > Để biểu thức M đạt giá trị lớn Do > nên ta có đạt giá trị lớn x +3 đạt giá trị lớn x +3 x > ∀ x > => x + đạt GTNN x +3>3∀x>0 => GTNN x + dấu “=” xẩy x = (tmđk) 2 = x = Vậy giá trị lớn biểu thức M = 0+3 −3 Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ P = x +3 Hướng dẫn giải ĐKXĐ : x ≥ −3 Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ x +3 −3 Do -3 > nên đạt giá trị nhỏ x + đạt GTNN x +3 ta có x > ∀ x > 0; x ≠ => x + > ∀ x > 0; x ≠ => GTNN x + dấu “=” xẩy x = (tmđk) −3 −3 = = −1 x = Vậy giá trị lớn biểu thức P = 0+3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn P = 2x −1 + Hướng dẫn giải Để P đạt GTLN đạt GTLN 2x −1 + Do > nên đạt GTLN x − + đạt GTNN 2x −1 + 1 ta có x − > ∀ x ≥ ; x ≠ 13 => x − + > ∀ x ≥ ; x ≠ 13 2 => GTNN x − + (TMĐKXĐ) 2 = x = Vậy GTLN P = 0+5 Dấu “=” xẩy x − = => x = Lưu ý: Từ ví dụ để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng k P= cần lưu ý học sinh ta nên đưa biểu thức P dạng có mẫu dương a x +b ta có - Nếu k > biểu thức P đạt GTLN - Nếu k < biểu thức P đạt GTNN Cần lưu ý HS tránh sai lầm sau: Ví dụ: Tìm GTLN biểu thức B = x −4 Lời giải: Do B có tử không đổi > nên B đạt GTLN x − có GTNN x − > - Dấu “=” xẩy x = (tmđk) −1 Vậy GTLN B x = −1 Điều sai ví dụ x = 25 ta có B = > Để giúp học sinh tránh mắc sai lầm ta cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau ta có + lớn ⇔ C nhỏ (C > 0) C +Ta tìm GTLN biểu thức A > với giá trị biến A −1 ta tìm GTLN biẻu thức ( A > 0) A A Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu a x +b thức có dạng P = (a,b,c,d số c > 0, d > 0, x ≥ ) c x +d Bước Biến đổi biểu thức P dạng: + Để tìm GTNN biểu thức n P = m + f (x) ( f(x) biểu thức chứa x) n Bước Tìm giá trị lớn nhỏ của biểu thức f (x) ( cách làm giống dạng 2) Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận Ví dụ : Tìm GTNN P = x −1 x +1 Hướng dẫn giải Với x > ta có P = Để P đạt GTNN Do -2 < nên ta có x −1 x +1− = =1+ x +1 x +1 −2 đạt GTNN x +1 −2 nhỏ x +1 −2 x +1 x + nhỏ nhât x + > ∀ x > dấu “=” xẩy x = (tmđkxđ) x + x = −2 Vậy GTNN P = + = -1 x = 0 +1 =>GTNN Ví dụ 2: Tìm GTLN P = x +8 x +2 Hướng dẫn giải ĐK: x > Ta có P = x +8 = 3+ x +2 Để P đạt GTLN Do > nên ta có x +2 lớn x +2 lớn x +2 x + nhỏ nhât x + > ∀ x > dấu “=” xẩy x = (tmđkxđ) x + x = Vậy GTLN P + = x = GTNN −7 + x − x −4 Hướng dẫn giải: Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn Q = ĐK: x > −7 + x − x −3 x − 12 + 19 = = = −3 + − x −4 x +4 x +4 19 Để Q đạt GTLN lớn x +4 19 lớn x + nhỏ nhât x +4 Ta có Q = ta có 19 x +4 x + > ∀ x > dấu “=” xẩy x = (tmđkxđ) x + x = 19 Vậy GTLN Q - + = x = 4 GTNN a x +b c x +d học sinh cần có kĩ thêm, bớt, tách, nhóm số hạng cách thích hợp phải có kĩ thực phép chia đa thức cho đa thức để đưa biểu thức P dạng Lưu ý: Để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng P = n P = m + f (x) có f(x) > để tìm GTLN, GTNN P ta tìm GTLN, GTNN n biểu thức f (x) (cách dạng 2) - Nếu n > biểu thức P đạt GTLN - Nếu n < biểu thức P đạt GTNN Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu m x +n thức có dạng P = ( a, b, c, m, n số, x ≥ ) ax + b x + c a,Cách giải: Bước Nhân chéo đặt x = y ( y ≥ 0) để đưa biểu thức P dạng phương trình bậc có ẩn y ( y = x ) tham số P Bước Tìm P để phương trình ẩn y có nghiệm khơng âm Bước Tìm miền giá trị P Bước Tìm điều kiện x để có dấu “=” xảy Bước Dựa vào miền giá trị P để suy giá trị lớn giá trị nhỏ P, kết luận b, Kiến thức liên quan Các TH có nghiệm khơng âm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) là: * TH 1: Phương trình có nghiệm khơng âm : a.c < ∆ ≥ 0(∆ ' ≥ 0) −b * TH 2:Phương trình có nghiệm không âm : ≥ a c a ≥ x −1 x + x +1 Hướng dẫn giải Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN P = Với x > 10 P= x −1 ⇔ P( x + x + 1) = x − x + x +1 ⇔ Px + P x + P − x + = ⇔ P.x + 2( P − 1) x + P + = (1) x = y ( y ≥ ) phương trình (1) trở thành: Đặt P y + 2( P − 1) y + P + = (2) Ta có: a = P ; b = 2( P − 1) ; c = P + 1; b ' = P − Và ∆ ' = (b ') − ac = ( P − 1) − P ( P + 1) = P − P + − P − P = − 3P * TH Nếu P = (*) y − = ⇔ y = 1 ⇔ x = (tmđkxđ) * TH Nếu P ≠ Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH2.1: Ta có PT(2) có nghiệm không âm P.