Nguyên lý ánh xạ mở

2.3.1. Định lý về nguyên lý ánh xạ mở Cho X, Y là hai không gian tôpô, một ánh xạ A: X →Y được gọi là ánh xạ mở nếu với mỗi tập U mở trong X, ta luôn có A(U) mở trong Y. Trong phần này chúng ta chứng minh một điều kiện đủ để một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là ánh xạ mở, được gọi là nguyên lý ánh xạ mở.

2.3 Nguyên lý ánh xạ mở

2.3.1 Định lý về nguyên lý ánh xạ mở

Cho X, Y là hai không gian tôpô, một ánh xạ A: được gọi là ánh xạ mở nếu với

mỗi tập U mở trong X, ta luôn có A(U) mở trong Y Trong phần này chúng ta chứng minh một điều kiện đủ để một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là ánh xạ mở, được gọi là nguyên lý ánh xạ mở

Định lý 2.9 Cho X, Y là các không gian Banach, A: là một toàn ánh tuyến tính

liên tục Khi đó A là ánh xạ mở.

Chứng minh Giả sử U là một tập mở trong X và tùy ý Khi đó tồn tại sao cho

Do U mở nên tồn tại sao cho

Khi đó

Bây giờ ta chứng minh tồn tại sao cho

Thật vậy, ta thấy

Do A là toàn ánh tuyến tính nên

Từ giả thiết Y là không gian Banach, theo định lý Baire, suy ra Y là không gian thuộc phạm trù thứ hai, nên tồn tại sao cho không là tập không đâu trù mật, tức là

Kéo theo

Suy ra, tồn tại và sao cho

Dễ thấy , kết hợp với (2.8) ta có

Do là tập lồi nên

Kết hợp (2.9) với (2.10), ta có

Từ bao hàm thức (2.11) suy ra

trong đó Điều này kéo theo: với mọi , với mọi, tồn tại , sao cho

Giả sử tùy ý Chọn , áp dụng (2.12) với , tồn tại thỏa mãn và , kéo theo Chọn , áp dụng (2.12) với tồn tại thỏa mãn và

, kéo theo Tiếp tục quá trình trên với ta được một dãy các phần tử thỏa mãn và

Dễ thấy , tức là chuỗi hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach X, ta suy ra hội

tụ, nói cách khác, tồn tại Ngoài ra Cho trong (2.13) ta có

Do A tuyến tính liên tục,

Như vậy, với mọi , tồn tại sao cho Điều này kéo theo bao hàm thức (2.7)

Từ (2.7) suy ra

yo + εB Y (0,r) A(x o +εB X (0,1)) A(U)

Kéo theo

B Y ( yo, ε) A(U)

Điều này kéo theo yo là điểm trong của A(U) Do yo chọn tùy ý, ta suy ra A(U) là

tập mở Kéo theo A là ánh xạ mở

Từ định nghĩa ánh xạ mở ta có hai hệ quả sau:

Hệ quả 2.10 Một song ánh tuyến tính lien tục từ không gian Banach X vào

không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính

Hệ quả 2.11 Cho X là một không gian tuyến tính và ||.||1 , ||.||2 là hai chuẩn trên

X Nếu (X,||.||1), (X, ||.||2) là không gian Banach và ||.||1 mạnh hơn ||.||2 hoặc ||.||2 mạnh hơn ||.||1 thì hai chuẩn đó là tương đương

2.3.2 Không gian thương

Cho X là không gian định chuẩn, L là một không gian con đóng của X ( theo topo sinh bởi chuẩn) Ký hiệu X/L là không gian thương của X với không gian con L Các phần tử của X/L kí hiệu là ,,….Ta biết X/L là không gian tuyến tính với phép toán tuyến tính sau:

+

λ =

trong đó là kí hiệu lớp tương đương của phần tử x ϵ X

Xét hàm số ||.|| : X/L , xác định bởi: với mỗi X/L

|||| = = , (2.14)

trong đó, Khi đó

1. |||| ≥ 0, với mọi Nếu thì kéo theo

|||| =0 Ngược lại, nếu |||| = 0 thì theo định nghĩa về chuẩn trên không gian thương, tồn tại một dãy L sao cho

