SKKN PHÁT HUY NĂNG lực tự học môn TOÁN CHO học SINH THÔNG QUA NGHIÊN cứu GIẢI bài TOÁN tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Giảng dạy, nghiên cứu hướng dẫn học sinh tập dượt nghiên cứu khoa học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên Chính năm qua, trường THPT Như Thanh coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhiều hình thức như: Đổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá Đổi PPDH phải gắn liền với đổi hình thức tổ chức dạy học Hình thức tổ chức dạy học phù hợp hút HS tham gia vào nội dung học, từ HS phát huy tính tích cực, chủ động q trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu Hình thức tổ chức dạy học phù hợp khơng tạo điều kiện cho GV HS giao lưu, tranh luận với mà tạo tranh luận HS với HS, nhóm HS với để từ đạt mục đích kiến thức cách tự nhiên Mơn tốn mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng phát triển tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo HS, vấn đề cốt lõi đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT là: hướng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ giải toán, phát triển tư toán học Để làm điều đòi hỏi mối GV trước hết phải có trình độ chun mơn vững vàng, đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học Trong chương trình tốn lớp 12 THPT, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đóng vai trị quan trọng học sinh, khơng khía cạnh thi cử, mà cịn giúp em rèn luyện kỹ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ứng dụng vào môn khoa học khác Lý, Hóa, Sinh xa áp dụng kiến thức, kỹ vào thực tiễn, vào công việc sau Với lý trên, chọn đề tài “ Phát huy lực tự học mơn tốn cho học sinh thơng qua nghiên cứu giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học- tự nghiên cứu dạy- học toán - Rèn luyện kỹ giải, xây dựng toán giá trị lớn nhất, nhỏ 1.3 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu - Nghiên cứu giải toán giá trị lớn nhất, nhỏ cách dồn biến 1.5 Điểm kết nghiên cứu - Hệ thống hóa theo trọng tâm phương pháp suy luận tìm lời giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nhiều biến số theo tư tưởng chuyển từ toán nhiều biến toán biến - Giúp học sinh nhận dạng, định hướng dễ dàng tiếp cận dạng toán NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu Tự học hình thức hoạt động nhận thức cá nhân nhằm nắm vững hệ thống tri thức kỹ thân người học tiến hành lớp ngồi lớp Có hai hình thức tự học: - Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn lớp hướng dẫn hoạt động ngoại khoá) - Tự học khơng có hướng dẫn GV (HS tự học với sách, tự xây dựng kế hoặch học tập) - Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua tập nghiên cứu Đó làm, cơng trình nghiên cứu mang tính chất thực hành sau học chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức, làm bước đầu để học chủ đề để làm phong phú thêm giảng tài liệu sách báo hay thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm Bài tập nghiên cứu GV nêu HS tiến hành tự học, tự nghiên cứu hướng dẫn GV 