Nguyên lý ánh xạ mở

2.3.1. Định lý về nguyên lý ánh xạ mở Cho X, Y là hai không gian tôpô, một ánh xạ A: X →Y được gọi là ánh xạ mở nếu với mỗi tập U mở trong X, ta luôn có A(U) mở trong Y. Trong phần này chúng ta chứng minh một điều kiện đủ để một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là ánh xạ mở, được gọi là nguyên lý ánh xạ mở.

2.3 Nguyên lý ánh xạ mở 2.3.1 Định lý nguyên lý ánh xạ mở Cho X, Y hai không gian tôpô, ánh xạ A: gọi ánh xạ mở với tập U mở X, ta ln có A(U) mở Y Trong phần chứng minh điều kiện đủ để ánh xạ tuyến tính hai khơng gian định chuẩn ánh xạ mở, gọi nguyên lý ánh xạ mở Định lý 2.9 Cho X, Y khơng gian Banach, A: tồn ánh tuyến tính liên tục Khi A ánh xạ mở Chứng minh Giả sử U tập mở X tùy ý Khi tồn cho Do U mở nên tồn cho Khi Bây ta chứng minh tồn cho Thật vậy, ta thấy Do A tồn ánh tuyến tính nên Từ giả thiết Y không gian Banach, theo định lý Baire, suy Y không gian thuộc phạm trù thứ hai, nên tồn cho không tập không đâu trù mật, tức Kéo theo Suy ra, tồn cho Dễ thấy , kết hợp với (2.8) ta có Do tập lồi nên Kết hợp (2.9) với (2.10), ta có Từ bao hàm thức (2.11) suy Điều kéo theo: với , với mọi, tồn , cho Giả sử tùy ý Chọn , áp dụng (2.12) với , tồn thỏa mãn , kéo theo Chọn , áp dụng (2.12) với tồn thỏa mãn , kéo theo Tiếp tục trình với ta dãy phần tử thỏa mãn Dễ thấy , tức chuỗi hội tụ tuyệt đối không gian Banach X, ta suy hội tụ, nói cách khác, tồn Ngồi Cho (2.13) ta có Do A tuyến tính liên tục, Như vậy, với , tồn cho Điều kéo theo bao hàm thức (2.7) Từ (2.7) suy yo + εBY(0,r) A(xo +εBX(0,1)) A(U) Kéo theo BY(yo, ε) A(U) Điều kéo theo yo điểm A(U) Do yo chọn tùy ý, ta suy A(U) tập mở Kéo theo A ánh xạ mở Từ định nghĩa ánh xạ mở ta có hai hệ sau: Hệ 2.10 Một song ánh tuyến tính lien tục từ khơng gian Banach X vào không gian Banach Y phép đồng phôi tuyến tính Hệ 2.11 Cho X khơng gian tuyến tính ||.||1 , ||.||2 hai chuẩn X Nếu (X,||.||1), (X, ||.||2) không gian Banach ||.||1 mạnh ||.||2 ||.||2 mạnh ||.||1 hai chuẩn tương đương 2.3.2 Khơng gian thương Cho X không gian định chuẩn, L khơng gian đóng X ( theo topo sinh chuẩn) Ký hiệu X/L không gian thương X với không gian L Các phần tử X/L kí hiệu ,,….Ta biết X/L khơng gian tuyến tính với phép tốn tuyến tính sau: + λ= kí hiệu lớp tương đương phần tử x ϵ X Xét hàm số ||.