Tức là Do L đóng nên kéo theo Như vậy

2. Với mọi , với mọi λ ϵ K

3. Với mọi , với x ϵ , ta có

|| +|| ≤ || x +u + y + v || ≤ ||x +u || + ||y + v||

Với mọi u,v ϵ L Điều này kéo theo

|||| ≤ + +|| || + ||||

Như vậy hàm số xác đinh bởi (2.14) là một chuẩn trên X/L

Không gian định chuẩn X/L với chuẩn xác định trong (2.14) gọi là không gian thương của không gian định chuẩn X với không gian con đóng L của nó

Dễ thấy, nếu L là một không gian con đóng của không gian định chuẩn X thì toán tử thương π: X X/L là một toán tử tuyến tính liên tục Hơn nữa ta có

Mệnh đề 2.12: Ánh xạ thương π : X X/L là ánh xạ mở

Chứng minh Từ định nghĩa chuẩn trên không gian thương ta thấy:

với mỗi ϵ X/L , với mọi ε>0, luôn tồn tại x ϵ X sao cho π(x) = và ||x|| ≤ 1 Điều này kéo theo

BX/L π(BX) Trong đó BX/L và BX là kí hiệu của hình cầu đơn vị mở trong X/L và X

Giả sử U là tập mở trong X, ϵ π(U) tùy ý, khi đó tồn tại sao cho π(x) = Do U

mở nên tồn tại r >0 sao cho BX(x,r) U Từ chứng minh trên ta có

BX/L(

Từ đó suy ra π là ánh xạ mở Mệnh đề được chứng minh

Tiếp theo ta xem xét một số tính chất của không gian thương

Định lý 2.13 Nếu X là không gian Banach và L là không gian con đóng của X

thì X/L là không gian Banach

Chứng minh Giả sử là một chuỗi hội tụ tuyệt đối Ta chứng minh nó hội tụ

trong X/L Thực vậy, theo định nghĩa về chuẩn trong không gian thương , ta có với mooic n, tồn tại sao cho

Do đó:

Điều đó kéo theo chuỗi hội tự tuyệt đối trong không gian Banach X nên nó hội

tụ Ký hiệu Khi đó:

(2.16)

Dễ thấy: là một phần tử thuộc lớp tương đương 1

n k k

x S

=

−

∑) ) Nên:

1 1

( )

∑) ) ∑

Kết hợp (2.16) và (2.17) suy ra:

1

n k

x S

→∞ ∑= ) − ) =

Tức là 1

/

n

n

x S X L

∞

=

− ∈

∑) )

Như vậy X/L là Banach Định lý được chứng minh.

Cho là các không gian Banach, A: X là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó ker A là một không gian con đóng của A Theo Định lý 2.13, X/ker A là

không gian Banach Và ánh xạ thương : X X/ ker A là một ánh xạ tuyến tính liên tục Ta thấy, với mỗi ker A, nếu x,y thì x – y ker A nên Ax = Ay

Do đó ta có thể thiết lập một ánh xạ:

ker A

Xác định bởi , trong đó Như thế

Định lý 2.14 Cho X, Y là các không gian Banach Nếu A là một toàn ánh tuyến

tính liên tục từ X lên Y thì X/ ker A đồng phôi tuyến tính với Y.

Chứng minh:

Ta chứng minh toán tử ker A , là một đồng phôi tuyến tính Thật vậy, dễ thấy là tuyến tính Hơn nữa, nếu = 0 thì Ax = 0 nên = 0 Do đó A là đơn ánh Hơn nữa, cũng là toàn ánh vì A là toàn ánh Vậy A là song ánh

Với mỗi ker A,với mỗi ta luôn có:

Kéo theo giới nội nên liên tục Như vậy là một song ánh tuyến tính liên tục từ

không gian Banach ker A vào không gian Banach Y, nên theo Hệ quả 2.10, nó là

một phép đồng phôi tuyến tính

2.3.3 Định lý đồ thị đóng

Cho X và Y là các không gian tôpô, A: X là một toán tử Tập:

xY

được gọi là đồ thi của toán tử A Nếu là tập đóng trong X x Y thì A gọi là toán tử có đồ thi đóng (hay gọi ngắn gọn là toán tử đóng).