2.1.2 Các bước thực dạy học tự học- tự nghiên cứu Trên sở khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta đưa bước sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu: a) Xác định vấn đề cần nghiên cứu b) GV hướng dẫn học sinh thực nhiệm vụ c) HS thực nhiệm vụ báo cáo kết d) Đánh giá 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến số toán hay khó chương trình Tốn THPT Trong đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng thi chọn học sinh giỏi năm toán thường xuất câu khó đề thi Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số thường không phức tạp Tuy nhiên, thực tế hầu hết học sinh không giải cho toán từ hai biến trở nên 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Nghiên cứu phương pháp dồn biến để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến có tính chất đối xứng a Kiến thức vận dụng: +Các bất đẳng thức thông dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki +Một số bất đẳng thức trung gian: x2 + y2 ≥ x3 + y3 x+ y (x + y)2 2 (x + y + z)2 ;x + y + z ≥ ≥ xy + yz + zx; ≤( ) ; 2 +Đạo hàm hàm số thường gặp +Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số gặp chương trình Giải tích lớp 12 b Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho x, y số thực thỏa mãn: x2 + y2 + xy = Tìm GTLN, GTNN biểu thức T= T = x4 + y4 + 4xy − x3y3 Phân tích: Từ x + y + xy = , ta đánh giá đánh giá xy, ta biểu diễn T theo xy Lời giải +) = x2 + y2 + xy = (x + y)2 − xy ≥ − xy ⇒ xy ≥ −3 +) = x2 + y2 + xy ≥ 3xy ⇒ xy ≤ Đặt t = xy,t ∈ [ −3;1] +) x4 + y4 = (x2 + y2)2 − 2x2y2 = (3− xy)2 − 2x2y2 = − 6xy − x2y2 Vậy T = −t3 − t2 − 2t + Xét f (t) = −t3 − t2 − 2t + 9,t ∈ [ −3;1] Ta có f ,(t) = −3t2 − 2t − < 0,∀t nên hàm số f ( t ) nghịch biến đoạn [ −3;1] M ax f (t) = f (−3) = 33 Suy t ∈  −3;1   M in f (t) = f (1) = t ∈  −3;1 Kết kuận: GTLN T = 33 x = − y = x = − y = − GTNN T = 33 x = y = x = y = −1 Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3 T = xy + yz + zx + Tìm GTNN biểu thức x+ y+ z Phân tích: Vì (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx nên T biểu diễn theo t = x+ y+z Lời giải Đặt t = x + y + z ⇒ t2 = 3+ 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz+ zx = ≤ xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 = 3⇒ ≤ Khi T = t2 − t2 − ≤ ⇔ ≤ t2 ≤ ⇒ ≤ t ≤ 3(vì t>0) t2 − + t Xét hàm số f (t) = t3 − t2 , + − ,t ∈  3;3 f (t) = t − = > 0,∀t ∈  3;3     t t t 14 Do hàm số f (t ) đồng biến đoạn  3;3 , suy f (t) ≤ f (3) = ,∀t ∈  3;3 Kết kuận: GTNN T = 14 x = y = z = Ví dụ 3: Cho số thực x, y thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 4 2 2 Tìm GTNN biểu thức T = 3(x + y + x y ) − 2(x + y ) + Phân tích: Vai trị x, y bình đẳng Vì (x2 + y2)2 ≤ 2(x4 + y4) ⇒ x4 + y4 ≥ (x2 + y2) nên ta dồn biến theo t = x2 + y2 Chú ý: x2 + y2 ≥ (x + y)2 ;(x + y)2 ≥ 4xy Lời giải Theo giả thiết (x + y) + 4xy ≥ (1), mặt khác (x + y)2 ≥ 4xy (2) 2 Từ (1) (2) ta có (x + y) + (x + y) ≥ ⇔ (x + y − 1) (x + y) + 2(x + y) + 2 ≥ x + y ≥ Ta có T = (x4 + y4) + (x4 + y4 + 2x2y2) − 2(x2 + y2) + ≥ 4 