|| : X/L , xác định bởi: với X/L |||| = = , (2.14) đó, Khi |||| ≥ 0, với Nếu kéo theo |||| =0 Ngược lại, |||| = theo định nghĩa chuẩn không gian thương, tồn dãy L cho Tức Do L đóng nên kéo theo Như Với , với λ ϵ K Với , với x ϵ , ta có || +|| ≤ || x +u + y + v || ≤ ||x +u || + ||y + v|| Với u,v ϵ L Điều kéo theo |||| ≤ + +|| || + |||| Như hàm số xác đinh (2.14) chuẩn X/L Không gian định chuẩn X/L với chuẩn xác định (2.14) gọi không gian thương không gian định chuẩn X với khơng gian đóng L Dễ thấy, L khơng gian đóng khơng gian định chuẩn X tốn tử thương π: X X/L toán tử tuyến tính liên tục Hơn ta có Mệnh đề 2.12: Ánh xạ thương π : X X/L ánh xạ mở Chứng minh Từ định nghĩa chuẩn không gian thương ta thấy: với ϵ X/L , với ε>0, tồn x ϵ X cho π(x) = ||x|| ≤ Điều kéo theo BX/L π(BX) Trong BX/L BX kí hiệu hình cầu đơn vị mở X/L X Giả sử U tập mở X, ϵ π(U) tùy ý, tồn cho π(x) = Do U mở nên tồn r >0 cho BX(x,r) U Từ chứng minh ta có BX/L( Từ suy π ánh xạ mở Mệnh đề chứng minh Tiếp theo ta xem xét số tính chất không gian thương Định lý 2.13 Nếu X không gian Banach L không gian đóng X X/L khơng gian Banach Chứng minh Giả sử chuỗi hội tụ tuyệt đối Ta chứng minh hội tụ X/L Thực vậy, theo định nghĩa chuẩn không gian thương , ta có với mooic n, tồn cho Do đó: Điều kéo theo chuỗi hội tự tuyệt đối khơng gian Banach X nên hội tụ Ký hiệu Khi đó: (2.16) n ) ∑x Dễ thấy: phần tử thuộc lớp tương đương k =1 k ) −S Nên: ) ) x ∑ k −S ≤ n n ∑ (x k =1 k =1 k + uk ) − S (2.17) Kết hợp (2.16) (2.17) suy ra: n lim n →∞ ∞ ) ∑x k =1 k ) −S =0 ) − S ∈X /L n ) ∑x Tức n =1 Như X/L Banach Định lý chứng minh Cho không gian Banach, A: X ánh xạ tuyến tính liên tục Khi ker A khơng gian đóng A Theo Định lý 2.13, X/ker A không gian Banach Và ánh xạ thương : X X/ ker A ánh xạ tuyến tính liên tục Ta thấy, với ker A, x,y x – y ker A nên Ax = Ay Do ta thiết lập ánh xạ: ker A Xác định , Như Định lý 2.14 Cho X, Y khơng gian Banach Nếu A tồn ánh tuyến tính liên tục từ X lên Y thì X/ ker A đờng phơi tuyến tính với Y Chứng minh: Ta chứng minh toán tử ker A , đồng phơi tuyến tính Thật vậy, dễ thấy tuyến tính Hơn nữa, = Ax = nên = Do A đơn ánh Hơn nữa, cũng tồn ánh A tồn ánh Vậy A song ánh Với ker A,với ta ln có: Kéo theo giới nội nên liên tục Như song ánh tuyến tính liên tục từ không gian Banach ker A vào không gian Banach Y, nên theo Hệ 2.10, phép đồng phơi tuyến tính 2.3.3 Định lý đờ thị đóng Cho X Y không gian tôpô, A: X toán tử Tập: xY gọi đờ thi tốn tử A Nếu tập đóng X x Y A gọi tốn tử có đờ thi đóng (hay gọi ngắn gọn tốn tử đóng) Nhận xét: A tốn tử đóng chỉ với dãy {} hội tụ dãy {} hội tụ = Nếu X,Y không gian định chuẩn A: X tốn tử tuyến tính liên tục A tốn tử đóng Điều ngược lại xem xét định lý sau, thường gọi định lý đồ thị đóng Định lý 2.15 Cho X Y khơng gian Banach, A: X tốn tử tuyến tính có đờ thi