( P + 1) ≤ ⇔ −1 ≤ P < (**) + TH2.2: Phương trình (2) có nghiệm khơng âm khác ∆ ' ≥ 1 − 3P ≥ 3P ≤ P ≤ −b −2( P − 1) P −1 ⇔ ≥0⇔ ≥0⇔ ≤ ⇔ 0 < P ≤ ⇔ < P ≤ (***) P a P P ≤ −1 c P +1 P +1 ≥ ≥0 ≥ P > P P a ⇒ x= Kết hợp (*);(**);(***) ta có -1 < P < P= 1 1 ⇔ y + − 1÷y + + = ⇔ y − y + = ⇔ ( y − 2) = 3 3 ⇔ y−2=0⇔ y=2 ⇒ x = ⇔ x = (tmđkxđ) y = 0(tm) P = -1 ta có –y2 + 2( -1-1)y + (-1) + = => –y2 - 4y = => y = −4(ktm) Với y = => x = (tmđkxđ) Vậy giá trị lớn biểu thức P đạt x = Giá trị nhỏ P -1 đạt x = 11 Ví dụ 2: Tìm GTNN P = − x −1 x + x +1 Hướng dẫn giải Với x > ta có P= − x −1 ⇔ P.( x + x + 1) = − x − x + x +1 ⇒ Px + ( P + 1) x + P + = 0(1) Đặt x = y ( y ≥ ) phương trình (1) trở thành: P y + ( P + 1) y + P + = (2) Ta có: a = P ; b = P + ; c = P + Và ∆ = b − 4ac = ( P + 1) − P( P + 1) = P + P + − P − P = −3P − P + * TH Nếu P = − x − = ⇔ x = −1 (Không thoả mãn) * TH Nếu P ≠ Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH2.1 Ta có PT(2) có nghiệm khơng âm ta có P.(P + 1) < - < P < (*) + TH2.2 Phương trình (2) có nghiệm khơng âm ∆ ≥ −3P − P + ≥ ( P + 1).(−3P + 1) ≥ −1 ≤ P ≤ −b −P − P +1 ⇔ ≥0⇔ ≥0 ⇔ ≤0 ⇔ −1 ≤ P < a P P P ≤ −1 c P +1 P +1 a ≥ P ≥ P ≥ P > ⇔ P = −1 (**) Kết hợp (*);(**);ta có -1 < P < y = 0(tm) P = −1 ⇔ − y + ( −1 − 1) y − + = ⇔ − y − y = ⇔ (thayP=-1 vào y = −2(ktm) pt (2)) Với y = ⇒ x = ⇔ x = (tmđkxđ) Vậy giá trị nhỏ P -1 đạt x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn P = x − x +1 Hướng dẫn giải ĐK x > ⇔ P.x − P x + P − = (1) Ta có P = x − x +1 12 Đặt x = y ( y ≥ ) phương trình (1) trở thành: Py − Py + P − = (2) *TH Nếu P = -3 = (khơng thoả mãn) *TH Nếu P ≠ Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH 2.1 Ta có PT(2) có nghiệm khơng âm ta có P.(P – 3) < 0 < P < (*) + TH 2.2 Phương trình (2) có nghiệm không âm ∆ ≥ −3P + 12 P ≥ −3P ( P − 4) ≥ 0 < P ≤ − b − ( − P ) ⇔ ≥0⇔ ≥0 ⇔ 1 ≥ ⇔ P ≥ ⇔ ≤ P ≤ (**) a P 1 ≥ P < c P −3 ≥ ≥ a P Kết hợp (*);(**);ta có < P < P = ⇔ y − y + − = ⇔ y − y + = => y = (thay D vào pt (2)) 2 Với y = ⇒ x = 1 ⇔ x = (tmđkxđ) 4 Lưu ý: Để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng: Vậy giá trị lớn P đạt x = m x +n cần lưu ý học sinh ax + b x + c - Biết chuyến biểu thức cho dạng phương trình ay2 + by + c = - Biết phân chia trường hợp để giải phương trình đưa dạng ay2+by+c=0 - Biết vận dụng thành thạo trường hợp có nghiệm khơng âm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) - Học sinh biết cách kết hợp thành thạo trường hợp để tìm miền giá trị biểu thức P (GV nên hướng dẫn HS tìm miền giá trị cách biểu diễn trục số) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu a.x + b x + c thức có dạng P = ( a, b, c, m, n số, x ≥ ) m x +n a.Cách giải Bước Biến đổi biểu thức P dạng: P= k + m ( f (x) biểu thức chứa biến x p,q, k ; f ( x) > ) P = ± p f ( x) + q f ( x) 13 Bước áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương p f (x) k từ q f ( x) tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận b.Kiến thức liên quan Bất đẳng thức CôSi: + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b + Tổng quát với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a3 a n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an x+ x +7 x +2 Hướng dẫn giải: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = Với