4 (x + y ) + (x + y + 2x2y2) − 2(x2 + y2) + 1= (x2 + y2)2 − 2(x2 + y2) + 4 Đặt t = x2 + y2 ≥ (x + y)2 ≥ ⇒ T ≥ t2 − 2t + 1,t ≥ 2 Xét hàm số f (t) = 9t2 1  − 2t + 1, t ∈  ; +∞  2  f , (t) = t − > 0,∀t ≥ Do hàm số f(t) đồng biến đoạn 2 1   2; +∞  , suy 1  f (t) ≥ f ( ) = ,∀t ∈  ; +∞  Kết kuận: GTNN T = ,khi x = y = ± 16 16 2  Ví dụ 4: Cho số thực dương x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) + xy = (x + y)(xy + 2) Tìm GTNN biểu thức T = 4( x3 y3 x2 y2 + ) − 9( + )+1 y3 x3 y2 x2 Phân tích: + Vai trị x, y bình đẳng x y + T biểu diễn theo hàm số với biến số t = y + x x y Do từ giả thiết ta tìm miền giá trị t = y + x Lời giải x y 2 Theo giả thiết 2(x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) ⇒ 2( y + x) + 1= (x + y)(1+ xy) x y 2 ⇔ 2( + ) + 1= x + + y + ,(1) y x y x Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi x+ 2 x y + y + ≥ 2( + ),(2) y x y x x y Đặt t = y + x Từ (1) (2) suy 2t + 1≥ 2(t + 2) ⇒ 4t2 − 4t − 15 ≥ ⇒ t ≥ x y x y x y T = 4[( + )3 − 3( + )] − 9( + )2 + 1= 4t3 − 9t2 − 12t + 19 y x y x y x t = f (t) = 4t − 9t − 12t + 19 Ta có f '(t) = 12t − 18t − 12; f '(t) = ⇔ t = −   2 Lập bảng biến thiên (BBT) f(t) suy 5 19 M in f (t) = f ( ) = − 19 Kết kuận: GTNN T = − ,khi 5   2; +∞    { {      x=1 y= x= y=1 Ví dụ 5: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y + xy = Tìm GTLN biểu thức T= 3x 3y xy + + − (x2 + y2) y+ x+ y+ x Phân tích: + Vai trị x,y bình đẳng +T biểu diễn theo hàm số với biến số t = x + y Do từ giả thiết ta tìm miền giá trị t = x + y cách áp dụng bất đẳng thức xy ≤ ( x+ y ) Lời giải Đặt t = x + y ⇒ 3− t = xy ; x + y = (x + y)2 − 2xy = t2 + 2t − 2 x+ y t2 ) ⇒ 3− t ≤ ⇒ t ≥ 2 3(x + y ) + 3(x + y) xy 12 T= + − (x2 + y2) = −t2 + t + − xy + x + y + y+ x t 12 Xét hàm số f (t) = −t2 + t + − ,t ∈ [2; +∞) t 12 Ta có f '(t) = −2t + 1− < 0,∀t ∈ [2; +∞) ,do hàm số f(t) nghịch biến [2; +∞) Suy t 3 f (t) ≤ f (2) = ,∀t ∈ [2; +∞) Kết kuận: GTLN T = , x = y = 2 xy ≤ ( Ví dụ 6: Cho số thực dương x, y, z Tìm GTLN biểu thức T= x2 + y2 + z2 + (x + 1)(y + 1)(z + 1) − Phân tích: + Vai trị x,y,z bình đẳng +áp dụng BĐT Cơsi BĐT Bunhiacơpsky, ta đánh giá: ( )  x + y + z + 3 (x + y + z + 1)2 ≤ x2 + y2 + z2 + (x + 1)(y + 1)(z + 1) ≤  ÷;   Do T đánh giá theo hàm số với biến số t = x + y + z+1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi  x + y + z+ 3 x= y = z (x + 1)(y + 1)(z + 1) ≤  ÷ Dấu xảy   ( ) 2 2 Mặt khác (x + y + z + 1) ≤ x + y + z + Dấu = xảy x = y = z Đặt t = x + y + z+ 1> Ta có T ≤ t − Xét hàm số f (t) = t − 54 (t + 2) 54 (t + 2)3 ,t > Ta có f '(t) = − Lập bảng biến thiên f (t ) suy 2 t + Maxf (t) = f (4) = (1; +∞) 162 (t + 2)4 f '(t) = ⇒ t = 4 Kết kuận: GTLN T = ,khi x = y = z = Ví dụ 7: Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x ≤ 1; y, z ≥ xyz = 1 + + Tìm GTLN biểu thức T = 1+ x 1+ y 1+ z Phân tích: + Vai trị x, y, z bình đẳn 1 + Áp dụng bất đẳng thức 1+ y + 1+ z ≥ T đánh giá theo hàm số 1+ yz với biến số t = zy Lời giải 1 2 + ≥ ⇒T ≥ + = + 1+ x 1+ yz 1+ 1+ yz Ta có 1+ y 1+ z 1+ yz yz