đóng, A toán tử liên tục Chứng minh: Từ giả thiết suy X x Y không gian Banach Do A: X tốn tử tuyến tính có đồ thị đóng nên tập: Là khơng gian đóng X x Y Vì Banach Ký hiệu x Y x Y phép chiếu Hiển nhiên ánh xạ liên tục Đặt xác định Khi song ánh tuyến tính liên tục từ không gian Banach vào không gian Banach X, nên phép đồng phôi Kéo theo ánh xạ liên tục Ta thấy A = nên A cũng ánh xạ liên tục 2.4 Nguyên lý giới nội 2.4.1 Định lí Banach – Steinhaus Cho X Y hai không gian định chuẩn họ tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Ta nói họ giới nội (hay bị chặn đều) tồn số M > cho : sup λ∈Λ Nói cách khác, họ giới nội Nhận xét Nét ⊂ B( X , Y ) Với ε A λ β ( X ,Y ) ≤M giới nội thì: > 0, tồn δ sup x cho Aλ x ≤ε x∈ X Với , tập giới nội Y Điều ngược lại xem xét đinh lý sau đây, ta thường gọi Nguyên lí giới nội Định lý 2.1.6 (Ngun lí giới nội đều) Cho X khơng gian Banach Y không gian đinh chuẩn, họ tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y cho với x∈ X tập giới nội Y Khi họ giới nội Chứng minh Với số tự nhiên n∈¥∗ , với λ ∈Λ , B( X , Y ) Aλ liên tục nên tập X nλ = { x ∈ X : Aλ x ≤ n} tập đóng X Suy Xn = I λ∈Λ đóng với n∈¥∗ n∈¥∗ cho { x∈ X : Aλ x ≤ n} Theo giả thiết, với x ∈ Xn x∈ X , tập giới nội Y nên tồn Điều kéo theo ∞ X = UXn n =1 Do X không gian Banach nên thuộc pham trù thứ hai, suy tồn tập Xm không tập không đâu trù mật, tức suy tồn điểm x0 ∈ X m B ( x0 , r ) ⊂ X m = X m Với x∈ X , x≠0 , tồn r >0 Xm (do đóng), từ cho (2.18) rx x , đặt Int X m = IntX m ≠ ∅ y =r , nên theo (*) phần tử x0 + y ∈ X m Do Aλ ( xo + y ) = Aλ ( xo + rx ) ≤ m, ∀λ ∈ Λ x (2.19) Mặt khác, với ∀λ ∈ Λ Aλ ( xo + rx rx ) ≥ Aλ ( ) − Aλ ( xo ) x x = ≥ r Aλ ( x ) x r Aλ ( x ) x − Aλ ( xo ) −m (2.20) Từ (2.19) (2.20) ta có: r Aλ ( x ) x ≤ 2m, ∀λ ∈ Λ Kéo theo: Aλ ( x ) ≤ 2m x , ∀λ ∈ Λ r Đúng với x≠0 M = ,hiển nhiên cũng với x = Chọn Aλ ≤ M , ∀λ ∈ Λ Định lý chứng minh 2m r ta có Hệ (Định lý Banach Steinhaus) Cho X không gian Banach, Y khơng {A} n∈¥ ∗ n gian định chuẩn Cho vào Y cho với giới nội x∈λ B ( X ,Y ) dãy toán tử tuyến tính liên tục từ X { A x} n , dãy n∈¥ ∗ {A} n hội tụ Y Khi dãy n∈¥ ∗ Chứng minh Do dãy hội tụ giới nội nên với {A} n nội Y Theo định lý ta suy dãy n∈¥ ∗ x∈λ { A x} n dãy giới nội n∈¥ ∗ giới B ( X ,Y ) 2.4.2 Sự hợi tụ dãy tốn tử Cho X Y hai không gian định chuẩn, tốn tử tuyến tính liên tục A với x∈ X , dãy A ∈ β ( X ,Y ) { An x} n∈¥ { An } n∈¥ ∗ ⊂ β ( X ,Y ) Ta nói dãy ∗ hội tụ đến Ax dãy { An } n∈¥ ∗ hội tụ điểm đến , tức lim An x = Ax, ∀x ∈ X n →∞ Ta nói dãy { An } n∈¥ lim An − A = ∗ hội tụ đến A { An } n∈¥ n →∞ ∗ Từ định nghĩa suy hội tụ đến A A X, điều ngược lại chưa chắc Mệnh đề 2.1.8 :Dãy { An } n∈¥ { An } n∈¥ ∗ hội tụ đến Ax { An } n∈¥ ∗ hội tụ điểm đến ∗ hội tụ đến A chỉ với hình cầu BX ( 0, r ) r >0 , dãy Chứng minh Gỉa sử n≥0 ta có { An } hội tụ đến A, với An − A ≤ ε / r Khi với n ≥ no ε >0 với Ngược lại, với r>0, dãy ε >0 tức với , tồn n0 cho với , An x − Ax ≤ An − A x < ε { An x} n∈¥ , tồn n0 x ⊂ BX ( 0, r ) ∗ hội tụ đến Ax hình cầu BX cho An x − Ax ≤ An − A x < ε với x ⊂ BX Điều suy An − A = sup An x − Ax ≤ An − A x < ε x≤ , Với n ≥ n0 lim An = A Điều kéo theo n →∞ Định lý 2.1.9: Cho X không gian Banach, Y không gian đinh chuẩn { An } n∈¥ ∗ dãy tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu tụ điểm đến ánh xạ A X →Y thì A∈ B ( X ,Y ) { An } n∈¥ ∗ hội A ≤ lim inf An x →∞ Chứng minh Theo giả thiết, với x, y ∈ X , λ , µ ∈ K x∈ X lim An x = Ax ta có n →∞ nên với ta có A ( λ x + µ y ) = lim An ( λ x + µ y ) = λ lim An x + µ lim An y n →∞ n →∞ n →∞ , = λ Ax + µ Ay Điều khéo theo A tốn tử tuyến tính Theo giả thiết, với { An } n∈¥ ∗ hội tụ Y nên theo hệ suy { An } n∈¥ x∈ X, ∗ giới nội β ( X ,Y ) An ≤ M , ∀n ∈ ¥ ∗ , tức tồn M>0 cho Khi An x ≤ An x , ∀n ∈ ¥ ∗ , ∀x ∈ X Nên An x = lim An x ≤ lim inf An x x , ∀x ∈ X n →∞ n →∞ Ta suy A giới nội A ≤ lim inf An x n →∞ Định lý chứng minh Bài tập Bài Với m CMR An tốn tử tuyến tính liên tục tính || An|| Chứng minh hội tụ điểm đến ánh xạ đồng I ρ2 không hội tụ đến I Lời giải: Ta có => A tuyến tính vì: Với ϵ f2 , λ, μ ϵ K Hơn nữa, Do đó: |||| = Với ϵ f2 => An bị chặn ||An|| ≤ (1) Mặt khác, lấy x = e1 => e1 ϵ ρ2 ,|| e1|| =1 Ane1 = e1 =|| Ane1|| ≤ ||An|| ||e1|| = ||An|| => ||An|| ≥1 (2) Từ (1), (2) => ||An|| =1 Vậy A toán tử tuyến tính liên tục, ||An|| =1 Ta có = Với x= (xn) ϵ ρ2 Vậy An điểm I Song An I Thật vậy,nếu An I lim ||An – I|| =0  ||Ano – I || eno+1 ϵ ρ2 || eno+1|| =1 || Ano eno+1 - I eno+1|| ≤ || (Ano- I ) eno+1 || ≤ || Ano- I|| || eno+1|| An I Bài 9: Cho X, Y không gian Banach {} dãy tốn tử tuyến tính giới nội từ X vào Y Chứng minh rằng với dãy Cauchy Y tồn lim An x = Ax tóan tử tuyến tính giới nội cho: n →∞ với Lời giải: lim An x = Ax : { } dãy Cauchy không gian Banach Y nên cho: Ta chứng minh: lim An x = Ax Thật n →∞ nên : Hơn nữa: tuyến tính: µ x2 lim An (λ x1 + µ x2 ) = λ Ax1 + µ Ax2 )= n →∞ *A giới nội: n →∞ với ⇒ bị chặn, lim An x ≤ lim M x = M x → A ⇒ n →∞ giới nội Mặt khác: A = )⇒ Bài 10: Gọi f phiếm hàm xác định không gian C[ 0,1] xác định f ( x ) = ∫ x ( t ) dt Trong x hàm số liên tục [0,1] Chứng minh rằng f phiếm hàm f tuyến tính