x > Ta có Q = x+ x +7 = x −1+ x +2 = x +2+ x +2 −3 x +2 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ( x + 2) ( x + 2) + ta được: x +2 9 ≥ ( x + 2) =2 =6 x +2 ( x + 2) Dấu “=” xảy ( x + 2) = ⇔ ( x + 2) = ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = (tmđkxđ) x +2 ⇒ ( x + 2) + −3≥6−3=3 x +2 ⇒ Q ≥ Vậy: Giá trị nhỏ Q 3, đạt x = x+3 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức P = Với x > x −1 Hướng dẫn giải x+3 = x +1+ = x −1+ Với x > ta có P = x −1 x −1 +2 x −1 14 Do x > áp dụng BĐT CôSi cho số không âm x −1 + x − ta có: x −1 4 ) = = > ( x − 1).( x −1 x −1 x −1 = Dấu “=” xẩy x = ( tmđk) x −1 +2 >4+2=6 x −1 Vậy GTNN P x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức P = A - ( Với A = ) (Trích câu c kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải ĐK x > x −1 Ta có P = A - ⇒ P = - ⇒P = -9 x x => P = x − + P=1-( +9 ) x Áp dụng BĐT CôSi cho số khơng âm Ta có: + ≥ x x > = x (tmđkxđ) Suy P = - ( + ) < – = -5 Dấu “=” xảy x = Vậy giá trị lớn P - x = Ví dụ 4: Tìm GTLN biểu thức P = −x − x − x Hướng dẫn giải ĐK x > Với x > ta có P = −x − x − 2 =− x− − = −( x + )−2 x x x 15 Do x > áp dụng BĐT cô si cho số không âm x + >2 x x Dấu “=” xẩy => P= −( x + x ta có: x =2 x x = x = ( tmđk) x ) − < -2 - x Vậy GTLN P -2 - x = Lưu ý: - Để sử dụng BĐT Cơsi tìm cực trị trường hợp biểu thức P sau rút gọn a.x + b x + c biến đổi thành biểu thức có dạng P = ( a, b, c, m, n m x +n số, x ≥ ) phải hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số - Đối với dạng tốn ngồi cách sử dụng BĐT Cơsi để timg cực trị giáo viên hướng dẫn học sinh tìm cực trị bàng cách vận dụng điều kiện có nghiệm khơng âm phương trình bậc (cách giải tương tự dạng trên) III Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm GTNN C = 2x - x + Bài 2: Tìm GTLN M = - x + x + Bài 3: Tìm GTNN C = 4x + x - Bài 4: Tìm GTLN M = -2x - x + Bài 5: Tìm GTLN N = - x + Bài 6: Tìm GTLN biểu thức P = 14 3( x + 2) −5 a +2 Bài 8: Tìm GTNN biểu thức P = − a −2 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức P = Bài 9: Tìm GTLN biểu thức A = Bài 10: Tìm GTNN biểu thức Y = x +4 x +2 x −2 x +2 16 Bài 11: Tìm GTNN biểu thức P = x +1 x +4 Bài 12: Tìm GTNN, GTLN biểu thức: P = x x + x +1 Bài 13: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Q= − x x + x +1 Bài 14: Tìm GTNN, GTLN biểu thức B = 1− x x + x +1 Bài 15: Với giá trị x P = x +16 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ x +3 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ A= x + x + 25 x +3 x > 2− x Bai 18: Trích đề thi tuyển sinh lên lop10 trường Ngệ An Năm 2008 – 2009 Bài 17: Tìm GTLN biểu thức M = N.(x + 1) với N = + Cho biĨu thøc : P = ÷: x + x + x a Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để P = c Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc M = x + 12 x −1 P Bài 19: Trích đề thi tuyển sinh lên lop10 trường chuyên Bến Tre Năm 2012 – 2013 Cho biểu thức A = ( x +8 x x +2 : + − với x ≥ x x +8 x − x + + x ) a Rút gọn biểu thức A b Đặt B = + x Tìm x để biểu thức B đạt giá trị nhỏ x+6−A Bài 20: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Ví dụ 5, trang Tìm giá trị x để B đạt giá trị nhỏ nhất: P = x−2 x +3 Bài 21: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Ví dụ 4, trang 17 x x x +3 x −2 − − ÷ ÷: x − − 1÷ ÷víi x > , x ≠ x − x + x − Cho biểu thức D = a Rút gọn D c Tìm giá trị nhỏ D Bài 22: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Bài tập 4, trang b Tìm x để D < - x+ − Cho biểu thức E = víi x > ÷ x + 1 x xx + a Rút gọn E b Tìm giá trị x để E = c Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn E Bài 23: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Bài tập 7, trang x +1 x −1 x +1 − − ÷ víi x > , x ≠ Cho biểu thức I = x −1 ÷ x +1 x −1 Câu a,b,c,d,e,f,g h Tìm giá trị nhỏ biểu thức I Bài 24: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Đề 5, câu 1, trang 62 1 + Cho biểu thức A= ÷: x +1 x + x x −1 a Nêu ĐKXĐ rút gọn A b Tính A x= c Tìm GTNN A Bài 24: Trích sách bồi dưỡng luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Đề 4, câu 1, trang 62 x 1 − ÷ Cho biểu thức P= ÷ x + + x − ÷ x + x + x a Nêu ĐKXĐ rút gọn p b Tính P x = c Timg GTNN Của A = P + x + 19 C KẾT LUẬN 18 I Bài học kinh nghiệm Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai chương trình tốn bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xun bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thân giáo viên phải phân dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai ẩn biết cách giải cụ thể dạng tốn Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi - học sinh thi lên lớp 10 THPT có hiệu quả, ngồi giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Sau trình nghiên cứu đề tài áp dụng vào giảng dạy cho học sinh khối lớp ba sở thấy em có hứng thú học hơn, đặc biệt em hiểu làm tốt Kết khảo sát ba sở sau thực đề tài sau : Trường THCS (của chúng tôi) Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS(%) 15% 25% 60% 0% Trường THCS Hùng Thành Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS(%) 18% 32% 50% 0% Trường THCS Mã Phúc Thành Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Số lượng HS(%) 16% 26% 58% 0% II Kết luận chung Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo Trong q trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng đề tài “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn” làm kinh nghiệm để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán phương trình bậc hai ẩn cho học sinh Trong trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế mong giúp đở, góp ý đồng nghiệp học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! 19 D TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK sách giáo viên toán lớp (Bộ giáo dục) Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Bùi Văn Tuyên Toán nâng cao chuyên đề đại số - Vũ Dương Thụy Tuyển tập chuyên đề báo tuổi thơ Bồi dưỡng luyện thi vào lớp 10 THPT mơn tốn- TS.Mai Xn Vinh Bồi dưỡng luyện thi vào lớp 10 THPT mơn tốn- PGS.TS Trần Văn TấnThs.Lê Thị Hương Tuyễn chọ đề toán thi vào lớp 10 – Huỳnh Quang Lâu Bộ đề thi vào lớp 10 THPT Nghệ An Từ năm 1999 đến năm 2015 Bộ đề thi vào lớp 10 THPT 63 Tỉnh Thành 10.Nâng cao phát triển tốn - Vũ Hửu Bình TT A MỤC LỤC CÁC MỤC ĐẶT VẤN ĐỀ TRANG 20 I II III IV V VII B I II III C D Lý chọ đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề 1 2 2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P = ax + b x + c Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn k biến đổi thành biểu thức có dạng P = ( a x +b a, b, k số, a > 0, b > 0, x ≥ ) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn a x +b biến đổi thành biểu thức có dạng P = c x +d (a,b,c,d số c > 0, d > 0, x ≥ ) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn m x +n biến đổi thành biểu thức có dạng P = ( ax + b x + c a, b, c, m, n số, x ≥ ) 10 Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn a.x + b x + c biến đổi thành biểu thức có dạng P = ( m x +n a, b, c, m, n số, x ≥ ) 13 Bài tập đề nghị KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 19 21 21 ... trạng vấn đề 1 2 2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P =... kiến thức - Chưa tự giác việc tự học tự rèn luyện, mang tính ỷ lại trơng chờ vào người khác II PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT... Nghiên cứu Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức đó,