Nhận xét: 1 A là toán tử đóng khi và chỉ khi với mỗi dãy {} hội tụ về và dãy {}

hội tụ về thì =

2 Nếu X,Y là các không gian định chuẩn và A: X là toán tử tuyến tính liên tục thì

A là toán tử đóng Điều ngược lại được xem xét trong định lý sau, thường gọi là

định lý đồ thị đóng

Định lý 2.15 Cho X và Y là các không gian Banach, A: X là toán tử tuyến tính

có đồ thi đóng, khi đó A là toán tử liên tục.

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra X x Y là không gian Banach Do A: X là toán tử tuyến tính

có đồ thị đóng nên tập:

Là một không gian con đóng của X x Y Vì vậy là Banach.

Ký hiệu x Y và x Y là các phép chiếu Hiển nhiên đó là các ánh xạ liên tục.

Đặt xác định bởi Khi đó là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian

Banach vào không gian Banach X, nên là một phép đồng phôi Kéo theo là ánh

xạ liên tục

Ta thấy A = nên A cũng là ánh xạ liên tục.

2.4 Nguyên lý giới nội đều.

2.4.1. Định lí Banach – Steinhaus

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Ta nói họ giới nội đều (hay bị chặn đều) nếu tồn tại một số

M > 0 sao cho :

Nói cách khác, họ giới nội trong β( , )X Y

Nhận xét Nét ⊂ B X Y( , )giới nội đều thì:

1. Với mỗi ε

> 0, tồn tại δ

> 0 sao cho

,

sup

x

x

Aλ

< ∈Λ ≤

2. Với mỗi x X∈

, tập giới nội đều trong Y Điều ngược lại sẽ được xem xét trong đinh lý sau đây, ta thường gọi là Nguyên lí giới nội đều

Định lý 2.1.6 (Nguyên lí giới nội đều) Cho X là không gian Banach Y là không

gian đinh chuẩn, là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y sao cho với mỗi x X∈

tập giới nội trong Y Khi đó họ giới nội trong B X Y( , )

Chứng minh Với mỗi số tự nhiên n

∗

∈ ¥ , với mỗi λ ∈Λ

, do

Aλ

liên tục nên tập

n

Xλ = ∈x X A xλ ≤n

là tập đóng trong X Suy ra

n

X x X A xλ n

λ∈Λ

đóng với mọi n

∗

∈ ¥ Theo giả thiết, với mỗi x X∈

, tập giới nội trong Y nên tồn

tại n

∗

∈ ¥

sao cho n

x X∈ Điều đó kéo theo

1

n n

X ∞ X

=

=U

Do X là không gian Banach nên nó thuộc pham trù thứ hai, suy ra tồn tại một tập

m

X

không là tập không đâu trù mật, tức là

Int X =IntX ≠ ∅

(do

m

X

đóng), từ

đó suy ra tồn tại một điểm 0 m

x ∈X

, tồn tại r>0

sao cho

B x r ⊂ X = X

(2.18)

Với mỗi x X∈

, x≠0

, đặt

rx x

, khi đó

y =r

nên theo (*) phần tử 0 m

x + ∈y X

Do

đó

( o ) ( o rx) ,

x

(2.19)

Mặt khác, với mọi ∀ ∈ Λ λ

( o rx) (rx) ( )o

o

r A x

A x x

λ

λ

( )

r A x

m x

λ

(2.20)

Từ (2.19) và (2.20) ta có:

( ) 2 ,

r A x

m x

Kéo theo:

( ) 2m ,

r

Đúng với mọi x≠0

,hiển nhiên nó cũng đúng với x = 0 Chọn

2m

M r

=

ta sẽ có

,

Aλ ≤M ∀ ∈Λλ

Định lý được chứng minh

Hệ quả (Định lý Banach Steinhaus) Cho X là không gian Banach, Y là không

gian định chuẩn Cho { }A n n ∗

∈ ¥

là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X

vào Y sao cho với mỗi x∈ λ

, dãy { }A x n n ∗

∈ ¥ hội tụ trong Y Khi đó dãy { }A n n ∗

∈ ¥

giới nội đều trong B X Y( , )

Chứng minh Do mỗi dãy hội tụ là giới nội nên với mọi x∈ λ

dãy { }A x n n ∗

∈ ¥

giới

nội đều trong Y Theo định lý trên ta suy ra dãy { }A n n ∗

∈ ¥ giới nội trong B X Y( , )

2.4.2 Sự hội tụ của dãy toán tử.

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, { }A n n∈¥∗ ⊂β( X Y, )

là một dãy các

toán tử tuyến tính liên tục và A∈β( X Y, )

Ta nói dãy { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ điểm đến

A nếu với mọi x X∈

, dãy { }A x n n∈ ¥ ∗

hội tụ đến Ax, tức là

n A x Ax x X

Ta nói dãy { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ đều đến A nếu

Từ định nghĩa suy ra nếu { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ đều đến A thì { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ điểm đến

A trên X, điều ngược lại chưa chắc đúng

Mệnh đề 2.1.8 :Dãy { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ đều đến A khi và chỉ khi với mọi r>0

, dãy { }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ đều đến Ax trong hình cầu B X ( )0,r

Chứng minh Gỉa sử { }A n

hội tụ đều đến A, với mỗi ε >0

, tồn tại 0

n

sao cho với

mọi n≥0

ta có

/

n

A −A ≤ ε r

Khi đó với mọi o

n n≥ ,

A x Ax − ≤ A − A x < ε

với mọi x ⊂ BX ( ) 0, r

Ngược lại, nếu với mỗi r>0, dãy { }A x n n∈ ¥ ∗

hội tụ đều đến Ax trong hình cầu X

B

,

tức là với mỗi ε >0

, tồn tại 0

n

sao cho

A x Ax − ≤ A − A x < ε

với mọi X

x ⊂ B

Điều đó suy ra

sup

x

≤

,

Với mọi 0

n n≥

Điều đó kéo theo

Định lý 2.1.9: Cho X là không gian Banach, Y là không gian đinh chuẩn.

{ }A n n∈ ¥ ∗

là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu { }A n n∈ ¥ ∗

hội

tụ điểm đến một ánh xạ A X →Y

thì A B X Y∈ ( , )

và

lim inf n .

x

→∞

≤

Chứng minh Theo giả thiết, với mọi x X∈

ta đều có

n A x Ax

nên với

x y X∈ λ µ∈K

ta có

Ax Ay

Điều này khéo theo A là toán tử tuyến tính Theo giả thiết, với mọi x X∈ ,

{ }A n n∈ ¥ ∗

hội tụ trong Y nên theo hệ quả suy ra { }A n n∈ ¥ ∗

giới nội đều trong β(X Y, )

, tức là tồn tại M>0 sao cho

,

n

A ≤M ∀ ∈n ¥∗

Khi đó

A x ≤ A x ∀ ∈n ¥∗ ∀ ∈x X

Nên

Ta suy ra A là giới nội và

n

→∞

≤

Định lý được chứng minh

Bài tập

Bài 8 Với m

1. CMR An là toán tử tuyến tính liên tục và tính || An||

2. Chứng minh hội tụ điểm đến ánh xạ đồng nhất I trên ρ2 nhưng không hội

tụ đều đến I

Lời giải:

1. Ta có =>

A là tuyến tính vì:

Với mọi ϵ f2 , λ, μ ϵ K

Hơn nữa,

Do đó: |||| =

Với mọi ϵ f2 => An bị chặn và ||An|| ≤ 1 (1)

Mặt khác, lấy x = e1 => e1 ϵ ρ 2 ,|| e1|| =1 và Ane1 = e1

1 =|| Ane1|| ≤ ||An|| ||e1|| = ||An|| => ||An|| ≥1 (2)