Đặt t = yz ⇒ 1≤ t = ≤ Khi T ≥ t + x 1+ t2 1+ t t2 + ,t ∈ [ 1;2] 1+ t2 1+ t 2t −2(t − 1)2(t + 1) f '( t ) = − = ≤ 0,∀t ∈ [ 1;2] Ta có (1+ t2)2 (1+ t)2 (1+ t2)2(1+ t)2 Xét hàm số f (t) = Do hàm số f (t ) nghịch biến [ 1;2] Suy f (t) ≥ f (2) = 22 ,∀t ∈ [ 1;2] 15 Kết kuận: GTNN T = 22 ,khi x = , y = z = 15 Ví dụ 8: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1;2] Tìm GTNN biểu thức T = (x + y)2 z2 + 4(xy + yz + zx) Lời giải x y ( + )2 (x + y) z z = Ta có 4xy ≤ (x + y) ⇒ T ≥ 2 z + 4(x + y)z + (x + y) 1+ 4( x + y) + ( x + y)2 z z z z Đặt t = x y + Vì x; y; z∈ [ 1;2] ⇒ t ∈ [ 1;4] z z 4t2 + 2t f '( t ) = > 0,∀t ∈ [ 1;4] ,t ∈ [ 1;4] ; Xét hàm số f (t) = (1+ 4t + t2)2 1+ 4t + t2 Mi n f (t) = f (1) = Kết kuận: GTNN T = ,khi x = 2, y = z = Suy 1;4 t2 1  Ví dụ 9: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn  ;3 3  x y z + + Tìm GTLN biểu thức T = x + y z+ y x + z Lời giải x y z + + Đặt T (x) = x + y z+ y x + z Coi hàm số theo biến số x y, z số T '(x) = z (y − z)(x2 − yz) − = (x + y)2 (x + z)2 (x + y)2(x + z)2 y   Trường hợp 1: x ≥ y ≥ z; x, y, z∈  ;3 ⇒ y − z ≥ 0; x − yz ≥ 3  y z 1  + + = g(z) Do T '(x) ≥ Vậy T (x) tăng  ;3 ⇒ T (x) ≤ T (3) = 3  g'(z) = −y (z + y)2 + (3+ z)2 = (y − 3)(3y − z2) (z + y)2(3+ z)2 ≤ 3+ y z + y 3+ z 3y 1  Vậy g(z) giảm  ;3 ⇒ g(z) ≤ g( ) = 3+ y + 1+ 3y + 10 = h(y) 3  h'(y) = (3y + 1) − (3+ y) = (1+ y)(1− y) (3y + 1)2(3+ y)2 Lập bảng BBT h( y ) suy M ax h(y) = h(1) = 1   3;3   3 Vậy T (x; y; z) ≤ T (3; y; ) ≤ T (3;1; ) = x = 3, y = 1, z = 1  3  Trường hợp 2: z ≥ y ≥ x; x, y, z∈  ;3 Từ kết trường hợp 1, ta có T (x; y; z) ≤ T (3;1; ) = Mặt khác T (z; y; x) − T (x; y; z) = (x − y)(y − z)(x − z) ≤ ⇒ T (z; y; x) ≤ (x + y)(y + z)(x + z)   3   Kết kuận: GTLN T = ,khi (x; y; z) ∈ (3;1; ),( ;3;1),(3; ;1) Ví dụ 10: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN biểu thức T = x2 + xy y2 + xy 1+ z + + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi x2 + xy + y2 + xy ≥ (x2 + xy)(y2 + xy) Theo giả thiết x2 + y2 + z2 = ta có T ≥ Xét hàm số f (z) = Ta có f '(z) = 1− z2 2z (1− z2) 1− z2 + − ≥ y2 + xy + x2 + xy 2 x2 + y2 + ≥ y2 + x2 2 = + 1+ z 1− z2 1+ z , z∈ (0;1) ; 1+ z (1+ z)2 = 2z(1+ z)2 − 3(1− z2) 1− z2 (1+ z)2(1− z2) 1− z2 f '(z) = ⇒ 2z(1+ z)2 − 3(1− z2) 1− z2 = ⇒ 4z3 − 8z2 + 9z − = ⇔ z = , đẳng thức xảy 3 x= y= , z = Kết kuận: GTNN T = ,khi x = y = , z = 2 2 Lập bảng BBT f(z) (0;1) suy T ≥ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến có tính đẳng cấp Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1.Tìm GTLN biểu thức T = y(x + y) Lời giải y y ( )2 + y t2 + t x T= 2 = x t = > T = f ( t ) = Đặt , ta có y x x +y t2 + ( )2 + x y(x + y) f '(t) = −t2 + 2t + ; f '(t) = ⇔ t = 1± (t2 + 1)2 Lập bảng biến thiên f (t ) suy Maxf (t) = (0; +∞) Kết kuận: GTLN T = 2+1 ,khi x = 2 +1 2 −1 ,y = 2 +1 2 Ví dụ 2: Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN biểu thức T= 4x2 + 6xy − 2xy − 2y2 − Lời giải +)Nếu x = ⇒ y = 1;T = y y −1+ − 5( )2 x x = = +)Nếu x ≠ ⇒ T = 2 2 y 2xy − 2y − (x + y ) −3y − x + 2xy −3( )2 − 1+ y x x 4x2 + 6xy − 5(x2 + y2) Đặt t = − x2 + 6xy − 5y2 y −1+ 6t − 5t2 , ta có T = x −3t2 − 1+ 2t t = −1  8t2 + 4t − 5t2 − 6t + ; f '(t) = ⇔  Xét hàm số f (t) = ; t ∈ [0; +∞) ; f '(t) = 2 t = (3 t − t + 1) 3t − 2t +  10 Lập bảng biến thiên f (t ) suy GTLN T = ,khi x = 0, y = GTNN T = −1,khi x = ,y = 5 Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y Tìm GTLN biểu thức T= 4xy2 (x + x2 + 4y2 )3 Lời giải x 4t y y = f (t) ,t>0 T= t = , ta có T = Đặt x x2 x (t + t + 4) ( + ( ) + 4) y y f (t) = 4t (t + t2 + 4)3 = t( t2 + − t)3 , f '(t) = ( t + − t) ( t + − 3t) ; f '(t) = ⇒ t = 16 t2 + Lập bảng biến thiên f (t ) suy GTLN T = ,khi y = 2x Ví dụ 4: Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn x + y + z > Tìm GTNN biểu thức T = x3 + y3 + 16z3 (x + y + z)3 Lời giải Ta có x3 + y3 ≥ (x + y)3 (x + y)3 + 64z3 (a − z)3 + 64z3 x + y + z = a = = (1− t)3 + 64t3 , với Đặt , , ta có 4T ≥ 3 z t = ,0 ≤ t ≤ a a a Xét hàm số f (t) = (1− t)3 + 64t3,t ∈ [ 0;1] ; f '(t) = 364t2 − (1− t)2  ; f '(t) = ⇒ t = 64 M in f (t) = f ( ) = Lập BBT f(t) suy 81  0;1 GTNN T = 64 ,khi x = y = 4z > 81 2.Kỹ thuật dồn biến phương pháp lượng giác a Kiến thức chuẩn bị: 11 x = sin α với α ∈ [0 ;2π]  y = cos α Nếu x + y =  x = a sin α với α ∈ [0 ; 2π]  y = a cos α Nếu x + y = a ( a > )  π  x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) Nếu  ∃∆ABC :  2 x + y + z + xyz = x = cos A; y = cos B; z = cos C  π  x; y; z >  A; B; C ∈ (0; ) Nếu  ∃∆ABC :   x = tan A; y = tan B; z = tan C x + y + z = xyz   π   A; B; C ∈ (0; )   x ; y, z >  x = cot A; y = cot B; z = cot C Nếu  ∃∆ABC :  xy + yz + zx =   A; B; C ∈ (0;π )  A B C  x = tan ; y = tan ; z = tan  b Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = T = (x2 + Tìm GTNN biểu thức x )2 + (y2 + y )2 Lời giải x = sin α Vì x2 + y2 = nên ∃α :  với α ∈ [0 ; 2π]  y = cos α T = (cos2 α + cos2 α )2 + (sin2 α + sin2 α )2 = sin4 α + cos4 α + cos4 α 16 + sin4 α ) + = (1− sin2 2α )(1+ ) sin α cos α sin 2α 25 ≥ (1− )(1+ 16) + = 2 = (sin4 α + cos4 α )(1+ 1 Kết luận:GTNN T = 25 ,khi x = y = 2 Ví dụ 2: Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 − 2x − 4y + = 0,(1) Tìm GTLN biểu thức T = x2 − y2 + 3xy − 2(1+ 3)x + (4 − 3)y + − 12 +4 Giải:  x = + sin α với α ∈ [0; 2π] (1) ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = nên ∃α :   y = + cos α T = sin2 α − cos2 α + 3sinα cosα = 3sin2α − cos2α π = 2sin(2α − ) ≤ Kết luận:GTLN T = < x; y; z < Ví dụ 3: Cho số thực x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = { Tìm GTNN biểu thức S = 1 + + − 3( x + y + z) x y z Lời giải α β γ  π Vì < x, y, z < nên đặt x = tan ; y = tan ; z = tan với α, β, γ ∈  0; ÷  2 2 α β β γ γ α Vì xy + yz + zx = nên tan tan + tan tan + tan tan =1 2 2 2 β γ tan + tan α β γ β γ 2 = ⇔ tan  β + γ  = cot α ⇔ ⇔tan  tan + tan ÷ = − tan tan ⇔  ÷ 2 2 2 − tan β tan γ tan α  2 2 β γ π α α + β +γ π β γ  π α  tan  + ÷ = tan  + ÷⇒ + = − ⇔ = ⇔α + β +γ =π 2 2 2  2 2 2 S= 1 α β γ α β γ + + − 3( x + y + z) = cot + cot + cot -3  tan + tan + tan ÷ 2 x y z 2  α