giới nội tính Lời giải: • f phiếm hàm tuyến tính ∀x, y ∈ C[ 0,1] , ∀λ , µ ∈ ¡ ta có: f ( λ x + µ y ) = ∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt 1 0 = ∫ λ x ( t ) dt + ∫ µ y ( t ) dt 1 0 = λ ∫ x(t )dt + µ ∫ y ( t ) dt = λ f ( x) + µ f ( y) • f giới nội ∀x ∈ C[ 0,1] ta có: f ( x) = 1 0 ∫ x ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) dt 1 0 ≤ ∫ sup x ( t ) dt = ∫ x dt = x f ≤1 Suy f giới nội (1) f • Tính Chọn xo ( t ) = 1, ∀t ∈ [ 0,1] , suy xo = sup xo ( t ) = Ta có: 1 0 f ( x0 ) = ∫ x0 (t ) dt = ∫ dt = f ( x0 ) = Suy f ( x0 ) ≤ f x0 = f Mà f ≥1 Suy (2) Từ (1) (2) suy f =1 { A ,n∈¥ } ∗ n Bài 11: Cho X Y không gian Banach dãy toán tử giới nội từ X vào Y chứng minh rằng điều kiện để dãy sup An < ∞ hội tụ điểm Lời giải: Giả sử { An x} { An } hội tụ điểm X đó: hội tụ Y, ∀x ∈ X Theo định lý Banach – sieinnhas ta có { An } n∈¥ ∗ giới nội B( X , Y ) tức ∃M > : An ≤ M , ∀n ∈ ¥ ∗ ⇒ sup An = M < ∞ n∈¥ ∗ Bài 12: chứng minh rằng phiếm hàm f ( x) = Là tuyến tính giới nội −1 ∫ x(t )dt − ∫ x(t )dt , x ∈ C[ −1,1] C[ −1,1] f , tính Lời giải: • f phiếm hàm tuyến tính ∀x, y ∈ C[ 0,1] , ∀λ , µ ∈ ¡ f ( λx + µ y) = ta có −1 ∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt + ∫ ( λ x ( t ) + µ y ( t ) ) dt { An } 1 0  0  = λ  ∫ x ( t ) dt − ∫ x ( t ) dt ữ+ y ( t ) dt − ∫ y ( t ) dt ÷ 0  −1   −1  = λ f ( x) + f ( y) f giới nội ∀x, y ∈ C[ −1,1] ta có −1 f ( x) = ∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt x = sup x ( t ) ⇒ x ( t ) ≤ x x∈C[ −1,1] Mà Suy f ( x) = 1 −1 −1 ∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt ≤ −1 ∫ x ( t ) dt + ∫ x ( t ) dt ≤ ∫ −1 f ≤2 Suy f • tính xét hàm số x dt + ∫ x dt = x  neu − ≤ t ≤ −ε  −t  x0 ( t ) =  neu − ε ≤ t ≤ ε ε  −1 neu ε ≤ t ≤ Ta có f ( x0 ) = −ε ε −1 −ε ε ∫ x(t )dt + ∫ x(t )dt −∫ x(t )dt −∫ x(t )dt −ε ε t t = ∫ dt − ∫ dt + ∫ dt − ∫ dt ε ε −1 −ε ε = −ε − ε = f ( x0 ) ≤ f x0 = f Ta có x0 = sup x0 (t ) = t∈[ −1,1] Vì ε > 0:2−ε ≤ f ≤ Vậy với ε →0⇒ f =2 Cho ... kéo theo yo điểm A(U) Do yo chọn tùy ý, ta suy A(U) tập mở Kéo theo A ánh xạ mở Từ định nghĩa ánh xạ mở ta có hai hệ sau: Hệ 2.10 Một song ánh tuyến tính lien tục từ khơng gian Banach X vào không... Banach Định lý chứng minh Cho không gian Banach, A: X ánh xạ tuyến tính liên tục Khi ker A khơng gian đóng A Theo Định lý 2.13, X/ker A không gian Banach Và ánh xạ thương : X X/ ker A ánh xạ tuyến... nhiên ánh xạ liên tục Đặt xác định Khi song ánh tuyến tính liên tục từ khơng gian Banach vào không gian Banach X, nên phép đồng phôi Kéo theo ánh xạ liên tục Ta thấy A = nên A cũng ánh xạ liên