Từ (1), (2) => ||An|| =1 Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục, ||An|| =1

2. Ta có

=

Với mọi x= (xn) ϵ ρ2 Vậy An điểm I

Song An đều I

Thật vậy,nếu An đều I thì lim ||An – I|| =0

 ||Ano – I || <1 với n đủ lớn

Lấy x= eno+1 => eno+1 ϵ ρ2 và || eno+1|| =1

|| Ano eno+1 - I eno+1|| ≤ || (Ano- I ) eno+1 || ≤ || Ano- I|| || eno+1|| <1 (3)

Mặt khác, Ano eno+1=

 Từ (3) và (4) vô lý => An đều I

Bài 9: Cho X, Y là các không gian Banach và {} là một dãy toán tử tuyến tính

giới nội từ X vào Y Chứng minh rằng với mọi là dãy Cauchy trong Y thì tồn tại

một tóan tử tuyến tính giới nội sao cho:

n A x Ax

với mọi

Lời giải:

: { } là dãy Cauchy trong không gian Banach Y nên sao cho:

n A x Ax

với mọi Ta chứng minh:

Thật vậy vì

n A x Ax

nên :

Hơn nữa: tuyến tính:

2

x

µ

) =

n A λx µx λAx µAx

*A giới nội:

⇒ bị chặn,

⇒

giới nội Mặt khác: A = )⇒

Bài 10: Gọi f là phiếm hàm xác định trên không gian [ ]

0,1

C

xác định bởi

0

f x = ∫x t dt

Trong đó x là một hàm số liên tục trên [0,1] Chứng minh rằng f là phiếm hàm

tuyến tính giới nội và tính

f

Lời giải:

• f là phiếm hàm tuyến tính

0,1

ta có:

0

f λ x + µ y = ∫ λ x t + µ y t dt

x t dt y t dt

( )

( )

x t dt y t dt

=λf x( ) +µf y( )

• f là giới nội

[ ]

0,1

x C

∀ ∈

ta có:

( ) 1 ( ) 1 ( )

f x = ∫ x t dt ≤ ∫ x t dt

( )

Suy ra f giới nội và

1

f ≤

(1)

• Tính

f

Chọn x t o ( ) = ∀ ∈1, t [ ]0,1

, suy ra

( )

Ta có:

f x = ∫ x t dt = ∫ dt =

Suy ra

Mà f x( )0 ≤ f x0 = f

Suy ra

1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

1

f =

Bài 11: Cho X và Y là các không gian Banach và { A n n, ∈¥∗}

là một dãy

các toán tử giới nội từ X vào Y chứng minh rằng điều kiện để dãy { }A n

hội tụ điểm là

sup A n < ∞

Lời giải: Giả sử { }A n

hội tụ điểm trên X khi đó:

{ }A x n

hội tụ đều trong Y, ∀ ∈x X

Theo định lý Banach – sieinnhas ta có { } An n∈ ¥ ∗

giới nội đều trong

( , )

B X Y

tức là

n

∗

∈

¥

Bài 12: chứng minh rằng phiếm hàm

f x x t dt x t dt x C−

−

Là tuyến tính giới nội trên

[ 1,1 ]

C−

, tính

f

Lời giải:

• f là phiếm hàm tuyến tính

[ ]

0,1

ta có

f λx µy λx t µy t dt λx t µy t dt

−

= λ f x ( ) + µ f y ( )

• f là giới nội

∀ x y C , ∈ [−1,1 ]

ta có

( ) 0 ( ) 1 ( )

−

Mà [ ]

1,1

sup

x C

−

∈

Suy ra

( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( )

( ) ( )

−

2

−

Suy ra

2

f ≤

• tính

f

xét hàm số

( ) 0

1 neu 1 neu

t t

t

ε

ε

ε

− ≤ ≤ −



−







Ta có

−

−

= − 2 ε

Ta có 2− =ε f x( )0 ≤ f x0 = f

Vì 0 [ 1,1 ] 0

t

∈ −

Vậy với

ε > − ≤ε ≤

Cho