α  β β  γ γ  α β γ  =  cot − tan ÷+  cot − tan ÷+  cot − tan ÷−  tan + tan + tan ÷ 2 2 2 2       α β γ  S = 2(cotα+cotβ+cotγ ) -  tan + tan + tan ÷ 2 2   γ α β S = (cotα+cotβ-2tan ) + (cotβ+cotγ -2tan ) +(cotα+cotβ-2tan ) 2 Ta có sin(α + β) sinγ sinγ = = cotα + cotβ = ≥ sinα.sinβ sinα.sinβ cos(α − β) − cos(α + β) 13  2sin γ 2sin γ = = − cos(α + β ) + cos γ γ γ 4sin cos 2 = tan γ ⇒ cot α + cot β − tan γ ≥ γ 2 cos 2 Như S ≥ Kết luận:GTLN T = x = y = z = x , y, z > Ví dụ 4: Cho  Tìm GTLN biểu thức x + y + z = T= x y z + + x + yz y + zx z + xy Lời giải Đặt Vì yz α = tan ; x xz β = tan ; y  π xy γ = tan với α, β, γ ∈  0; ÷  2 z yz zx zx xy xy yz + + =x+y+z=1 x y y z z x α β β γ γ α tan + tan tan + tan tan =1 2 2 2 α π α β γ π α β γ  β γ  ⇔ tan  +  = cot ⇔ tan  +  = tan  −  ⇒ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 α +β+ γ π ⇔ = ⇔ α +β+ γ = π 2 x y z   2y   2z   x + + =  − ÷+  − ÷+  − 1÷ + S= x + yz y + zx z + xy  x + yz   y + zx   z + xy   nên tan  yz − zx xy   1−  −  x − yz y − zx z − xy   y x z + + +  + = + + =   x − yz y + zx z + xy  2  + yz + zx + xy   x y z   3 = [ cos α + cos β + cos γ ] + =  ( cos α + cos β ) − (cos α cos β − sin α + sin β )  + 2 2 1 ( (cos α + cos β ) + 1) + (sin α + sin β) − cos α cos β  + = + =  2  4 Kết luận:GTLN T = ,khi x = y = z = Ví dụ 5: Cho số thực x, y, z thỏa mãn < x; y; z < ≤ 14 x y z 4xyz + + = 2 2 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y )(1 − z ) Tìm GTNN biểu thức T = x + y + z Lời giải α β γ  π Vì < x, y, z < nên đặt x = tan ; y = tan ; z = tan với α, β, γ ∈  0; ÷  2 2 2y 2x 2z Khi tanα = ; tanβ = Theo giả thiết ta có ; tanγ = 1− y 1− x − z2 2y 8xyz 2x 2z + + = 2 2 − x − y − z (1 − x )(1 − y )(1 − z ) ⇔tanα+tanβ+tan=tanα.tanβ.tanγ tan α + tan β ⇔ tanα + tanβ = - tanγ (1-tanα.tanβ) ⇔ = - tanγ − tan α tan β ⇔ tan(α+β) = tan(-γ )  π Do α, β, γ ∈  0; ÷ nên α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π Khi ta có:  2 α β β γ γ α tan tan + tan tan + tan tan = ⇔ xy + yz + zx = Mặt khác ta có: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = ( x − y) + ( y − z) + ( z − x ) ≥ 2 2 ⇒ S = x + y + z ≥ xy + yz + zx = [ ] Kết luận:GTNN T = , x = y = z = 2.3.2 Kế hoặch dạy chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học- tự nghiên cứu” Đối tượng: HS lớp 12, HS ôn thi tốt nghiệp I Mục tiêu dạy Nghiên cứu phương pháp dồn biến để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ II Nhiệm vụ GV - GV tiến hành giảng dạy chuyên đề về phương pháp dồn biến để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhận xét hướng dẫn học sinh hoàn thành nhiệm vụ - GV giao đề tài nghiên cứu cho HS hướng dẫn bước tiến hành tự học, tự nghiên cứu cho HS 15 - GV hướng dẫn cho HS số kỹ giải tốn tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhất, hướng dẫn HS tìm tài liệu, viết thành báo trình bày đề tài - GV đóng vai trị người hướng dẫn, tổ chức, thiết kế, cố vấn, trọng tài trình nghiên cứu HS III Nhiệm vụ HS Hoàn thành nhiệm vụ GV giao cho IV Phương pháp dạyhọc Hướng dẫn HS tự học tự- nghiên cứu V Nội dung chi tiết GV đặt vấn đề Trong đề thi tốt nghiệp năm gần tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phần quan trọng, khó với học sinh Để giúp học sinh tiếp cận chuyên đề tốt hơn, việc học SGK học sinh cần nghiên cứu sâu dạng toán này, nhằm có kỹ tốt hơn, để đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp GV đưa nội dung cần tự học, tự nghiên cứu - Ngiên cứu phương pháp dồn biến để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ - Nghiên cứu xây dựng toán tương tự giá trị lớn nhất, nhỏ GV gợi ý tài liệu tham khảo - Đề thi THPTQG, tốt nghiệp đề thi thử: 2016-2017, 2017-2018, 2019-2020 - Các tài liệu đọc thêm có liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ GV phát phiếu học tập cho HS GV cho tập hướng dẫn học sinh phương pháp giải Bài tâp : Bài 1: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu 1 thức T = xz + yz Bài 2: Cho số thực dương x, y thỏa mãn 3(x2 + y2) = 2(x + y) 1 T = (x + )2 + (y + )2 y x Bài 3: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y + 1= 3xy.Tìm GTLN biểu 3x 3y 1 thức T = y(x + 1) + x(y + 1) − − x y Tìm GTNN biểu thức Bài 4: Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm GTNN biểu thức T = 3(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 3(xy + yz + zx) + x2 + y2 + z2 16 Bài 5: Cho số không âm x, y thỏa mãn x + y = 1.Tìm GTNN GTLN biểu thức T = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy Bài 6: Cho số dương x, y thỏa mãn x2y + xy2 = x + y + 3xy Tìm GTNN (1+ 2xy)2 − T= x +y + 2xy biểu thức Bài 7: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm GTNN biểu thức T= + x2 + y2 + z2 xy + yz + zx Bài 8: Cho số dương x, y, z thỏa mãn (x + y + z)2 = (xy + yz + zx)2 Tìm GTNN biểu thức T = 4x3 + 4y3 + 4z3 + + + y z x Bài 9: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1; x + y + z > 0.Tìm GTLN biểu thức T = x3 + y3 + z3 − 3xyz + 2 x + y + z (x + y + z )(x + y + z) 1 Bài 10:Cho số thực x; y ≥ thỏa mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức T= + x +1 y +1 + x2 + y2 Bài 11: Cho số dương x, y Tìm GTNN biểu thức T= 4(x4 + y4) (x + y)2 1 + + 2+ 2 x2 + y2 x y Bài 12: Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTLN biểu thức T = −2(xy + yz + zx)3 + 27x2y2z2 − 3(x2 + y2 + z2) + 6(xy + yz + zx) Bài 13: Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN,GTNN biểu thức T = 2(x2 + 6xy) 1+ 2xy + 2y2 Bài 14: Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 ≠ Tìm GTLN,GTNN biểu thức T= 3x − 4y 4x2 − 3xy + 6y2 Bài 15: Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 ≤ Tìm GTLN,GTNN biểu thức T = x2 − xy − 3y2 17 x; y; z > Cho  2 x + y + z + xyz = a Tìm GTLN biểu thức T = xy + yz + zx b Tìm GTNN biểu thức T = x + y + z Bài 16: c Tìm GTNN biểu thức T= 1− x 1− y 1− z + + 1+ x 1+ y 1+ z  x, y , z > Bài 17: Cho   xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức T = x y z + + 2 1− x 1− y 1− z2  x, y , z >  x + y + z = xyz Bài 18: Cho  Tìm GTNN biểu thức T= x 1+ x + y 1+ y + z 1+ z2 GV tổ chức cho HS nêu hướng giải GV cho HS nêu ý kiến thân phương hướng giải toán, thuận lợi khó khăn, vấn đề cần hướng dẫn GV GV hướng dẫn HS giải số ý tốn mà học sinh cịn lúng túng GV giao đề tài cho HS yêu cầu HS tự học, tự nghiên cứu GV yêu cầu HS: - Tự giải tấp giao - Tự tìm tịi thêm tập có liên quan - Sáng tạo tập liên quan - HS viết thành báo nhỏ theo mẫu sau: ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CỦA HS Họ tên:………… lớp:……… ……trường:………………………… Tên đề tài: NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỂ TÌM GTLNGTNN CỦA BIỂU THỨC Lời mở đầu Kiến thức ( kiến thức đạo hàm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) Kết nghiên cứu (các dạng tập ví dụ minh hoạ) Kết luận 18 Tài liệu tham khảo GV nghiệm thu báo HS - GV kiểm tra kết tự học, tự nghiên cứu HS - GV tổ chức cho HS trình bày kết nghiên cứu, làm trọng tài cho thảo luận - GV đưa đánh giá cho báo HS theo tiêu chí: + Chính xác, khoa học, sáng tạo, tích cực, khả hợp tác cao + Bài tập HS đưa đa dạng, phong phú + Thời gian hoàn thành 2.4 Hiểu sáng kiến kinh nghiệm - Đối với HS giỏi, HS lớp đội tuyển trường phổ thơng tiếp thu tốt có khả nghiên cứu sáng tạo, với khả tự học vốn có, hướng dẫn GV kết đạt tốt, HS say mê nghiên cứu, tìm tịi, sáng tạo, từ chuẩn bị tốt cho kỳ thi - Phương pháp dạy học dành cho HS trở lên, không hiệu HS yếu kém, hiệu HS có học lực trung bình KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Quá trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: - Trong đề tài nghiên cứu cách khoa học toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giúp học sinh bước đầu làm quen với dạng tốn này, từ làm tiền đề cho việc nghiên cứu sâu dạng toán - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu - Nghiên cứu biện pháp hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu 3.2 Khuyến nghị Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, có số đề xuất sau: - GV nên thay đổi PPDH để phù hợp với đối tượng, nội dung học, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi - Nhà trường, tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm HS theo hướng dẫn GV để từ tạo điều kiện cho GV HS giao lưu cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững 19 Như Thanh, ngày15 tháng 05 năm 2021 Xác nhận, đánh giá, xếp loại đơn vị Người viết Mai Xuân Đông ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN 20 ...- Nghiên cứu giải toán giá trị lớn nhất, nhỏ cách dồn biến 1.5 Điểm kết nghiên cứu - Hệ thống hóa theo trọng tâm phương pháp suy luận tìm lời giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức. .. nghiệp GV đưa nội dung cần tự học, tự nghiên cứu - Ngiên cứu phương pháp dồn biến để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ - Nghiên cứu xây dựng toán tương tự giá trị lớn nhất, nhỏ GV gợi ý tài liệu tham... tự học, tự nghiên cứu hướng dẫn GV 2.1.2 Các bước thực dạy học tự học- tự nghiên cứu Trên sở khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta đưa bước sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu: